Вам сюда!

Раздел 3 «Основы интегрального исчисления»
Тема 3.1. «Неопределенный интеграл»
Основной задачей интегрального исчисления является нахождение
функции по её производной или дифференциалу. Напомним необходимые
определения:
Определение 1: Дифференциалом функции называется главная, линейная
часть приращения функции, равная произведению производной на
приращение независимой переменной dy  f ( x )  x.
Учитывая, что дифференциал независимой переменной равен
приращению этой переменной, обычно записывают dy  f ( x )dx.
Определение 2: Функция F(x) называется первообразной функцией для
функции f(x) на промежутке X, если в каждой точке х этого промежутка
F’(x)=f(x).
Определение 3: Совокупность всех первообразных для функции f(x) на
промежутке X называется неопределённым интегралом от функции f(x) и
обозначается  f ( x )dx , где   знак интеграла, f(x)- подынтегральная функция,
f(x)dx- подынтегральное выражение.
В курсе высшей математики доказывается следующая теорема.
Теорема 1. Если F1(x) и F2(x) – первообразные для функции f(x) в
некотором промежутке х, то найдётся такое число C, что справедливо
равенство F2(x) = F1(x)+C.
На основании этой теоремы можем заключить, что для нахождения
неопределённого интеграла достаточно найти одну из первообразных
подынтегральной функции и прибавить к ней произвольную постоянную,
т.е.  f ( x )dx  F ( x )  C .
Операция нахождения неопределённого интеграла от некоторой
функции называется интегрированием этой функции. Достаточным условием
интегрируемости функции на промежутке Х является непрерывность
функции на этом промежутке.
Рассмотрим основные свойства неопределённого интеграла.
1.Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной


функции,  f x  dx  f x  .
2.Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному
выражению, d  f x dx  f x dx .
3.Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции
равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого,
 dFx   F x   C , где С – произвольное число.


4.Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла,
 af xdx  a f xdx , где а – некоторое число.
5.Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же
сумме интегралов от этих функций,   f x   g x dx   f x dx   g x dx .
Поскольку интегрирование, по существу, является обратной задачей для
дифференциального исчисления, то для определения первообразных
основных элементарных функций можно использовать соотношения,
выведенные ранее при вычислении производных. Перечислим известные
интегралы от элементарных функций, которые в дальнейшем будем называть
табличными.
Интегралы от основных элементарных функций.
Таблица 1
1.
 0dх  С ;
7.
 cosх dх  sinх  С ;
х
 С ,а  х  a, а  0 ;
 2 2
а
a х
dx
dх
1
х
3. 
9.  2
 ln х  С , х  0 ;

arctg
 С,а  0;
x
а  х2 а
а
4.
dх
1
х-а
х

ln
 С,а  0 ;
10.  2
a
2
х
а

х
2
а
х

а
a
d
х


C
,
a

0,
а

1

ln a
2.
n
 х dx 
х n 1
 C , n  -1 ;
n 1
dх
8.
 arcsin
;
5.
6.
е
х
dх  e х  С ;
11.

dx
x2  a
 ln x  x 2  a  C , а  0 .
 sin х dх  - cosх  С ;
Задача №3.1.1.
4x 2  9
dx .
Найти интеграл  2
4x  9
Приведем подынтегральную функцию к сумме простых выражений.
4 x 2  9 4 x 2  18  9 4 x 2  9   18
18
2
.


1 2
1
2
2
2
4 2
4x  9
4x  9
4x  9
4x  9
1 x
9




2
4x  9
2 

 4 x 2  9 dx   1  4 2 dx .
 1 x 
9 

Теперь можем воспользоваться свойствами 4 и 5 интегралов:




2 
dx

 1  4 2 dx   dx 2 4 2 .
1 x
 1 x 
9 
9

Первый из двух образовавшихся интегралов является табличным
 dx  x  C . Для приведения второго к табличному виду сделаем замену
переменных t 
Тогда
3
3
2
x , тогда x  t и dx  dt .
3
2
2
3
dt
dx
3 dt
3
3
2
2
 4 2   1  t 2  2  1  t 2  2 arctg t  C  2 arctg 3 x  C .
1 x
9
Здесь
использовано свойство 4 и табличный интеграл 9, а также сделана обратная
замена переменных.
Таким образом, имеем
dx
3
2
2
 dx  2 4 2  x  2 2 arctg 3 x  C  x  3arctg 3 x  C .
1 x
9
2
4x  9
2
Ответ:  2
dx  x  3arctg x  C .
4x  9
3
Задача №3.1.2.
Найти интеграл  x  1e 2 x dx .
Для вычисления этого интеграла, который является интегралом от
произведения, наиболее удобным является метод интегрирования по
частям, который сводится к применению формулы  udv  uv   vdu , где
u  x  , v   x  – непрерывно дифференцируемые функции от х. С
помощью этой формулы нахождение  vdv сводится к отысканию другого
интеграла  vdu . Ее применение целесообразно в тех случаях, когда
последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.
При этом за и берется такая функция, которая при дифференцировании
упрощается, а за dv – та часть подынтегрального выражения, интеграл от
которой известен или может быть найден.
Например, для интегралов вида
ax
 Px e dx ,  Px  sin axdx ,  Px  cos axdx , где Р(х) – многочлен, за и
принимаем Р(х), за dv – соответственно, выражения еахdx, sin axdx, cos
axdx.
Пользуясь таблицами интегралов, определяем, что v, соответственно, равно
е ax
 e ax   сosax sin ax
, т.е. dv  e ax dx  d 
;
.
;
a
a
a
a
 
 e2 x 
e2 x
e2 x
e2 x
e2 x


 x  1  e dx   x  1d  2   x  1  2   2 d x  1  x  1  2   2 dx 
e2 x 1 e2 x
 x  1 
 
 C.
2 2 2
2x
Преобразуем последнее выражение: приведем к общему знаменателю и
вынесем одинаковые множители за скобки.
Окончательный ответ имеет вид:

2 x  1  e 2 x
2x
C.
 x  1  e dx 
4
Вспомним, что процесс интегрирования, по существу, является поиском
первообразной, т.е. такой функции, производная которой равняется
подынтегральному выражению. Таким образом, путем дифференцирования
ответа вы всегда можете самостоятельно проверить правильность своего
решения.
Проверка.

1
 2 x  1e 2 x
 1



 C    2 x  1  e 2 x   0   2 x  1  e 2 x  2 x  1  e 2 x   


4
4
4


1
2  e 2x
 1
2x
2x
2x
2x
1  2 x  1 
  2  e  2 x  1  e 2 x    2  e  2 x  1  e 2  
 4
4
4
e 2x
2 x  2  e 2 x  x  1, что и требовалось
2

2 x  1е 2 x
2x
С.
Ответ:  x  1e dx =
4
Задача №3.1.3.
x2
dx .
2
 4 x  21
Подынтегральное выражение представляет собой рациональную дробь
вида
P( x )
, где P(x) и Q(x) – многочлены. Для нахождения такого интеграла
Q( x )
воспользуемся методом интегрирования рациональных дробей с
помощью разложения на простейшие дроби, интегрирование которых, в
свою очередь, легко сводится к применению таблицы интегралов.
Суть метода состоит в том, что перед интегрированием надо сделать
следующие алгебраические преобразования:
1) если дана неправильная рациональная дробь, то выделить из нее
P x 
P( x )
 M  x   1 , где М(х) –
целую часть, т.е. представить в виде
Q x 
Q x 
P x 
многочлен, а 1
– правильная рациональная дробь (дробь называется
Q x 
Найти интеграл
x
правильной, если степень многочлена в числителе меньше, чем в
знаменателе);
2) разложить знаменатель дроби на линейные и квадратные множители:
p2
n
m
2
Q x    x  a  ...x  px  q  ..., где
 q  0 , т.е. трехчлен х2 +px+q
4
имеет комплексные сопряженные корни;
3) правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби:
Am
P1 ( x )
A1
A2
B x  С1
B x  С2



...

 ...  2 1
 2 2
 ...
m
m 1
n
Q( x )  x  a 
x-a
x  a 
x  px  q  x  px  q n 1
Bn x  С n
 ... ,
x 2  px  q
4) вычислить неопределенные коэффициенты А1, А2, …, Аm, …, В1, С1,
В2,С2…, Вn, Сn, …, для чего привести последнее равенство к общему
знаменателю, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x в левой
и правой частях полученного тождества, затем решить систему линейных
уравнений относительно искомых коэффициентов.
Выполним пункты 1)…4) алгоритма для данного выражения:
x2
1) 2
является правильной дробью,
x  4 x  21
т.к. в числителе многочлен степени 1, а в знаменателе многочлен
степени 2.
Дополнительных преобразований не требуется.
2) Q(x)=x2+4x-21 – квадратный трехчлен, для которого
2
p2

4
q
  21  4  21  25  0 .
4
4
Это означает, что его можно разложить на более простые множители.
Для разложения найдем корни трехчлена по формуле
p
p2
4
x1,2   
 q    25 ; х1= -2 + 5 =3; x2= -2 - 5 =-7
2
4
2
и воспользуемся равенством x 2  px  q  x  x1 x  x 2 , т.е.
x 2  4 x  21   x  3 x  7 .
Вспомним, что для более общего случая справедливо равенство
 b  b 2  4ac
ах2 +вх+с=а(х-х1) (x-х2), где x1,2 
2a
3) Результат выполнения п.2) показал, что знаменатель имеет только
действительные различные корни, поэтому в нашем случае дробь разлагается
на неповторяющиеся множители первой степени
x2
x2
A
B



.
x 2  4 x  21 x  3x  7  x  3 x  7

4) Приводим последнее равенство к общему знаменателю
x2
Ax  7   Bx  3
.

x  3x  7 
x  3x  7 
Следовательно, х+2 = Ах+7А+Вх-3В.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему
уравнений
 А  В  1,

7 А  3В  2,
из которой находим
1
А

,
А 1 В
А 1 В

2

71  В   3В  2, 10 В  5 В  1 .
2
Таким образом,
 1
x2
1 
1 dx
1 dx
 x 2  4 x  21 dx    2x  3  2x  7  dх  2  x  3  2  x  7 


1
1
= ln x  3  ln x  7  C .
2
2
Интегралы от простейших дробей вычислены с использованием
табличного интеграла
du
F ax  b 
 C.
 u  ln u  C и формулы  f ax  b dx 
a
Полученное выражение можно считать ответом. Но можно также
упростить его, пользуясь в данном случае свойствами натурального
логарифма.
1
1
1
1
ln x  3  ln x  7  ln x  3  ln x  7   ln  x  3   x  7  
2
2
2
2
1
 ln x 2  4 x  21  ln x 2  4 x  21
2
x2
Ответ:  2
dx  ln x 2  4 x  21  C .
x  4 x  21
Вторая задача контрольной работы состоит в вычислении определенного
интеграла.
Вспомним, как вводится понятие определённого интеграла.
Если функция f(x) определена на отрезке [a;b], то для неё вычисляется
интегральная сумма
n
 f ( )  x ,
i 1
i
i
где a  x0  x1  x2  ...xn1  xn  b являются
точками деления отрезка [a;b] на n произвольных частей, на каждом
элементарном отрезке [xi-1;xi] точка i выбрана также произвольно, а xi = xixi-1- длина каждого такого отрезка.
Тема 3.1. «Определенный интеграл»
Определение 3: Определённым интегралом от функции f(x) на
отрезке [a;b] называется предел указанной интегральной суммы при
условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков (maxxi)
стремится к нулю, если таковой предел существует, конечен, не зависит от
способа разбиения отрезка [a;b] на элементарные отрезки и от способа
b
n
выбора точек i. I   f ( x )dx  maxlim
 f (i )  xi .
x 0
i
a
i 1
Необходимым и достаточным условием существования определённого
интеграла является непрерывность функции f(x) на [a;b].
Геометрический смысл определённого интеграла:
Если f(x)>0 на [a;b], то определённый интеграл
b
 f ( x )dx
представляет
a
собой площадь криволинейной трапеции – фигуры, ограниченной графиком
функции y=f(x) и прямыми x=a, x=b, y=0 (см. рис.1)
y
y=f(x)
S
0
a
x
b
Рис. 1 Геометрический смысл интеграла
Рассмотрим основные свойства определённого интеграла.
1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.
b
b
a
a
 a f x dx  a  f x dx
, где а – некоторое число.
2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме
интегралов от этих функций, т.е.
b
b
b
a
a
a
 a f x   g x dx   f x dx   g x dx .
3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке
равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых
a, b, c
b

a
c
b
a
c
f  x dx   f  x dx   f  x dx .
4. Если на отрезке [a,b], где а< b , f(x)  g(x), то и
b

b
f  x dx   g  x dx ,
a
a
т.е. обе части неравенства можно почленно интегрировать.
5. Теорема о среднем. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] (где
a<b), то найдется такое значение   a , b, что
b
 f x dx  f  b - a 
a
При вычислении определенного интеграла используют его связь с
неопределенным интегралом, которая основана на понятии и свойствах
интеграла с переменным верхним пределом. Интересующиеся этими
вопросами подробнее могут обратиться к учебникам [1], [2] и др. или
конспектам лекций, здесь нам потребуются только итоговые выводы из
указанной теории, которые мы сформулируем в виде правил вычисления
определенного интеграла.
Правила вычисления определённого интеграла:
1. Формула Ньютона-Лейбница
b
b
a
a
 f ( x )dx  F ( x )
 F (b)  F (a ) , где F(x) – первообразная для f(x), т.е.
F ( x )  f ( x ) .
2. Интегрирование по частям
b
b
 udv  uv a   vdu, где u=u(x), v=v(x) – непрерывно дифференцируемые
b
a
a
функции на отрезке [a;b].
3. Замена переменной
b

 f ( x)dx   f [ ( x)] (t )dt ,
где x = (t) – функция непрерывная вместе со
a
своей производной ’(t) на отрезке t, a = (), b = (), f[(t)] –
функция, непрерывная на [;].
4. Если f(x) – нечётная функция, т.е. f(-x) = -f(x), то
a

f ( x )dx  0 . Если f (x)
a
чётная функция, т.е. f (-x) = f (x), то
a

a
a
f ( x )dx  2  f ( x )dx .
0
Задача №3.2.1.
2
Вычислить определенный интеграл

dx
.
5  2x  3
Для решения задачи воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница и
методом замены переменной в определённом интеграле (правило 3).
10
Положим 5  2x  t , тогда 5  2x  t 2 , x  5 / 2  t 2 / 2 и dx  0 
2tdt
 tdt .
2
Если x  10 , то t  5  2 x  5  2  (10)  25  5 , и если x  2 , то
t  5  2 x  5  2  2  1  1 . Отсюда находим
2

10
b

dx

5  2x  3
tdt
tdt
 tdt
5 t  3  1 t  3  1 t  3 (здесь мы воспользовались свойством
5
1
5
a
f  x dx    f  x dx для упорядочивания пределов интегрирования). Далее
a
b
имеем
5
tdt
t 33
3 
3
5

1 t  3  1 t  3 dt  1 1  t  3  dt  1 dt  1 t  3 dt  t 1  3ln t  3 1 
 (5  1)  3  ln 5  3  ln 1  3   4  3  ln8  ln 4   4  3ln(8 / 4)  4  3ln 2  4  ln8 .
5
Ответ:
5
2

10
5
5
5
dx
 4  ln8 .
5  2x  3
Задача №3.2.2.
Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y  4 x  x 2 и осью Ox.
Для решения этой задачи следует изобразить требуемую фигуру на
рисунке (построить графики заданных функций):
Рис.2. Определение площади криволинейной трапеции
Из рисунка 2 видно, что данная фигура представляет собой
криволинейную трапецию, и для выбора формулы вычисления её площади
достаточно обратиться к геометрическому смыслу определённого интеграла.
b
Чтобы воспользоваться формулой S   f ( x )dx , необходимо найти значения
a
пределов интегрирования a и b. В данном случае это точки пересечения
параболы с осью Ox: 4 x  x 2  0; x (4  x )  0; x1  0; x2  4 .Таким образом,
4
4
x3
32
 кв.ед.
S   (4 x  x )dx  2 x 
0
3 0 3
0
2
2 4