Тема: Интервальные оценки параметров распределения

Методические рекомендации
по дисциплине Б2.В.4 Основы математической статистики
по направлению
040400 «Социальная работа»
1. Программа учебной дисциплины
Введение. Понятие о математической статистике. Задачи математической
статистики. Историческая справка.
Основы выборочного метода. Генеральная и выборочная совокупности. Виды
выборок. Способы отбора. Вариационный ряд. Статистическое распределение выборки.
Основные характеристики вариационного ряда. Выборочная функция распределения.
Полигоны и гистограммы.
Статистические оценки параметров распределения. Понятие статистических
оценок параметров распределения. Точечные статистические оценки и их виды. Генеральная
и выборочная средние. Оценка генеральной средней по выборочной средней. Генеральная и
выборочная дисперсии и средние квадратические отклонения (с.к.о.). Оценка генеральной
дисперсии. Оценка генерального с.к.о. Интервальные оценки параметров распределения, их
точность и надежность. Доверительные интервалы. Доверительные интервалы для оценки
математического ожидания нормально распределенного признака X при известном и
неизвестном (X). Доверительные интервалы для оценки с.к.о. нормального распределения.
Использование доверительных интервалов при оценке истинного значения измеряемой
величины и при оценке точности измерений.
Методы расчета характеристик выборки. Равноотстоящие и условные варианты.
Сведение первоначальных вариант к равноотстоящим. Обычные, начальные, центральные и
условные эмпирические моменты и связь между ними. Метод произведений вычисления
выборочной средней, выборочной дисперсии и выборочного с.к.о.
Элементы теории корреляции. Виды зависимостей между случайными величинами.
Корреляционная зависимость. Функция регрессии и линия регрессии. Задачи теории
корреляции. Нахождение выборочного уравнения прямой линии регрессии по
несгруппированным данным с использованием метода наименьших квадратов. Выборочный
коэффициент регрессии. Корреляционная таблица. Нахождение выборочного уравнения
прямой линии регрессии по сгруппированным данным. Выборочный коэффициент
корреляции, его свойства и вычисление. Простейшие случаи криволинейной корреляции.
Понятие о множественной корреляции. Понятие о ранговой корреляции.
Статистическая проверка статистических гипотез. Понятие статистической
гипотезы. Виды статистических гипотез. Ошибки, допускаемые при статистической
проверке статистических гипотез. Статистический критерий проверки гипотезы. Область
принятия гипотезы. Критическая область, критические точки. Виды критических областей.
Отыскание критической области и критических точек. Мощность критерия. Сравнение двух
генеральных средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых
известны. Сравнение двух генеральных средних произвольно распределенных генеральных
совокупностей при больших независимых выборках. Сравнение выборочной средней и
гипотетической генеральной средней нормальной совокупности. Сравнение двух
генеральных дисперсий нормальных совокупностей. Сравнение наблюдаемой относительной
частоты с гипотетической вероятностью появления события. Критерии согласия. Критерий
согласия Пирсона. Критерий согласия Колмогорова.
4. Цели освоения дисциплины
Ознакомление студентов с основами математического аппарата теории вероятностей и
математической статистики, необходимого для решения теоретических и практических
задач; развития логического мышления
математической культуры студентов
студентов;
повышение
общего
уровня
5. Место дисциплины в структуре ООП ВПО
В результате изучения курса студенты должны иметь представление о математике как
особом способе познания мира, общности ее понятий и представлений.
6. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
Выпускник должен обладать следующими компетенциями:
- Стремиться к саморазвитию, повышению квалификации и мастерства (ОК-5);
- использовать в профессиональной деятельности основные законы естественнонаучных дисциплин, в том числе медицины, применять методы математического анализа и
моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-10);
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
1) Знать основные понятия и утверждения, входящие в содержание дисциплины,
доказательства теорем;
2) Уметь:
- решать задачи по разделам курса, применять теоретический материал;
- используя определения, проводить исследования, связанные с основными понятиями;
- подходить к решению профессиональных задач, строить математические модели
задач, приводить их к нужному виду;
3) Владеть
- современными знаниями о математике;
- методами выбора и реализации наиболее рациональных методов решения
поставленной задачи.
7. Объем дисциплины и виды учебной работы (для всех направлений подготовки, на
которых обеспечивается данная дисциплина).
Общая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачетных единиц
(из расчета 1 ЗЕТ= 36 часов);
252/7
40
46
8
10
16
16
ПР/
СМ
ЛБ
28
26
–
–
139
Вид итогового контроля
(форма отчетности)
ЛК
Часы на СРС
(для дисц. с экзаменом
включая часы на
экзамен)
Часов в интеракт. форме
(из ауд.)
1
2
Всего аудит.
2
Трудоемкость в
часах/ЗЕТ
040400 «Социальная
работа»
Семестр
1
Виды учебной работы в часах
Курс
№
п/п
Шифр и наименование
направления с указанием
профиля (названием
магистерской программы),
формы обучения
252 часа.
Зачет
Экзамен
8. Содержание дисциплины
Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение
времени:
учебного
Количество часов
№
п/п
1
2
3
4
5
Наименование
раздела, темы
Введение. Основы выборочного метода.
Статистические оценки параметров распределения.
Методы расчета характеристик выборки.
Элементы теории корреляции.
Статистическая проверка статистических гипотез.
Всего:
Всего
ауд.ч./в
интеракт.ф.
8/2
16/4
16/4
20/4
26/4
86/18
ЛК
ПР/
СМ
ЛБ
Часов на
СРС
4
8
6
6
8
32
4
8
10
14
18
54
–
–
–
–
–
–
12
16
28
40
43
139
9. Содержание разделов дисциплины (указать краткое содержание раздела (темы) с
обязательным указанием номера раздела (темы).
Введение. Понятие о математической статистике. Задачи математической
статистики. Историческая справка.
1.
Основы выборочного метода. Генеральная и выборочная совокупности. Виды
выборок. Способы отбора. Вариационный ряд. Статистическое распределение выборки.
Основные характеристики вариационного ряда. Выборочная функция распределения.
Полигоны и гистограммы.
2.
Статистические оценки параметров распределения. Понятие статистических
оценок параметров распределения. Точечные статистические оценки и их виды. Генеральная
и выборочная средние. Оценка генеральной средней по выборочной средней. Генеральная и
выборочная дисперсии и средние квадратические отклонения (с.к.о.). Оценка генеральной
дисперсии. Оценка генерального с.к.о. Интервальные оценки параметров распределения, их
точность и надежность. Доверительные интервалы. Доверительные интервалы для оценки
математического ожидания нормально распределенного признака X при известном и
неизвестном (X). Доверительные интервалы для оценки с.к.о. нормального распределения.
Использование доверительных интервалов при оценке истинного значения измеряемой
величины и при оценке точности измерений.
3.
Методы расчета характеристик выборки. Равноотстоящие и условные варианты.
Сведение первоначальных вариант к равноотстоящим. Обычные, начальные, центральные и
условные эмпирические моменты и связь между ними. Метод произведений вычисления
выборочной средней, выборочной дисперсии и выборочного с.к.о.
4.
Элементы теории корреляции. Виды зависимостей между случайными величинами.
Корреляционная зависимость. Функция регрессии и линия регрессии. Задачи теории
корреляции. Нахождение выборочного уравнения прямой линии регрессии по
несгруппированным данным с использованием метода наименьших квадратов. Выборочный
коэффициент регрессии. Корреляционная таблица. Нахождение выборочного уравнения
прямой линии регрессии по сгруппированным данным. Выборочный коэффициент
корреляции, его свойства и вычисление. Простейшие случаи криволинейной корреляции.
Понятие о множественной корреляции. Понятие о ранговой корреляции.
5.
Статистическая проверка статистических гипотез. Понятие статистической
гипотезы. Виды статистических гипотез. Ошибки, допускаемые при статистической
проверке статистических гипотез. Статистический критерий проверки гипотезы. Область
принятия гипотезы. Критическая область, критические точки. Виды критических областей.
Отыскание критической области и критических точек. Мощность критерия. Сравнение двух
генеральных средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых
известны. Сравнение двух генеральных средних произвольно распределенных генеральных
совокупностей при больших независимых выборках. Сравнение выборочной средней и
гипотетической генеральной средней нормальной совокупности. Сравнение двух
генеральных дисперсий нормальных совокупностей. Сравнение наблюдаемой относительной
частоты с гипотетической вероятностью появления события. Критерии согласия. Критерий
согласия Пирсона. Критерий согласия Колмогорова.
10. Темы для самостоятельного изучения
№
п/п
1.
2.
3.
4.
5.
Наименование раздела
дисциплины
Основы выборочного метода.
Статистические оценки
параметров распределения.
Методы расчета
характеристик выборки.
Элементы теории корреляции.
Статистическая проверка
статистических гипотез.
Форма самостоятельной
работы
- контрольные работы
- тестирование
Кол-во
часов
12
16
Форма контроля
выполнения
самостоятельной работы
- выполнение тестов
- проверка контрольных
работ
-коллоквиумы
28
40
43
11. Образовательные технологии
(указываются образовательные технологии, используемые при реализации различных видов
учебной работы.
В соответствии с требованиями ФГОС ВПО по направлению подготовки бакалавра
040400 «Социальная работа» реализация компетентностного подхода должна
предусматривать широкое использование в учебном процессе активных и интерактивных
форм проведения в сочетании с внеаудиторной работой с целью формирования и развития
профессиональных навыков обучающихся. В рамках учебных курсов должны быть
предусмотрены встречи с представителями российских и зарубежных компаний,
государственных и общественных организаций, мастер-классы экспертов и специалистов.
Удельный вес занятий, проводимых в интерактивных формах, определяется главной
целью (миссией) программы, особенностью контингента обучающихся и содержанием
конкретных дисциплин, и в целом в учебном процессе они должны составлять не менее 25%
аудиторных занятий (определяется требованиями ФГОС с учетом специфики ООП). Занятия
лекционного типа для соответствующих групп студентов не могут составлять более 30%
аудиторных занятий (определяется соответствующим ФГОС)).
Интерактивные формы занятий:
№
раздела
(темы)
1.
2.
3.
4.
5.
Формы
Дискуссия, «мозговой штурм» (атака).
Дискуссия, «мозговой штурм» (атака).
Дискуссия, «мозговой штурм» (атака).
Дискуссия, «мозговой штурм» (атака).
Дискуссия, «мозговой штурм» (атака).
Нумерация разделов указывается в соответствии с пунктом 9.
Для УМК (модуля), состоящего из нескольких дисциплин указывается номер дисциплины, а
затем номер темы. Например, №1/3 – Дисциплина №1, тема №3.
Примеры интерактивных форм: дискуссия, ролевая игра, деловая игра, компьютерная
симуляция, кейс-метод (решение ситуационных задач), тренинг, «мозговой штурм» (атака), работа в
группах, интервью, просмотр и обсуждение видеофильмов и видеосюжетов и т.п.
12. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины
Тема: Статическое распределение выборки и его характеристики
План и вопросы для обсуждения: Генеральная и выборочная совокупности. Виды
выборок. Вариационный ряд. Статистическое распределение выборки.
Эмпирическая функция распределения. Полигоны и гистограммы.
Задание для самостоятельной работы студента: Задачник [2], №№440, 442, 444, 445,
447, 449; Литература: [1], [3], [10], [9].
Тема: Статистические точечные оценки параметров распределения
План и вопросы для обсуждения: Понятие С.Т.О. Виды С.Т.О. Характеристики
вариационного ряда. Оценки основных характеристик генеральной совокупности
по соответствующим характеристикам выборки.
Задание для самостоятельной работы студента: Задачник [2], №№451, 454, 456, 458,
459, 461, 464, 469, 470; Литература: [1], [3], [10], [9].
Тема: Интервальные оценки параметров распределения
План и вопросы для обсуждения: Понятие интервальной оценки, их точность и
надёжность. Доверительные интервалы, доверительные интервалы для M(X) и
(X).
Задание для самостоятельной работы студента: Задачник [2], №№502, 503, 507, 509,
511, 513, 515; Литература: [1], [3], [9], [11].
Тема: Метод произведений вычисления основных характеристик выборки
План и вопросы для обсуждения: Равноотстоящие и условные варианты. Сведение
первоначальных вариант к равноотстоящим. Эмпирические моменты и связь между
ними. Метод произведений при вычислении X B , DB, B.
Задание для самостоятельной работы студента: Задачник [2], №№524, 527, 528;
Литература: [1], №№1,2 с.249; [3]
Тема: Нахождение выборочных уравнений прямых линий регрессий
План и вопросы для обсуждения: Понятие корреляции, зависимости между С.В.
Задачи теории корреляции. Нахождение выборочного уравнения прямой линии
регрессии по несгруппированным данным с использованием метода наименьших
интервалов. Выборочный коэффициент регрессии. Корреляционная таблица.
Нахождение выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппированным
данным. Выборочный коэффициент корреляции, его свойства и вычисление.
Задание для самостоятельной работы студента: Задачник [1], №№535, 536(а, б) [1],
пр. с.254; №№1,2 с.280-281 [11],[10]
Тема: Статистическая проверка статистических гипотез
План и вопросы для обсуждения: Понятие и виды статистических гипотез.
Статистический критерий, ОПГ, КО, критические точки, мощность критерия.
Сравнение двух выборочных средних нормальных генеральных совокупностей.
Сравнение выборочной средней и гипотетической генеральной средней
нормальной генеральной совокупности. Сравнение двух генеральных дисперсий
нормальных совокупностей. Сравнение наблюденной относительной частоты с
гипотетической вероятностью появлений события.
Задание для самостоятельной работы студента. Задачник [2], №№ 555, 559; 568, 569; 575,
580; 586, 589
13. Учебно-методическое обеспечение и информационное обеспечение дисциплины
Основная литература
1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика: Учеб. для студ. высш. учеб.
заведений. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2003.
2. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей
математике. 1 курс. – М.: Айрис-пресс, 2003.
3. Шипачев В. С. Высшая математика: Учеб. для вузов / Шипачев В.С. – 6 изд., стер. –
М.: Высшая школа, 2003.
Дополнительная литература
[1]. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие
для студентов ВУЗов. - М. ВШ, 2000. - 479с.
[2]. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике: Учебное пособие для студентов ВУЗов. - М. ВШ, 2000. 400с.
[3]. Солодовников А. С. Теория вероятностей: для студентов педагогических институтов
по математическим специальностям. – М.: Просвещение, 1983. – 207с.
[4]. Зотиков С. В., Зотикова Н. Н. Задачник-практикум по теории вероятностей: Учебнометодическое пособие для студентов ФМФ МГПУ. – Мурманск, МГПУ. – 2003. –45с.
[5]. Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. – М.: ”Агар”, 1996, - 256с.
[6]. Андрухаев Х. М. Сборник задач по теории вероятностей: Учебное пособие для
студентов педагогических институтов по математическим специальностям. – М.:
Просвещение, 1985. – 160с.
[7]. Зотиков С.В. Программа учебной дисциплины «Теория вероятностей и
математическая статистика».- Авторская программа.- Базис: Сборник научно –
методических работ и нормативных документов кафедры математического анализа и
методики преподавания математики МГПУ.- Мурманск: МГПУ, 2005, том 1, с. 6 – 10.
[8]. Виленкин Н. Я., Потапов В. Г. Задачник-практикум по теории вероятностей с
элементами комбинаторики и математической статистики: Учебное пособие для
студентов-заочников
физико-математического
факультета
педагогических
институтов. – М.: Просвещение, 1979. – 111с.
[9] Пытьев Ю.П., Шишкарев И.А. Курс теории вероятностей и математической статистики
для физиков: Учебное пособие. - М.: МГУ, 1983. - 256с.
[10] Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах, т. II. - М..: “Высшая школа”, 2000. - 415с.
[11] Ватутин В.А., Ивченко Г.И., Медведев Ю.И., Чистяков В.П. Теория вероятностей и
математическая статистика в задачах. - М.: “Агар”, 2003. - 328с.
Электронные образовательные ресурсы (ЭОР)
1. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library.htm — Электронная библиотека сайта EqWorld.
Программное обеспечение
программы Mathcad, Microsoft Word, Microsoft Excel.
14. Материально-техническое обеспечение дисциплины
 перечень используемых технических средств
ПК (Pentium500 и выше и средой WIN98 и выше) с мультимедийным проектором.
 перечень используемых пособий.
Зотиков С. В., Зотикова Н. Н. Задачник-практикум по теории вероятностей: Учебнометодическое пособие для студентов ФМФ МГПУ. – Мурманск, МГПУ. – 2003. –45с.
 перечень видео- и аудиоматериалов
Слайд фильмы на ПК с мультимедийным проектором.
 программное обеспечение.
Компьютерные программы Mathcad, Microsoft Word, Microsoft Excel.
15. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации
по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной
работы студентов для оценки сформированности компетенций по дисциплине,
заявленных в п. 6:
Примерные зачетные тестовые задания.
Задание 1.
Из данных выборок найдите: моду M, медиану me, размах R и среднюю выборочную
xâ .
Вариант 0. а) – 1, 2, – 1, – 3, 4; b) 4, 1, 2, 3, 5, 2, 4, 2, 5, 2.
Вариант 1. а) – 1, 3, 5, – 1, – 2; b) 3, 2, 1, 5, 5, 6, 3, 6, 3, 4.
Вариант 2. а) 4, 5, 3, 5, 1; b) – 3, 0, – 2, 1, 3, 4, – 2, 4, – 2, 5.
Вариант 3. а) – 4, – 2, – 4, 1, 2; b) 2, 3, 1, 3, 5, 3, 5, 4, 1, 4.
Вариант 4. а) 5, 6, 7, 7, 3; b) 5, – 1, – 2, – 3, 6, – 1, 4, – 1, 6, 3.
Вариант 5. а) – 9, 12, 11, – 9, 4; b) 8, 12, 4, 1, 2, 8, 12, 4, 8, 3.
Вариант 6. а) 21, 7, 6, 21, 18; b) – 7, – 5, 4, – 5, 3, – 3, – 5, 2, 5, 3.
Вариант 7. а) 9, – 12, – 14, 7, – 12; b) 9, 15, 7, 12, 15, 16, 7, 6, 15, 8.
Вариант 8. а) 21, 18, 18, 12, 11; b) – 6, 5, – 4, 12, 5, – 4, 2, – 4, 5, – 4.
Вариант 9. а) – 11, 23, – 11, – 10, 24; b) 7, 4, 7, 9, 5, 7, 9, 4, 3, 6.
Вариант 10. а) 6, 2, 0, 2, 1; b) 12, – 14, – 11, 15, – 5, 12, – 11, 12, 5, – 7.
Задание 2.
Дана выборка. Определите объем n и моду M выборки, составьте законы
статистического распределения частот и относительных частот.
Вариант 0. 2, 3, 2, 4, 2, 2, 4, 3, 5, 3, 5, 3, 2, 2, 5, 4, 2, 3, 4, 3.
Вариант 1. 1, 4, 3, 1, 4, 2, 1, 3, 4, 1, 1, 2, 2, 4, 3, 1, 2, 3, 4, 1.
Вариант 2. 7, 6, 9, 8, 8, 9, 6, 7, 9, 7, 7, 6, 8, 7, 9, 6, 7, 8, 6, 7.
Вариант 3. 5, 4, 6, 7, 6, 4, 5, 6, 7, 5, 5, 6, 4, 6, 7, 6, 5, 4, 6, 4.
Вариант 4. 5, 2, 2, 7, 4, 7, 4, 2, 4, 5, 2, 7, 7, 4, 5, 7, 4, 5, 7, 2.
Вариант 5. 3, 1, 3, 5, 7, 3, 5, 3, 5, 3, 7, 3, 5, 3, 5, 1, 3, 5, 7, 1.
Вариант 6. 8, 4, 4, 5, 8, 9, 4, 5, 9, 4, 8, 4, 9, 9, 5, 4, 8, 4, 5, 4.
Вариант 7. 3, 6, 0, 6, 9, 0, 9, 3, 9, 9, 0, 9, 3, 9, 0, 3, 6, 6, 3, 9.
Вариант 8. 5, 3, 7, 7, 5, 4, 3, 3, 3, 7, 7, 3, 5, 7, 5, 7, 3, 4, 4, 3.
Вариант 9. 4, 2, 6, 4, 8, 8, 4, 4, 6, 6, 2, 2, 4, 8, 4, 2, 4, 6, 4, 6.
Вариант 10. 9, 3, 5, 9, 7, 9, 5, 9, 9, 3, 3, 3, 7, 9, 9, 5, 9, 7, 3, 5.
Зная объем выборки
n
Задание 3.
и закон распределения частот выборки, определите значение
m , найдите среднюю выборочную x â , составьте закон распределения относительных
частот. Постройте полигон частот выборки.
Вариант 0. n  30
-1
0
1
2
xi
ni
8
5
m
12
Вариант 1. n  40
xi
ni
0
1
2
3
11
m
14
5
1
2
3
4
m
6
9
3
-2
-1
0
1
20
14
17
m
2
3
4
5
3
8
m
4
-3
-2
-1
0
12
m
7
8
0
1
2
3
m
8
7
6
1
2
3
4
15
12
9
m
-2
-1
0
1
9
17
m
20
2
3
4
5
13
m
8
3
-3
-2
-1
0
m
25
18
17
Вариант 2. n  25
xi
ni
Вариант 3. n  60
xi
ni
Вариант 4. n  20
xi
ni
Вариант 5. n  35
xi
ni
Вариант 6. n  30
xi
ni
Вариант 7. n  40
xi
ni
Вариант 8. n  50
xi
ni
Вариант 9. n  30
xi
ni
Вариант 10. n  70
xi
ni
Задание 4.
По приведенной гистограмме частот выборки и зная ее объем
величины h .
n , определите значение
Вариант 0. n  78
Вариант 1. n  105
Вариант 2. n  80
Вариант 3. n  115
Вариант 4. n  156
Вариант 5. n  112
Вариант 6. n  78
Вариант 7. n  188
Вариант 8. n  175
Вариант 9. n  114
Вариант 10. n  238
Задание 5.
Вариант 0. Проведено четыре измерения (без систематических ошибок) некоторой
случайной величины (в мм): 2, 2, 5, 4. Чему равна несмещенная оценка математического
ожидания?
Вариант 1. Проведено пять измерений (без систематических ошибок) некоторой
случайной величины (в мм): 1, 4, 7, 3, 2. Чему равна несмещенная оценка математического
ожидания?
Вариант 2. Проведено восемь измерений (без систематических ошибок) некоторой
случайной величины (в мм): 1, 3, 4, 5, 4, 7, 6, 4. Чему равна несмещенная оценка
математического ожидания?
Вариант 3. Проведено четыре измерения (без систематических ошибок) некоторой
случайной величины (в мм): 5, 3, 2, 6. Чему равна несмещенная оценка математического
ожидания?
Вариант 4. Проведено пять измерений (без систематических ошибок) некоторой
случайной величины (в мм): 4, 2, 6, 7, 2. Чему равна несмещенная оценка математического
ожидания?
Вариант 5. Проведено восемь измерений (без систематических ошибок) некоторой
случайной величины (в мм): 1, 5, 3, 2, 6, 7, 5, 2. Чему равна несмещенная оценка
математического ожидания?
Вариант 6. Проведено четыре измерения (без систематических ошибок) некоторой
случайной величины (в мм): 6, 3, 4, 2. Чему равна несмещенная оценка математического
ожидания?
Вариант 7. Проведено пять измерений (без систематических ошибок) некоторой
случайной величины (в мм): 1, 4, 7, 3, 6. Чему равна несмещенная оценка математического
ожидания?
Вариант 8. Проведено восемь измерений (без систематических ошибок) некоторой
случайной величины (в мм): 3, 4, 4, 6, 7, 9, 4, 5. Чему равна несмещенная оценка
математического ожидания?
Вариант 9. Проведено четыре измерения (без систематических ошибок) некоторой
случайной величины (в мм): 6, 4, 7, 5. Чему равна несмещенная оценка математического
ожидания?
Вариант 10. Проведено пять измерений (без систематических ошибок) некоторой
случайной величины (в мм): 1, 3, 4, 5, 8. Чему равна несмещенная оценка математического
ожидания?
 Примерный перечень вопросов к экзамену.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Генеральная и выборочная совокупности. Виды выборок. Способы отбора.
Вариационный ряд. Статистическое распределение выборки. Основные характеристики
вариационного ряда.
Выборочная функция распределения. Полигоны и гистограммы.
Понятие статистических оценок параметров распределения. Точечные статистические
оценки и их виды.
Генеральная и выборочная средние. Оценка генеральной средней по выборочной
средней.
Генеральная и выборочная дисперсии и средние квадратические отклонения (с.к.о.).
Оценка генеральной дисперсии.
Оценка генерального с.к.о. Интервальные оценки параметров распределения, их
точность и надежность. Доверительные интервалы.
Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормально
распределенного признака X при известном и неизвестном (X).
Доверительные интервалы для оценки с.к.о. нормального распределения. Использование
доверительных интервалов при оценке истинного значения измеряемой величины и при
оценке точности измерений.
Равноотстоящие и условные варианты. Сведение первоначальных вариант к
равноотстоящим.
Обычные, начальные, центральные и условные эмпирические моменты и связь между
ними.
Метод произведений вычисления выборочной средней, выборочной дисперсии и
выборочного с.к.о.
Виды зависимостей между случайными величинами. Корреляционная зависимость.
Функция регрессии и линия регрессии. Задачи теории корреляции.
Нахождение выборочного уравнения прямой линии регрессии по несгруппированным
данным с использованием метода наименьших квадратов.
Выборочный коэффициент регрессии. Корреляционная таблица. Нахождение
выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппированным данным.
Выборочный коэффициент корреляции, его свойства и вычисление. Простейшие случаи
криволинейной корреляции. Понятие о множественной корреляции. Понятие о ранговой
корреляции.
Понятие статистической гипотезы. Виды статистических гипотез. Ошибки, допускаемые
при статистической проверке статистических гипотез.
Статистический критерий проверки гипотезы. Область принятия гипотезы. Критическая
область, критические точки. Виды критических областей.
Отыскание критической области и критических точек. Мощность критерия.
Сравнение двух генеральных средних нормальных генеральных совокупностей,
дисперсии которых известны.
Сравнение двух генеральных средних произвольно распределенных генеральных
совокупностей при больших независимых выборках.
23. Сравнение выборочной средней и гипотетической генеральной средней нормальной
совокупности.
24. Сравнение двух генеральных дисперсий нормальных совокупностей.
25. Сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью
появления события.
26. Критерии согласия. Критерий согласия Пирсона.
27. Критерий согласия Колмогорова.
16. Методические указания по изучению дисциплины (или её разделов) и контрольные
задания для студентов заочной формы обучения (если необходимо указать)
17. Содержательный компонент теоретического материала
Основные понятия математической статистики. Генеральная совокупность и
выборка. Дискретный вариационный ряд, статистическое распределение выборки.
Интервальный вариационный ряд. Полигоны частот и гистограммы. Выборочная
функция распределения и её свойства. Числовые характеристики статистического
распределения: выборочное среднее, выборочная дисперсия, выборочное среднее
квадратическое отклонение, мода и медиана.
Математическая статистика занимается установлением закономерностей, которым
подчинены массовые случайные явления, на основе обработки статистических данных,
полученных в результате наблюдений. Двумя основными задачами математической
статистики являются:
- определение способов сбора и группировки этих статистических данных;
- разработка методов анализа полученных данных в зависимости от целей исследования, к
которым относятся:
а) оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения;
оценка параметров распределения, вид которого известен; оценка зависимости от других
случайных величин и т.д.;
б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о значениях
параметров известного распределения.
Для решения этих задач необходимо выбрать из большой совокупности однородных
объектов ограниченное количество объектов, по результатам изучения которых можно
сделать прогноз относительно исследуемого признака этих объектов.
Определим основные понятия математической статистики.
Генеральная совокупность – все множество имеющихся объектов.
Выборка – набор объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности.
Объем генеральной совокупности N и объем выборки n – число объектов в рассматриваемой совокупности.
Виды выборки:
Повторная – каждый отобранный объект перед выбором следующего возвращается в
генеральную совокупность;
Бесповторная – отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.
Замечание. Для того, чтобы по исследованию выборки можно было сделать выводы о
поведе-нии интересующего нас признака генеральной совокупности, нужно, чтобы выборка
правиль-но представляла пропорции генеральной совокупности, то есть была
репрезентативной (представительной). Учитывая закон больших чисел, можно утверждать,
что это условие выполняется, если каждый объект выбран случайно, причем для любого
объекта вероятность попасть в выборку одинакова.
Первичная обработка результатов.
Пусть интересующая нас случайная величина Х принимает в выборке значение х1 п1 раз, х2 –
k
п2 раз, …, хк – пк раз, причем
n
i1
k
 n, где п – объем выборки. Тогда наблюдаемые значения
случайной величины х1, х2,…, хк называют вариантами, а п1, п2,…, пк – частотами. Если
разделить каждую частоту на объем выборки, то получим относительные частоты wi 
ni
.
n
Последовательность вариант, записанных в порядке возрастания, называют дискретным
вариационным рядом, а перечень вариант и соответствующих им частот или
относительных частот – статистическим рядом или статистическим распределением
выборки:
xi
x1
x2
…
xk
ni
n1
n2
…
nk
wi
w1
w2
…
wk
Пример.
При проведении 20 серий из 10 бросков игральной кости число выпадений шести очков
оказалось равным 1,1,4,0,1,2,1,2,2,0,5,3,3,1,0,2,2,3,4,1.Составим вариационный ряд:
0,1,2,3,4,5. Статистический ряд для абсолютных и относительных частот имеет вид:
xi
0
1
2
3
4
5
ni
3
6
5
3
2
1
wi
0,15
0,3
0,25
0,15
0,1
0,05
Если исследуется некоторый непрерывный признак, то вариационный ряд может состоять из
очень большого количества чисел. В этом случае удобнее использовать группированную
выборку. Для ее получения интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения
признака, разбивают на несколько равных частичных интервалов длиной h, а затем находят
для каждого частичного интервала ni – сумму частот вариант, попавших в i-й интервал.
Составленная по этим результатам таблица называется группированным статистическим
рядом или интервальным вариационным рядом:
Номера
1
2
…
k
интервалов
Границы
(a, a + h)
(a + h, a + 2h)
…
(b – h, b)
интервалов
Сумма частот
вариант, попавn1
n2
…
nk
ших в интервал
Полигоны частот. Выборочная функция распределения и гистограммы.
Для наглядного представления о поведении исследуемой случайной величины в выборке
можно строить различные графики. Один из них – полигон частот: ломаная, отрезки
которой соединяют точки с координатами (x1, n1), (x2, n2),…, (xk, nk), где xi откладываются на
оси абсцисс, а ni – на оси ординат. Если на оси ординат откладывать не абсолютные (ni), а
относительные (wi) частоты, то получим полигон относительных частот (рис.1).
Рис. 1.
По аналогии с функцией распределения случайной величины можно задать некоторую
функцию, относительную частоту события X < x.
Определение 8.1. Выборочной (эмпирической) функцией распределения называют
функцию F*(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события
X < x. Таким образом,
n
F*(x)  x ,
(8.1)
n
где пх – число вариант, меньших х, п – объем выборки.
Замечание. В отличие от эмпирической функции распределения, найденной опытным путем,
функцию распределения F(x) генеральной совокупности называют теоретической функцией
распределения. F(x) определяет вероятность события X < x, а F*(x) – его относительную
частоту. При достаточно больших п, как следует из теоремы Бернулли, F*(x) стремится по
вероятности к F(x).
Из определения эмпирической функции распределения видно, что ее свойства совпадают со
свойствами F(x), а именно:
1) 0 ≤ F*(x) ≤ 1.
2) F*(x) – неубывающая функция.
3) Если х1 – наименьшая варианта, то F*(x) = 0 при х≤ х1; если хк – наибольшая варианта, то
F*(x) = 1 при х > хк .
Для непрерывного признака графической иллюстрацией служат гистограммы, то есть
ступенчатые фигуры, состоящие из прямоугольников, основаниями которых служат
частичные интервалы длиной h, а высотами – отрезки длиной ni /h (гистограмма частот) или
wi /h (гистограмма относительных частот). В первом случае площадь гистограммы равна
объему выборки, во втором – единице (рис.2).
Одна из задач математической статистики: по имеющейся выборке оценить значения
числовых характеристик исследуемой случайной величины или признака.
Определение 8.2. Выборочным средним называется среднее арифметическое значений
случайной величины, принимаемых в выборке:
k
n
x

i
i
х

х

...

х
x

n
x

...

n
x
(8.2.)
1
2
пn
1
1
2
2
k
k i

1 ,
х



В
п
n
n
где xi – варианты, ni - частоты.
Замечание. Выборочное среднее служит для оценки математического ожидания исследуемой
случайной величины. В дальнейшем будет рассмотрен вопрос, насколько точной является
такая оценка.
Определение 8.3. Выборочной дисперсией называется
n
k
2
2
(
x
x
)
n
(
x
x
)


i
B
i
i
B
i

1
i

1
D


B
n
n
а выборочным средним квадратическим отклонением –
В  DB.
(8.3.)
Так же, как в теории случайных величин, можно доказать, что справедлива следующая
формула для вычисления выборочной дисперсии:
(8.4.)
Dx2 (x)2.
Пример 1. Найдем числовые характеристики выборки, заданной статистическим рядом
xi
2
5
7
8
ni
3
8
7
2

2

3

5

8

7

7

8

24

3

25

8

49

7

64

2
2
х


5
,
55
;
D


5
,
55

3
,
34
;

3
,
3

1
,
8
В
B
B
20
20
Другими характеристиками вариационного ряда являются:
- мода М0 – варианта, имеющая наибольшую частоту (в предыдущем примере М0 = 5 ).
- медиана те - варианта, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу
вариант. Если число вариант нечетно ( n = 2k + 1 ), то me = xk+1, а при четном n =2k
xk xk1
57
6.
т
. В частности, в примере 1 m
e
е
2
2
Точечные статистические оценки и их виды. Оценки основных параметров
генеральной совокупности с помощью выборочных характеристик. Интервальное
оценивание неизвестных
параметров. Точность оценки, доверительная вероятность
(надежность), доверительный интервал. Построение доверительных интервалов для
оценки математического ожидания нормального распределения при известной и при
неизвестной
дисперсии.
Доверительные
интервалы
для
оценки
среднего
квадратического отклонения нормального распределения.
Одна из задач математической статистики: по имеющейся выборке оценить значения
числовых характеристик исследуемой случайной величины или признака.
Получив статистические оценки параметров распределения (выборочное среднее, выборочную дисперсию и т.д.), нужно убедиться, что они в достаточной степени служат приближением соответствующих характеристик генеральной совокупности. Определим требования,
которые должны при этом выполняться.
Пусть Θ* - статистическая оценка неизвестного параметра Θ теоретического распределения.
Извлечем из генеральной совокупности несколько выборок одного и того же объема п и
*
*
*

вычислим для каждой из них оценку параметра Θ: 
1,
2,...,
k. Тогда оценку Θ* можно
*
*
*

рассматривать как случайную величину, принимающую возможные значения 
1,
2,...,
k.
Если математическое ожидание Θ* не равно оцениваемому параметру, мы будем получать
при вычислении оценок систематические ошибки одного знака (с избытком, если М( Θ*) >Θ,
и с недостатком, если М(Θ*) < Θ). Следовательно, необходимым условием отсутствия систематических ошибок является требование М(Θ*) = Θ.
Определение 9.1. Статистическая оценка Θ* называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру Θ при любом объеме выборки:
М(Θ*) = Θ.
(9.1.)
Смещенной называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому
параметру.
Однако несмещенность не является достаточным условием хорошего приближения к истинному значению оцениваемого параметра. Если при этом возможные значения Θ* могут
значительно отклоняться от среднего значения, то есть дисперсия Θ* велика, то значение,
найденное по данным одной выборки, может значительно отличаться от оцениваемого
параметра. Следовательно, требуется наложить ограничения на дисперсию.
Определение 9.2. Статистическая оценка называется эффективной, если она при заданном
объеме выборки п имеет наименьшую возможную дисперсию.
При рассмотрении выборок большого объема к статистическим оценкам предъявляется еще
и требование состоятельности.
Определение 9.3. Состоятельной называется статистическая оценка, которая при п→∞ стремится по вероятности к оцениваемому параметру (если эта оценка несмещенная, то она
будет состоятельной, если при п→∞ ее дисперсия стремится к 0).
Убедимся, что х В представляет собой несмещенную оценку математического ожидания
М(Х).
Будем рассматривать х В как случайную величину, а х1, х2,…, хп, то есть значения
исследуемой случайной величины, составляющие выборку, – как независимые, одинаково
распределенные случайные величины Х1, Х2,…, Хп, имеющие математическое ожидание а. Из
свойств математического ожидания следует, что
Х

Х

...

Х


п
М
(
Х
)

М

а
.
1 2

В
п


Но, поскольку каждая из величин Х1, Х2,…, Хп имеет такое же распределение, что и
генеральная совокупность, а = М(Х), то есть М( Х В ) = М(Х), что и требовалось доказать.
Выборочное среднее является не только несмещенной, но и состоятельной оценкой
математического ожидания. Если предположить, что Х1, Х2,…, Хп имеют ограниченные
дисперсии, то из теоремы Чебышева следует, что их среднее арифметическое, то есть Х В ,
при увеличении п стремится по вероятности к математическому ожиданию а каждой их
величин, то есть к М(Х). Следовательно, выборочное среднее есть состоятельная оценка
математического ожидания.
В отличие от выборочного среднего, выборочная дисперсия является смещенной оценкой
дисперсии генеральной совокупности. Можно доказать, что
n
1
М
(D
)
D
(9.2.)
B
Г,
n
где DГ – истинное значение дисперсии генеральной совокупности. Можно предложить
другую оценку дисперсии – исправленную дисперсию s², вычисляемую по формуле
k
n
(
x
x)

.
i
2
B
i
n
(9.3)
2
i

1
s
 D

B
n

1
n

1
Такая оценка будет являться несмещенной. Ей соответствует исправленное среднее
квадратическое отклонение
k
n
(x
x)

.
2
1
s s
 i
i
i
2
B
(9.4)
n

1
При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от
оцениваемого параметра, что приводит к грубым ошибкам. Поэтому в таком случае лучше
пользоваться интервальными оценками, то есть указывать интервал, в который с заданной
вероятностью попадает истинное значение оцениваемого параметра. Разумеется, чем меньше
длина этого интервала, тем точнее оценка параметра. Поэтому, если для оценки Θ*
некоторого параметра Θ справедливо неравенство | Θ* - Θ | < δ, число δ > 0 характеризует
точность оценки ( чем меньше δ, тем точнее оценка). Но статистические методы позволяют
говорить только о том, что это неравенство выполняется с некоторой вероятностью.
Определение 9. 4. Надежностью (доверительной вероятностью) оценки Θ* параметра Θ
называется вероятность γ того, что выполняется неравенство | Θ* - Θ | < δ. Если заменить это
неравенство двойным неравенством – δ < Θ* - Θ < δ, то получим:
p ( Θ* - δ < Θ < Θ* + δ ) = γ.
Таким образом, γ есть вероятность того, что Θ попадает в интервал ( Θ* - δ, Θ* + δ).
Определение 9.5. Доверительным называется интервал, в который попадает неизвестный
параметр с заданной надежностью γ.
1. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального
распределения при известной дисперсии.
Пусть исследуемая случайная величина Х распределена по нормальному закону с известным
средним квадратическим σ, и требуется по значению выборочного среднего х В оценить ее
математическое ожидание а. Будем рассматривать выборочное среднее х В как случайную
величину Х , а значения вариант выборки х1, х2,…, хп как одинаково распределенные
независимые случайные величины Х1, Х2,…, Хп, каждая из которых имеет математическое
ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ. При этом М( Х ) = а, (Х) 

п
(используем свойства математического ожидания и дисперсии суммы независимых
случайных величин). Оценим вероятность выполнения неравенства | X a| . Применим
формулу для вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в
заданный интервал:

 
р ( | X a| ) = 2Ф   . Тогда , с учетом того, что (Х) 
, р ( | X a| ) =
п
 
 п 
=
2Ф 




t
 n
=2Ф( t ), где t 
. Отсюда  
, и предыдущее равенство можно переписать так:
n

 t
t
p

x

a

x



2

(
t
)

.
(9.5)
B
B


n
 n

Итак, значение математического ожидания а с вероятностью (надежностью) γ попадает в


t
t
x
интервал 
, где значение t определяется из таблиц для функции Лапласа
B ;
B 
x

n
n


так, чтобы выполнялось равенство 2Ф(t) = γ.



Пример. Найдем доверительный интервал для математического ожидания нормально
распреде-ленной случайной величины, если объем выборки п = 49, xB  2,8, σ = 1,4, а
доверительная вероятность γ = 0,9.
Определим t, при котором Ф(t) = 0,9:2 = 0,45: t = 1,645. Тогда
1
,
645

1
,
4
1
,
645

1
,
4
2
,
8


a

2
,
8

, или 2,471 < a < 3,129. Найден доверительный интервал,
49
14
в который попадает а с надежностью 0,9.
2. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального
распределения при неизвестной дисперсии.
Если известно, что исследуемая случайная величина Х распределена по нормальному закону
с неизвестным средним квадратическим отклонением, то доверительный интервал для ее
t
t
s
s
 
a

x
 .
математического ожидания имеет вид x
B
B
n
n
где x B - выборочное среднее, s – исправленная дисперсия, п – объем выборки.
Таким образом, получен доверительный интервал для а, где tγ можно найти по
соответствующей таблице при заданных п и γ.
Пример. Пусть объем выборки п = 25, х В = 3, s = 1,5. Найдем доверительный интервал для а
при γ = 0,99. Из таблицы находим, что tγ (п = 25, γ = 0,99) = 2,797. Тогда
2
,
797

1
,
5
2
,
797

1
,
5
3


a

3

, или 2,161< a < 3,839 – доверительный интервал, в который
25
25
попадает а с вероятностью 0,99.
3. Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального
распределения имеет вид


.
s
1

q
s
1

q
Замечание. Если q > 1, то с учетом условия σ > 0 доверительный интервал для σ будет иметь
границы
0s(1q).
Пример.
Пусть п = 20, s = 1,3. Найдем доверительный интервал для σ при заданной надежности γ =
0,95. Из соответствующей таблицы находим q (n = 20, γ = 0,95 ) = 0,37. Следовательно,
границы доверительного интервала: 1,3(1-0,37) = 0,819 и 1,3(1+0,37) = 1,781. Итак, 0,819 < σ
< 1,781 с вероятностью 0,95.
Элементы теории корреляции. Нахождение выборочных уравнений
прямых
линий регрессии по несгруппированным данным и по корреляционной таблице.
Рассмотрим выборку двумерной случайной величины (Х, Y) . Примем в качестве оценок
условных математических ожиданий компонент их условные средние значения, а именно:
условным средним у х назовем среднее арифметическое наблюдавшихся значений Y,
соответствующих Х = х. Аналогично условное среднее х у - среднее арифметическое
наблюдавшихся значений Х, соответствующих Y = y. Уравнения регрессии Y на Х и Х на Y
имеют вид :
у х = f*(x) - выборочное уравнение регрессии Y на Х,
х у = φ*(у) - выборочное уравнение регрессии Х на Y.
Соответственно функции f*(x) и φ*(у) называются выборочной регрессией Y на Х и Х на Y ,
а их графики – выборочными линиями регрессии.
Выясним,
как определять параметры выборочных уравнений регрессии, если сам вид этих уравнений
известен.
Пусть изучается двумерная случайная величина (Х, Y), и получена выборка из п пар чисел (х1,
у1), (х2, у2),…, (хп, уп). Будем искать параметры прямой линии регрессии Y на Х вида
Y = ρyxx + b ,
(10.1)
подбирая параметры ρух и b так, чтобы точки на плоскости с координатами (х1, у1), (х2, у2), …,
(хп, уп) лежали как можно ближе к прямой (10.1). Используем для этого метод наименьших
квадратов и найдем минимум функции


n
n
i

1
i

1
2
2
F
(
,
b
)

(
Y

y
)

(
x

b

y
)
.


i
i
i
i
Приравняем нулю соответствующие частные производные:
(10.2)

F n
2 (
x
by
x
0
i
i)
i

 
i
1
.

F n
2
(
x
by
0

i
i)

b i1
В результате получим систему двух линейных уравнений относительно ρ и b:
2





х


х
b

xy




.
(10.3)


x


nb

y




Ее решение позволяет найти искомые параметры в виде:
2
n
xy

x

y
x

y

x

xy







;
b

xy
(10.4)
2
2 .
2
2


n
x

x
n
x

x





При этом предполагалось, что все значения Х и Y наблюдались по одному разу.
Теперь рассмотрим случай, когда имеется достаточно большая выборка (не менее 50
значений), и данные сгруппированы в виде корреляционной таблицы:
Y
X
x1
x2
… xk
ny
y1 n11
n21
… nk1
n11+n21+…+nk1
y2 n12
n22
… nk2
n12+n22+…+nk2
… …
…
… …
……………..
ym n1m
n2m
… nkm
n1m+n2m+…+nkm
nx n11+n12+…+n1m n21+n22+…+n2m … nk1+nk2+…+nkm n=∑nx = ∑ny
Здесь nij – число появлений в выборке пары чисел (xi, yj).
2
x 
y2 
x

Поскольку x
 ,y
 ,x
 , заменим в системе (10.3) x  nx,
n
n
n
2
2
y

n
y
,
x

n
x
,
xy

n
xy
, где пху – число появлений пары чисел (х, у). Тогда


xy
система (10.3) примет вид:
2

(
n
x
)


(
n
x
)
b

n
xy


yx
xy
.
(10.5)

(
x
)


b

y

yx

Можно решить эту систему и найти параметры ρух и b, определяющие выборочное уравнение
прямой линии регрессии:
ух уххb.
Но чаще уравнение регрессии записывают в ином виде, вводя выборочный коэффициент
корреляции. Выразим b из второго уравнения системы (10.5):
bуухх.
y

(x
x
). Из (10.4)
Подставим это выражение в уравнение регрессии: y
x
yx
n
xy

n
x
y
n
xy

n
x
y



 ~ ,
n

xy
yx
xy
n
(
x

(
x
)
)
2
2
2
x
(10.6)
~2 x2 (x)2. Введем понятие выборочного коэффициента корреляции
где 
x
nxy

n
x
y

r
B
xy
~
~
n


x
y
~ x
и умножим равенство (4.12) на ~ :
y
~
~


x
yx ~ rB, откуда yx rB ~y . Используя это
y
x
соотношение, получим выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на Х вида
~

y
y

y

r
(
x

x
).
(10.7)
x
B~

x
Статистическая проверка статистических гипотез. Общие принципы проверки
гипотез. Понятия статистической гипотезы (простой и сложной), нулевой и
конкурирующей гипотезы, ошибок первого и второго рода, уровня значимости,
статистического критерия, критической области, области принятия гипотезы.
Наблюдаемое значение критерия. Критические точки. Мощность критерия. Критерии
для проверки гипотезы о вероятности события.
Определение 11.1. Статистической гипотезой называют гипотезу о виде неизвестного
распределения генеральной совокупности или о параметрах известных распределений.
Определение 11.2. Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Н0. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу Н1, которая противоречит нулевой.
Пример. Пусть Н0 заключается в том, что математическое ожидание генеральной
совокупности а = 3. Тогда возможные варианты Н1: а) а ≠ 3; б) а > 3; в) а < 3.
Определение 11.3. Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение,
сложной – гипотезу, состоящую из конечного или бесконечного числа простых гипотез.
Пример. Для показательного распределения гипотеза Н0: λ = 2 – простая, Н0: λ > 2 – сложная,
состоящая из бесконечного числа простых ( вида λ = с, где с – любое число, большее 2).
В результате проверки правильности выдвинутой нулевой гипотезы ( такая проверка
называется статистической, так как производится с применением методов математичес-кой
статистики) возможны ошибки двух видов: ошибка первого рода, состоящая в том, что
будет отвергнута правильная нулевая гипотеза, и ошибка второго рода, заключаю-щаяся в
том, что будет принята неверная гипотеза.
Замечание. Какая из ошибок является на практике более опасной, зависит от конкретной
задачи. Например, если проверяется правильность выбора метода лечения больного, то
ошибка первого рода означает отказ от правильной методики, что может замедлить лече-ние,
а ошибка второго рода (применение неправильной методики) чревата ухудшением состояния
больного и является более опасной.
Определение 11.4. Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости α.
Основной прием проверки статистических гипотез заключается в том, что по имеющейся
выборке вычисляется значение некоторой случайной величины, имеющей известный закон
распределения.
Определение 11.5. Статистическим критерием называется случайная величина К с
известным законом распределения, служащая для проверки нулевой гипотезы.
Определение 11.6. Критической областью называют область значений критерия, при
которых нулевую гипотезу отвергают, областью принятия гипотезы – область значений
критерия, при которых гипотезу принимают.
Итак, процесс проверки гипотезы состоит из следующих этапов:
1) выбирается статистический критерий К;
2) вычисляется его наблюдаемое значение Кнабл по имеющейся выборке;
3) поскольку закон распределения К известен, определяется (по известному уровню
значимости α) критическое значение kкр, разделяющее критическую область и
область принятия гипотезы (например, если р(К > kкр) = α, то справа от kкр располагается критическая область, а слева – область принятия гипотезы);
4) если вычисленное значение Кнабл попадает в область принятия гипотезы, то нулевая
гипотеза принимается, если в критическую область – нулевая гипотеза отвергается.
Различают разные виды критических областей:
- правостороннюю критическую область, определяемую неравенством K > kкр ( kкр > 0);
- левостороннюю критическую область, определяемую неравенством K < kкр ( kкр < 0);
- двустороннюю критическую область, определяемую неравенствами K < k1, K > k2
(k2 >
k1).
Определение 11.7. Мощностью критерия называют вероятность попадания критерия в
критическую область при условии, что верна конкурирующая гипотеза.
Если обозначить вероятность ошибки второго рода (принятия неправильной нулевой
гипотезы) β, то мощность критерия равна 1 – β. Следовательно, чем больше мощность
критерия, тем меньше вероятность совершить ошибку второго рода. Поэтому после выбора
уровня значимости следует строить критическую область так, чтобы мощность критерия
была максимальной.
Критерий для проверки гипотезы о вероятности события.
Пусть проведено п независимых испытаний (п – достаточно большое число), в каждом из
которых некоторое событие А появляется с одной и той же, но неизвестной вероятностью р,
т
и найдена относительная частота
появлений А в этой серии испытаний. Проверим при
п
заданном уровне значимости α нулевую гипотезу Н0, состоящую в том, что вероятность р
равна некоторому значению р0.
Примем в качестве статистического критерия случайную величину
M

 p0 n
n
 ,
(11.1)
U
p0q0
имеющую нормальное распределение с параметрами M(U) = 0, σ(U) = 1 (то есть нормированную). Здесь q0 = 1 – p0. Вывод о нормальном распределении критерия следует из теоремы
Лапласа (при достаточно большом п относительную частоту можно приближенно считать
нормально распределенной с математическим ожиданием р и средним квадрати-ческим
pq
отклонением
).
n
Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.
1) Если Н0: р = р0, а Н1: р ≠ р0, то критическую область нужно построить так, чтобы
вероятность попадания критерия в эту область равнялась заданному уровню
значимости α. При этом наибольшая мощность критерия достигается тогда, когда
критическая область состоит из двух интервалов, вероятность попадания в каждый из
которых равна

. Поскольку U симметрична относительно оси Оу, вероятность ее
2
попадания в интервалы (-∞; 0) и (0; +∞) равна 0,5, следовательно, критическая область
тоже должна быть симметрична относительно Оу. Поэтому икр определяется по
1
(икр)
таблице значений функции Лапласа из условия Ф
, а критическая область
2

;
и
)
(
и
;
).
имеет вид (
кр
кр
Замечание. Предполагается, что используется таблица значений функции Лапласа, заданной
х
t2

2
(х)е dt, где нижний предел интегрирования равен 0, а не -∞. Функция
в виде Ф
0
Лапласа, заданная таким образом, является нечетной, а ее значения на 0,5 меньше, чем
значения стандартной функции Ф(х) (см. лекцию 6).
Далее нужно вычислить наблюдаемое значение критерия:
т

 p0 n
n

.
U

набл
p0q0
Если |Uнабл| < uкр, то нулевая гипотеза принимается.
Если |Uнабл| > uкр, то нулевая гипотеза отвергается.
(11.2)
2) Если конкурирующая гипотеза Н1: р > p0, то критическая область определяется
неравенством U > uкр, то есть является правосторонней, причем р(U > uкр) = α. Тогда
1 1

2
р
(
0

U

u
)


 . Следовательно, икр можно найти по таблице значений
кр
2
2
12

(икр)
функции Лапласа из условия, что Ф
. Вычислим наблюдаемое значение
2
критерия по формуле (19.2).
Если Uнабл < uкр, то нулевая гипотеза принимается.
Если Uнабл > uкр, то нулевая гипотеза отвергается.
 
3) Для конкурирующей гипотезы Н1: р < p0 критическая область является левосторонней и
задается неравенством U <- uкр, где икр вычисляется так же, как в предыдущем случае.
Если Uнабл > - uкр, то нулевая гипотеза принимается.
Если Uнабл < - uкр, то нулевая гипотеза отвергается.
Пример. Пусть проведено 50 независимых испытаний, и относительная частота появления
события А оказалась равной 0,12. Проверим при уровне значимости α = 0,01 нулевую
гипотезу Н0: р = 0,1 при конкурирующей гипотезе Н1: р > 0,1. Найдем
(
0
,
12

0
,
1
)50
U


0
,
471
.Критическая область является правосторонней, а икр нахо-дим
набл
0
,
1

0
,
9
1

2
0
,01
0
,49
.Из таблицы значений функции Лапласа определяем
из равенства Ф(икр) =
2
икр = 2,33. Итак, Uнабл < uкр, и гипотеза о том, что р = 0,1, принимается.
Критерии согласия. Критерий Пирсона для проверки гипотезы о виде закона
распределения случайной величины. Проверка гипотезы о нормальном распределении по
критерию Пирсона. Критерий Колмогорова.
Выше рассматривались гипотезы, в которых закон распределения генеральной
совокупности предполагался известным. Теперь займемся проверкой гипотез о
предполагаемом законе неизвестного распределения, то есть будем проверять нулевую
гипотезу о том, что генеральная совокупность распределена по некоторому известному
закону. Обычно статистические критерии для проверки таких гипотез называются
критериями согласия.
Критерий Пирсона.
Достоинством критерия Пирсона является его универсальность: с его помощью можно
проверять гипотезы о различных законах распределения.
1. Проверка гипотезы о нормальном распределении.
Пусть получена выборка достаточно большого объема п с большим количеством различ-ных
значений вариант. Доя удобства ее обработки разделим интервал от наименьшего до
наибольшего из значений вариант на s равных частей и будем считать, что значения вари
ант, попавших в каждый интервал, приближенно равны числу, задающему середину
интервала. Подсчитав число вариант, попавших в каждый интервал, составим так называемую сгруппированную выборку:
варианты………..х1 х2 … хs
частоты………….п1 п2 … пs ,
где хi – значения середин интервалов, а пi – число вариант, попавших в i-й интервал
(эмпирические частоты).
По полученным данным можно вычислить выборочное среднее х В и выборочное среднее
квадратическое отклонение σВ. Проверим предположение, что генеральная совокупность
2
распределена по нормальному закону с параметрами M(X) = х В , D(X) =  В . Тогда можно
найти количество чисел из выборки объема п, которое должно оказаться в каждом интервале при этом предположении (то есть теоретические частоты). Для этого по таблице
значений функции Лапласа найдем вероятность попадания в i-й интервал:

 

b
a
x
i x
B
i
B




p



,
i




 B  B 
где аi и bi - границы i-го интервала. Умножив полученные вероятности на объем выборки п,
найдем теоретические частоты: пi =n·pi. Наша цель – сравнить эмпирические и
теоретические частоты, которые, конечно, отличаются друг от друга, и выяснить, являются
ли эти различия несущественными, не опровергающими гипотезу о нормальном
распределении исследуемой случайной величины, или они настолько велики, что
противоречат этой гипотезе. Для этого используется критерий в виде случайной величины
s
)2
(n
n
2i i .
(12.1)

n
i
1
i
Смысл ее очевиден: суммируются части, которые квадраты отклонений эмпирических частот
от теоретических составляют от соответствующих теоретических частот. Можно доказать,
что вне зависимости от реального закона распределения генеральной совокупности закон
распределения случайной величины (20.1) при п   стремится к закону распределения
 2 (см. лекцию 12) с числом степеней свободы k = s – 1 – r, где r – число параметров
предполагаемого распределения, оцененных по данным выборки. Нормальное распределение
характеризуется двумя параметрами, поэтому k = s – 3. Для выбранного критерия строится
правосторонняя критическая область, определяемая условием
2
2
p
(



(

,k
))


,
(12.2)
kp
где α – уровень значимости. Следовательно, критическая область задается неравенством
2
2
2 kp
(
,k),а область принятия гипотезы - 2 kp
(,k).


Итак, для проверки нулевой гипотезы Н0: генеральная совокупность распределена
нормально – нужно вычислить по выборке наблюдаемое значение критерия:
s
2
(
n
n
2
i
i)


,
(12.1`)

набл

n
i
1
i
2
а по таблице критических точек распределения χ2 найти критическую точку кр(, k) ,
2
2
используя известные значения α и k = s – 3. Если набл kp - нулевую гипотезу принимают,
2
2
при набл kp ее отвергают.
Критерий Колмогорова.
Этот критерий применяется для проверки простой гипотезы Н0 о том, что независимые
одинаково распределенные случайные величины Х1, Х2, …, Хп имеют заданную непрерывную
функцию распределения F(x).
Найдем функцию эмпирического распределения Fn(x) и будем искать границы двусторонней
критической области, определяемой условием
D

sup
|F
(
x
)

F
(
x
)
|


n
n
n
.
(12.3)
|x
|


А.Н.Колмогоров доказал, что в случае справедливости гипотезы Н0 распределение
статистики Dn не зависит от функции F(x), и при п  
p
(n
D

)

K
(),
0
,
n
 

где
m
m

K
(

)
(

1
)
e2

m


22
(12.4)
- критерий Колмогорова, значения которого можно найти в соответствующих таблицах.
Критическое значение критерия λп(α) вычисляется по заданному уровню значимости α как
).
корень уравнения p(D
n 
18. Словарь терминов (глоссарий)
В данном разделе термины учебной дисциплины (модуля) должны быть
сгруппированы по алфавиту и темам учебного курса.
Событием называется всякий факт, который может произойти или не произойти в
результате опыта.
Достоверным событием называется событие, которое наверняка произойдет в
результате опыта. Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в
результате опыта.
Полной группой событий называется совокупность всех возможных результатов
опыта.
Элементарными исходами опыта называются такие результаты опыта, которые
взаимно исключают друг друга и в результате опыта происходит одно из этих событий,
также каково бы ни было событие А, по наступившему элементарному исходу можно судить
о том, происходит или не происходит это событие.
Совокупность всех элементарных исходов опыта называется пространством
элементарных событий.
События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них
появится в результате опыта с большей возможностью.
События называются несовместными, если появление одного из них исключает
появление других.
Вероятностью события А называется математическая оценка возможности появления
этого события в результате опыта. Вероятность события А равна отношению числа
благоприятствующих событию А исходов опыта к общему числу попарно несовместных
исходов опыта, образующих полную группу событий.
P(A) 
m
n
Исход опыта является благоприятствующим событию А, если появление в результате
опыта этого исхода влечет за собой появление события А.
Относительной частотой события А называется отношение числа опытов, в результате
которых произошло событие А к общему числу опытов.
Статистической вероятностью события А наз. относительную частоту этого события .
Геометрические вероятности - вероятности попадания точки в какой – либо отрезок или
часть плоскости (пространства).
Так если на отрезке длиной L выделен отрезок длины l, то вероятность попадания наугад
взятой точки в отрезок l равна отношению l/L.
События А и В называются равными, если осуществление события А влечет за собой
осуществление события В и наоборот.
Суммой событий Аk называется событие A, которое означает появление хотя бы одного
из событий Аk.
Произведением событий Ak
называется событие А, которое заключается в
осуществлении всех событий Ak.
Разностью событий А и В называется событие С, которое означает, что происходит
событие А, но не происходит событие В.
Противоположным к событию А называется событие А ,означающее,что событие А не
происходит.
Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит
от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В,
если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло
1
событие В или нет.
Вероятность события В, вычисленная при условии, что имело место событие А,
называется условной вероятностью события В.
Если производится некоторое количество испытаний, в результате которых может
произойти или не произойти событие А, и вероятность появления этого события в каждом из
испытаний не зависит от результатов остальных испытаний, то такие испытания называются
независимыми относительно события А.
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может
принимать то или иное значение, причем заранее не известно какое именно.
Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате
опыта может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие
счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы).
Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может
принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Соотношение между возможными значениями случайной величины и их
вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины.
Закон распределения может быть задан аналитически, в виде таблицы или
графически.
Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей называется
рядом распределения.
Графическое представление этой таблицы называется многоугольником
распределения. При этом сумма все ординат многоугольника распределения представляет
собой вероятность всех возможных значений случайной величины, а, следовательно, равна
единице.
Числовыми характеристиками случайной величины называются величины , которые
определяют некоторое среднее значение, вокруг которого группируются значения случайной
величины, и степень их разбросанности вокруг этого среднего значения.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма
произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.
n
m

M
(
X
)

x
p

x
p

...

x
p

x
p

x
1
1
2
2
n
n
i
i
i

1
Математическое ожидание существует, если ряд, стоящий в правой части равенства,
сходится абсолютно. Математическое ожидание приближенно равно среднему
арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.
Дисперсией
(рассеиванием)
дискретной
случайной
величины
называется
математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического
2
X

D
(
X
)
M

M
(
X
)
ожидания.
Средним квадратическим отклонением
случайной величины Х называется

(X) D
(X)
квадратный корень из дисперсии
Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того,
что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х.
F
(x
)P
(Xx
)
Функцию распределения также называют интегральной функцией.
Функция распределения существует как для непрерывных, так и для дискретных случайных
величин. Она полностью характеризует случайную величину и является одной из форм
закона распределения.
Для дискретной случайной величины функция распределения имеет вид:
F
(x
)
P
(X

x

i)
x
x
i
Знак неравенства под знаком суммы показывает, что суммирование распространяется
на те возможные значения случайной величины, которые меньше аргумента х.
Функция распределения дискретной случайной величины Х разрывна и возрастает
скачками при переходе через каждое значение хi.
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х
называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x).
f(x)F(x).
Плотность распределения также называют дифференциальной функцией. Для
описания дискретной случайной величины плотность распределения неприемлема.
После введения функций распределения и плотности распределения можно дать
следующее определение непрерывной случайной величины.
Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения
F(x) непрерывна на всей оси ОХ, а плотность распределения f(x) существует везде, за
исключением, может быть, конечного числа точек.
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения
которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл
b
M
(X
)xf
(x
)dx
a
Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой
оси, то математическое ожидание находится по формуле:

M
(X
)xf
(x
)dx


При этом предполагается, что несобственный интеграл сходится.
Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание
квадрата ее отклонения.

2
D
(
X
)

[
x

M
(
X
)]
f
(
x
)
dx



По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического
вычисления дисперсии используется формула:

2
2
D
(
X
)

x
f
(
x
)
dx

[
M
(
X
)]



Средним
дисперсии.
квадратическим
отклонением
называется
квадратный
корень
из

(X) D
(X)
Модой М0 дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное
значение. Для непрерывной случайной величины мода – такое значение случайной
величины, при которой плотность распределения имеет максимум.
f(M
.
0)max
Медианой MD случайной величины Х называется такое ее значение, относительно
которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины
P
(
X

M
)

P
(
X

M
)
D
D
Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой
распределения делится пополам.
Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется
[Xk].
математическое ожидание величины Хk. : k M
Для дискретной случайной
n
x pi .
величины: k 
i1
k
i

xkf(x
)dx
Для непрерывной случайной величины: 
.
k 
Центральным моментом порядка k
k
математическое ожидание величины (Xmx ) .:


случайной величины Х
k

M
[(
X

m
k
x)]
называется
n
(
x
m
)kp
Для дискретной случайной величины: 

k
i
x
i.
i
1

k
m
)
f(
x
)
dx
Для непрерывной случайной величины: 
.
k
x
(x


Отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому

ax  33
отклонению в третьей степени называется коэффициентом асимметрии.
x
Для
характеристики
островершинности
и
плосковершинности распределения
4
используется величина, называемая эксцессом. Cx  4 3
x
Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [a,
b], если на этом отрезке плотность распределения случайной величины постоянна, а вне него
0
, xa


C
, axb
равна нулю : f(x)

0
, xb

Показательным (экспоненциальным) называется распределение вероятностей
непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью
0
, при
x

0

f(
x
)



x

e, при
x

0

где  - положительное число.
Функцией надежности R(t) называют функцию, определяющую вероятность
безотказной работы устройства в течение времени t.
Функция надежности для какого- либо устройства при показательном законе
распределения равна:


t
R
(
t)
1

F
(
t)
e
.
Данное соотношение называют показательным законом надежности.
Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной
1
2
(x

m
)
x
 2
2

x
x
)
e
;
величины, которое описывается плотностью вероятности f(

2

x
Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса.
График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или
кривой Гаусса.
x
2 t2

(
x
)

Функция
e dt называется функцией Лапласа или интегралом
0
вероятностей.
Значения этой функции при различных значениях х посчитаны и приводятся в
специальных таблицах.
Функцию Лапласа также называют функцией ошибок и обозначают erf x.
Еще используется нормированная функция Лапласа, которая связана с функцией Лапласа
x
2
1
x

 1
t
/
2

(
x
)



e
dt
;


соотношением:

2

2
 2
0
При рассмотрении нормального закона распределения выделяется важный частный
случай, известный как правило трех сигм.
P
(
X

m

3

)

2

(
3
)

2

0
,
49865

0
,
9973
,
т.е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического
ожидание на величину, большую , чем утроенное среднее квадратическое отклонение
практически равна нулю.
Законом распределения системы случайных величин называется соотношение,
устанавливающее связь между областями возможных значений системы случайных величин
и вероятностями появления системы в этих областях.
Функцией распределения системы двух случайных величин называется функция
двух аргументов F(x, y), равная вероятности совместного выполнения двух неравенств X<x,
F
(
x
,y
)

P
(
X

x
,
Y

y
)
Y<y.:
Плотностью совместного распределения вероятностей двумерной случайной
величины (X, Y) называется вторая смешанная частная производная от функции
2

F
(x
,y
)
f(x
,y
)
распределения :

x

y
Математическая статистика – раздел математики, в котором изучаются методы сбора,
систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений для
выявления существующих закономерностей
Генеральная
совокупность
–
совокупность
всех
подлежащих
изучению
объектов относительно некоторого признака (с.в.) Х.
Выборочная совокупность ( выборка ) – ограниченная совокупность объектов.
отобранных случайным образом из генеральной совокупности.
Выборка наз. репрезентативной, если она достаточно хорошо представляет изучаемый
признак Х объектов генеральной совокупности.
Объём генеральной или выборочной совокупности – число объектов (наблюдений) в
соответствующей совокупности.
Варианты x1, x2,...,xn – значения изучаемого признака (с.в.) Х.
Ранжирование статистических данных – операция расположения вариант по
неубыванию.
Вариационный ряд - последовательность вариант, записанных в неубывающем
порядке.
Частота варианты xi - число ni , показывающее, сколько раз встречается эта варианта
в ряде наблюдений.
Относительная частота варианты wi - отношение частоты варианты к объёму
выборки.
Статистическим распределением выборки
называется
перечень вариант и
соответствующих им частот или относительных частот.
Эмпирической ( выборочной ) функцией распределения называется функция ,
определяемая соотношением
Fn* ( x)  W(X<x).
Полигон частот - ломаная с вершинами в точках ( хi , ni ).
Полигон относительных частот - ломаная с вершинами в точках ( xi . wi ).
Гистограмма частот (относительных частот) - ступенчатая фигура, состоящая из
прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h , а высоты
ni
wi
равны плотностям частот
( плотностям относительных частот
).
Выборочная
h
h

средняя
xв
- среднее арифметическое всех вариант выборки.
Выборочная
дисперсия
Dв
среднее арифметическое квадратов отклонений всех
вариант от выборочной средней.
Выборочное среднее квадратическое отклонение (с.к.о.)  в есть квадратный корень
из выборочной дисперсии.
Исправленная выборочная дисперсия. S 2 определяется соотношением
n
Dв
n 1
Исправленное выборочное с.к.о. S
есть квадратный корень из исправленной
выборочной дисперсии.
Размах вариации R - разность между наибольшей и наименьшей вариантами
Мода M 0 вариационного ряда - варианта, имеющая наибольшую частоту.
Медиана me - варианта, стоящая в середине вариационного ряда.
Статистикой называют всякую функцию результатов наблюдений, т.е. любую функцию
*
Xn)
выборки   ( X1,X2,...,

Статистической оценкой
неизвестного параметра
теоретического
*
*
распределения изучаемого признака Х называется статистика  , которая в определённом
смысле близка к истинному значению  .
Точечная статистическая оценка (т.с.о.) есть стат. оценка  * , определяемая одним
числом.
*
Т.с.о.  * называется несмещённой т.с.о. параметра  , если M() .
В противном случае, т.с.о.  * называется смещённой т.с.о. параметра  .
Т.с.о.  * параметра  называется состоятельной, если она сходится по вероятности
к оцениваемому параметру.
Т.с.о.  * параметра  называется эффективной, если её дисперсия минимальна.
Оценка неизвестного параметра  называется интервальной, если она
Определяется двумя числами - концами интервала, в котором находится  .
*
*
Интервал ( 1 ,  2 ), покрывающий с заданной вероятностью  истинное
значение параметра  , называется доверительным интервалом, а вероятность 
надёжностью оценки или доверительной вероятностью.
S2 
Случайные величины X и Y называются независимыми, если изменение любой из них
не влечёт изменение распределения другой.
Если изменение хотя бы одной из случайных величин X или Y влечёт изменение
распределения другой, то зависимость между Х и Y называется
статистической.
Статистическая зависимость, при которой изменение одной с.в. влечёт
изменение среднего значения другой с.в. наз. корреляционной.
Условным средним y x наз. среднее арифметическое значений с.в. Y, соответствующих
значению с.в. Х: Х=х
Корреляционной зависимостью с. в. Y от с. в. Х наз. функциональную
y x = f(x).
зависимость условной средней y x от х:
Соотношение y x = f(x) наз. уравнением регрессии с.в. Y на с.в. X.
Функцию f(x) наз. функцией регрессии с.в. Y на с.в. X.
График Функции f(x) наз. линией регрессии с.в. Y на с.в. X.
Аналогично определяются уравнение регрессии с.в. X на с.в. Y,
функция g(y) регрессии с.в.. X на с.в. Y, линия регрессии с.в. X на с.в. Y.
Если обе функции регрессии f(x) и g(y) - линейны, то корреляцию наз.
линейной; в противном случае – нелинейной корреляцией.
Уравнения линий регрессии, найденные по результатам выборки, наз.
выборочными уравнениями регрессии.
Статистической гипотезой (или просто гипотезой) называется всякое предположение
о виде распределения изучаемого признака или о неизвестных параметрах известного
распределения изучаемого признака.
Выдвинутую гипотезу H 0 называют нулевой или основной
H 1 , которая
Конкурирующей или альтернативной называют гипотезу
противоречит основной гипотезе.
Гипотезу, содержащую только одно предположение, называют простой,
в противном случае - сложной.
При стат. проверке стат.
гипотезы могут быть допущены ошибки двух родов:
Ошибка первого рода состоит в том, что отвергается нулевая гипотеза, когда она на самом
деле верна. Ошибка второго рода состоит в том, что отвергается альтернативная гипотеза,
когда она на самом деле верна.
Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости и обозначается
через  .
Специально подобранная случайная величина K , которая служит для проверки
нулевой гипотезы,
наз. статистическим критерием или просто критерием.
K набл - это значение стат.
Наблюдаемое значение статистического критерия
критерия, вычисленное по произведённой выборке.
Критическая область - это множество возможных значений стат. критерия, при
которых нулевая гипотеза отвергается.
Область принятия гипотезы – это множество возможных значений стат. критерия , при
которых нулевая гипотеза принимается.
k кр , или квантили - это точки, которые разграничивают
Критические точки
критическую область и область принятия гипотезы.
Правосторонняя критическая область определяется неравенством K> k кр1 >0 .
Левосторонняя критическая область определяется неравенством K< k кр 2 <0 .
Двусторонняя критическая область определяется совокупностью указанных выше
неравенств.
Критерием согласия наз. стат. критерий проверки гипотезы о предполагаемом
законе распределения изучаемого признака генеральной совокупности.
19. Балльно-рейтинговая система, используемая преподавателем для оценивания знаний
студентов по дисциплине.
Должна быть представлена в виде технологической карты (является приложением к
УМК).
ОСНОВНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА
040400 «Социальная работа»
(код, направление, профиль)
ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА
Шифр дисциплины по РУП: Б2.В.4
Дисциплина: Основы математической статистики
Курс 2; семестр 1
Кафедра Математики и математических методов в экономике
Ф.И.О. преподавателя, звание, должность: Дарбинян А. З. Доц.
Общ. трудоемкость: 252/7; Количество семестров: 2; Интерактивн.формы: 18/10
ЛК: 32/16 ; ПР: 54/28; ЛБ – . Форма отчетности: зачет
№
п/п
Количество
мероприятий
Содержание задания
Максимальное
количество
баллов
Срок
предоставления
Основной блок
1.
2.
3.
4.
5.
Посещение занятий
Домашняя
контрольная
работа
по
теме
«Выборочный метод» +
защита
Домашняя
контрольная
работа
по
теме
«Генеральные
и
выборочные
характеристики» + защита
Домашняя
контрольная
работа по теме «Оценочные
доверительные интервалы»
+ защита
Домашняя
контрольная
работа по теме «Методы
расчета
свободных
характеристик выборки» +
защита
Зачет
20
1
10
15
по расписанию
Октябрь
1
15
Октябрь
1
10
Ноябрь
1
10
Декабрь
Итого:
60
1
40
Итого:
40
Дополнительный блок
по расписанию
Внеучебная деятельность
1.
2
Решение дополнительных задач по теме
«Статистические оценки параметров распределения»
Решение дополнительных задач по теме
«Асимметрия и эксцесс»
Итого:
10
10
по согласованию с
преподавателем
20
Минимальное количество баллов, которое обязан набрать студент в течение семестра
для допуска к промежуточной аттестации, - 21 балл.
ОСНОВНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА
040400 «Социальная работа»
(код, направление, профиль)
ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА
Шифр дисциплины по РУП: Б2.В.4
Дисциплина: Основы математической статистики
Курс 2; семестр 2
Кафедра Математики и математических методов в экономике
Ф.И.О. преподавателя, звание, должность: Дарбинян А. З. Доц.
Общ. трудоемкость: 252/7; Количество семестров: 2; Интерактивн.формы: 18/10
ЛК: 32/16 ; ПР: 54/26; ЛБ – . Форма отчетности: экзамен
№
п/п
Содержание задания
Количество
мероприятий
Максимальное
количество
баллов
Срок
предоставления
Основной блок
1.
2.
3.
4.
5.
Посещение занятий
Домашняя
контрольная
работа по теме «Задачи
теории корреляции.» +
защита
Домашняя
контрольная
работа
по
теме
«Простейшие
случаи
криволинейной
корреляции.» + защита
Домашняя
контрольная
работа
по
теме
«Статистическая проверка
статистических гипотез» +
защита
Домашняя
контрольная
работа по теме «Критерии
согласия» + защита
Экзамен
20
1
10
15
по расписанию
Март
1
10
Март
1
15
Апрель
1
10
Май
Итого:
60
1
40
Итого:
40
Дополнительный блок
по расписанию
Внеучебная деятельность
1.
2
Решение дополнительных задач по теме
«Понятие о множественной корреляции»
Решение дополнительных задач по теме
«Прикладные задачи мат. статистики»
Итого:
10
10
по согласованию с
преподавателем
20
Минимальное количество баллов, которое обязан набрать студент в течение семестра
для допуска к промежуточной аттестации, - 21 балл.
20. Изменения в рабочей программе, которые произошли после ее утверждения:
Характер
изменений в
программе
Номер и дата
протокола заседания
кафедры, на котором
было принято данное
решение
Подпись заведующего
кафедрой,
утверждающего
внесенное изменение
Подпись декана факультета
(проректора по учебной
работе), утверждающего
данное изменение
21. Учебные занятия по дисциплине ведут:
Ф.И.О., ученое звание и степень
преподавателя
Дарбинян А. З.
Учебный год
2013/2014
Факультет
ИСН
Специальность
040400 «Социальная работа»