konkyrsnaya_rabota

Интегрированный урок
физики и математики
в 11 классе.
Учитель: Прокопович Владимир Геннадьевич.
--Закон радиоактивного распада.
Урок: лекция с элементами беседы.
Цель: показать использование производной, интеграла, логарифмов в
решении физической задачи.
Задачи:
- изучение закона радиоактивного распада;
- закрепление темы производная, интеграл, логарифм по математике.
Э. Резерфорд, исследуя со своими сотрудниками превращения радиоактивных
веществ, пришел к выводу, что их активность со временем убывает.
Было установлено:
1) активность (скорость распада атомов) пропорциональна массе радиоактивного
вещества (т. е. числу атомов);
2) для одного и того же вещества наблюдается уменьшение активности в 2 раза
через строго определенное время (причем это не зависит от состояния вещества:
температуры, давления, смеси с другими веществами и т. д.);
3) скорость уменьшения активности двух разных веществ разная.
Зависимость числа не распавшихся атомов от времени можно представить так:
N - число не распавшихся атомов
T - время
Т1/2 - время, в течение которого
исходное число атомов уменьшается в
двое (период полураспада).
N0
N1
0
Т1/2
2 Т1/2
t
Какой функцией задается такой график?
N0
N1
0
Т1/2
2 Т1/2
t
Все ядра одного и того же элемента совершенно одинаковы.
Любое ядро с одинаковой вероятностью может распасться в любой момент времени и
распады других атомов не влияют на это.
Вероятность распада одного ядра за 1с называется постоянной распада -λ.
Решим задачу 1
Дано: через одинаковые интервалы времени число атомов уменьшается в 2 раза.
Получить: закон изменения числа оставшихся атомов к моменту времени t.
Пусть в начальный момент времени t=0 число атомов равно N0
По условию: через t1=Т1/2 число атомов станет N0/2, еще через Т1/2 атомов будет N0/4
----------при t→∞
N→0
От чего зависит скорость изменения числа не распавшихся атомов к данному моменту
времени t?
( От количества атомов, распадающихся за данный промежуток времени)
Будет ли постоянной скорость распада, т.е. число атомов распадающихся в единицу
времени?
(Нет)
Как найти скорость изменения (V) числа распадающихся атомов за данный
промежуток времени, если число распавшихся
атомов
N0 - N= -ΔΝ (число атомов уменьшается)
V 
N
t

Что означает знак “ - ”?
(процесс убывания числа исходных атомов)
Что можно сказать о кривой на графике?
(Гладкая)
Что означает гладкость кривой?
(В каждой точке существует касательная и функция дифференцируема на ООФ)
N
dN
t
V= 
dt
t 0
lim

( мгновенная скорость распада)
Эта величина пропорциональна числу атомов N и вида вещества λ (λ- постоянная
распада - числовой коэффициент, зависящий от вида вещества)
dN
  N
dt
Найдем в явном виде как от времени t зависит число оставшихся атомов N.
Мы получили в левой части производную от N по t.
- Как по производной найти саму функцию?
(Надо проинтегрировать данную функцию)
Для удобства в интегрировании преобразуем это равенство:
dN  N dt
dN
  dt
N
dN
   dt
Рассмотрим: 
N 
Каковы приделы интегрирования?
N0 - начальное число атомов в момент времени t0=0, и N1 -число атомов к моменту
времени t1, тогда:
Т1
t
dN 1
 N  0   dt
N0
N1
  t
ln N
t1
0
N0
Так как N по смыслу положительная величина (количество атомов), то имеем
ln N
N1
 -t
N0
t1
0
ln N1  ln N 0  t1    0
e t1 
N1
N0
N 1  N 0  e t1 1
Получили зависимость N(t), которая представлена на графике
Получили то, что называется законом радиоактивного распада.
Задача 2
Выразим λ через Т1/2 - чаще встречающуюся характеристику распада.
Т1/2 - время, за которое остается половина от исходного количества атомов, то есть при
t=Т1/2 имеем N=
N0
2
Подставим в закон (1) эти данные:
N0
 N 0  e T1/ 2
(делим на N 0 )
2
1
 e  T1/ 2
2
Прологарифмируем это равенство по основанию е, получим:
1
 ln e  T1/ 2
2
 ln 2  T1 / 2 ln e
ln

ln 2
T1 / 2
Подставим этот результат в (1):
N1  N 0  e
ln 2t1
T1/ 2
преобразуем правую часть
N 1  N 0  (e
ln 2
N  N0  2
)
t1
T1/ 2
t
T1/ 2
Это более распространенная форма записи закона радиоактивного распада.
Задача 3
Определим скорость распада атомов, то есть найдем зависимость скорости распада
атомов А (А- активность) от числа не распавшихся атомов N и А от времени,
прошедшего от начала распада:
По задаче 1
А=N=-
N
, то есть -А=
t

N
t

Рассматривая предел при Δt→0 получим:
 А  N (t )
A   N (t )
Ν(t)=N0· e  t
По задаче 1
Тогда:
А  ( N 0  e  t ) 
A  ( ) N 0 e  t
A  N 0  e  t
A  N (t )
A
ln2  N
T1 / 2
A
0,693 N
T1 / 2
N(t)  N 0 e  t
так как  
ln2
, то
T1/2
Вывод: Как видно, активность радиоактивного вещества пропорциональна числу ядер
(т. е. массе вещества) и обратно пропорциональна периоду полураспада.
Единицей СИ активности является беккерель (Бк). Беккерель равен активности
радионуклида, в котором за 1с происходит 1 акт распада.
На практике часто используется единица активности кюри (Ки).
1Ки=3,7·1010Бк
Производить вычисления по этим формулам можно только при условии, что число
радиоактивных ядер достаточно велико.
Где применимы полученные результаты?
Естественные радиоактивные изотопы встречаются повсюду.
По остаточной активности Земной коры (по распределению в ней различных
изотопов) можно определить возраст Земли.
Особое значение закон радиоактивного распада имеет для палеонтологии,
археологии, и истории.
Например: В клетчатке только что спиленного дерева каждый грамм вещества
излучает в среднем 17,5 бета-частиц в течение 1мин. Так как это дерево уже не
поглощает углерод из атмосферы, то активность древесины будет непрерывно
уменьшаться. Зная период полураспада 146 С (5570 лет), можно по остаточной активности
деревянного изделия определить, когда дерево было спилено. Этот метод используется в
археологии для определения даты того или иного события, например когда была
построена лодка египетского фараона, когда был зажжен костер первобытным
человеком, сколько лет умершим животным…
Еще один пример
Туринская Плащаница, в которую, по преданию, был завернут Иисус Христос после
снятия с креста, представляет собой льняное полотно с двумя светло-коричневыми
изображениями мужского тела. На Плащанице имеются красно-коричневые пятна,
похожие на следы крови.
Лаборатория в Аризоне исследования доставленных проб из Туринской
плащаницы
начала 6 мая 1988 года мая и после неоднократной проверки и
перепроверки закончила его 8 июня 1988 года. Весь процесс исследования записан на
кинопленку. Заключение: ткань для Туринской плащаницы была изготовлена в 1350
году.
Вскоре после этого папа Иоанн Павел II во время посещения Африки в своем
выступлении 28 апреля 1989 года «напомнил» слушателям о том, что католическая
церковь, якобы, никогда официально не признавала Туринской плащаницы в качестве
подлинных погребальных пелен Иисуса Христа, а признавал ее только священной
реликвией, нарисованным на полотне изображением, которая используется на пред
пасхальном богослужении во всех католических и православных храмах. Таким образом,
католическая церковь по горячим следам официально признала результат научного
исследования возраста Туринской плащаницы.
Плащаница называется Туринской, потому что с 1578 года она находится в
кафедральном соборе итальянского города Турина.
Наука сказала свое слово, - всякие дискуссии должны быть прекращены.