Распространение чирпированных эллиптически

В.А. МАКАРОВ, В.М. ПЕТНИКОВА, И.А. ПЕРЕЖОГИН, Н.Н. ПОТРАВКИН, К.В. РУДЕНКО,
В.В. ШУВАЛОВ
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЧИРПИРОВАННЫХ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИ ПОЛЯРИЗОВАННЫХ ВОЛН
В ИЗОТРОПНОЙ ГИРОТРОПНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДЕ
Получены приближенные решения неинтегрируемой задачи распространения чирпированной
эллиптически поляризованной волны через изотропную гиротропную среду с локальной и нелокальной
составляющими кубической нелинейности и частотной дисперсией второго порядка. Определены условия
возбуждения волн с периодическими и апериодическими изменениями состояния поляризации.
Распространение плоской эллиптически поляризованной световой волны в изотропной гиротропной
среде с кубической нелинейностью и частотной дисперсией второго порядка описывается системой
нелинейных уравнений Шредингера [1-3]. Эта система неинтегрируема [4, 5] и обычно говорят лишь о ее
численных [2, 5] и частных аналитических [1, 3] решениях. Так в [3] в предположении формирования
волноводов единого профиля для медленно меняющихся амплитуд A ( z, t ) компонент светового поля с
правой и левой круговыми поляризациями построены частные периодические решения с фазами,
пропорциональными координате распространения z ( t – время в бегущей системе координат).
В настоящей работе для той же задачи [3] найдены и проанализированы периодические приближенные
решения вида
A ( z, t )  R (t ) exp{i[ (t )    z ]} ,
где   – константы разделения, R и   – вещественные амплитуды и фазы. Зависимость   от времени
означает появление «чирпа» – мгновенных добавок   d  (t ) / dt  0 к несущей частоте компонент поля.
Зависимости R (t ) находились после линеаризации системы [3] в окрестности точки «равновесия»
~ ~
( R , R ) , соответствующей минимуму потенциальной энергии в рамках механической аналогии с
движением материальной точки с координатами R (t ) . Показано, что эволюция R (t ) сводится к биениям
двух гармонических составляющих – синфазной и противофазной нормальных мод в окрестности точки
равновесия. Причем именно дисперсия, гиротропия и нелинейность среды определяют положение точки
~ ~
( R , R ) , ориентацию осей нормальной системы координат и частоты нормальных колебаний. После
нахождения R (t ) фазы   (t ) и   (t ) находятся из точных аналитических выражений.
Состояние поляризации описывалось параметрами Стокса S0,1, 2,3 , а ее изменение во времени –
траекторией конца вектора s  {S1, S2 , S3} / S0 , движущегося по сфере Пуанкаре. Показано, что поляризация
меняется периодически лишь тогда, когда возбуждается одна из двух нормальных мод (либо их частоты
кратны) и набег разности      за период изменения sz  S3 / S0 кратен 2 (рис. 1а). В остальных случаях
эволюция больше похожа на поляризационный «хаос» (рис. 1б).
(а)
(б)
Рис. 1. Примеры периодической (а) и апериодической (б) эволюции состояния эллиптически
поляризованной волны
Заметим, что полученные приближенные решения, имеют в определенном смысле более общий характер,
чем точные решения, приведенные в [3].
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект №11-02-00653-а).
Список литературы
1. Макаров В.А., Петров К.П. Квантовая электроника. 1993. Т.20. С.1011.
2. Makarov V.A., Perezhogin I.A., Potravkin N.N. Laser Physics. 2009. Т.19. С.322.
3. Макаров В.А., Пережогин И.А., Петникова В.М., Потравкин Н.Н., Шувалов В.В. Квантовая
электроника. 2012. Т.42. С.117.
4. Christiansen P.L., Eilbeck J.C., Enolskii V.Z., Kostov N.A. Proc. Royal Soc. London A. 2000. V.456. P.2263.
5. Chiu H.S., Chow K.W. International J. of Computer Mathematics. 2010. V.87. N5. P.1083.