Лабораторная работа №2 &quot

3.1.1. Основы логики
Для выполнения заданий № 4 и № 5 необходимы знания основ логики, являющейся
одним из разделов дисциплины «Информатика».
Простое логическое высказывание — это некоторое выражение, которое может быть
истинно (верно) или ложно. Это фразы типа «два больше одного», «5,8 является целым
числом». В первом случае мы имеем истину, а во втором — ложь.
Сложное логическое высказывание — логическое выражение, составленное из одного
или нескольких простых (или сложных) высказываний, связанных с помощью логических
операций. В естественном языке мы используем различные союзы и другие части речи.
Например, «и», «или», «либо», «не», «если», «то», «тогда». Пример сложных
высказываний: «у него есть знания и навыки», «она приедет во вторник либо в среду», «я
буду играть тогда, когда сделаю уроки», «5 не равно 6». Формализованная запись этих
высказываний с помощью логических операций.
Название
Альтернативные
Знаки
Примеры
операции
названия
AΛB
Логическое умножение,
Λ &
Конъюнкция
A&B
Логическое И
and
A and B
AVB
Логическое сложение,
Дизъюнкция
A|B
V | or
Логическое ИЛИ
A or B
¬A
¬
Отрицание
Инверсия
A
not
not A
Следование
Импликация
→
A →B
Эквивалентность
=
A=B
Логические операции удобно описывать так называемыми таблицами истинности,
в которых отражают результаты вычислений логических выражений при различных
значениях аргументов (простых или сложных высказываний).
A
0
0
1
1
AΛB
0
0
0
1
B
0
1
0
1
AVB
0
1
1
1
¬A
1
1
0
0
A →B
1
1
0
1
A=B
1
0
0
1
При преобразовании логических выражений используют следующие свойства
логических операций:
1. Свойства констант
0  1;
1  0; A  0  A; A  0  0;
A  1  1; A  1  A
2. Рефлексивность
A  A  A;
A A  A
3. Коммутативность
( A  B)  ( B  A);
( A  B)  ( B  A)
4. Ассоциативность
( A  B)  С  A  ( B  C );
( A  B)  C  A  ( B  C )
5. Дистрибутивность
( A  ( B  С )  ( A  B)  ( A  C );
A  ( B  C )  ( A  B)  ( А  C )
6. Закон отрицания (двойного отрицания)
(A)  A
7. Законы де Моргана
( A  B)  A  B;
( A  B)  A  B
8. Законы поглощения
A  ( A  B)  A;
A  ( A  B)  A
Также вводятся дополнительные операции:
 импликация:
A → B = (¬A V B);
 эквивалентность: (A = B) = (A Λ B) V (¬A Λ ¬B).
3.1.2. Примеры решения логических задач
1) Запишите интервал значений X, для которых истинно высказывание:
(( X  5))  ( X  6))
РЕШЕНИЕ
Введем обозначения: A = X > 5; B = X > 6. Тогда высказывание примет вид
¬ (A → B).
Составим для этого высказывания таблицу истинности:
A
B
A→B
¬ (A → B)
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
Высказывание истинно, если A истинно, а B ложно.
Следовательно, если рассматривать действительные числа, то интервал значений Х
равен: 5  X  6 . Для целых чисел: Х=6.
2) Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению
A  (B  C ) .
1) A  B  C
2) A  B  C
3) A  B  C
4) A  B  C
РЕШЕНИЕ
Преобразуем исходное выражение A  (B  C ) :
а) применив закон де Моргана к выражению в скобках, получаем: A  ( B  C )
б) используя закон двойного отрицания, получаем: A  ( B  C )
Следовательно, ответ: 3.
3) На числовой прямой даны два отрезка: P = [2, 10] и Q = [6, 14]. Выберите такой
отрезок A, что формула
( (x  А) → (x  P) ) \/ (x  Q)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [0, 3]
2) [3, 11]
3) [11, 15]
4) [15, 17]
РЕШЕНИЕ
1) Введем обозначение: A: x  А, P: x  P, Q: x  Q. Тогда высказывание примет
вид:
Z = (A→P) \/ Q
2) Представим импликацию A → P через операции «\/» и «»: (A→P) =A \/ P. В
результате получаем Z = A \/ P \/ Q.
Выражение Z истинно во всех случаях, кроме одного, когда все аргументы ложны.
Следовательно, выражение Z = A \/ P \/ Q ложно при A = 1, P = 0, Q = 0. Поэтому если
область истинности A выйдет за пределы отрезка [2,14], где одновременно ложны P и Q,
то Z = (A→P) \/ Q будет ложно. Это значит, что A может быть истинно только внутри
отрезка [2,14]. Из всех отрезков, приведенных в условии, только отрезок [3,11] (вариант 2)
находится целиком внутри отрезка [2,14], это и есть правильный ответ.
3) Ответ: 2.
3.1.3. Задания
1. Каково наибольшее целое число X, при котором истинно высказывание
(50 < X·X) → (50 > (X+1) ∙ (X+1))?
2. Для какого из указанных значений числа X истинно высказывание
((X < 5)→(X < 3))  ((X < 2)→(X < 1))
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
3. Для какого числа X истинно высказывание
((X > 3)(X < 3)) →(X < 1)
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
4. Для какого числа X истинно высказывание
X > 1  ((X < 5)→(X < 3))
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
5. Для какого имени истинно высказывание
¬ (Первая буква имени гласная → Четвертая буква имени согласная)?
1) ЕЛЕНА
2) ВАДИМ
3) АНТОН
4) ФЕДОР
6. Для какого символьного выражения неверно высказывание:
Первая буква гласная → ¬ (Третья буква согласная)?
1) abedc
2) becde
3) babas
7. Для какого числа X истинно высказывание
4) abcab
(X > 2)(X > 5)→(X < 3)
1) 5
2) 2
3) 3
4) 4
8. Для какого из значений числа Z высказывание
((Z > 2)(Z > 4)) →(Z > 3) будет ложным?
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
9. Для какого имени истинно высказывание:
¬ (Первая буква имени согласная → Третья буква имени гласная)?
1) ЮЛИЯ
2) ПЕТР
3) АЛЕКСЕЙ 4) КСЕНИЯ
10. На числовой прямой даны два отрезка:
P = [2, 20] и Q = [15, 25]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x  А) → (x  P) ) \/ (x  Q)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [0, 15]
2) [10, 25]
3) [2, 10]
4) [15, 20]
11. На числовой прямой даны три отрезка:
P = [10, 25], Q = [15, 30] и R=[25,40]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x  Q) → (x  R) ) /\ (x  A) /\ (x  P)
тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х.
1) [0, 15]
2) [10, 40]
3) [25, 35]
4) [15, 25]
12. На числовой прямой даны два отрезка:
P = [5, 15] и Q = [12, 18]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x  А) → (x  P) ) \/ (x  Q)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [3, 11]
2) [2, 21]
3) [10, 17]
4) [15, 20]
13. На числовой прямой даны два отрезка:
P = [5, 10] и Q = [15, 18]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x  А) → (x  P) ) \/ (x  Q)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [3, 11]
2) [6, 10]
3) [8, 16]
4) [17, 23]
14. На числовой прямой даны два отрезка:
P = [25, 30] и Q = [15, 20]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x  А) → (x  P) ) \/ (x  Q)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [10, 15]
2) [12, 30]
3) [20, 25]
4) [26, 28]
15. На числовой прямой даны два отрезка:
P = [2, 20] и Q = [15, 30]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x  А) → (x  P) ) \/ (x  Q)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [0, 15]
2) [3, 20]
3) [10, 25]
4) [25, 40]