R = 100 Ом С = 0,8 мкФ L = 16,2 мГн Входное воздействие имеет

R
L
L
u
C
R
R = 100 Ом
С = 0,8 мкФ
L = 16,2 мГн
Входное воздействие имеет вид:
u
τ
2τ
3τ
4τ
t
-u
1) Представить входное воздействие в виде линейной комбинации
единичных ступенчатых функций:
3
  1 10
u ( t) 
j  1
1 if 0  t  
1 if   t  2 
1 if 2   t  3 
1 if 3   t  4 
0 if 4   t  
4
2
u( t )
0
2
4
0
3
110
210
3
3
310
t
3
410
3
510
u
U (t )  11(t )  2 1(t   )  2 1(t  2 )  2 1(t  3 )  11(t  4 )
Где:
1(t ) -единичная ступенчатая функция
1, t  0
1(t )  
0, t  0
2) Определить комплексную спектральную плотность входного воздействия,
построить графики спектральных плотностей амплитуд и фаз (амплитудного
и фазового спектров), 0 ≤ ω ≤ 3π/τ

Fвх ( j )   U (t )  e  jt dt
0
Из свойства линейности преобразования Фурье следует, что комплексная
спектральная плотность сигнала U (t )  U (t ) может быть определена как сумма

комплексных спектральных плотностей
парциальных сигналов Uυ(t), т.е.
Fвх ( j )   F ( j ) . Поэтому, если сигналы Uυ(t) выбрать так, чтобы они

удовлетворяли
условию uυ(t) = aυ U(t - υτ), то с учётом теоремы запаздывания
выражение для спектральной плотности входного воздействия можно записать в
следующем виде:
Fвх ( j )  F ( j ) a  e  j

1
Fâõ ( jw) 
1  2e jw  2e2 jw  2e3 jw  1e4 jw 

jw
ô ( w )  atan 
2sin( w )  2sin(2 w )  2sin(3w )  sin(4 w )
A
w
F( w)  A( w)  B( w)
B

 B( w) 
2
1  2 cos( w )  2 cos(2 w )  2 cos(3w )  cos(4 w )
w
4
2
ô () 0
2
4
0
210
3
410
3
610

A( w) 
3
3
810
2
3
310
3
210
F(  )
3
110
0
0
3
3
210
410
610
3
3
810

3) Определить комплексную передаточную функцию цепи, построить
графики передаточных АЧХ и ФЧХ, 0 ≤ ω ≤ 3π/τ
Комплексная схема замещения:
Z+Z
Z
Z
Z
u
u
Составим систему уравнений по закону Кирхгофа:



I
(
Z

Z
)

I
Z

U
1
R
L
2
C
ÂÕ


 
 I 3 (Z R  Z L )  I 2 ZC
 

 I 3 Z R  U ÂÛ Õ

 I  I. 2  I 
3
 1



U

I
ÂÕ
2 ZC
I 1 

ZR  ZL


 
I 2 ZC
I 3 
ZR  ZL



  U ÂÛ Õ
I 3  Z
R


.


I

I

I
2
3
 1



U

I
ÂÕ
3 (Z R  Z L )
I 1 

ZR  ZL


 
I 2 ZC
I 3 
ZR  ZL



  U ÂÛ Õ
I 3  Z
R


.


I

I

I
2
3
 1



U

U ÂÕ  ÂÛ Õ ( Z R  Z L )
ZR

I 1 
ZR  ZL


 
 I 2 Z C  U ÂÛ Õ
Z  Z
ZR
L
 R

 
 I  I 2 ZC
 3 ZR  ZL

.

I  I 2  I
3
 1



U

U ÂÕ  ÂÛ Õ ( Z R  Z L )
ZR

I 1 
ZR  ZL

.
 
U
 I  ÂÛ Õ
 3
ZR

.

  U ÂÛ Õ  Z R  Z L 
I 2 
Z R ZC

.


I

I

I
2
1
3



U
.
U ÂÕ  ÂÛ Õ ( Z R  Z L ) .
ZR
U ÂÛ Õ U ÂÛ Õ  Z R  Z L 


ZR  ZL
ZR
Z R ZC




Z R Z C U ÂÕ  U ÂÛ Õ ( Z R Z C  Z L Z C )  Z C ( Z R  Z L ) U ÂÛ Õ  U ÂÛ Õ  Z R  Z L 



Z R Z C U ÂÕ  U ÂÛ Õ Z R Z C  Z L Z C  Z R Z C  Z L Z C   Z R  Z L 

U ÂÛ Õ

U ÂÕ

Z R ZC
Z R ZC  Z L ZC  Z R ZC  Z L ZC   Z R  Z L 
2
2
2

R
jwC


2 R 2 jwL
2

 ( R  jwL)
jwC jwC
R
R
jwC


2
2
3 2
2
2 R  2 jwL  jwCR  2w CLR  jw L C 2 R  2 jwL  jwCR  2w2CLR  jw3 L2C
jwC
R
H ( jw) 
2
(2 R  2 w CLR )  j ( w3 L2C  2wL  wCR 2 )
R
H (w ) 
(2 R  2 w CLR )  ( w3 L2C  2 wL  wCR 2 ) 2
2
2
1


 2 R( wL  wC ) 
 ( w)    arctg 

2
2
 ( R 2  wL(
 wL) 
wC



3
L  16.2  10
H( w ) 
6
C  0.8  10
R  100
3
  10
R
2R  2w2  L  C  R2  w3  L2  C  2  w  L  w  C  R22
 2  R   w  L  1  


 

w  C  

( w ) 
 atan 

2
 R2  w  L   2  w  L 

wC
 
0.4
H( w)
0.2
0
4
4
110
0
210
w
4
2
ô ( w) 0
2
4
0
110
4
210
4
310
4
w
4) Определить комплексную спектральную плотность выходного напряжения
(реакции) цепи, построить графики амплитудного и фазового спектров
0 ≤ ω ≤ 3π/τ
Fвых ( j )  Fвх ( j )  H ( j )
Fâû õ ( jw) 
F2( ) 
R(1  2e jw  2e2 jw  2e j 3w  e4 jw )
(w4 L2C  2w2 L  w2CR 2 )  j (2wR  2w3CLR)

R 1  2 e

 j  
 2 e
 j    2
 
 2 e
 j    3
 1 e

 j    4

j   2 R  2 R L C  j  CL   R C  2 L 
2
3
2
2
F( )  F2( )
1.510
110
3
3
F(  )
510
4
0
210
0
3
410
3
610
3
810

ô ( )  arg( F2( ) )
4
2
ô () 0
2
4
0
210
3
410
3
3
610

810
3
3
5) Определить функцию мгновенных значений напряжений на выходе цепи,
построить график, 0 ≤ t ≤ 6τ
1
U в ых (t ) 
2

F
в ых
( j )  e jt d

R   1  2e p  2e2 p  2e3 p  1e4 p 
M ( p)

N ( p) p( p3C L2  2 p 2 RLC  pR 2C  2 pL  2R)
Fâû õ ( p) 
По теореме разложения:
n
M ( pk ) pk t
e
'
k 1 N ( pk )
U âû õ (t )  
Найдём корни уравнения N(p)=0 при помощи математического пакета Mathcad
6172.8395061741137022


0
3 2
2
2

p  p  L  C  2p R  L  C  p  R C  2p  L  2R solve p  
 3086.4197530909431489  12033.079438038634781i 
 3086.4197530909431489  12033.079438038634781i 




Из найденных корней мы видим, что один из них равен 0 и два корня комплексно сопряжённых
*
Если среди корней уравнения N(p)=0 имеются комплексно сопряжённые корни pk и p k , то при
вычислении соответствующих им слагаемых в суммах выражений достаточно определить
удвоенное значение действительной части одного (любого) из этих слагаемых т.е.
*
M(p )

M ( pk ) pk t M ( p k ) pk t
e 
e  2Re  ' k e pk t 
*
'
N ( pk )
 N ( pk )

N '( p )
k
3
6
L  16.2  10
C  0.8  10
R  100
6172.8395061741137022


0
3 2
2
2

p  p  L  C  2p R  L  C  p  R C  2p  L  2R solve p  
 3086.4197530909431489  12033.079438038634781i 
 3086.4197530909431489  12033.079438038634781i 




3
2
2
2
z( p)  p  p  L  C  2  p  R  L  C  p  R  C  2p  L  2  R
p  0
a( p ) 
p1  6172.8395061741137022
p2  3086.4197530909431489  12033.079438038634781i
d
z( p )
dp
a( p)  200
a( p1)  200

a( p2)  779.744i
x 
R
x1 
a( p )
x  0.5
R
x2 
a( p1)
x1  0.5
R
a( p2)
x2  0.128i
  0.001
u1( t)  x  e
u ( t) 
pt
 x1  e
p1t

 2Re x2  e
p2t

u1( t) if 0  t  
u1( t)  2 u1( t  ) if   t  2  
u1( t)  2 u1( t  )  2 u1( t  2  ) if 2    t  3  
u1( t)  2 u1( t  )  2 u1( t  2  )  2 u1( t  3  ) if 3    t  4  
( u1( t)  2 u1( t  )  2 u1( t  2  )  2 u1( t  3  ) )  u1( t  4  ) if 4    t  
u2( t) 
1 if 0  t  
1 if   t  2  
1 if 2    t  3  
1 if 3    t  4  
0 if 4    t  
2
1
u( t )
u2( t )
0
1
2
210
0
3
410
3
610
3
t
6) Определить L-изображение входного воздействия;
U вх ( p)  U ( p) a e  p

U âõ ( p) 
1
1  2e p  2e2 p  2e3 p  1e4 p 

p
7) Определить операторную передаточную функцию цепи, нарисовать ее
нуль-полюсную диаграмму и операторную схему замещения цепи;
R
u
H ( p) 
pL
pL
1/pC
U âû õ ( p)
R
 3 2
2
U âõ ( p)
p L C  2 p RLC  pR 2C  2 pL  2 R
Эта функция не имеет нулей и имеет 3 полюса:
p1  6172.839
p2  3086.419  12033.079
p3  3086.419  12033.079
Соответствующая нуль-полюсная диаграмма имеет вид:
R
u
8) Определить L-изображение реакции цепи, перейти от L-изображения
реакции цепи к оригиналу, построить график функции мгновенных значений
напряжения на выходе цепи, 0 ≤ t ≤ 6τ
U вых ( p)  U вх ( p)  H ( p)
Fâû õ ( jw) 
u1( t)  x  e
u ( t) 
R(1  2e p  2e2 p  2e jp  e4 p )
p 4 L2C  2 p3CRL  p 2CR 2  2Lp 2  2Rp
pt
 x1  e
p1t

 2Re x2  e
p2t

u1( t) if 0  t  
u1( t)  2 u1( t  ) if   t  2  
u1( t)  2 u1( t  )  2 u1( t  2  ) if 2    t  3  
u1( t)  2 u1( t  )  2 u1( t  2  )  2 u1( t  3  ) if 3    t  4  
( u1( t)  2 u1( t  )  2 u1( t  2  )  2 u1( t  3  ) )  u1( t  4  ) if 4    t  
u2( t) 
1 if 0  t  
1 if   t  2  
1 if 2    t  3  
1 if 3    t  4  
0 if 4    t  
2
1
u( t )
u2( t )
0
1
2
0
210
3
410
t
3
610
3
9) Определить переходную и импульсную характеристики цепи, построить их
графики 0 ≤ t ≤ 6τ
H ( p)
p
h(t ) 
H ( p) 
h (t )  H ( p)
R
p R LC  2 p RLC  2 pR 2 C  pL  2 R
3
2
2
2
R
p( p L C  2 p RLC  pR 2C  2 pL  2 R)
h( p ) 
3 2
2
3
6
L  16.2  10
C  0.8  10
R  100
6172.8395061741137022


0
3
2
2
2

p  p  L  C  2p R  L  C  p  R C  2p  L  2R solve p  
 3086.4197530909431489  12033.079438038634781i 
 3086.4197530909431489  12033.079438038634781i 




3
2
2
2
z( p)  p  p  L  C  2  p  R  L  C  p  R  C  2p  L  2  R
p  0
p2  3086.4197530909431489  12033.079438038634781i
p1  6172.8395061741137022
d
z( p )
dp
a( p ) 
a( p)  200
x 

a( p1)  200
R
x1 
a( p )
x  0.5
x1  0.5
a( p2)  779.744i
R
x2 
a( p1)
R
a( p2)
x2  0.128i
  0.001
h( t)  x  e
pt
 x1  e
p1t

 2  Re x2  e
p2t

0.4
h( t )
0.2
0
0
3
3
110
210
t
310
3
Импульсная характеристика hδ(t) является реакцией цепи на входное
воздействие в виде δ-функции, изображение которой равно 1.
h (t ) 
d
h(t )
dt
d
h( t)
dt
hb ( t) 
hb( t )
310
3
210
3
110
3
0
 110
3
3
110
0
210
3
310
3
t
10) Пользуясь интегралом Дюамеля, рассчитать реакцию цепи на заданное
входное воздействие, построить график функции мгновенных значений
напряжений на выходе цепи 0 ≤ t ≤ 6τ
Реакцию цепи на входное воздействие
 f (t ) ïðè t  0
U âõ (t )  
 0 ïðè t  0
Где f(t) – функция времени, можно определить с помощью интеграла Дюамеля:
t
U âûõ (t )  f (0)h(t )   f ( )h(t   )d
0
Заданная функция входного
воздействия кусочно-непрерывная, имеет пять
интервалов непрерывности:
u ( t) 
1 if 0  t  
1 if   t  2 
1 if 2   t  3 
1 if 3   t  4 
0 if 4   t  
U âû õ (t )  f1 (0)h(t )  h(t ) ï ðè 0  t  
U âû õ (t )  h(t )  2h(t   ) ï ðè   t  2
U âû õ (t )  h(t )  2h(t   )  2h(t  2 ) ï ðè 2  t  3
U âû õ (t )  h(t )  2h(t   )  2h(t  2 )  2 h(t  3 ) ï ðè 3  t  4
U âû õ (t )  h(t )  2h(t   )  2h(t  2 )  2 h(t  3 )  h(t  4 ) ï ðè 4  t  
2
1
u( t )
0
1
2
0
210
3
410
3
610
3
t
11) Сравнить результаты, полученные при анализе цепи различными
методами. Расчет цепи произведен тремя методами. Результаты анализа при
различных методах совпадают.
Московский Технический Университет
Связи и Информатики
Курсовая работа по ОТЦ на тему
«Методы анализа электрических цепей
при негармоническом воздействии»
Выполнил:
Студент гр. АТ0701
Чирков Д.А.
Проверил
Афанасьев В.П.
Москва 2008