У=0. - stanuprofi.ru

ЛОГИКА В ИНФОРМАТИКЕ.
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКУЮ ЛОГИКУ.
Вся наша жизнь протекает в непрерывных размышлениях, мы ищем
выход в непростых жизненных ситуациях, решаем большие и маленькие
проблемы. Изучение законов человеческого мышления – предмет науки
логики.
Логика (от древнегреческого λογος — мысль) — наука о способах
рассуждения при движении к истине.
Пример логической задачи: Пока трое мудрецов спали под деревом,
озорной ребенок покрасил их головы в красный цвет. Проснувшись, каждый
мудрец обнаружил дело рук ребенка на головах своих друзей. Естественно они
начали смеяться. Внезапно один замолчал. Почему?
Ответ: Мудрец перестал смеяться потому, что понял, что его голова
тоже раскрашена. Этому предшествовали следующие мысли:
Допустим головы покрашены, только у двоих других мудрецов, но тогда
вскоре один из них поймет, что его голова раскрашена, ведь если бы это
было не так, то мудрецу с раскрашенной головой не было бы над чем
смеяться. Но мудрецы не перестают смеяться, значит, моё допущение
неверно, и моя голова тоже раскрашена.
(Ещё один пример логики, на этот раз женской: Таких, как я, немного: только я... )
Логика, развиваемая с помощью математических методов,
получила название математической логики. Эта наука исследует
соотношения между основными понятиями математики, на основе которых
доказывается истинность математических утверждений.
Человек не применяет математическую логику для решения каких-либо
проблем, но множество элементарных логических операций математической
логики входят в языки программирования и являются обязательной частью
набора инструкций всех современных микропроцессоров. Это является
1
одним из важнейших практических приложений методов математической
логики, изучаемых в рамках науки информатики.
Формы мышления.
Мышление всегда осуществляется в каких - либо
формах.
Важными формами мышления являются:
 Понятия (например, треугольник, компьютер). Понятие фиксирует
основные, существенные признаки объекта.
 Высказывания – суждения, выраженные в форме повествовательных
предложений. Высказывание может быть либо истинно, либо ложно.
Например, сумма углов в треугольнике равна 180 градусам.
(В геометрии Евклида это высказывание является истинным, а в
геометрии Лобачевского - ложным)
Простому высказыванию поставим в соответствие логическую
переменную Х (У, Z), которая принимает значение 1, если высказывание
истинно, и 0, если высказывание ложно.
Например:
«Два умножить на два равно четырем» - истинное высказывание, ему
соответствует значение логической переменной 1: Х=1.
« Два умножить на два равно пяти» - ложное высказывание, ему
соответствует значение логической переменной 0: У=0.
Высказывание, состоящее из нескольких простых высказываний, которые
связаны с помощью логических союзов «И», «ИЛИ», «ЕСЛИ, ТО» и др.,
является сложным.
Пример: Солнце встало (Х), и птицы запели (У).
Логические выражения и логические операции.
Каждое сложное высказывание можно выразить в виде формулы, в
которую войдут логические переменные (Х, У и т.д.) и знаки логических
операций (,  и т.д.).
Пример: Х  У
2
Любое логическое выражение можно рассматривать как логическую
функцию, аргументами которой являются логические переменные. И сама
функция, и аргументы могут принимать только два значения: «истина» или
«ложь» – 0 или 1. Функции такого вида называются булевыми по имени
Джорджа Буля (1815-1864), английского математика и логика (отца Этель
Лилиан Войнич).
Унарные функции (операции)
Унарные функции имеют один аргумент.
Отрицание - логическая операция инверсии (логическое "НЕТ"),
результатом которой является суждение «противоположное» исходному.
Обозначается X или Х, читается не X, удобно представить в виде таблицы:
X
X
0
1
1
0
ЛОЖЬ = 0, ИСТИНА = 1 или
X
ЛОЖЬ
ИСТИНА
X
ИСТИНА
ЛОЖЬ
Повторение - тождественная функция, логическое "ДА". Таблица
истинности:
X
0
1
X
0
1
3
Тождественный ноль, тождественная ложь, тождественное "НЕТ". Таблица
истинности:
X
0
1
0
0
0
Тождественная единица, тождественная истина, тождественное "ДА".
Таблица истинности:
X
0
1
1
1
1
Все четыре унарные функции можно представить в одной таблице:
X
0
X
1
X
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
Пример. Пусть аргументы унарной функции описывают состояние погоды: Х
= 1 – светит солнце (хорошая погода), а Х = 0 –дождливая погода (плохая
погода). Пусть результаты унарной функции описывают поведение детей с
различными характерами и, поэтому, с разными отношениями к прогулкам:
Y = 1 – ребенок гуляет на улице, Y = 0 – ребёнок сидит дома. Тогда таблица
примет вид:
Погода
плохая
хорошая
«домосед» «упрямец» «послушный»
сидит дома
гуляет
сидит дома
сидит дома сидит дома
гуляет
«гулёна»
гуляет
гуляет
Бинарные функции
Бинарные функции имеют два аргумента.
Дизъюнкция1 (логическое «ИЛИ», логическое сложение) - логическая
операция по своему применению максимально приближённая к союзу «или»
в смысле «или то, или это, или оба сразу». Обозначается X  Y (или X  Y),
читается X или Y, удобно представить в виде таблицы истинности:
1
от латинского disjunctio - разобщение
4
X
0
0
1
1
Пример:
Y
XY
0
0
1
1
0
1
1
1
Пусть Х=1, Y=-1
если 1<Х<3 или Y<0, то Х=Х+1; иначе Х=Х-2
Выражение А=(1<Х<3)=ЛОЖЬ, выражение B=(Y<0)=ИСТИНА, выражение
C=AB=ИСТИНА. Следовательно, Х=2.
Конъюнкция2 (логическое "И", логическое умножение) - логическая
операция, по своему применению максимально приближённая к союзу "и".
Обозначается X  Y (или X  Y, X & Y), читается X и Y, таблица
истинности:
X
0
0
1
1
Пример:
Y
0
1
0
1
Х=1, Y=-1
XY
0
0
0
1
если 1<Х<3 и Y<0, то Х=Х+1; иначе Х=Х-2
Выражение А=(1<Х<3)=ЛОЖЬ, выражение B=(Y<0)=ИСТИНА, выражение
C=AB= ЛОЖЬ. Следовательно, Х=-1.
Штрих Шеффера (операция И-НЕ) — обозначается X | Y, таблица значений:
X
Y
X|Y
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Штрих Шеффера можно выразить через отрицание и конъюнкцию:
X | Y =  (X  Y)
2
от латинского conjunctio союз, связь
5
Чтобы это показать, построим таблицу для конъюнкции и инвентируем
результат:
X
Y
XY
 (X  Y)
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
Генри Морис Шеффер (1882 — 1964) — американский логик.
Стрелка Пирса (операция ИЛИ-НЕ) — означает «ни X, ни Y», обозначается
X ↓ Y, таблица значений:
X
Y
X↓Y
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
Стрелку Пирса можно выразить через отрицание и дизъюнкцию:
X ↓ Y =  (X  Y)
Чтобы это показать, построим таблицу для дизъюнкции и инвентируем
результат:
X
0
0
1
1
Y
0
1
0
1
XY
0
1
1
1
 (X  Y)
1
0
0
0
6
Чарльз Сандерс Пирс (1839 — 1914), американский философ, логик,
математик.
Импликация (implication (англ.) - следствие, вывод) - логическая операция,
по своему применению приближенная к союзам «если… то…». Обозначается
X  Y (или X  Y), таблица истинности:
X
0
0
1
1
Y
0
1
0
1
XY
1
1
0
1
Пример: "Житейская" модель импликации: Х — начальник. Он может
приказать "работай" (1) или сказать "делай что хочешь" (0). Y —
подчиненный. Он может работать (1) или бездельничать (0). В таком
случае импликация — послушание подчиненного начальнику. Послушания нет
только тогда, когда начальник приказывает работать, а подчиненный
бездельничает.
Пример: если фигура А квадрат, то фигура А — прямоугольник (1,0, 0).
Эквивалентность — логическая операция. Обозначается X ≡ Y (или X ↔
Y), означает «X то же самое, что Y», «X эквивалентен Y», «X тогда и только
тогда, когда Y». Таблица истинности:
X
0
0
1
1
Y
0
1
0
1
X≡Y
1
0
0
1
7
Тождественный ноль, тождественная ложь, тождественное "НЕТ". Таблица
истинности:
X
0
0
1
1
Y
0
1
0
1
0
0
0
0
0
Тождественная единица, тождественная истина, тождественное "ДА".
Таблица истинности:
X
0
0
1
1
Y
0
1
0
1
1
1
1
1
1
Все названные бинарные функции можно представить в одной таблице:
X≡
X XY X|Y X↓Y X
Y
Y
Y
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
Есть и другие бинарные операции. Всего бинарных операций - 16.
X
Y
0
1
1
1
1
1
Тернарные функции
Среди логических функций трёх аргументов (X,Y,Z) широко известной
является мажоритарная функция, на основе которой в своё время строились
комбинационные схемы элементов вычислительной техники. Мажоритарная
функция Fm принимает значение «истина», в тех случаях, когда два или три
её аргумента истинны. Иными словами, таблица истинности функции
отражает торжество большинства единиц. Отсюда и название –
мажоритарная, т.е. отображающая большинство.
8
X
0
0
0
0
1
1
1
1
Y
0
0
1
1
0
0
1
1
Z
0
1
0
1
0
1
0
1
Fm
0
0
0
1
0
1
1
1
Некоторые свойства логических операций
свойство
коммутативность
(переместительный
закон)
ассоциативность
(сочетательный закон)
дистрибутивность
(распределительный
закон)
закон двойного
отрицания3
закон исключения
третьего4
законы де Моргана
(общая инверсия )
Закон непротиворечия5
Правила исключения
констант:
1) Для логического
сложения,
2) Для логического
умножения.
Раскрытие импликации
для логических
операций
XY=YX
XY=YX
аналогия для операций с
числами
a+b=b+a
ab = ba
(X  Y)  Z= X  (Y 
Z)
(X  Y)  Z= X  (Y 
Z)
X  (Y Z) =(XY) 
(XZ)
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc)
Х=Х
-(-a) = a
a(b + c) = ab + ac
Х  Х = 1
 (X  Y) = Х  Y
 (X  Y) = Х   Y
Х  Х = 0
Х  1 = 1, Х  0 = X
Х 1 = Х, Х  0 = 0
X→Y=XY
3
Если дважды отрицать некоторое высказывание, то получим исходное"
может быть либо истинным, либо ложным - "третьего не дано".
Дизъюнкция таких высказываний – принимает значение «истина».
5
- высказывание не может одновременно быть истинным и ложным
4Высказывание
9
Раскрытие
эквивалентности
X↔Y=(XY)(XY)
Законы легко проверяются с помощью таблиц истинности для обеих частей
равенств на всех наборах переменных.
Пример:
законы де Моргана можно проверить, построив таблицу значений для:
 (X  Y), Х  Y,  (X  Y), Х   Y
X
0
0
1
1
Y
0
1
0
1
(XY)=X↓Y
1
0
0
0
X
1
1
0
0
Y
1
0
1
0
X
Y
(XY)=X|Y
X
Y
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
Огастес де Морган (1806-1871), шотландский математик и логик.
Х  Y
1
0
0
0
Х  Y
1
1
1
0
10
Приоритет логических операций
приоритет логических
приоритет для операций с
операций
числами
1) инверсия
1) отрицание
2) конъюнкция
2) умножение
3) дизъюнкция
3) сложение
Операции одного приоритета выполняются слева направо. Для
изменения порядка действий используются скобки.
Пример. ¬ А  В  С  D =
(( ¬ А)  В)  (С  D).
-AB+CD
=
((- A)  B) + (C  D)
Решение логических задач с помощью теории булевых функций
Условия логической задачи следует записать в виде логической
функции. Далее упрощают полученную формулу, что приводит к ответу.
Пример: На кафедре биофизики в каждой из двух аудиторий может
находиться либо кабинет информатики, либо кабинет физики. На дверях
аудиторий студенты-шутники повесили таблички, про которые известно,
что либо они обе истинны, либо ложны. На первой аудитории повесили
табличку « По крайней мере, в одной из этих аудиторий размещается
кабинет информатики», а на второй аудитории – табличку с надписью
«Кабинет физики находится в другой аудитории». Определите, какой
кабинет размещается в каждой из аудиторий.
Переведем условие задачи на язык алгебры логики.
Так как в каждой из аудиторий может находиться кабинет информатики, то
пусть:
А – « В первой аудитории находится кабинет информатики»
В – « Во второй аудитории находится кабинет информатики»
Отрицания этих высказываний:
 А – « В первой аудитории находится кабинет физики»
 B – « Во второй аудитории находится кабинет физики»
11
Высказывания на табличках:
На первой двери – « По крайней мере, в одной из этих аудиторий
размещается кабинет информатики», соответствует логическому выражению:
Х=АВ
На второй двери - «Кабинет физики находится в другой аудитории»:
У=А
Содержащееся в условии задачи утверждение о том, что надписи на
табличках
одновременно
истинные,
соответствуют
функции
эквивалентности:
(Х ↔ У) = 1
Раскроем функцию эквивалентности:
(ХУ )  ( ХУ) = 1
Подставим вместо Х и У соответствующие им выражения:
((АВ) А )  ( (АВ)А) = 1
Упростим первую и вторую части выражения отдельно:
1) (АВ) А =( А А)  ( В А) , в соответствии с правилом
дистрибутивности.
В соответствии с законом непротиворечия:
( А А)  ( В А) = 0 ( В А)
В соответствии с правилом исключения констант:
0 (В А) = ( В А)
2) В соответствии с законом Де Моргана и законом двойного отрицания:
( (АВ)А) = (АВА) = (А  А В)
В соответствии с законом непротиворечия:
(А  А В) = (0 В) = 0
В результате преобразования первого и второго слагаемых получаем:
12
( В А)  0 = 1
В соответствии с правилом исключения констант:
( В А) = 1
Что означает, что справедливы следующие высказывания:
В – « Во второй аудитории находится кабинет информатики»,
 А – « В первой аудитории находится кабинет физики».
Логическая реализация типовых устройств компьютера
Логические схемы
Компьютеры
выполняют
программы
(или
алгоритмы).
При
выполнении программы логические элементы компьютера оперируют с
сигналами, представляющими собой электрические импульсы. Есть импульс
– логическое обозначение сигнала - 1, нет импульса – значение 0 (двоичный
код!). В электронных устройствах компьютера двоичные единицы чаще всего
кодируются более высоким уровнем напряжения, чем двоичные нули (или
наоборот), например:
На вход логического элемента поступают сигналы – аргументы, на выходе
появляются сигналы-функции. Преобразование сигнала логическим
элементом задаётся фактически таблицей истинности, соответствующей
логической функции (с ними мы уже познакомились).
Любая логическая функция может быть представлена в виде
комбинации трёх базовых, поэтому логические схемы компьютера,
производящие обработку или хранение информации, могут быть собраны из
базовых логических элементов (вентилей), как из кирпичиков. Вентиль –
атом, из которого состоит ЭВМ.
13
Из базовых элементов (вентилей) собирают, конструируют сложные
логические схемы ЭВМ. В компьютерах первого поколения логические
схемы делали на электронных лампах, в компьютерах второго поколения - на
транзисторах, сейчас для создания логических схем используют большие
интегральные схемы. Большие (БИС) и сверхбольшие (СБИС) интегральные
схемы содержат (на кристалле кремния площадью в несколько квадратных
сантиметров) десятки тысяч вентилей. Это возможно ещё и потому, что
базовый набор схем является функционально полным, а представление
логических констант в них одинаково (одинаковые электрические сигналы,
представляющие 1 и 0). Т.е. входы и выходы схем можно соединять,
присоединяя одну схему к другой и «вкладывая» схемы друг в друга. Так
образуются узлы ЭВМ – ячейки памяти, регистры и т.д.
Итак, базовые логические элементы реализуют три базовые логические
операции:
Логический элемент «И»(конъюнктор) – логическое умножение;
Логический элемент «ИЛИ»(дизъюнктор) – логическое сложение;
Логический элемент «НЕ» (инвертор) – инверсию.
дизъюнктор конъюнктор
XY
XY
инвертор
X
14
Пример: Схемы, выполняющие бинарные функции, изображены в таблице:
дизъюнктор конъюнктор
XY
XY
штрих
Шеффера
 (X  Y)
стрелка
Пирса
 (X  Y)
Рассмотрим подробнее принцип работы логического элемента «И» (Рис. 1.1):
На входы Х1 и Х2 логического элемента подаются четыре пары сигналов, а
на выходе получается последовательность из четырёх сигналов, значения
которых определяются в соответствии с таблицей истинности операции
логического умножения.
Простейшей моделью логического элемента «И »может быть
электрическая схема, состоящая из источника тока, лампочки и двух
выключателей. Из схемы видно, что если оба выключателя замкнуты (на
обоих входах 1), по цепи идёт ток и лампочка горит (на выходе 1). Если хотя
бы один выключатель разомкнут (на одном из входов 0), то тока нет, и
лампочка не горит (на выходе 0).
Задание. Составьте простейшие электрические схемы, которые могли
бы служить моделью логических элементов «НЕ» и «ИЛИ».
Пример. Построить логическую схему соответствующую логическому
выражению AvBA.
Решение: AvBA = Av(BA). Сначала строим конъюнктор BA. Выход
конъюнктора и вход А - входы для следующего дизъюнктора:
15
Пример. По логической схеме получить логическое выражение.
Решение: Первым (слева) стоит конъюнктор BС. Выход конъюнктора и А входы для следующего дизъюнктора Av(BС). Последним стоит инвентор.
Получаем:  (AvBC).
Математический аппарат алгебры логики очень удобен для
описания того, как функционируют аппаратные средства компьютера.
Одни и те же устройства компьютера могут применяться для обработки и
хранения как числовой информации, представленной в двоичной системе
счисления, так и для обработки логических переменных.
Обработка любой информации на компьютере сводится к выполнению
процессором различных арифметических и логических операций. Для этого в
состав
процессора
входит
так
называемое
арифметико-логическое
устройство (АЛУ). Оно состоит из ряда устройств, построенных на
рассмотренных выше логических элементах. Важнейшими из таких
устройств являются триггеры, полусумматоры, сумматоры, шифраторы,
дешифраторы, счетчики, регистры.
16
Этапы конструирования логического устройства.
Конструирование логического устройства состоит из следующих этапов:
1. Построение таблицы истинности по заданным условиям работы
проектируемого узла (т.е. по соответствию его входных и выходных
сигналов).
2. Конструирование логической функции данного узла по таблице
истинности, ее преобразование (упрощение), если это возможно и
необходимо.
3. Составление функциональной схемы проектируемого узла по формуле
логической функции.
После этого остается только реализовать полученную схему.
Пример логической схемы персонального компьютера, разработанного
А.Ф.Волковым из г. Днепродзержинска в 1985 г. и логическая схема
машины Pentagon - 1024 SL, реализованная на базе ПЛИС FPGA
EP2C8Q208C8N .
pentagon.nedopc.com
)
17
Сумматор
Сумматор — это вычислительная схема, выполняющая процедуру
сложения поступающих на ее вход двоичных кодов.
По числу входов различают полусумматоры, одноразрядные сумматоры (ОС)
и многоразрядные сумматоры.
Рассмотрим
построение
схемы
одноразрядного
полусумматора,
предназначенного для сложения двух двоичных чисел в одном разряде.
Составим таблицу логических значений для сумматора, где А, В —
слагаемые, Р и Y — перенос и цифра разряда для суммы соответственно:
Входы
Выходы
A
B
P
Y
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
Заметим, что Р — это функция, реализующая операцию конъюнкции двух
переменных A и В, а Y - отрицание операции эквивалентности:
Р = А & В;
18
Y = (A v В) & ¬(А & В).
На основе полученных логических функций можно построить схему
полусумматора. Схема требует два логических элемента И, один логический
элемент ИЛИ, один логический элемент НЕ.
Эта схема называется полусумматором, так как в ней отсутствует третий
вход — перенос из предыдущего разряда.
Триггер.
Основной принцип работы ячеек оперативной памяти – это хранение
информации. Она энергозависима и просто держит сигнал, никаких
преобразований
здесь
не
происходит.
Основным
элементом
схемы,
удерживающей сигнал, является триггер.
Триггер – электронная схема, применяемая для хранения одного бита
информации.
Триггер имеет два устойчивых состояния, одно из которых соответствует
двоичной единице, а другое — двоичному нулю.
Термин триггер происходит от английского слова trigger — защёлка,
спусковой крючок. Для обозначения этой схемы в английском языке чаще
употребляется термин flip-flop, что в переводе означает "хлопанье". Это
19
звукоподражательное название
электронной
схемы
указывает на её
способность почти мгновенно переходить ("перебрасываться") из одного
электрического состояния в другое и наоборот.
Самый распространённый тип триггера — так называемый RS-триггер (S и R,
соответственно, от английских set — установка, и reset — сброс). Условное
обозначение триггера — на рис.
Задание: Сколько надо триггеров для запоминания 1 Кбайта ?
Наряду с универсальными логическими элементами И-НЕ, ИЛИ-НЕ
триггеры являются теми “кирпичиками”, которые составляют фундамент
современной электронной автоматики и цифровой техники.
Зная функцию, которую должен выполнять элемент, напишем словесный
алгоритм схемы триггера.
1. Устройство должно “помнить” 0 или 1, причем это состояние можно
прочитать. Значит, должен быть один выход Q (его состояние и есть
хранимый бит) и второй выход
для обратного значения хранимого
бита.
2. Устройство должно допускать переключение в другое состояние, с
другим значением на выходе, т.е. должен быть вход. Удобно, если у
20
него два входа: один для записи единицы S(установочный вход -set),
другой R(вход –reset- сброс) – для записи нуля.
3. Если на входах нет сигналов, т.е. нули, состояние выхода должно
сохраняться. Как? Для сохранности установленной информации
необходима “петля” (от выхода Q на вход подавать обратно
хранящиеся значение Qстар.), т.е. состояние на выходе Q зависит от
предыдущего его состояния Qстар. Процесс хранения появляется потому,
что сначала элемент создает сигнал на выходе, и лишь, затем этот
сигнал попадает на вход.
4. Переключение на хранение другой информации происходит при подаче
короткого сигнала, после чего на входах опять остаются нули. Итак,
основное состояние триггера – нули на входах.
Построим таблицу истинности элемента по словесному алгоритму (выход
во внимание пока не берем).
Таблица 1.
Таблица 1.
Входы
№
Выход
S R Qстар. Q
0
0 0
0
0
1
0 0
1
1
2
0 1
0
0
3
0 1
1
0
Примечания
На входы R,S ничего не подается.
Qстар подает для хранения 0.
На входы R,S ничего не подается.
Qстар подает для хранения 1.
Итог
Хранение 0
Хранение 1
Поданный сигнал на R во время
хранения 0 записывает в триггер 0.
Запись 0
Поданный сигнал на R во время (сброс)
хранения 1 записывает в триггер 0.
21
4
1 0
0
1
5
1 0
1
1
6
1 1
0
Х
Поданный сигнал на S во время
хранения 0 записывает в триггер 1.
Поданный сигнал на S во время (установка)
хранения 1 записывает в триггер 1.
Рассмотренные выше сигналы на
входе/выходе
7
1 1
1
Х
достаточны
хранения бита информации.
На схеме второй выход обозначим
убедимся, что
Запись 1
для Х- любое
состояние
. (Рис. 2). При анализе работы триггера
на прямом и инверсном выходах сигналы всегда
противоположны.
Триггер можно собрать на 4-х логических базисных элементах И-НЕ. Рис.3.
4. Анализ работы, таблица истинности RS – триггера
Рассмотрим логическую схему RS-триггера на базисе И-НЕ.
I.
Пусть подали сигнал только на вход R (S=0, R=1).
Логические элементы Э1, Э2 инвертируют сигналы. В результате на
один вход Э3 поступает 1, а на один вход Э4 – 0. Поскольку на одном
22
из входов Э4 есть 0 , независимо от состояния другого входа на его
выходе
обязательно установится 1. Эта единица передается на вход
Э3 и в сочетании
=1 порождает на выходе Э3 Q=0.
Вывод
. Если подается сигнал только на вход R (S=0, R=1),то на прямом
выходе триггера нет сигнала Q=0, а на выходе
=1.
Примечание. Обозначение состояния триггера по договоренности
связывается с прямым выходом (Q). Рассмотренная комбинация
входных сигналов делает на прямом выходе 0, говорят: “триггер
сбрасывается”. Сброс по-английски называется “Reset”, отсюда вход,
появления сигнала на котором приводит к сбросу триггера, обозначают
буквой R.
II.
Пусть сигнал только на входе S (S=1, R=0).
Логические элементы Э1, Э2 инвертируют сигналы. В результате на
один вход Э3 поступит 0, а на один из входов Э4 -1. Поскольку на
одном из входов Э3 есть 0, независимо от состояния другого входа на
выходе Q обязательно установится 1. Эта единица передается на вход
Э4 и выход
станет равен нулю.
Вывод
. Если сигнал подается только на вход S (S=1, R=0), то на прямом
выходе триггера Q=1, а на выходе
=0.
Примечание. Триггер перейдет в единичное состояние – “установится”
(установка по-английски “Set”), отсюда вход, появления сигнала на
котором приводит к установки в триггере 1, обозначают буквой S.
III.
Пусть входных сигналов нет (S=0, R=0).
Тогда на один из входов элементов Э3 и Э4 будет подана 1, и их выходной
сигнал будет зависеть от сигналов на других входах.

Пусть на прямом входе Q=1. Тогда наличие единиц на обоих входах
элемента Э4 “подтверждает” нулевой сигнал на его выходе. Наличие
23
нуля на инверсном
выходе передается на Э3 и поддерживает
единичное состояние выхода Q (храним единицу).

Пусть на прямом входе Q=0. Тогда наличие 0 и 1 на входе элемента Э4
дает на инверсном выходе
=1. Эта единица передается на вход элемента Э3 и поддерживает нулевое
состояние выхода Q (храним ноль).
Вывод.
Это наглядно показывает, что при отсутствии сигналов на входах триггера
состояние триггера становится устойчивым, а триггер сохраняет свое
“предыдущее” состояние.
I.
Если сигнал подать на оба входа (S=1, R=1).
На обоих выходах триггера установится 1!!! Такое состояние является
неустойчивым: после снятия входных сигналов в зависимости от того, какой
из единичных импульсов от Q или
Э3,Э4: если к Э3, то Q=1,
“подойдет” быстрее к входам элементов
=0, если к Э4, то Q =0,
=1 , т.е. триггер
случайным образом перейдет в одно из своих устойчивых состояний. Эта
комбинация на практике не используется и является в RS – триггерах
запрещенной.
Проанализировав работу RS-триггера, запишем таблицу истинности:
Таблица 3.
Входы Выходы
Примечания
S
R
Q
0
0
x
x
Хранение (0 или 1)
0
1
0
1
запись 0 (сброс)
1
0
1
0
запись 1 (установки)
24
1
1
1
1
запрещено Q
Историческая справка:
В 1918 году советский ученый М.А. Бонч-Бруевич изобрел ламповый
триггер, а в 1919 году независимо от него такой же прибор изобрели
американцы У. Икклз и Ф. Джордан.
Михаи́л Алекса́ндрович Бонч-Бруе́вич (9 (21) февраля 1888, Орёл — 7 марта 1940, Ленинград) — советский
радиотехник, основатель отечественной радиоламповой промышленности. Член-корреспондент АН СССР (1931).
Профессор Московского высшего технического училища (1922), Ленинградского института инженеров связи (1932),
доктор технических наук. Работал в области разработки и конструирования радиоламп, радиовещания и дальних связей
на коротких волнах.
Шифратор и дешифратор.
Шифратор и дешифратор являются типовыми узлами ЭВМ. Шифратор
(кодер) преобразует единичный сигнал на одном из входов в n-разрядный
двоичный код. Наибольшее применение он находит в устройствах ввода
информации (пультах управления) для преобразования десятичных чисел в
двоичную систему счисления. Предположим, на пульте десять клавиш с
гравировкой от 0 до 9. При нажатии любой из них на вход шифратора
25
подается единичный сигнал (Х0, ..., Х9). На выходе шифратора должен
появиться двоичный код (Y0, ..., Y9) этого десятичного числа.
26