09-09-02

Тема 9. Системы линейных уравнений
09-09-02. Преобразования систем линейных уравнений
Теория
2.1. Напомним, что две системы с одинаковым набором неизвестных называют
равносильными, если их множества решений совпадают. Другими словами, две системы
равносильны в одном из следующих случаев:
— либо обе системы не имеют решений;
— либо каждое решение первой системы является решением второй системы и,
наоборот, каждое решение второй системы является решением первой системы.
Покажем, что системы
2
2
2
 x  y  z  1  x  y  z  1
 2

2
2
 x  y  z  2и  x  y  z  2
равносильны
Действительно, для любых значений x  x0 , y  y0 , z  z0 равенства x02  y02  z02  1
и x02  y02  z02  2 одновременно не могут выполняться, а поэтому первая система не имеет
решений. Аналогично устанавливается, что и вторая система не имеет решений.
Множества решений каждой из систем пусты и поэтому совпадают.
Покажем, что системы
 x  y  z  0  x  y  z  0
и 

x  y  0
z  0
равносильны .
Пусть набор чисел ( a b c) является решением первой системы. Это значит, что если
подставим вместо x значение a , вместо y значение b и вместо z значение c , то
получим равенства a  b  c  0 и a  b  0 . Отсюда c  (a  b  c)  (a  b)  0 .
Следовательно, набор чисел ( a b c) удовлетворяет всем уравнениям второй системы, то
есть является ее решением.
Обратно, пусть набор чисел (m n k ) является решением второй системы. Тогда
m  n  k  0 и k  0 , откуда m  n  (m  n  k )  k  0 . Следовательно, набор чисел
(m n k ) удовлетворяет всем уравнениям первой системы, то есть является ее решением.
2.2. При решении систем линейных уравнений используют преобразования систем,
сохраняющие равносильность. Преобразования можно применять к системам с любым
фиксированным числом неизвестных. Их применение основывается на следующих
свойствах систем линейных уравнений, которые мы рассмотрим на примере системы с
тремя неизвестными.
Свойство 1. Если левую и правую части одного из уравнений системы умножить на
ненулевое число, то получится система, равносильная данной.
Например, пусть система имеет вид
2 x1  5 x2  x3  4

 x1  3x2  4 x3  2
6 x  2 x  x  3
2
3
 1
При умножении обеих частей второго уравнения на число p , отличное от нуля,
получается система
2 x1  5 x2  3x3  4

 px1  3 px2  4 px3  2 p
6 x  2 x  x  3
2
3
 1
Если набор чисел (m1 n1 k1 ) является решением первой системы, то выполняются
равенства
2m1  5n1  k1  4
m1  3n1  4k1  2
pm1  3 pn1  4 pk1  2 p
6m1  2n1  k1  3
Первое, третье и четвертое из этих равенств показывают, что набор чисел (m1 n1 k1 )
является решением второй системы.
Обратно, пусть набор чисел (m2  n2  k2 ) является решением второй системы. Тогда
выполняется равенство
pm2  3 pn2  4 pk2  2 p
Так как p  0 , то, домножая обе части этого равенства на число 1p , получим
m2  3n2  4k2  2
Так как кроме этого выполняются равенства
2m2  5n2  3k2  4
6m2  2n2  k2  3
то набор чисел (m2  n2  k2 ) является решением первой системы.
2.3. Рассмотрим второе свойство систем линейных уравнений.
Свойство 2. Если к обеим частям одного из уравнений системы прибавить части
какого-нибудь другого уравнения этой системы, то получится система, равносильная
данной.
Рассмотрим систему
a11 x1  a12 x2  a13 x3  b1 

(1)
 ŗa21 x1  a22 x2  a23 x3  b2 
 ŗa x  a x  a x  b
 31 1 32 2 33 3 3
К обеим частям третьего уравнения почленно прибавим первое уравнение.
Тогда получится система
a11 x1  a12 x2  a13 x3  b1 

a21 x1  a22 x2  a23 x3  b2 
( a  a ) x  ( a  a ) x  ( a  a ) x  b  b 
32
12
2
33
13
3
3
1
 31 11 1
(2)
Если набор чисел (m1 n1 k1 ) является решением системы (1), то выполняются
равенства
a11m1  a12 n1  a13k1  b1
a21m1  a22 n1  a23k1  b2
a31m1  a32 n1  a33k1  b3
(a11m1  a12 n1  a13k1 )  (a31m1  a32 n1  a33k1 )  b1  b3 
Первое, второе и четвертое из этих равенств показывают, что набор чисел (m1 n1 k1 )
является решением системы (2).
Обратно, пусть набор чисел (m2  n2  k2 ) является решением системы (2). Тогда из
равенств
(a31  a11 )m2  (a32  a12 )n2  (a33  a13 )k2  b3  b1
и a11m2  a12 n2  a13k2  b1 следует равенство
(a31  a11 )m2  (a32  a12 )n2  (a33  a13 )k2
(a11m2  a12 n2  a13k2 )  b3  b1  b1
то есть
a31m2  a32 n2  a33k2  b3 
Так как кроме этого выполняется и равенство
a21m2  a22 n2  a23k2  b2 
то набор чисел (m2  n2  k2 ) является решением системы (1).
Рассмотрим систему
 x1  2 x2  3x3  6

2 x1  3x2  4 x3  5
По свойству 1 эта система равносильна системе
2 x1  4 x2  6 x3  12

2 x1  3x2  4 x3  5
По этому же свойству полученная система равносильна системе
2 x1  4 x2  6 x3  12

2 x1  3x2  4 x3  5
По свойству 2 последняя система равносильна системе, в которой второе уравнение
заменяется на сумму второго и первого уравнений:
2 x1  4 x2  6 x3  12

 x2  2 x3  7
В результате преобразований начальная система стала равносильна трапециевидной
системе.
2.4. Комбинируя первые два свойства систем, можно какое-нибудь уравнение
заданной системы умножить на ненулевое число и одновременно полученное новое
уравнение почленно прибавить к какому-нибудь другому уравнению этой системы. В
результате получится система уравнений, равносильная исходной.
Рассмотрим систему
2 x1  x2  3x3  4

 x1  3x2  x3  3
3x  x  4 x  2
3
 1 2
Умножим обе части первого уравнения на число 3, почленно сложим полученное
уравнение со вторым уравнением системы и запишем результат вместо второго уравнения
системы:
2 x1  x2  3x3  4

(6  1) x1  (3  3) x2  (9  1) x3  12  3
3x  x  4 x  2
3
 1 2
Полученная система
2 x1  x2  3x3  4

7 x1  8 x3  15
3x  x  4 x  2
3
 1 2
равносильна исходной системе.
2.5. Запишем еще два свойства преобразования систем.
Свойство 3. Если в системе поменять местами два уравнения, то получится система,
равносильная данной.
Свойство 4. Если система уравнений с тремя неизвестными содержит уравнение
вида 0  x1  0  x2  0  x3  0 , то, удаляя это уравнение из системы, получим систему,
равносильную данной системе.
Доказательство третьего и четвертого свойств нетрудно получить из определения
равносильности систем.
2.6. Среди разных методов решения систем линейных уравнений наиболее простым
является метод последовательного исключения неизвестных. Этот метод известен также
как метод Гаусса. Проиллюстрируем его на примерах.
Пусть требуется решить систему
2 x  3 y  6 z  0

 x  2 y  z  1
3x  3 y  5 z  0

Поменяем местами первое и второе уравнения, чтобы избежать дробных коэффициентов.
Получим систему
 x  2 y  z  1

2 x  3 y  6 z  0
3 x  3 y  5 z  0

Исключим неизвестное x из второго и третьего уравнений. Для этого ко второму
уравнению прибавим первое, умноженное на -2, а к третьему уравнению прибавим первое,
умноженное на -3. Получим систему
 x  2 y  z  1

 y  4 z  2
3 y  2 z  3

Не обращая внимания на первое уравнение, исключим y из третьего уравнения. Для этого
к третьему уравнению прибавим второе, умноженное на -3. Получим систему:
 x  2 y  z  1

 y  4 z  2
10 z  3

Следовательно, данная система равносильна треугольной системе, в которой
диагональные коэффициенты отличны от нуля. Решая треугольную систему, получим
z  0 3 ; y  0 8 ; x  0 3 , то есть x  0 3 ; y  0 8 ; z  0 3 . Таким образом, данная
система имеет единственное решение (- 0,3; 0,8; 0,3).
Решить систему
 x1  x2  x3  x4  0

2 x1  x2  3x3  4 x4  1
 x  4 x  2 x  0
3
4
 2
Исключим x1 из всех уравнений, кроме одного. Для этого достаточно ко второму
уравнению прибавить первое, умноженное на -2:
 x1  x2  x3  x4  0

 x2  5 x3  x4  1
 x  4 x  2 x  0
3
4
 2
Не обращая внимания на первое уравнение, исключим x2 из третьего уравнения. для
этого к третьему уравнению прибавим второе уравнение
 x1  x2  x3  x4  0

 x2  5 x3  x4  1
 x  x  1
 3 4
Следовательно, данная система равносильна трапециевидной системе. Решим
трапециевидную систему. Она имеет одно свободное неизвестное x4 . Придаем ему
произвольное значение c , и, двигаясь снизу вверх, вычисляем значения остальных
неизвестных
x3  c  1 ;
x1  4c  3 . Выпишем общее решение
x2  6c  4 ;
(4c  36c  4 c  1 c) .
Таким образом, данная система имеет бесконечное множество решений. Каждое
решение можно получить из общего решения, придавая c какое-нибудь значение.
Например, при c  0 получаем решение (-3,4,-1,0).
Решить систему
 x1  x2  x3  x4  1

 x1  2 x2  3x3  x4  2
3x  5 x  5 x  3x  6
2
3
4
 1
Исключим x1 из второго и третьего уравнений, вычитая из второго уравнения
первое, а из третьего уравнения — первое, умноженное на 3. Получим систему
 x1  x2  x3  x4  1

 x2  4 x3  1
2 x  8 x  3
3
 2
Исключим x2 из третьего уравнения, вычитая из этого уравнения второе,
умноженное на 2. Получим систему
 x1  x2  x3  x4  1

 x2  2 x3  1 0  1
Эта система содержит уравнение
0  x1  0  x2  0  x3  0  x4  1
и поэтому несовместна. Следовательно, равносильная ей данная
система тоже несовместна.
2.7.** В первом параграфе этой главы мы рассматривали треугольные и
трапециевидные системы. Решение таких систем основывается на рассмотренных
свойствах систем. Например, решение треугольной системы
3x1  2 x2  x3  2

2 x2  x3  1
2 x  6
 3
получается в виде следующей последовательности преобразований,
сохраняющих равносильность.
Умножив обе части третьего уравнения на число 12 , получаем систему
3x1  2 x2  x3  2

2 x2  x3  1
 x  3
 3
Прибавив ко второму уравнению третье уравнение, приходим к системе
3x1  2 x2  x3  2

2 x2  4
 x  3
 3
Умножив обе части второго уравнения на число 12 , получаем систему
3x1  2 x2  x3  2

 x2  2
 x  3
 3
Вычитая из первого уравнения третье уравнение, приходим к системе
3x1  2 x2  1

 x2  2
 x  3
 3
Прибавляя к первому уравнению умноженное на 2 второе уравнение, приходим к
системе
3x1  3

 x2  2
 x  3
 3
Умножая обе части первого уравнения на число 13 , получаем
 x1  3

 x2  2
 x  1
 3
Записанные три равенства, содержащие неизвестные x1 , x2 , x3 — это также система
трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Однако, в результате преобразований
начальная система приведена к такому виду, что ответ становится очевидным.
Контрольные вопросы
1. Какие системы уравнений называются равносильными?
2. Докажите, что умножение уравнения системы на ненулевое число приводит к
равносильной системе.
3. Докажите, что почленное прибавление одного уравнения системы к другому
уравнению этой системы приводит к системе, равносильной данной системе.
4. Покажите, что перестановка двух уравнений в системе приводит к равносильной
системе.
5. Покажите, что вычеркивание в системе уравнения с нулевыми коэффициентами и
нулевым свободным членом приводит к равносильной системе.
6. В каком случае система линейных уравнений будет несовместной?
7. В чем состоит метод последовательного исключения неизвестных?
8. Какой метод решения систем линейных уравнений называют методом Гаусса?
Задачи и упражнения
1. Будут ли равносильны системы:
3x1  3x2  3x3  0
 x1  x2  x3  0

а) 
и  x1  x2  1
 x1  x2  1x2  4 x3  2 x4  0  x  4 x  2 x  0
3
4
 2
 x1  x2  x3  x4  1
 x1  x2  x3  x4  1

б) 
и  x1  x2  x3  x4  0
 x1  2 x2  x3  x4  1x2  4 x3  2 x4  0;  x  4 x  2 x  0
3
4
 2
3x1  3x2  3x3  0
 x1  2 x2  3x3  0

в) 
и  x1  x2  x3  1,
 x1  x2  x3  1x2  4 x3  2 x4  0  x  4 x  2 x  0
3
4
 2
2. Преобразованиями, сохраняющими равносильность, привести
треугольному виду и решить:
 x1  x2  x3  1
 x1  x2  1

а) 
б) 2 x1  x2  x3  1
 x1  2 x2  2
2 x  x  x  0
 1 2 3
3. Решить систему линейных уравнений а)
 x  y  z  1
 x  y  2 z  2
 x  y  3z  u  1

б) 
в) 2 x  y  3z  2

 y  3z  0 z  1
 y  2 z  u  0 z  u  0 3 y  z  1

4. Решите систему методом Гаусса
 x1  x2  x3  x4  2
 x  2 y  3z  8


а) 3x  y  z  6
б )  x1  2 x2  x3  3x4  1
2 x  y  2 z  6


 x1  x2  5 x3  3x4  5
 x1  x2  x3  x4  0
 x1  x2  x3  x4  0
в) 
г) 
 x1  2 x2  x3  x4  0
 x1  x2  x3  x4  0
Ответы и указания
систему к