Задача Два игрока играют в следующую игру. На доске записано число... х х+3; х+5;

Задача
Два игрока играют в следующую игру. На доске записано число 2.
Ход состоит в том, что текущее число х на доске стирается. А вместо
него записывается одно из трех чисел: х+3; х+5; и 2х. Выигрывает
игрок, после хода которого на доске оказывается число. Большее 20.
Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков –
начинающий или второй игрок? Ответ обоснуйте.
Задача
Даны три горки фишек, содержащие соответственно 3,2 и 1 фишку.
За один ход разрешается или утроить кол-во фишек в какой-нибудь
горке, или добавить по 3 фишки в каждую из трех горок. Выигрывает
тот игрок после чьего хода в каких-либо двух горках суммарно
становится не менее 30 фишек. Два игрока ходят по очереди. Кто
выигрывает при безошибочной игре обоих игроков – начинающий
или второй игрок? Каким должен быть первый ход выигрывающего
игрока? Ответ обоснуйте.
Задача
Два игрока играют в следующую игру. На координатной плоскости
стоит фишка. Игроки ходят по очереди. В начале фишка находится в
точке с координатами (-2;1). Ход состоит в том, что игрок
перемещает фишку из точки с координатами (х;у) в одну из трех
точек (х+4;у); (х;у+3); (х+2;у+2). Выигрывает игрок, после хода
которого расстояние по прямой от фишки до точки с координатами
(0;0) не меньше 9 единиц. Кто выигрывает при безошибочной игре
обоих игроков – игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий
второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего
игрока? Ответ обоснуйте.
Дополнительная задача
Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки
камней, в первой – 4 камня, а во второй – 3 камня. У каждого игрока
неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди. Ход состоит
в том, что игрок или увеличивает в 3 раза число камней в любой
куче. Или добавляет 2 камня в какую-то кучу. Выигрывает игрок,
после хода которого общее число камней в двух кучах становится не
менее 24 камней. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих
игроков – игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй
ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ
обоснуйте.
Задача и её решение
Два игрока играют в следующую игру. На доске записано число 2.
Ход состоит в том, что текущее число х на доске стирается. А вместо
него записывается одно из трех чисел: х+3; х+5; и 2х. Выигрывает
игрок, после хода которого на доске оказывается число. Большее 20.
Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков –
начинающий или второй игрок? Ответ обоснуйте.
Исход
1 ход 1 игрока
1 ход 2 игрока
8
5
2
7
10
2 ход 2 игрока
Умножением
на 2 получаем
выигрыш
10
Такой вариант
рассмотрен
выигрыш
10
Такой вариант
рассмотрен
выигрыш
12
14
7
4
2 ход 1 игрока
11
13
16
13
15
20
9
8
15
17
24
17
19
28
10
12
14
12
14
18
11
13
16
Данный вариант не
рассматриваем. Так
как это победа
соперника
Данный вариант не
рассматриваем. Так
как это победа
соперника
Данный вариант не
рассматриваем. Так
как это победа
соперника
Умножением
на 2 получаем
выигрыш
Умножением
на 2 получаем
выигрыш
ВЫВОД: выигрывает второй игрок после любого хода первого
игрока, если первый ход второго игрока будет 8 или 10 или 9
Задача и её решение
Даны три горки фишек, содержащие соответственно 3,2 и 1 фишку.
За один ход разрешается или утроить кол-во фишек в какой-нибудь
горке, или добавить по 3 фишки в каждую из трех горок. Выигрывает
тот игрок после чьего хода в каких-либо двух горках суммарно
становится не менее 30 фишек. Два игрока ходят по очереди. Кто
выигрывает при безошибочной игре обоих игроков – начинающий
или второй игрок? Каким должен быть первый ход выигрывающего
игрока? Ответ обоснуйте.
Исход
1 ход 1 игрока
9,2,1
3,6,1
3,2,1
3,2,3
6,5,4
1 ход 2 игрока
27,2,1
9,6,1
9,2,3
12,5,4
9,6,1
3,18,1
3,6,3
6,9,4
9,2,3
3,6,3
3,2,9
6,5,6
18,5,4
6,15,4
6,5,12
9,8,7
2 ход 1 игрока
Утроив наибольший
результат все
варианты приводят к
выигрышу
Утроив наибольший
результат все
варианты приводят к
выигрышу
?
выигрыш
выигрыш
?
выигрыш
Утроив наибольший
результат все
варианты приводят к
выигрышу
ВЫВОД: первый игрок выиграет на третьем ходу, если его первый
ход будет 9,2,1 или 6,5,4.
Задача и её решение
Два игрока играют в следующую игру. На координатной плоскости
стоит фишка. Игроки ходят по очереди. В начале фишка находится в
точке с координатами (-2;1). Ход состоит в том, что игрок
перемещает фишку из точки с координатами (х;у) в одну из трех
точек (х+4;у); (х;у+3); (х+2;у+2). Выигрывает игрок, после хода
которого расстояние по прямой от фишки до точки с координатами
(0;0) не меньше 9 единиц. Кто выигрывает при безошибочной игре
обоих игроков – игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий
второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего
игрока? Ответ обоснуйте.
Исход
1 ход
1 игрока
1 ход
2 игрока
6,1
2,1
2,4
4,3
2,4
-2,1
-2,4
-2,7
0,6
4,3
0,3
0,6
2,5
2 ход
1 игрока
10,1
6,4
8,3
6,4
2,7
4,6
8,3
4,6
6,5
6,4
2,7
4,6
2,7
-2,10
0,9
4,6
0,9
2,8
8,3
4,6
6,5
4,6
0,9
2,8
6,5
2,8
4,7
2 ход
2 игрока
Не рассматривается,
так как приводит к
победе соперника
Приводит к победе
Приводит к победе
Приводит к победе
Не рассматривается,
так как приводит к
победе соперника
Не рассматривается,
так как приводит к
победе соперника
Приводит к победе
Не рассматривается,
так как приводит к
победе соперника
Приводит к победе
ВЫВОД: Выигрывает второй игрок, если первый ход второго игрока
будет (2,4), (4,3), (2,5)