Золотая» пропорция в природе

Занятие 4.
«Золотая» пропорция в природе
Цель:
познакомить учащихся с золотой пропорцией и связанных с нею
соотношений, наблюдаемых в живой природе.
Содержание занятия
I. Проверка домашнего задания.
П. Лекция.
«Золотое» сечение - один из основополагающих принципов природы.
Красота природных форм рождается во взаимодействии двух физических
сил
-
тяготения
и
инерции.
Золотая
пропорция
-
символ
этого
взаимодействия, поскольку диктуемое ею отношение большей части целого к
самому целому выражает основные моменты живого роста: стремительный
рост побега до зрелости и замедленный рост до момента цветения, когда
достигшее полной силы растение готовится дать жизнь новому побегу.
Одним из первых проявление золотого сечения в природе подметил
немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер (1570— 1630 гг.). С XVII в.
наблюдения математических закономерностей в ботанике и зоологии стали
быстро накапливаться.
Приведем один из сравнительно недавно установленных фактов. В 1850 г.
немецкий ученый А. Цейзинг открыл так называемый закон углов, согласно
которому средняя величина углового отклонения ветки растения равна
примерно 138°.
Представим себе, что две соседние ветки растения исходят из одной точки
(на самом деле это не так: в реальности ветви располагаются выше или ниже
друг друга). Обозначим одну из них через
OA,
другую через ОВ. Угол между
лучами - ветками обозначим через , а угол, дополняющий его до 360°, через .
Составим золотую пропорцию деления полного угла, считая, что угол
 – большая часть этой величины.
360



360  
Получаем квадратное уравнение:  2  360  360 2  0
Положительный корень
  180  180 2  360 2  180   1  5  180  1,236  222,48


  360  222,48  137,52  138
Таким образом, величина среднего углового отклонения ветки
соответствует меньшей из двух частей, на которые делится полный угол при
золотом сечении.
«Золотое сечение» в растительном мире
Закон «золотого» сечения действует и в растительном мире. Рассмотрим
наиболее общий и интересный случай. Если внимательно рассмотреть
веточку с листьями, то можно заметить, что основания черешков
располагаются по винтовой линии, каждый следующий лист прикреплен
выше и в сторону от предыдущего. Если соединить последовательно
основания листьев ниткой, то она обовьется вокруг стебля по правильной
винтовой линии. Проследив за расположением листьев на этой спирали, мы
непременно увидим листья, которые расположены один над другим. Часть
спирали, заключенная между двумя такими листьями, называется в ботанике
«циклом».
Для краткости и удобства обозначают листорасположение в виде дроби, в
числителе которой число оборотов одного цикла спирали, а в знаменателе число листьев в этом цикле, так, дробь
3
показывает, что один цикл спирали
8
трижды огибает стебель, и что в одном цикле 8 листьев. Эта же самая дробь
выражает и угол расхождения двух соседних листьев. В рассматриваем
случае это
3
3
5
окружности, т. е. 135°. Отсюда следует, что дроби
и
8
8
8
выражают, в сущности, одно и то же листорасположение, так как угол,
равный
3
8
окружности, дополняет до 360° угол, соответствующий
5
8
окружности.
Различные числа получают потому, что в одном случае спираль
закручивалась, например, справа налево, в другом — слева направо.
Каждый вид растений имеет свое листорасположение, вернее, угол
расхождения листьев, который характерен не только для листьев, но и для
расположения веток, почек, цветов, чашек внутри почек. Но этот угол не
произвольный, а подчиняется определенному закону.
Во всем растительном мире наблюдается небольшое число типов
листорасположения, выражающихся немногими дробями. Вот табличка
наиболее распространенных типов листорасположения:
1 1 2 3
5 8
: ;
: ;
: …
2 3 5 8 13 21
Ученые заметили, что этот ряд отличается одной любопытной и довольно
неожиданной особенностью, а именно, что каждая из этих дробей, начиная с
третьей, получается из двух предыдущих путем сложения их числителей и
знаменателей.
Числители и знаменатели дробей дают известный ряд Фибоначчи:
1, 1, 2, 3; 5, 8, 13;... и 2; 3; 5; 8, 13, 21. в котором любая пара соседних
чисел удовлетворяет одному из уравнений:
х 2  ху  у 2  1 и х 2  ху  у 2  1
где большим числом является х:, меньшим у. Все эти дроби дают нам
довольно точные приближения к числу 0,62.
Рассмотрим теперь расположение семечек в корзинке подсолнуха. Они
выстраиваются вдоль спиралей, которые закручиваются как слева направо,
так и справа налево. В одну сторону закручено 13 спиралей, в другую – 21.
В более крупных соцветиях подсолнечника число соответствующих
спиралей – 21 и 34, или 34 и 55. Похожее спиральное расположение
наблюдается у чешуек сосновых шишек, или ячеек ананаса. В верхушках
очень многих побегов можно различить такие же системы спиральных рядов.
Число рядов листьев или цветков, ориентированных противоположно,
отличается у разных растений, но чаще всего принимают следующие
значения (в числителе записано число длинных рядов, в знаменателе –
коротких).
3
5
1
2
 0,5 ;  0, 6666... ;  0,6 ;  0,625 …
2
3
5
8
13
8
34
 0,615 ;
 0,619... ;
 0, 61818...
13
55
21
55
89
 0, 617977... ;
 0, 618055...
89
144
Начиная со второго члена этого ряда, в нем повторяется число , с
каждым новым шагом выражаемое все более точно:  = 0,618033...
IV.
Закрепление.
Задача 3 .
V.
Подведение итогов.
Домашнее задание: работа над сообщениями, докладами, проектами.
Занятие 5.
«Золотая» пропорция в жмвой природе
(семинар)
Ц е л ь : продемонстрировать разнообразие применения золотого сечения
и связанные с ним соотношения в реальной жизни.
«Золотая» пропорция человеческого тела (беседа)
То, что части красиво сложенного человеческого тела находятся в
определенной
пропорции,
знает
каждый:
недаром
мы
говорим
о
пропорционально сложенной фигуре. Но далеко не всем известно, что здесь
имеет место золотое деление. Лучшим примером того, что древние ваятели
использовали этот принцип при изображении человеческого тела, являются
античные статуи. Идеально сложенное человеческое тело полностью
отвечает этому принципу. Если высоту хорошо сложенной фигуры разделить
в крайнем и среднем отношении, то линия раздела окажется на высоте талии.
Особенно хорошо удовлетворяет этому закону мужская фигура. Любая
античная скульптура отвечает закону золотой пропорции. Каждую отдельно
взятую часть тела (голову, руку, кисть) также можно разделить на
естественные части по закону золотого сечения.
Рука согласно принципу «золотого» сечения распадается на «свои
анатомические части» – плечо, предплечье, кисть.
Разделение кисти руки, лица отвечает тоже этому принципу.
Содержание занятия
Представление и обсуждение сообщений, докладов, рефератов.
П р е дл а г а е м ы е т е м ы:
1.
«Золотые» спирали в природе.
2.
Молекулярные тайны жизни и «золотое» сечение.
3.
«Золотая» пропорция в химии.
4.
Ритмы (симфония) Земли.
5.
Ритмы сердца и мозга.