Автор: Мартиросян Марина Акоповна Тема: «Описание методов нахождения расстояния между

Автор: Мартиросян Марина Акоповна
Тема: «Описание методов нахождения расстояния между
скрещивающимися прямыми в пирамиде»
2
1
Введение
Геометрия занимает особое место в системе математической
подготовки школьников. Значимость геометрии на всех ступенях
образовательной лестницы, в самых разных областях науки, техники и
искусства имеет устойчивую тенденцию к росту. Из всех предметов
математического
цикла
именно
геометрия
обладает
большим
развивающим потенциалом.
Идеи гуманизации образования естественным образом реализуются
через геометрию, однако за последние годы уровень геометрической
подготовки
учащихся
значительно
снизился.
Многочисленные
исследования, опыт учителей математики и преподавателей вузов
убедительно свидетельствуют о том, что уровень геометрической
подготовки школьников на сегодняшний день зачастую не отвечает
требованиям
государственного
образовательного
стандарта.
Это
обусловлено характерными особенностями геометрии как науки и учебной
дисциплины, общими проблемами, возникающими сегодня в области
среднего образования.
С одной стороны, развитие геометрических умений необходимо, а с
другой
стороны,
высокий
статус
умения
провоцирует
школьную
геометрию на обилие упражнений. При этом, так называемое, «доведение»
до умений в итоге поглощает все учебное время, отведенное на изучение
геометрии, оставляя в стороне всяческие «красивые» задачи.
Можно обучить старшеклассников определенным умениям, решая
большое количество задач, при этом необязательно думать о каком-либо
развитии, полагаясь на то, что просто решая задачи, можно развить
ученика. Можно организовать обучение так, что, решая школьные задачи,
ученик будет приобретать опыт самостоятельного интеллектуального
познания.
Теоретические
знания,
умения
и
навыки,
отработанные
на
практических занятиях при решении типовых задач, позволяет учащимся
3
проводить исследования задач и применять свои собственные способы при
решении той или иной предложенной задачи. По этой причине учащимся
необходимо показывать различные способы, если они существуют,
решения одной задачи.
Это инициирует исследовательскую деятельность школьников,
расширяя их кругозор и вселяя уверенность.
Примером может служить задача определения расстояния между
скрещивающимися
прямыми,
проведенными
на
гранях
пирамиды,
предложенная на вступительном экзамене на Механико-математический
факультет МГУ 1977г1.
Исходя их многолетнего преподавательского опыта, а также
принимая во внимание то, что подобная задача часто встречается в ЕГЭ
(группа С2), считаю целесообразным рассмотрение данного типа задач
более подробно и предлагаю несколько способов ее решения.
1
См. (Ткачук, 2000).
4
2
Постановка задачи
Дано: основанием пирамиды
треугольник
является равносторонний
, длина стороны которого равна
. Боковое ребро
перпендикулярно плоскости основания и имеет длину .
Найти: расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из
которых проходит через точку
через
и середину ребра
и середину ребра
, а другая проходит
.
S
C
A
N
M
B
Рис. 1. Постановка задачи.
5
3
Краткое описание способов решения Задачи
Задача нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми
довольно часто встречается в предлагаемых вариантах ЕГЭ, сборниках
«Типовые экзаменационные варианты по математике» под редакцией
А.Л. Семенова и И.В. Ященко Федерального института педагогических
измерений (ФИПИ).
В рамках настоящей работы данная задача решается восемью
способами.
3.1
Первый способ
В основе данного способа лежит само определение расстояния
между скрещивающимися прямыми. Проводятся плоскости через каждую
их прямых, параллельные друг другу и находится расстояние между ними.
3.2
Второй способ
Проводится плоскость через одну из скрещивающихся прямых
параллельно другой прямой и находится расстояние от прямой до
плоскости.
3.3
Третий способ
Через точку
на
одной
прямой
проводится
плоскость,
перпендикулярная другой прямой и алгебраическим путем находится
расстояние от точки до прямой (нахождением минимума функции).
3.4
Четвертый способ
В основе этого способа лежит утверждение о том, что объем
тетраэдра равен
Где
и - длины срещивающихся ребер;
–угол между ними;
расстояние между скрещивающимися прямыми.2
2
См. (Шарыгин & Голубев, Решение задач 11 класс, 1995), стр 188, опорная задача №9.
–
6
3.5
Пятый способ
Используется тот факт, что искомое расстояние равно расстоянию
между ортогональными проекциями этих прямых на некоторую плоскость,
перпендикулярную к одной из скрещивающихся прямых.
3.6
Шестой способ
В основе данного способа лежит векторный метод. Используется
определение коллинеарности векторов и вычисление длины вектора.
3.7 Седьмой способ
В основе данного способа лежит векторный метод. Используется
сумма векторов, вычисление координаты вектора и нахождение длины
вектора.
3.8
Восьмой способ
Используется уравнение плоскости и нахождение расстояния от
точки до плоскости.
7
4
4.1
Решение задачи
Первый способ
A1
M3
S
M2
M1
B1
C
A
N
M
N1
B
Рис. 2. Первый способ.
В основе лежит нахождение расстояния между параллельными
плоскостями.
Достроим исходную пирамиду до прямой треугольной призмы.
Проведем N1N║MC; MC║(N1NS); (N1NS) (A1B1S)=M1S; M1S║MC;
MM2║N1M1; M2M3║M1S  (MM2M3)║N1N
(MCM3)║(NN1S) (по признаку параллельности плоскостей)
NS(N1NS); MC(MCM3)
Для вычисления расстояния между плоскостями (MCM3) и (N1NS)
(MCM3)  (ABB1) = MM2
8
(N1NS)  (ABB1) = N1M1
(MCM3)║(N1NS) 
MM2║N1M1
Искомое расстояние d есть расстояние между MM2 и N1M1 (см. Рис.
3).
A1
M2
M1
B1
d
K1
A
K
M
N1
B
Рис. 3. Первый способ (дополнение).
∆KM2M∾∆M2M1K1 (т.к. эти треугольники прямоугольные и имеют
равный угол ∠K1M2M1=∠M2MK – накрест лежащие углы).
M2M=
; M2M =
;
Ответ:
;
.
;
9
4.2
Второй способ
Идея решения
заключается
в
том,
чтобы
через
одну
их
скрещивающихся прямых проводится плоскость, параллельная другой
прямой и находится расстояние от прямой до этой плоскости.
S
C
A
N
M
d
M1
B
Рис. 4. Второй способ.
В плоскости (ABC) проведем прямую M1N║CM.
(SNM1)║CM (по признаку параллельности прямой и плоскости)
Точки B и M находятся на одинаковом расстоянии от точки M1 (от
прямой NM1), т.к. ∆ABC – правильный.
Расстояние от B до плоскости (SNM1) равно искомому расстоянию.
Рассмотрим пирамиду SNBM1, где ∆SM1N – основание. Высота
пирамиды d – и есть искомое расстояние.
.
10
С одной стороны
, где
;
– угол между
M1N и SN (вычисление длин SN, CM, NM1 и угла между
см. Приложение 1).
;
;
.
11
4.3
Третий способ
Через точку на одной из скрещивающихся прямых проводится
плоскость, перпендикулярная другой прямой, и алгебраическим путем
находится расстояние от точки до прямой как наименьшее расстояние
(ищется минимум функции).
S
F
A
C
E
K
N
M
Рис. 5. Третий способ.
S
F
x
N
K
C
Рис. 6. Третий способ (дополнение).
Отмечаем F ∊ SN.
Проводим FK ⊥ CN, KE ⊥ CM;
12
EF ⊥ CM – по теореме о трех перпендикулярах.
CM ⊥ (KFE), (KFE) – плоскость, перпендикулярная скрещивающейся
прямой CM.
Из
прямоугольного
∆FKE
по
теореме
Пифагора
находим
.
Обозначив отрезок FK=х, получим:
∆FKN ∾ ∆NCS;

, т.е.
.
В ∆СKE: ∠KCE=300 (∆ABC – правильный по условию задачи) и KE ⊥
CM (по теореме Пифагора).
х.
;
FE – расстояние между скрещивающимися прямыми (общий
перпендикуляр), рассматриваем FE как некоторую функцию, т.е.:
.
Наименьшее значение данной функции достигается при
FE=
.
.
13
4.4
Четвертый способ
В основе этого способа лежит утверждение о том, что объем
тетраэдра равен
Где
и - длины срещивающихся ребер;
–угол между ними;
расстояние между скрещивающимися ребрами (вычисление угла
доказательство утверждения см Приложение 1.
S
b
C
A
a
N
M
B
Рис. 7. Четвертый способ.
Пусть SN=b, CM = a, искомое расстояние – d.
Угол между SN и CM
= 450.
Рассмотрим пирамиду SCNM.
–
и
14
.
Основание пирамиды ∆CMN, SC – высота пирамиды.
; SC=2.
.
.
С другой стороны
Получаем, что a=MC=
.
, b=SN=

(см Приложение 1).
15
4.5
Пятый способ
Используется тот факт, что искомое расстояние равно расстоянию
между ортогональными проекциями этих прямых на некоторую плоскость,
перпендикулярную к одной из скрещивающихся прямых.
Этот способ удобно применять при работе с наклонной призмой, с
неправильной
пирамидой,
т.е.
с
неправильными
и
наклонными
многогранниками.
S
N2
O1
N1
D
d
N3
A
C
O
N
M
B
Рис. 8. Пятый способ.
Согласно описанию способа, построим плоскость (NN1N2)⊥CM.
SC⊥(ABC) по условию; NN1║SC  NN1⊥(ABC).
N1N2║NN3║AB; CM ⊥ AB  CM ⊥ NN3, CM ⊥ (NN1N2) (по признаку
перпендикулярности прямой и плоскости).
(NN1N2) – искомая плоскость.
ПрCM=0 на плоскость (NN1N2) есть точка О.
16
SO1║SO  SO1 ⊥ (NN1N2)
ПрSN=NO1 на плоскость (NN1N2) есть отрезок NO1
В ∆NO1O проведем высоту OD: OD ⊥ NO1  OD = d – искомое
расстояние.
Вычислим его длину.
∆O1NO ∾ ∆NDO – они прямоугольные и имеют общий угол ∠O1NO.
;
;
.
17
4.6
Шестой способ
В основе лежит метод координат. При решении используется
коллинеарность векторов и нахождение длины вектора. Находится
расстояние между прямыми, принимая во внимание, что это расстояние
есть общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым.
Z
S
A
E
О
C
F
M
Y
N
Х
B
Рис. 9. Шестой способ.
Поместим пирамиду в прямоугольную систему координат, как
показано на Рис. 9.
Допустим, что EF – есть общий перпендикуляр к скрещивающимся
прямым E∊SN; F∊CM.
Пусть E имеет координаты E(x; y; z).
S(0; 0; 2); C(0; 0; 0); M(0; 2
;0); N(
;
;
; 0);
18
;
(см Приложение 1).
Пусть вектор

;
имеет координаты
;
;
(условие коллинеарности векторов)
;
;
Найдем координаты точки E. Зная координаты вектора
и точки E,
получим:
, тогда вектор
имеет координаты
, где b – коэффициент коллинеарности
Найдем координаты точки F:
.
.
Тогда вектор
имеет координаты
Т.к.
и
.
(в силу EF⊥CM и EF⊥SN, EF – общий
перпендикуляр), получаем систему:
;
;
;
;
Используя полученные значения, найдем координаты и длину
вектора
.
; длина вектора
.
19
4.7
Седьмой способ
В основе этого метода лежит вычисление координаты суммы
векторов и нахождения длины вектора.
При решении этим методом используем уже ранее найденные
условия.
Z
S
A
E
О
C
F
M
Y
N
Х
B
Рис. 10. Седьмой способ.
S(0; 0; 2); C(0; 0; 0); M(0; 2
;0); N(
;
; 0);
EF – расстояние между скрещивающимися прямыми SN и CM.
E делит SN в отношении
;
F делит CM в отношении
;
На сторонах пространственного многоугольника SCFE отметим
соответствующие вектора
;
и
и запишем равенство:
20
Т.к. вектор
, то
Вектор
, то
,
;
тогда
вектор
имеет
координаты
.
Т.к. EF⊥CM и EF⊥SN, то скалярное произведение векторов равно 0.
и
.
Получим систему уравнений:
;
Решая эту систему, получим:
;
Т.о. координаты вектора
; длина вектора
.
21
4.8
Восьмой способ
В основе этого метода используется уравнение плоскости и формула
расстояния от точки до плоскости.
Z
S
A
О
M
C
N
Х
Y
M1
B
Рис. 11. Восьмой способ.
Через прямую SN проведем плоскость, параллельную прямой CM.
Проведем NM1║CM в плоскости (ABC).
(SNM1)║CM.
Поместим пирамиду SABC в прямоугольную систему координат
(см. Рис. 11).
Координаты
точек:
.
Уравнение плоскости в общем виде: ax+by+cz+d=0.
Точки S, N, M1 ∊ (SNM1).
22
Составим уравнение плоскости (SNM1), подставив координаты точек
S, N и M1 в уравнение плоскости:
;
Решая систему, получим:
;
Подставив в уравнение плоскости, получим:
– уравнение плоскости (SNM1).
Т.к. расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле,
находим расстояние от M до (SNM1).
.
23
5
Заключение
Рассмотрев различные способы решения задачи, являющейся
предметом настоящей работы, возникают следующие вопросы:
 Зачем нужно рассматривать так много способов?
 Как находить разные способы решения?
 Где можно приметить эти способы в учебном процессе?
Как показывает многолетний опыт (работа в классах с углубленным
изучением
математики)
решение
задач
различными
способами
эффективнее, чем решение нескольких задач одним способом, поскольку
способствует более глубокому пониманию и усвоению материала, а также
формированию у школьников взгляда на математику, как на цельную
науку. Если ученики не подготовлены к решению задачи несколькими
способами, им можно раздать карточки с задачами и указаниями.
Подготовленным ученикам достаточно подсказать (при необходимости)
метод решения.
Анализ конкурсных задач (ЕГЭ) и олимпиадных задач по данной
теме
показал,
что
все
предложенные
способы
решения
вполне
универсальны.
Примеры
задач,
для
которых
можно
применить
в
т.ч.
рассматриваемые методы приведены в приложении (см. Приложение 2).
24
6 Список литературы
 Атанасян, Л. С., Бутузов, В. Ф., & др. (2000). Геометрия. Учебник
для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. Москва:
Просвещение.
 Беккер, Б. М., & Некрасов, В. Б. (1997). Применение векторов для
решения задач. Санкт-Петербург: Мир и семья-95.
 Зив, Б. Г., Мейлер, В. М., & Баханский, А. Г. (2003). Задачи по
геометрии. 7-11. Москва: Просвещение.
 Сканави, М. И. (Ред.). (2001). Сборник задач по математике для
поступающих во ВТУЗы. Москва: ОНИКС 21 век.
 Смирнов, В. А. (2010). ЕГЭ 2010. Математика С2. (А. Л. Семенов,
& И. В. Ященко, Ред.) Москва: МЦНМО.
 Ткачук, В. В. (2000). Математика абитуриенту (Т. 1). Москва:
МЦНМО.
 Шарыгин, И. Ф., & Голубев, В. И. Решение задач 11 класс. Москва:
Просвещение.

Шарыгин, И. Ф., & Голубев, В. И. (1995). Решение задач 11 класс.
Москва: Просвещение.
25
7
Приложение 1
S
C
A
300
N2
N
M
N1
Рис. 12. Приложение 1.
7.1
Нахождение угла между
Проводим N1N║MC, тогда искомый угол ∠SNN2.
CN2⊥N1N2
SC⊥(ABC) – условие SC⊥CN2
CN2=ПрSN2 на (ABC)
SN2⊥NN2 (по теореме о трех перпендикулярах)
∆SNN2 – прямоугольный треугольник.
cos(∠SNN2)=
;
(по теореме Пифагора ∆SNC);
26
.
(т.к. N – середина BC и NN1║CM).
N1N – средняя линия ∆MBC;
cos(∠SNN2)=
.
;
∠SNN2 = 450.
Нахождение длин отрезков SN CM и MN
7.2
∆SNC – прямоугольный треугольник и угол ∠SСN = 900; SC=2; СВ=
;
N – середина BC,
(по теореме Пифагора).
.
Треугольник ∆ABC – равносторонний; AB =
CM=AB sin600=
.
.
BM=BN MN – средняя линия в ∆ABC; MN=
.
27
Приложение 2
8.1 (Зив, Мейлер, & Баханский, 2003)
8
19.1(б), 19.2(б), 19.3(б), 19.4 (б)
22.2(3), 22.3(3), 22.4(3)
23.1(3), 23.2(3), 23.3(3), 23.4(3).
8.2
(Смирнов, 2010)
6.1, .6.2, 6.3, 6.4, 6.5, 6.6
8.3
(Атанасян, Бутузов, & др., 2000)
474, 475
8.4
(Сканави, 2001)
12.080, 16.112