   Домашнее задание по микроэкономике №1 для всех групп

ГУ-ВШЭ 2008-2009 уч.г.
4 модуль
Домашнее задание по микроэкономике №1 для всех групп
Задача 1. (1 балл)
В курсе было рассмотрено множество примеров предпочтений и соответствующих функций полезностей
для двухтоварной экономики (функция полезности Кобба-Дугласа, линейная функция, min 1 x1 ,  2 x2 ,


функция полезности с нейтральным товаром, с антиблагом,  x1    x 2  ). Объясните, почему ни одна из
этих функций не может породить спрос с эффектом Гиффена, не выводя соответствующие функции
спроса.
2
2
Необходимым условием эффекта Гиффена является инфериорность товара.


Функции полезности Кобба-Дугласа, линейная функция, min 1 x1 ,  2 x2 ,  x1    x 2  и функция
полезности с нейтральным товаром являются однородными функциями, для которых предельная норма
замещения постоянна вдоль любого луча, выходящего из начала координат. Кроме того в силу
возрастания по одной или совокупности координат во всех случаях бюджет будет тратиться
полностью. В результате кривые доход-потребление будут лучами, выходящими из начала координат.
Это означает, что соответствующие товары ведут себя как нормальные или нейтральные к доходу.
2
2
(0.5 б)
Проверка однородности. (0.25 б)
В случае функции полезности с антиблагом потребитель не будет потреблять антиблаго, а весь доход
потратит на другой товар, в результате спрос на этот товар будет расти с увеличением дохода. (0.25
б)
Задача 2. (3 балла)
Рассмотрите потребителя с доходом
ux1 , x2   minx1  2, 2x1  x2  .
m  0 , предпочтения которого представимы функцией полезности
(а) Изобразите карту кривых безразличия. Объясните свои построения.
Уравнение кривой безразличия: min x1  2, 2 x1  x2  u .



x1  2  2x1  x2  или 2  2 x2  x1 , то u  x1  2
Если x1  2  2x1  x2  или 2  2 x2  x1 , то u  2x1  x2 
Если x1  2  2x1  x2  или 2  2 x2  x1 , то u  x1  2  2x1  x2 
Если
Вывод кривых безразличия. (0.5 б)
x2
x1  2  2x2
Увеличение
полезности
x1  2  2 x2
1
0
x1  2  2x2
2
рисунок (0.5 б)
(б) Найдите функции маршалловского спроса при p1  0 и p2  0 .
Функции маршалловского спроса найдем, решив задачу потребителя.
x1
maxminx1  2, 2x1  x 2 
x1  0, x 2  0
p1 x1  p 2 x 2  m̂
Поделим бюджетное ограничение на цену второго товара, тогда бюджетное ограничение примет вид
px1  x2  m , где p 
p1
m̂
и m
.
p2
p2
Возможны следующие варианты:
1)
Пусть m  1 .
m 
 ,0  .
p 
 При p  1 агент выберет набор 0, m ,
 При p  1 агент безразличен между всеми
x2

1
m
наборами на бюджетной линии.
x1  2  2 x2
2
0
При p  1 агент выберет набор
Рисунок (0.5 б)
x1
Кривая цена-потребление при m  1
2)
x2
Пусть
m  1. Рисунок (0.5 б)
Кривая цена-потребление
m
1
x1  2  2 x2
2
0
m 
 ,0  .
p 

При p  1 агент выберет набор

p  1 агент выберет набор,
При
соответствующий точке излома кривой
безразличия,т.е. набор, удовлетворяющий
 px1  x 2  m
,
откуда

 x1  2  2 x 2
2m  2
2p  m
и x2 
.
x1 
2 p 1
2 p 1
 При p  1 агент безразличен между всеми
условиям
x1
наборами на бюджетной линии, лежащими не левее точки излома кривой безразличия, т.е.
 2m  2 m 
x1  
,  и x2  m  px1 .
 2 p 1 p 
Итак, получены следующие зависимости спроса от цен и дохода: Спрос (0.5 б)
При
m 1
0, p  1
m , p  1


x1 ( p , m )  0, m / p , p  1, x 2 ( p , m )  m  px1 , p  1,
m / p , p  1
0, p  1


При
m 1
2
 2m  2
2 p  m
 2 p 1 , p  1
 2 p 1 , p  1


  2m  2

x1 ( p , m )  
, m / p  , p  1, x 2 ( p , m )  m  px1 , p  1,

0 , p  1
 2 p  1

m / p , p  1



(в) Охарактеризуйте ситуации, при которых имеет место парадокс Гиффена. Изобразите соответствующий
пример на графике, выделив изменение спроса в силу эффектов замещения и дохода (с любым вариантом
эффекта замещения).
Парадокс Гиффена может иметь место лишь для инфериорного товара.
Спрос на первый товар падает или не меняется с ростом p , т.е. этот товар не порождает
гиффеновского поведения.
Второй товар во всех случаях (кроме одного) демонстрирует поведение нормального или нейтрального к
доходу блага. Следовательно единственный случай, когда второй товар может порождать эффект
Гиффена соответствует ситуации инфериорного поведения, которая наблюдается при m  1 и p  1 .
Поскольку оптимальная точка в этом случае соответствует излому кривой безразличия, то эффект
замещения отсутствует и потому положительный эффект дохода порождает Гиффеновское
поведение спроса. (0.25 б)
Поскольку нам потребуется изменить цену второго товара, то вернемся к исходным ценам и доходам,
переписав спрос на второй товар в виде
p1 m̂

p2 p2
2 p1  m̂
x 2 ( p , m )  x 2 ( p1 , p 2 , m̂ ) 

 0.
p1
2 p1  p 2
2
1
p2
Условия m  1 и p  1 означают, что m̂  p2 и p1  p2 . Поскольку знаменатель положителен в силу
2
последнего условия, то числитель также должен быть положителен.
x 2  p1 , p 2 , m̂   2 p1  m̂
 
p 2
 2 p1  p 2
 
2 p1  m̂
 
0.
2


2
p

p
 p2
1
2
Графическая иллюстрация гиффеновского поведения. (0.25 б)
x2
p2  0 x2  0
m
1
x2  x2IE
x SE  0
x1  2  2x2
0
2
x1
Задача 3. (2 балла)
Семье N требуется няня. Зафиксировав цену агрегированного блага y , представляющего расходы на все
остальные товары, и доход домохозяйства, мы получили следующую функцию спроса на услуги няни
x( p)  300e 0.5 p , где p - цена одного часа услуг няни в долларах. Известно, что эластичность спроса на
услуги няни по доходу равна нулю.
Агентство Baby, предложило следующий вариант оплаты услуг: фиксированную плату в размере $200 в
месяц и оплату каждого часа по ставке $2 в час. Агентство Lady сообщило, что у них иная схема оплаты
3
труда няни: фиксированная плата отсутствует, и услуги оплачиваются по ставке $4 в час. Наконец,
агентство Family предлагает услуги няни по фиксированной плате $500 в месяц, а почасовая оплата
отсутствует вовсе. Выберите наилучший для данной семьи вариант из предложенного набора. Поясните
роль предпосылки об эластичности спроса.
Для оценки благосостояния в силу нулевой эластичности спроса по доходу можно использовать
потребительский излишек. Семья выберет тот вариант, который даст ей наибольший излишек из
возможных. (0,5)
Сравним потребительские излишки в случае услуг агентства Baby и в случае услуг агентства Lady:
4
CS B  CS L   300e 0.5 p dp  200  600e 0.5 p
4
2


 200  600 e 1  e  2  200  0
2
Следовательно, CS B  CS L , и семья предпочтет агентство Lady агентству Baby.(0,5)
Сравним потребительские излишки в случае услуг агентства Lady и в случае услуг агентства Family:
0
CS L  CS F   300e 0.5 p dp  500  600e 0.5 p
0
4


 500  600 e  2  1  500  0
4
Следовательно, CS F  CS L , и семья предпочтет агентство Family агентству Lady. (0,5)
Из предложенных вариантов наилучшим является вариант, предлагаемый агентством Family, причем
этот вариант дает излишек больший, чем при нулевом потреблении услуг (проверка или объяснение).
Таким образом, семья выберет агентство Family (0,5)
Задача 4. (3 балла)
В городе N повсеместно установили водосчетчики, и существенно повысили тарифы на услуги
водоснабжения. Городские власти решили ввести субсидию на оплату воды для многодетных семей в
размере 50% от действующего тарифа, но субсидия распространяется лишь на первые x кубометров
воды. Сверхнормативное потребление (свыше x ) оплачивается по полному тарифу (без субсидии).
Рассмотрите многодетную семью с ежемесячным доходом m  0 . Считайте, что предпочтения семьи
стандартны, причем кривые безразличия гладкие.
(а) Как введение субсидии повлияет на благосостояние рассматриваемой семьи?


Пусть ( x , y )- оптимальный набор до введения
субсидии. Поскольку цена агрегированного блага не
менялась, а расходы на оплату воды снизились
y , агрегированное
благо

(предполагается, что x  0 ), то прежний набор
доступен агенту с излишком. Следовательно,
благосостояние семьи не может ухудшиться. (0,25)
Сэкономленные средства семья может потратить на
любой из товаров, что в силу строгой монотонности
предпочтений приведет к улучшению благосостояния.
Графическая иллюстрация. (0,25)
с субсидией
0.5 p
p
0
x
p
x,
водопотребление
(б) Если введение новой ценовой политики повлекло снижение объема водопотребления, то может ли
водопотребление для данной семьи являться нормальным товаром?
Снижение цены товара влечет два эффекта (SE и IE).
Если агенту дать компенсацию, сохраняющую
y , агрегированное благо
покупательную способность дохода неизменной, то
снижение относительной цены на услуги водоснабжение
приведет к тому, что потребление воды увеличится, а
потребление агрегированного блага снизится. (0,25)
бюджетная линия
после введения субсидии
Так как при наличии субсидии покупательная
SE IE
способность дохода возросла, то эффект дохода
приведет к росту спроса на нормальное благо или
сокращению спроса на инфериорное благо. Если бы
товар был нормальным, то оба эффекта действовали
бы в одном направлении, и в результате потребление
воды возросло бы. Снижение потребления воды
x , водопотребление
x
0
x
невозможно при нормальности товара. (0,5)
4
График, на котором выделены SE и IE (0,25)
(в) В городе избрали нового мэра, и он внес предложение заменить субсидии на оплату водоснабжения
фиксированными денежными выплатами, которые были бы в точности равны прежним расходам на
субсидию. Может ли данная политика ухудшить благосостояние рассматриваемой семьи? При каких
условиях данная политика улучшит благосостояние
рассматриваемой семьи?
y , агрегированное благо
Данная политика не может ухудшить благосостояние
 0.5 p
семьи, так как если денежные выплаты в точности
равны расходам на субсидирование данной семьи, то ей
При субсидировании
в точности доступен тот же набор, который был
водопотребления
выбран до избрания нового мэра. (0,25)

Если в новой ситуации будет выбран другой набор, то
При денежных
это означает, что он лучше. Это произойдет, если
выплатах
xˆ  x (т.е., потребление воды данной семьей до
избрания нового мэра меньше x ). В этом случае в силу
эффекта замещения потребление воды сократится, т.
0
x̂ x
е. будет выбран другой набор. График (0,25)
x , водопотребление
При xˆ  x благосостояние семьи не изменится, так
как набор не изменится.
При xˆ  x благосостояние возрастет, если MRS xy ( xˆ )  p x / p y и не изменится при равенстве.
Графики. (0,25)
y
0
Ответ: при
y
xˆ  x
x
xˆ  x
x
xˆ  x или при xˆ  x , если MRS xy ( xˆ )  p x / p y
(г) Предположим, что новый советник мэра предложил другой вариант реформы. Он также настаивает на
отмене субсидий на оплату водоснабжения, но предлагает освободившиеся бюджетные средства направить
на ремонт детских учреждений (школы, детского сада). Пусть рассматриваемая многодетная семья
расценивает замену субсидий на водоснабжение на ремонт детских учреждений как эквивалентную (в
терминах благосостояния). Как при новой политике изменится объем водопотребления данного
домохозяйства (по сравнению с водопотреблением при субсидировании)?
Новое бюджетное ограничение потребителя будет иметь такой же наклон, как и бюджетная линия до
введения субсидии. Поскольку потребитель расценивает замену субсидий на водоснабжение на ремонт
детских учреждений как эквивалентную (в терминах благосостояния), то при новом бюджетном
ограничении потребителю должен быть доступен прежний уровень полезности, то есть бюджетное
ограничение будет касаться прежней кривой безразличия.
Таким образом, если набор агента изменится, то в силу сохранения полезности данное изменение
обусловлено лишь эффектом замещения по Хиксу, который неположителен. Это означает, что
водопотребление не может возрасти: либо набор останется прежним и водопотребление не изменится,
либо водопотребление сократится. (0,5)
Графики (0,25)
5
y
бюджетная линия после
отмены субсидии пункта (г )


0
x
x̂ x
x̂
x
Задача 5. (1 балл)
Пусть цена нормального блага возросла, и потребителю выплатили субсидию, равную эквивалентной
вариации, соответствующей данному повышению цены. Как эта политика повлияет на благосостояние
агента, если агент до повышения цены приобретал данный товар в положительном количестве?
Если бы потребителю в ответ на повышение цены выплатили субсидию, равную компенсирующей
вариации, то благосостояние потребителя не изменилось бы (по определению компенсирующей
вариации, это такое изменение дохода, которое позволило бы потребителю вернуться на прежний
уровень благосостояния при изменении цены). (0,25)
Поэтому, для того, чтобы ответить на вопрос, как изменится уровень благосостояния потребителя,
если в качестве компенсации повышения цены выплатить ему субсидию, равную эквивалентной вариации,
необходимо сравнить компенсирующую и эквивалентную вариации.
Сравнение графическое или аналитическое (0,5)
Так как цена товара возросла, то благосостояние потребителя упало.
U 0  U1 .
При любых ценах потребителю необходима меньшая сумма денег для достижения меньшего уровня
полезности U 1 : m p ,U 1   m p ,U 0  , p .
Поскольку
благо
нормальное,
x1  p , m p ,U 1   x1  p , m p ,U 0  .
то
спрос
на
благо
упадет
с
уменьшением
дохода
Заметим, что в силу того, что вместе с изменением цены менялся и доход таким образом, чтобы
благосостояние оставалось неизменным, мы имеем дело с компенсированным по Хиксу спросом. Как было
показано, компенсированный спрос при полезности U 1 лежит левее компенсированного спроса,
соответствующего полезности
U 0 , откуда следует, что и площадь, ограниченная этой кривой,
окажется меньше.
Это означает, что EV  CV . Вывод: компенсация недостаточна для достижения прежнего уровня
полезности, т.е. благосостояние агента ухудшится. (0,25)
6
y
CV / p y
U1
U0
EV / p y

B
0
xB

C
D

A

xC xD x A
x
px
p 1x
EV  S p1NLp0
N
CV  S p1MKp0
M
EV  CV
p
0
x
K
L
x comp  p,U o 
xcomp  p,U1 
0
xB xC xD x A
x
7