blinkova_ayu - Саратовский государственный университет

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВЯЗКО-УПРУГОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ
ОБОЛОЧКИ С ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТЬЮ
ВНУТРИ НЕЁ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ВОЛНЫ ДЕФОРМАЦИИ
Ю. А. Блинков1, А. Ю. Блинкова1, Л. И. Могилевич2
Саратовский государственный университет им. Н.Г.Чернышевского
2
Московский государственный университет путей сообщения
(Поволжский филиал)
1
Волновые процессы в вязкоупругих и нелинейных вязкоупругих
оболочках, не взаимодействующих с вязкой жидкостью, рассмотрены в
[1-3].
Рассмотрим бесконечно длинную вязкоупругую цилиндрическую
оболочку с круговым сечением, внутри которой находится вязкая несжимаемая жидкость.
Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости и уравнение
неразрывности в цилиндрической системе координат r , , x записываются
в случае осесимметричного течения в виде
V
1
1
 grad V 2  rotV  V  grad  p =  rot rotV ,
(1)
t
2

divV
= 0.
На границах с оболочками выполняются условия прилипания жидкости
Vr = 
W
U
,x =
t
t
ïðè
r = R1  W .
Здесь t - время; Vr ,Vx - проекции вектора скорости жидкости на оси
цилиндрической системы координат; p - давление;  - плотность;  кинематический коэффициент вязкости; U - продольное упругое перемещение оболочек по оси x ; W - прогиб, положительный к центру кривизны оболочки; R1 - внутренний радиус оболочки.
Связь между компонентами напряжений  x ,  y и деформаций зададим уравнениями квадратичной теории вязкоупругости [4], учитывающей
линейную упругость объёмных деформаций
t
E
E
x =
( x  0 y ) 
  e   (t  ) (1  a u2 )ex d ,
2
1  0
1   0 
y
t
E
E
=
(




)


e   ( t  ) (1  a u2 )e y d .
y
0
x
2



1  0
1  0
(2)
(3)
Здесь E - модуль Юнга, 0 - коэффициент Пуассона материала оболочек (считая их одинаковыми), t - время;  ,  ,  - параметры вязкоупругости;  u2 -квадрат интенсивности деформаций, ex , ey - компоненты девиатора деформаций
4
3
2
3
1
3
2
3
1
3
 u2 = ( x2   y2   x y ); ex =  x   y , ey =  y   x .
(4)
Связь между компонентами деформации ex , ey и перемещениями
U,W - стандартная.
Разлагая функции (1  a u2 )ex , (1  a u2 )ey в ряд Тейлора по степеням
(t   ) , при условии t 1 сохраняем два члена разложения их формул (3)
получим приближенные уравнения состояния [1-3]
2
E
2
1
x =
(




)

p
[




a
(
e
ex )],
x
0
y
x
y
u
1  02
3
3
(5)
2
E
2
1
y =
( y  0 x )  p[  y   x  a( u ey )]
1  02
3
3
где введен оператор p, такой, что
E
 f 
pf =
( 2
 f)
1  0  t 
(6)
Вычисляя с использованием (6) усилия и моменты по формулам
h0
h0
h0
h0
N x =  h20  x dz, N y =  h20  y dz, M x =  h20  x zdz, M y =  h20  y zdz




2
2
2
2
и подставим (8) в систему уравнений динамики оболочек
N x
 2U
2M x 1
 W
 2W
 p0h0 2 = qx ,
 Ny  (
N x )  p0 h0 2 = qn
x
t
x 2
R
x x
t
здесь h0 - толщина оболочки; q x , qn напряжения, действующие со
стороны жидкости на поверхность оболочки, снесенные на невозмещаемую поверхность оболочки (W  R) , R - радиус срединной поверхности
оболочки.
(7)
(8)
qx = [  (
Vx Vr
V

)]r = R , qn = [   2  r ]r = R
r
x
r
Принимая за характерную длину - длину волны деформации l перейдем к безразмерным переменным
c
x
E
W = wmu30 ,U = umu10 ,t * = 0 t , x* = ,c0 =
l
l
0 1  02 
где c0 - скорость звука в материале оболочки.
Применяя методы возмущений, найдем связь
1

0  (1  0 )
wm
u u
3

u30 = 1 m 10 , 1 =
,
2

R
l 
1  (1  0 )
3

определим безразмерную скорость волны
2

2
c 2 = [1  (1  0 ) ](1  1 )
3

(9)
(10)
и уравнение
 2u10 um c u10  2u10 1 R 2 2 c  4u10

 ( ) 1

 l 2   2  l
2  4
2 a um 2
 1  1  (1  1 ) 4 u10 2  2u10

( ) (1  0 )
(
)

3 l

c

 2
4
(11)
3
1  c0
l u10
2  u10

(1  0 )(1  1  1 )
 2[1  (2 1 ) 2 ]
= 0.
2
3
3  l

0 h0 R1c0 
Здесь
 = x*  ct * , = t * ,
um
=  = o(1),
l
а  - малый параметр задачи.
При отсутствии жидкости (  = 0) последнее слагаемое выпадает и
уравнение превращается в модифицированное уравнение Кортевега-де
u
Вриза-Бюргерса для 10 , имеющее точное частное решение.

В зависимости от физических параметров величина 1 может быть
1
1
1
больше , меньше
или равна . Последний случай эквивалентен от2
2
2
сутствию жидкости, но означает, что жидкость не влияет на волну дефор-
мации.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента
РФ (проект МД-1025.2012.8) и РФФИ (проект 10-01-00177).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Нелинейные волны в цилиндрических оболочках: солитоны, симметрии, эволюция. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 1999. 132 с.
2. Аршинов Г. А.,Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Двумерные уединенные волны в
нелинейной вязкоупругой деформируемой среде// РАН Акустический журнал.2000
.Т .46,№ 1 .с. 116-117
3. Аршинов Г. А., Могилевич Л. И. Статические и динамические задачи вязкоупругости.// Саратов: Сарат. гос. агр. ун-т, 2000. 152 с
4. Москвитин В. В. Сопротивление вызко-упругих материалов. М.: Наука, 1972. 328 с
1.