Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение “Гимназия №8” Графический метод решения задачи о наилучшем рационе питания Гладкова Кристина Александровна ученица 8 класса Коньшина Елена Викторовна учитель математики Пермь 2011 Оглавление Введение ..............................................................................................................................................3 Глава I. Понятие модели. Этапы построения математической модели ........................................5 Глава II. Модель задачи о нахождении наилучшего рациона питания.........................................6 Глава III. Графический метод решения задачи о наилучшем рационе питания. .........................9 Глава IV. Возможные варианты графического решения задач линейного программирования ............................................................................................................................................................12 Заключение .......................................................................................................................................13 Список литературы ..........................................................................................................................14 Приложение 2 Введение Моделирование является одним из способов изучения окружающей действительности. Моделирующими методами ныне широко пользуются представители самых разных, как естественнонаучных, так и гуманитарных областей знания. Математические знания необходимы и будущим биологам, и филологам, экономистам и юристам, агрономам и инженерам. В последнее время актуальны проблемы производства, планирования народного хозяйства, автоматизации промышленности и управления всеми отраслями. Все это сделало понимание путей использования математического аппарата при нематематических исследованиях, чуть ли не одним из важнейших элементов общей культуры, а владения терминами «математическая структура» и «математическая модель» - необходимыми атрибутам образованного человека. Ряд математических моделей уже нашли практическое применение, а многие на пути к нему. Исследуя модель, можно получить новую информацию об интересующем нас объекте. Критерием применимости модели служит практика: выводы, полученные на основе модели, должны подтверждаться на деле. К числу моделей, нашедших практическое применение, принадлежат задача линейного программирования, транспортная задача, сетевое планирование, балансовые модели и многие, многие другие. Современный человек часто питается не рационально – потребляет лишние калории, ест много жирной пищи и вообще тратит много денег на еду. Объектом исследования данной работы является процесс нахождения оптимального рациона питания по заданным условиям. Задача о рационе питания относится к классу задач линейного программирования. Предметом нашего исследования является графический метод решения задачи о наилучшем рационе питания. Цель работы: апробация графического метода решения задачи о наилучшем рационе питания (по заданным условиям). Для решения задач линейного программирования разработан симплекс-метод. Гипотеза: если задача о рационе питания содержит не более двух переменных, то ее можно решить графическим методом. Задачи работы: изучить этапы построения математической модели; составить модели трех задач о нахождении рациона питания наименьшей калорийности, состоящего из двух продуктов: рыбы и курицы. В первой задаче ввести 3 ограничение по количеству белка, во второй - ограничение по количеству белка и по бюджету, в третьей - ограничение по жирам и белкам; решить задачи о наилучшем рационе графическим способом; составить алгоритм решения задачи о наилучшем рационе питания. В работе использованы методы: математического моделирования; анализа; обобщения. 4 Заключение Задачей линейного программирования общего вида называется задача нахождения экстремума (максимума или минимума) линейной целевой функции при ограничениях, являющихся линейными неравенствами или уравнениями. Задача о наилучшем рационе питания относится к этому типу. Так как задача содержит только две переменные, ее можно решить графическим методом. Таким образом, наша гипотеза подтвердилась. Мы апробировали метод при решении трех задач о наилучшем рационе питания ( по заданным условиям). В результате получили, что Если составить рацион наименьшей калорийности, учитывая, что потребности человека в белках составляют не менее 60 грамм, оптимальным решением будет 285 грамм курицы и 0 грамм рыбы. составить Eсли рацион наименьшей калорийности, учитывая, что потребности человека в белках составляют не менее 60 грамм и денежная сумма не должна составлять больше 50 рублей, то оптимальным решением будет 250 грамм курицы, 42 грамма рыбы. Если составить рацион наименьшей калорийности, учитывая, что суточные потребности человека в белках составляют не менее 60 грамм и жиров не менее 30 грамм, то оптимальным решением будет 285 грамм курицы и 32 грамма рыбы. Решая графическим способом задачу о наилучшем рационе, нужно проделать следующие действия: преобразовать задачу к стандартной форме, если это необходимо. для каждого неравенства выполнить действия: а) для неравенства ах + bу < с (или ах + bу > с) постройте прямую ах + bу = с (l); б) возьмите «пробную» точку, которая не лежит на прямой (1), и выясните, какое из неравенств выполняется: ах + bу < с или ах + bу > с; в) отметьте стрелками (или любым другим способом), какая из двух полученных полуплоскостей является решением данного неравенства. 5 найти область допустимых планов задачи как пересечение всех полуплоскостей: если D = 0, то решений нет; если D 0, то изобразите линии уровня целевой функции z c1 x c2 y c0 , которые образуют семейство параллельных прямых. определить по чертежу точку максимума или минимума (точку выхода или входа). вычислить значение целевой функции в точке экстремума (максимума или минимума) Областью решений задачи может быть, либо ограниченный выпуклый многоугольник, либо неограниченная выпуклая многогранная область. Если задача имеет оптимальное решение, то оно достигается, по крайней мере, в одной из вершин области допустимых решений. Если задача не имеет решения, то это происходит: из-за несовместности системы ограничений; из-за неограниченности целевой функции. 6 Список литературы 1. Коршунова Н. И., Плясунов В. С. «Математика в экономике», «Вита-Пресс», 1996. 2. Книга о вкусной и здоровой пище. М.: Агропромиздат. 3. Солодовников А.С.Введение в линейную алгебру и линейное программирование.М.,Просвешение,1966. 7 Приложение Задача1 Для обеспечения себя белками человеку нужно не менее 60 грамм в день. В 100 граммах сайры содержится 18 грамм белка , а в 100 граммах куриного филе 21 грамм белка. Составить рацион наименьшей калорийности, если в 100 граммах сайры 262Ккал, а в 100 граммах курицы 166 Ккал. Задача 2 Для обеспечения себя белками человеку нужно не менее 60 грамм в день. В 100 граммах сайры, которая стоит 12 руб. содержится 18 грамм белка , а в 100 граммах куриного филе, которое стоит 18 руб. 21 грамм белка. Составить рацион наименьшей калорийности, если денежная сумма составит не более 50 руб. Задача 3 Для обеспечения себя питательными веществами человеку нужно не менее 60 грамм белков и не менее 30 грамм жиров в день. В 100 граммах сайры содержится 18 грамм белка , 21 грамм жира, а в 100 граммах куриного филе 21 грамм белка, 9 грамм жира. Составить рацион наименьшей калорийности, если в 100 граммах сайры 262Ккал, а в 100 граммах курицы 166 Ккал. 8