Sobst

А.Я с а у и у н и в е р с и т е т і н і њ х а б а р ш ы с ы, №1-2, 2010
Т.П.РАЙМБЕРДИЕВ
доктор технических наук
МКТУ им. А.Ясави
А.М.МАРАСУЛОВ
кандидат физико-математических наук
МКТУ им. А.Ясави
СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТОРОИДАЛЬНЫХ ОБОЛОЧЕК ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С
ЖИДКОСТЬЮ
This work deals with formulation of the problem of natural oscillations of toroidal shells interacting with liquid. Hydrodynamic
pressure in the toroidal coordinates has been defined as well. The expressions of the hydrodynamic pressure are the Legendre functions.
Бұл жұмыста тороидальдық қабықтың сұйықпен өзара әсерінің өзіндік тербелісі қарастырылған. Гидродинамикалық
қысым тороидальдық координаталарда анықталған. Алынған гидродинамикалық қысым Лежандр функциясымен
өрнектеледі.
Одним из основных факторов, определяющих решение динамических задач для
трубопроводов с пропекающей жидкостью, является гидродинамическое давление жидкости на
стенку трубы. При решении этих задач с помощью теории стержней [1, 2] для прямолинейных
и криволинейных участков трубопроводов гидродинамическое давление без особых трудностей
определяется по известным составляющим вектора скорости жидкости. Для криволинейных
участков тонкостенного трубопровода большого диаметра, которые представляют собой один
из наиболее сложных по геометрии типов оболочек – тороидальных оболочек - и которые
являются наиболее уязвимыми участками трубопровода при эксплуатации, собственные
колебания с учетом потока жидкости исследовать не удавалось в связи с трудностями по
определению гидродинамическое давление.
Криволинейный участок трубопровода рассматривается в виде тороидальной оболочки
с радиусом линии поперечного сечения r , внутри которой протекает скоростью U  const
p0  const . Область, ограниченная
идеальная
несжимаемая жидкость с плотностью
тороидальной полостью, заполненная жидкостью, рассматривается
в тороидальных
координатах  ,  ,  где 0    r - радиальная координата в плоскости поперечного
сечения тора (см.рис.1), 0     0 и       . Коэффициенты
поверхностных при   const имеют вид [2]:
H  H  
c
,
ch  cos 
H 
Ламе
координатных
csh
,
ch  cos 
(1)
где c - масштабный множитель. Поле скоростей идеальной несжимаемой жидкости
в
процессе колебания оболочки является безвихревым
потенциальным полем с потенциалом     ,  , , t  . Система основных уравнений
потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости включает в себя [2]:
-уравнение неразрывности (Лапласа)  2  0 ,
(2)


-уравнение движения (Эйлера)
(3)
 Q  p   0,
t
- уравнение состояния p0  const ,
(4)
где Q p  - единая в потоке жидкости функция давления, определяемая при
равенством
Q p  
1
 p  p0 ,
p0
1-1
1
y
L

w
RA
1
u
l
y
R
p
A
*
L
x
R

U
p
A*
vR
wR
p0  const
А.Я с а у и у н и в е р с и т е т і н і њ х а б а р ш ы с ы, №1-2, 2010
Раймбердиев Т.П., Марасулов А.М. Собственные колебания тороидальных оболочек...
Рис. 1 Участок трубопровода с протекающей жидкостью.
где p и p 0 - гидродинамическое и гидростатическое давление соответственно. Из (1) – (4)
p и потенциалом
устанавливается связь между гидродинамическим
давлением
возмущенных скоростей  : p  p  p    U  
(5)
0
0
 t

R  
Рассматривая вектор скорости потока жидкости U в тороидальных координатах, запишем
выражения для его составляющих по  ,  ,  :
U 
1 
,
H  
U 
1 
,
H  
U 
1 
H  
(6)
Для составляющей вектора скорости U  , направленной на нормали к деформированной
поверхности оболочки, должно выполняться условие плавного обтекания этой поверхности
потоком жидкости [1]:
(7)
 w
1 
U w 
U
 r

H a 
 r

 r 

 t
H   


a r
,
где w - отнесенная к радиусу r безразмерная составляющая перемещения точек срединной
поверхности оболочки.
Таким образом, задача определения гидродинамического давления жидкости на стенку
трубы сводится к нахождению потенциала  ,
удовлетворяющего уравнению Лапласа (2) и условиям (5), (7) при   r .
Уравнение Лапласа (2) в тороидальной системе координат  ,  и  имеет вид 2:
(8)

 
sin 
 
sin 
 
1
 2




0
  ch  cos  
  ch  cos   
ch  cos  sh  2
В результате разделения переменных после подстановки
  2ch  2 cos  1 2
и представления неизвестной функции   ,  , , t  в виде:
(9)
  A B C Фt 
(10)
получим из (8) известное уравнение тора:
(11) где   const , n  const .


ch
1

2
 
A
sh
   n 
A

2



2
A  0
sh 2 

Общее решение
уравнения тора
комбинацией функций тора P 1 ch  и Q
n
функций
Лежандра
(11)
определяется
линейно независимой
собой один из видов
1 ch  , представляющих
n
2
2
1-го и 2-го
рода
:
A   A1 P
n
1
2
ch  
A2 Q
n
1
2
ch 
(12)
Учитывая, что в поставленной задаче рассматривается область, ограниченная поверхностью
тора координатой  , изменяющейся в пределах 0    r , и что при   0 функция
Лежандра 2-го рода Q 1 chr    , в решении (12) следует положить A2  0 . Поэтому
n
2
решение уравнения тора (11)
рода: A   A P ch 
1
n
1
2
будет выражено только через функцию Лежандра 1-го
(13)
и решение уравнения Лапласа (2) с учетом (13) будет иметь вид:
  ,  , , t   2ch  2 cos  
1
2
P
n
1
2
(14)
ch A1  , , t 
Произведение A1  , , t  найдем из (8), взяв частную производную
   .


  
Подставив
затем значение этого произведения в (14), получим выражение для потенциала скоростей:
А.Я с а у и у н и в е р с и т е т і н і њ х а б а р ш ы с ы, №1-2, 2010
Раймбердиев Т.П., Марасулов А.М. Собственные колебания тороидальных оболочек...
 w
1
U w 
2



rH  
 t  H   B Pn  1 chr

2


 
1
1
B 2 shrP 1 chr   B 2 P 1 chr 
n
2
n
(15)
2
где B  2chr  cos  
Гидродинамическое давление протекающей жидкости на стенку оболочки найдем из (15),
пренебрегая малыми 2-го порядка, возникающими при вычислении частной функции  по

2w  1
1
p  p 0  p 0 rH  Фn 


2
R
H

t




 2w
U 2 2w

U 
,
  t
RH   2 


(16)
где обозначено
Фn

P  1 chr  
 shr

n
2
 


P 1 chr  
 B
n
2


1
В формуле (16) для гидродинамического давления выражение в скобках по аналогии
с цилиндрической
следует считать приведенным ускорением (с учетом скорости U )
элемента оболочки, а величину p 0Фn , зависящую от плотности p 0 , рассматривать как
присоединенную массу жидкости.
Кроме того, следует учесть, что жидкость протекает трубопроводе с достаточно
малой скоростью U , поэтому в формуле (16) можно пренебречь кориолисовым ускорением
характеризуемым смешанной производной, умноженной на скорость U . В результате
приходим к окончательному выводу формулы для гидродинамического давления
p ж , протекающей
жидкости
с постоянной скоростью в криволинейном участке
трубопровода  в кН  :
2

см 
p  p0  p ж ,
1 chr 
n
где P
2
1 chr 
n
и P
1
 2w U 2 2w  ,

P  1 chr  

p æ   p0 r 2Ô n*  2 
1

n
2 
*
2
Ф



R
r

t




n


P 1 chr  
2

n
2
(17)

функция Лежандра первого рода и ее первая производная. Для
2
нахождения параметра Ф n*
по формуле (17) нет необходимости вычислять функции
Лежандра и их производные, так как эта формула содержит отношение производной
функции Лежандра к самой функции . Из формул (16) и (17) видно, что значение параметра
Ф n* , определяющего гидродинамическое давление потока жидкости на стенку оболочки,
увеличивается по мере увеличения кривизны r , но в пределах принятого допущения, что
R
r
1

R
10
.
ЛИТЕРАТУРА
]
1. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. М.:Гостехиздат, 1949.-784с.
2. Бозоров М.Б., Сафаров И.И., Шокин Ю.И. Численное моделирование колебаний диссипативно однородных и неоднородных
механических систем. СО РАН, Новосибирск, 1966.- 188с.