Олимпиада по математике 2007 год

5 класс
№1. Пете необходимо пройти в 4 раза больше ступенек, чем Коле. Коля живет на
третьем этаже. На каком этаже живет Петя?
№2. В коробке 20 монет по 2 копейки и по 5 копеек на сумму 55 копеек. Сколько
было двухкопеечных монет и сколько пятикопеечных?
№3. На сторонах прямоугольника 3х5 внешним образом постройте 4 квадрата и
соедините их центры. Какую фигуру вы получили? Найдите ее площадь.
№4. Четыре белки съели 1999 орехов, каждая не меньше, чем 100. Первая белка
съела больше всех. Вторая и третья вместе съели 1265 орехов. Сколько орехов
съела первая белка?
№5. Пассажир поезда, идущего со скоростью 50 км/ч, заметил, что встречный поезд
шел мимо него в течение 10 секунд. Определите длину встречного поезда, если его
скорость – 58 км/ч.
6 класс
№1. Саша купил в универмаге товар на 127 рублей. Хотя у Саши были только
пятирублевые монеты, а у кассира только двухрублевые, Саша сумел расплатиться
с кассиром. Каково наименьшее количество монет, которое могло быть у Саши?
№2. Укажите пять целых положительных чисел, сумма которых равна 20, а
произведение – 420.
№3. Три ежика делили три кусочка сыра массами 5г, 8г и 11г. Лиса стала им
помогать. Она может от любых двух кусочков одновременно отрезать и съесть по
1г сыра. Сможет ли лиса оставить ежикам равные кусочки сыра?
№4. Разрежьте прямоугольник со сторонами 8 и 4 на три треугольника, из которых
можно сложить квадрат. (Покажите разрезы на чертеже пунктирными линиями).
№5. Руководство некоторой страны решило сделать свой флаг таким: на
одноцветном прямоугольном фоне в одном из углов помещается круг другого
цвета. Цвета решено выбрать из трех возможных: красный, желтый, зеленый.
Сколько вариантов такого флага существует?
7 класс
№1. Велосипедист проехал 5/7 пути и еще 40 км, и ему осталось проехать 0,75 пути
без 118 км. Как велик его путь?
№2. Цифру 9, с которой начинается трехзначное число, перенесли в конец числа. В
результате получилось число на 216 меньше данного. Какое число было
первоначально?
№3. У Васи есть пластмассовый угольник (без делений) с углами 300, 600, 900. Ему
нужно построить угол в 150. Как это сделать, не используя других инструментов?
№4. Постройте график функции у =2 - х
№5. В двух бочках было воды поровну. Количество воды в первой бочке сначала
уменьшили на 10%, а затем увеличили на 10%. Количество воды во второй бочке
сначала увеличили на 20%, а затем уменьшили на 20%. В какой бочке стало больше
воды?
9 класс
№1. Докажите, что при любом натуральном значении «n» (n/3 + n2/2 + n3/6)
является целым числом.
№2. Докажите, что уравнение х2 + 1990 = у2 не имеет решений в целых числах.
№3. Постройте график функции у = х – 3 + х + х + 3
№4. Дана равнобокая трапеция с основаниями 11 и 17. Покажите, как ее можно
разрезать на четыре равные трапеции.
№5. Все участники шахматного турнира, кроме победителя набрали одинаковое
количество очков (каждый сыграл с каждым ровно 1 раз). Победитель набрал 9
очков (победа – 1 очко, ничья – ½, поражение – 0). Сколько шахматистов
участвовало в турнире?
8 класс
№1. На птицефабрику привезли корм, которого хватило бы уткам на 30 дней, а
гусям – на 45 дней. На сколько дней хватит привезенного корма и уткам и гусям
вместе?
№2. Огромный военный оркестр демонстрировал свое искусство на площади.
Сначала музыканты выстроились в квадрат, а затем перестроились в
прямоугольник, причем количество шеренг увеличилось на 5. сколько музыкантов
в оркестре?
№3. Угол при вершине В равнобедренного треугольника АВС равен 108º.
Перпендикуляр к биссектрисе АД этого треугольника, проходящий через точку Д,
пересекает сторону АС в точке Е. Докажите, что ДЕ = ВД.
№4. Решите уравнение х + 3 + х + 1 = 4
№5. Среди 1977 монет 50 фальшивых. Каждая фальшивая монета отличается от
настоящей на 1 г (в ту или другую сторону). Имеются чашечные весы со стрелкой,
показывающей разность масс одной и другой чашки. За одно взвешивание про одну
выбранную монету нужно узнать: фальшивая она или нет. Как это сделать?
10 класс
№1. Доказать, что если sinx + siny + sinz ≥ √5, то cosx + cosy + cos z ≤ 2 .
№2. Разложить на множители: (1 + х + х2 + х3 + ….+ хn) - xn, где n€N, n ≥ 3.
№3. При каких значениях параметра «а» три корня уравнения составляют
геометрическую прогрессию, если х3 +а х2 + 14х + 8 =0
№4. В 7 часов 15 минут вечера были зажжены свечи одинаковой длины, но разного
диаметра. Одна свеча сгорает за 5 часов, другая за 4 часа. Через некоторое время
свечи были потушены, причем от первой свечи остался огарок в 4 раза длиннее,
чем от второй. Когда были потушены свечи?
№5. В трапеции АВСЕ длина основания АЕ равна 16, а длина боковой стороны СЕ
равна 8√3. Окружность, проходящая через точки А,В,С пересекает отрезок АЕ в
точке Н. Величина угла АНВ равна 600. Найдите длину ВН.
11 класс
№1. Решите уравнение sinx = 2/(√2+√2+2 cos4x)
№2. Найти все значения параметра «а», при которых неравенство
(х+а-2)/(2х-4а+1) ≥0 следует из неравенства х2 ≤1 .
№3. Решите уравнение 4√х-2 + 4√19-х = 3.
№4. При каких значениях параметра «а» существует значение «к», такое, что
уравнение х-2 - 2х + 1 =кх+а имеет ровно три решения.
№5. Как нужно разместить в пространстве правильный тетраэдр, чтобы его
ортогональная проекция на данную плоскость имела наибольшую площадь.
Найдите эту площадь, если ребро тетраэдра имеет длину «а».
7 класс
№1 Расставьте скобки и знаки арифметических действий, чтобы получилось верное равенство:
№2. Чтобы открыть сейф, нужно ввести код – число, состоящее из семи цифр: двоек и троек.
Сейф откроется, если двоек больше, чем троек, а код делится и на 3, и на 4. Придумайте такой
код.
№3. В честь праздника 1% солдат в полку получил новое обмундирование. Солдаты расставлены
в виде прямоугольника так, что солдаты в новом обмундировании оказались не менее чем в 30%
колонн и не менее чем в 40% шеренг. Какое наименьшее число солдат могло быть в полку?
№4. Куб размером 3 х 3 х 3 состоит из 27 единичных кубиков. Можно ли побывать в каждом
кубике по одному разу, двигаясь следующим образом: из кубика можно пройти в любой кубик,
имеющий с ним общую грань, причем запрещено ходить два раза подряд в одном направлении?
№5. В шахматном турнире на звание мастера спорта участвовало 12 человек, каждый сыграл с
каждым по одной партии. За победу в партии дается 1 очко, за ничью – 0,5 очка, за поражение – 0
очков. По итогам турнира звание мастера спорта присваивали, если участник набрал более 70%
от числа очков, получаемых в случае выигрыша всех партий. Могли ли получить звание мастера
спорта: а) 7 участников; б) 8 участников?
№6. Приходя в тир, игрок вносит в кассу 100 рублей. После каждого удачного выстрела
количество его денег увеличивается на 10%, а после каждого промаха – уменьшается на 10%.
Могло ли после нескольких выстрелов у него оказаться 80 рублей 19 копеек.
9 класс
№1. На складе имелось 500 кг капусты, в которой содержание воды – 99%. Через некоторое время
содержание воды – стало 98%. Сколько стала весить капуста?
№2. Три ящика наполнены орехами. Во втором ящике на 10% орехов больше, чем в первом, и на 30%
больше, чем в третьем. Сколько орехов в каждом ящике, если в первом на 80 больше, чем в третьем?
№3. Доказать, что х2 – 8 не делится на 5 ни при каком натуральном значении х.
№4. Два человека чистили картофель. Один очищал в минуту 2 картофелины, а второй – 3. Вместе они
очистили 100 штук. Сколько времени работал каждый, если второй проработал на 25 минут дольше
первого?
№5. Доказать, что если х + у + 1 = 0, то х3 + у3 +1 = 3ху.
№6. Известно, что 16х + 16у = 527. Вычислите 2х + 2у.
№7. Доказать, что х5 – 5х3 + 5х, делится на 120.
№8. Две свечи одинаковой длины, но разной толщины (одна свеча сгорает за 5 часов, другая за 4 часа)
горели одинаковое время. Через некоторое время свечи были потушены, причем от первой свечи остался
огарок в 4 раза длиннее, чем от второй. Сколько времени горели свечи?
9 класс
№1. Доказать, что если целое число х не делится на 3, то число х4 + х2 – 2 делится на 9.
№2. Найти наименьшее значение выражения: (х-1)(х-2)(х-3)(х-4)+10
№3. Существуют ли целые числа х и у, удовлетворяющие уравнению: х2 = 1994 + у2 ?
№4. При каком значении р сумма квадратов корней уравнения х2 + (р-2)х + (р-3) = 0 принимает
наименьшее значение?
№5. Какая из дробей больше, если х и у - положительные числа
№6. В одном украинском городе все жители говорят на русском или украинском языке. Поукраински говорят 85% всех жителей, а по-русски – 75%. Сколько % всех жителей этого города
говорят на обоих языках?
№7. Трава на лугу растет одинаково густо и быстро. 70 коров могут поесть ее за 24 дня, 30 коров
– за 60 дней. Сколько коров поели бы всю траву за 96 дней?
№8.Найти наименьшее значение функции у = х+1 + х-1 и построить график.
№9. Найти простое число р, для которого N = р4 – 5р2 + 4 не делится на 120.
№10. Имеется 735 г шестнадцатипроцентного раствора йода в спите . Нужно получить
десятипроцентный раствор йода. Сколько грамм спирта нужно долить для этого к уже
имеющемуся раствору?
№11. Владелец дискотеки имел стабильный доход. В погоне за увеличением прибыли он повысил
цену на билеты на 25%. Количество посетителей резко уменьшилось, и он стал нести убыткт.
Тогда он вернулся к первоначальной цене билетов. На сколько % владелец дискотеки снизил
новую цену билетов, чтобы она стала первоначальной?
№12. Дан ромб АБСД с острым углом В. Площадь ромба равна 320, а синус угла В равен 0,8.
Высота СН пересекает диагональ ВД в точке К. Найти длину отрезка СК.
№13. Точка К лежит на стороне ВС треугольника АВС, ВК =1, КС=15, ВАК = АСК, В=300.
Найти площадь треугольника ВАК.
№14. Внутри угла в 600 взята точка, расстояние от которой до сторон угла равны 2 см и 11 см.
Найти расстояние от этой точки до вершины угла.