Решение олимпиадных задач на процентное содержание или концентрацию.

Решение олимпиадных задач на процентное содержание или концентрацию.
Пахнутова Н.В., учитель математики
МОУ «СОШ №27» г.о. Саранск
Цель урока: показать учащимся применение «правила креста» при решении химических задач
на смеси, растворы, сплавы.
Задачи урока:
Образовательная: углубление и систематизации заданий по «правилу креста», отработка умений и
навыков при решении сложных задач, расширения математического представления учащихся о
новых приемах решения задач, подготовить учащихся к поступлению в вузы.
Развивающая: развитие самостоятельности, потребности к самообразованию, расширение
кругозора.
Воспитательная: воспитание уверенности в себе, формирование познавательного интереса.
Класс: 9
Форма занятия: урок – практикум.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, дидактические материалы по ЕГЭ 2012
г., 2013 г.
Ход урока.
1. Организационный момент (активизация внимания учащихся).
2. Актуализация знаний учащихся по «правилу креста».
При решении задач «правилом креста» идет большая экономия времени, которое так
необходимо на экзамене. Данный тип задач охватывает большой круг ситуаций – смешение товаров
разной цены, жидкостей с различным содержанием соли, кислот различной концентрации,
сплавление металлов с различным содержанием некоторого металла и пр. Связь различных задач
между собою станет яснее, если рассматривать типичные ситуации в общем виде. При решении
задач данного типа используются следующие допущения:
1. Всегда выполняется «Закон сохранения объема или массы»: если два раствора (сплава)
соединяют в «новый» раствор (сплав), то выполняются равенства:
V1+V2 – сохраняется объём;
m=m1+m2 – закон сохранения массы.
2. Данный закон выполняется и для отдельных составляющих частей (компонентов) сплава
(раствора).
3. При соединении растворов и сплавов не учитываются химические взаимодействия их
отдельных компонентов.
Слайды
Слайд №1
m1 – масса данного вещества (будем считать первого раствора);
m2 – масса другого раствора, которым добавляем;
. w – концентрация первого раствора;
1
w2 – концентрация второго раствора;
wсм – концентрация смеси.
m1w1  m2 w2
wсм
=
Слайд №2
«Правило креста»
w1
(m1  m2 )wсм
wсм
m w  m2 w2
 1 1
m1  m2
m1 wсм  w2

m2 w1  wсм
wсм - w2
w2
w2 - wсм

Имеются два сплава, в первом из которых содержится 90% серебра, а во втором – 60%
серебра. Найдите отношение, в котором нужно взять первый и второй сплавы, чтобы
переплавить их, получить новый сплав, содержащий 70% серебра.
Решение:
w1 = 90%,
w2 = 60%,
wсм=70%,
90%
10%
70%
60%
20%
Ответ: 0,5.
3. Решение олимпиадных задач по группам (весь класс разделяется на 3 группы), у каждой
своя задача, выбираются консультанты - ученики.)
 Для консультантов: В бидоне было 9 литров молока жирностью 10%. Через сутки из
бидона слили 1,5 литра молока выделившихся сливок. Определите процент жирности
выделившихся сливок, если жирность оставшегося в бидоне молока составила 8%.
Решение:
m1 = 9 л
w1 = 10%
m2 = 9 л – 1,5 л = 7,5 л
w2 = 8%
Отношение массы молока в бидоне, к массе оставшегося в бидоне молока равно:
m1 9

m2 7,5
Пусть Х – концентрация сливок, т.е. жирность выделившихся сливок, тогда получим:
8% - Х
10%
Х
8%
10% - Х
Составим уравнение:
90 8  х

,
75 10  х
6 8 х

,
5 10  х
60 – 6x = 40 – 5x,
x = 20.
20% жирность выделившихся сливок.
Ответ: 20%.
2

Первой группе: в двух бочках содержится сахарный сироп различной концентрации. В
первой бочке содержится 150 кг сиропа, а во второй – 250 кг. Если перемешать сироп,
находящийся в этих бочках, то получится сироп, в котором 30% сахара. А если смешать
равные массы сиропа из каждой бочки, то полученный сироп будет содержать 28% сахара.
Какова масса сахара (в кг), содержащегося в сиропе из второй бочки?
Решение:
1) Отношение массы сиропа (в кг) в первой бочке к сиропу во второй бочке равно:
m1 150 3


m2 250 5
Пусть x – концентрация 1 сиропа, y – концентрация 2 сиропа. Т.к. при смешивании получим сироп, в
котором 30% сахара, то имеем:
x
y - 30%
30%
y
30% - x
тогда получим уравнение:
3 y  30

.
5 30  х
2) Т.к. массы равны, то отношения их масс равно 1, т. е.
m1
1
m2
При смешивании получим сироп, в котором 28% сиропа, то имеем:
x
y - 28%
28%
y
28% - x
Тогда получим уравнение:
y  28
1
28  x
3) Имеем систему уравнений:
 3 y  30
 5  30  x

,

y

28
1 
 28  x
3(30x)  5( y30)
,

28x  y28
3
3(30x)  5(56  x30)
=> 3

 y  56  x
(30 - x) = 5
(26 – x) ,
90 – 3x = 130 – 5x,
x = 20.
20% и y=56% - 20%=36% концентрация 2 сиропа. Т.о. всего 250 кг во второй бочке, 36%
сиропа, т.е. 250·0,36=90 (кг) сахара.
Ответ: 90 кг.

Второй группе: В химической лаборатории в двух сосудах содержится раствор борной
кислоты различной концентрации. В первом сосуде содержится 3 литра раствора, а во
втором – 5 литров. Если растворы, находящиеся в этих сосудах, смешать, то получится
44% раствор кислоты. А если смешать равные объёмы этих растворов, то получится 40%
раствор. Какова концентрация (в процентах) раствора в первом сосуде?
Решение:
1)
m1 3

m2 5
x – концентрация первого раствора,
y – концентрация второго раствора,
тогда получим:
x
y - 44%
44%
y
2)
44% - x
m1
1
m2
x
y - 40%
40%
y
40% - x
4) Составим систему уравнений:
 3 y  44
 5  44  x

,

1  y  40
 40  x
3(44x)  5( y44)
,

40x  y 40
4
132 3x  5( y44)
,

 y  80  x
132-3x=5(80-x-44),
132-3x=180-5x,
x=24.
24% концентрация первого раствора.
Ответ: 24%
 Третьей группе: Имеются два слитка золота с серебром. Процентное содержание золота в
первом слитке в 2,5 раза больше, чем процентное содержание золота во втором слитке.
Если славить оба слитка вместе, то получится слиток, в котором 40% золота. Найдите, во
сколько раз первый слиток тяжелее второго, если известно, что при сплаве равных по весу
частей первого и второго слитков получится сплав, в котором 35% золота.
Решение:
1) Масса 1 раствора в 2,5 раза больше массы 2 раствора, тогда имеем:
m1
 2,5
m2
Пусть Х – концентрация 1 раствора, Y – концентрация 2 раствора, получится слиток, в котором 40%
золота, тогда получим:
X
Y - 40%
40%
Y
40% - X
2) (Массовые части равны.) Сплавляют равные по весу части, тогда имеем:
m1
1
m2
получается (слиток) сплав, в котором 35% золота, тогда имеем:
X
Y - 35%
35%
Y
35% - X
3) Составим систему уравнений
y  40

2,5  40  x

,

1  y  35
 35  x
(40x)2,5  y40
,

35x  y 35
5
100  2,5 x  y40
,

 y  70  x
100  2,5 x  70  x40
,

 y  70  x
1,5 x = 70,
700
,
15
140
x
,
3
140 70
y  70 

,
3
3
x 140 70

:
 2.
y
3 3
Ответ: в 2 раза.
x
4. Подведение итогов урока.
Задачи такого вида решаются с помощью системы уравнений, где вводятся две переменные:
x и y:
x – концентрация первого раствора (сплава),
y- концентрация второго раствора (сплава),где отношение их масс равно отношению массовых
частей.
Пользуясь «правилом креста» можем решить задачи на сплавы, растворы, смеси.
5. Домашнее задание: задачи ЕГЭ , В-13.
Список используемой литературы:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Галицкий и др. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учебное пособие для учащихся шк. и
классов с углубл. изуч. математики / М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич.-2-е изд. - М.:
Просвещение,1994. - 271с.
Ерыгин Д.П., Шишкин Е.А. Методика решения задач по химии: Учебное пособие для студентов
пед. ин-тов по биол. и хим. спец. - М.: Просвещение,1989. - 176с.
«Математика. Всё для ЕГЭ» (книга 1, книга 2) Д.А. Мальцев, А.А. Мальцев, Л.И. Мальцева.
Издательство «Народное образование».
Сборник задач по математике для поступающих в вузы: Учебное пособие/ П.Т.Дыбов,
А.И.Забоев, А.С. Иванов и др.; Под ред. А.И. Прилепко. - М.:Высш. школа, 1983. - 239 с.
«Сборник элективных курсов, профильное образование» В.Н. Студенецкая, Л.С. Сагателова.
Издательство «Учитель».
http://festival.1september.ru/articles/212299/
6