Задачи математического боя

Задачи для математического боя
27 апреля 2008 г.
Задача 1. Найдите вероятность qn того, что случайная  0,1 -матрица размера n  n
является невырожденной над полем F2  0,1 . Доказать, что существует
lim qn  q  0 .
n
Задача 2. Поверхность некоторой планеты, имеющей форму шара, состоит из океана и суши (множество мелких островков). Суша занимает больше половины площади планеты. Также известно, что суша – есть множество принадлежащее борелевской  -алгебре на сфере. На планету хочет совершить посадку космический
корабль. Посадка окажется успешной, если не меньше четырех его ножек из шести
окажутся на суши. Возможна ли успешная посадка корабля на планету?
Замечание. Обратим внимание на то, что ответ не зависит от того, какое именно
множество представляет собой суша, и как располагаются шесть ножек корабля, на
которые он совершает посадку. Существенно то, что концы всех шести ножек лежат на поверхности планеты.
Задача 3. Пусть случайные величины X i , i  1,..., n - независимы в совокупности и
имеют одинаковое распределение R  0,1 (равномерное распределение на отрезке
0,1 ). Пусть f  x1,..., xn   C1 0,1n  . Докажите, что
Df  X 1,..., X n  
2
1



f
x
,...,
x


1
n  dx1...dxn ( D - дисперсия с.в.  ).
8 0,1n 
Задача 4 (Обобщенный принцип максимума). Пусть в области D
Lz  t , x      t , x  z  t , x  x  x  z t , x  t  a t , x  z t , x  x  b t , x  z t , x   0 ,
где   t , x   0 , a  t , x  , b  t , x  ,   t , x  x , a  t , x  x - равномерно ограниченные
непрерывные в D функции; z  t , x  непрерывная в D функция, имеющая в D непрерывные частные производные, входящие в L . Область D имеет вид
t, x  : 0  t  T ,   t   x    t  , где    t  - непрерывная кривая при 0  t  T
или символ  . Докажите, что если z  t , x   0 на части границы области D , лежащей в полосе 0  t  T , то z  t , x   0 в D .
Задача 5 (Сходимость к равновесию по Нэшу). Рассмотрим систему ОДУ
xi   i  t   fi  x1 ,..., xn   xi  , i  1,..., n ,
  i  t   0 при t  0 и


  t  dt   , i  1,..., n ;
0
i
fi  x1 ,..., xn   C  K  , i  1,..., n ;
1
  K  n (выпуклый компакт) : f  K   K , где f   f1 ,..., f n  .
Докажите, что условие
T
1
n
 xK  
j 1
fi  x 
 1, i  1,..., n
x j
обеспечивает существование равновесия системы ОДУ и единственность его в K ,
а также его асимптотическую устойчивость.
Задача 6 (О возмущении спектра). Докажите, что если квадратная матрица
A  aij
n
1
диагонализируема (  T : A  T 1T ,   diag 1,..., n  ),   - собственное
значение
возмущённой
A  A ,
матрицы
то
найдётся
такое
i ,
что
n
   i   T  A m , где A m  max  aij - столбцовая норма матрицы (подчиi 1,...,n
ненная норме x
m
 max xi в
i 1,...,n
n
j 1
),  T   T
m
T 1
m
- число обусловленности
матрицы T .
Задача 7. Известно, что ранг коммутатора  A, B   AB  BA равен единице. Доказать, что матрицы A и B имеют общий собственный вектор.
Задача 8. Произведение C невырожденных кососимметрических матриц A и B
диагонально. Докажите, что кратность любого собственного значения матрицы C
четна.
Задача 9. Пусть функция f  x  непрерывно дифференцируема на отрезке  0,1 и
f  0   0 , f 1  0 ,
  f   x 
1
0
2
dx  1. Изобразите множество точек, через которые
может проходить график функции y  f  x  .
Задача 10. Известно, что при любых действительных A , B ряд

n 1
ходится. Верно ли, что расходится ряд

x
n 1
n
1
расn  Byn
 Ax
1
? Тот же вопрос для комплекс yn
ных A , B .
Задача 11. Пусть оператор T в пространстве Lp  0,   , p  1 задан формулой
x
1
Tf  x    f  y  dy . Докажите, что T ограничен но не компактен (вполне непрерыx0
вен). Найдите норму T .
Задача 12. Найдите необходимое и достаточное условие того, что числа M 1 , M 2 ,
M 3 могут быть равны соответственно  ,  2 ,  3 , где  - случайная величина,
принимающая значения из отрезка  0,1 .
2