Исследование линейных и нелинейных систем автоматического

ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ
И НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
НА МОДЕЛИРУЮЩЕЙ УСТАНОВКЕ СУЛ-3
Методические указания
к лабораторным работам по курсу
«Теория автоматического управления»
для студентов направления подготовки
Составители:
В. М. Текиев, М. Э. Багаева
Владикавказ 2015
0
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ГОРНО-МЕТАЛЛУРГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)»
Кафедра теории и автоматизации металлургических процессов и печей
ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ
И НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
НА МОДЕЛИРУЮЩЕЙ УСТАНОВКЕ СУЛ-3
Методические указания
к лабораторным работам по курсу
«Теория автоматического управления»
для студентов направления подготовки 13.03.04 «Автоматизация
технологических процессов и производств»
Составители:
В. М. Текиев, М. Э. Багаева
Допущено
редакционно-издательским советом
Северо-Кавказского горно-металлургического института
(государственного технологического университета).
Владикавказ 2015
1
УДК
ББК 65.050.9(2)2
Рецензент:
доктор технических наук, профессор
Северо-Кавказского горно-металлургического института
(государственного технологического университета)
Рутковский А. Л.
Исследование линейных и нелинейных систем автоматического управления на моделирующей установке СУЛ-3: Методические указания к лабораторным работам по курсу «Теория
автоматического управления» / Сост.: М. Э. Багаева, В. М. Текиев; Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет). – Владикавказ: Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет). Изд-во «Терек», 2015.
– 40 с.
УДК
ББК 65.050.9(2)2
Редактор: Иванченко Н. К.
Компьютерная верстка: Куликова М. П.
 Составление. ФГБОУ ВПО «СевероКавказский горно-металлургический
институт (государственный технологический
университет)», 2015
 Багаева М. Э., Текиев В. М., составление, 2015
Подписано в печать 03.08.2015. Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура
«Таймс». Печать на ризографе. Усл. п.л. 2,3 . Уч.-изд. л. 1,4. Тираж 30 экз.
Заказ №
. Северо-Кавказский горно-металлургический институт
(государственный технологический университет). Издательство «Терек».
Отпечатано в отделе оперативной полиграфии СКГМИ (ГТУ).
362021, г. Владикавказ, ул. Николаева, 44.
2
ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ ДЛЯ
ИССЛЕДОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ, НЕЛИНЕЙНЫХ
И СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторная установка включает следующие устройства, совместное использование которых позволяет оценивать различные параметры систем автоматического управления:
1. Система управляющая лабораторная СУЛ-3;
2. Осциллограф с длительным послесвечением И-6;
3. Автоматический самописец типа ДИСК-250;
4. Генератор синусоидальных сигналов ГЗ-16.
Базовым устройством установки является система СУЛ-3, которая
в свою очередь содержит:
- панель управления;
- аналоговое управляющее устройство;
- модель объекта управления;
- измерительное устройство для определения параметров сигналов;
- вычислитель оценки качества процесса управления;
- вспомогательные устройства.
Рассмотрим эти устройства подробнее.
1. Панель управления
Панель предназначена для формирования различных структурных
схем при решении конкретных задач исследования систем автоматического управления, а также установки параметров отдельных элементов схем, обеспечения индикации режимов работы систем управления
и управления работой систем в различных режимах.
Панель содержит следующие группы органов индикации и управления:
- переключатели, потенциометры и кнопки, с помощью которых
задаются структура и параметры аналогового управляющего устройства и модели объекта управления;
- кнопки управления «Работа» и «Исходное положение» для переключения режима работы;
- индикаторы режима работы аналогоцифрового («Вход АЦП») и
цифроаналогового («Вход ЦАП») преобразователей;
- органы управления и индикации измерительного устройства
(вольтметр, секундомер, схема управления индикатором, переключатель входа вольтметра и индикатора).
3
При пользовании органами управления следует руководствоваться следующими общими правилами:
- соединение связей производится установкой соответствующих
тумблеров в верхнее положение или установкой «клювиков» переключателей в сторону замыкания линии;
- увеличению коэффициентов передачи потенциометров соответствует вращение их ручек по часовой стрелке;
- контролируемые потенциометры снабжены кнопками, при
нажатии на которые коэффициент передачи индицируется вольтметром (единичному коэффициенту передачи потенциометра соответствует отклонение стрелки до сотого деления).
2. Аналоговое управляющее устройство
Устройство состоит (рис. 1) из следующих основных блоков:
- задающего устройства;
- устройства сравнения;
- интегрирующего, пропорционального и дифференцирующего
блоков;
- источника случайного сигнала;
- выходного сумматора;
- нелинейного элемента.
Рис. 1
4
Задающее устройство позволяет формировать следующие сигналы задающего воздействия:
𝑔(𝑡) = 1(𝑡),
𝑔(𝑡) = 𝐴 ∙ 𝑡,
𝑔(𝑡) = sinω𝑡.
Амплитуда задающего воздействия регулируется потенциометром и устанавливается при подключении вольтметра к точке «g».
Устройство сравнения служит для формирования сигнала рассогласования:
𝑒(𝑡) = 𝑔(𝑡) + 𝑁(𝑡) − 𝑦(𝑡),
где N(t) – случайный сигнал помехи;
у(t) – сигнал управляемой величины, поступающий по цепи обратной связи.
Интегрирующий, пропорциональный, дифференцирующий блоки
и выходной сумматор позволяют реализовать передаточную функцию
управляющего устройства:
𝑊y (𝑆) =
𝑈(𝑆) 𝐾и
=
+ 𝐾п + 𝐾д 𝑆,
𝐸(𝑆)
𝑆
где S – оператор Лапласа,
U(S) – изображение по Лапласу сигнала управляющего воздействия на выходе выходного сумматора;
E(S) – изображение по Лапласу сигнала рассогласования е(t);
Kи – коэффициент передачи интегрирующего блока (0≤ Kи ≤10);
Kп – коэффициент передачи пропорционального блока (0≤ Kп ≤1);
Kд – коэффициент передачи дифференцирующего блока (0 ≤ Kд ≤1).
Источник случайного сигнала позволяет подавать случайный сигнал возмущающего воздействия N(t) в устройство сравнения или в
выходной сумматор. Амплитуда случайного сигнала регулируется соответствующим потенциометром.
Нелинейный элемент позволяет реализовать гистерезисную статическую характеристику (рис. 2). Ширина петли характеристики может задаваться в пределах от 0 до 10 В соответствующим потенцио5
метром. Знак выходного сигнала нелинейного элемента индицируется
светодиодами, расположенными около изображения его статической
характеристики.
Рис. 2
3. Модель объекта управления
Модель реализует (рис. 3) следующие передаточные функции:
𝑊о (𝑆) =
𝐾о
𝐾о
; 𝑊о (𝑆) =
,
(𝑇о1 𝑆 + 1)(𝑇о2 𝑆 + 1)
(𝑇о1 𝑆 + 1)𝑇о2 𝑆
где Kо – коэффициент передачи объекта управления (0≤ Kо ≤10);
То1, То2 – постоянные времени объекта, для которых могут задаваться следующие дискретные значения: 0; 0,01; 0,02; 0,05; 0,1; 0,25;
0,5; 1,0.
Постоянным времени То1 и То2 могут присваиваться неизвестные
значения. Эти значения задаются индивидуально для каждого экземпляра моделирующего блока с помощью дополнительных устройств.
Для задания неизвестных значений необходимо установить переключатели То1 и То2 в положения Тх1 или Тх2, Тх3 или Тх4. Для переменной
модели у2 могут задаваться ненулевые значения начальных условий.
Напряжение начальных условий вводится с помощью потенциометра
НУ при включении соответствующего тумблера.
6
Рис. 3
Моделирующий блок работает в двух режимах: «Исходное положение», «Работа». В режиме «Исходное положение» производится
задание начальных условий для выходных сигналов интегрирующих
элементов. В режиме «Работа» производится моделирование переходных процессов. Индикация режима производится с помощью включения цифрового табло секундомера. В режиме «Работа» табло светится,
в режиме «Исходное положение» выключается.
4. Измерительное устройство
Устройство содержит секундомер, вольтметр с автоматическим
переключением полярности измеряемого сигнала и органы управления индикатором. Секундомер предназначен для измерения времени
переходного процесса или других временных интервалов в диапазоне
от 0,1 до 99,9 с с дискретностью 0,1 с. Для измерения времени переходного процесса вход секундомера подключается к точке «е». При
этом отсчет времени переходного процесса начинается с момента перевода моделирующего блока в состояние «Работа» до момента, когда
модуль сигнала рассогласования в точке «е» станет меньше значения
0,5 В. В случае, если в качестве критерия окончания времени переходного процесса используется другой сигнал, остановка секундомера
производится вручную с помощью «Стоп». Выбор режима работы
производится с помощью тумблера «от е» – «Стоп».
7
Вольтметр предназначен для измерения сигналов в контрольных
точках моделирующего блока и калибровки потенциометров. Для калибровки потенциометра нажимается расположенная рядом с ним
кнопка, при этом вольтметр показывает коэффициент передачи потенциометра. Сотому делению шкалы вольтметра соответствует единичный коэффициент передачи потенциометра, нулевому – нулевой. Для
измерения сигналов вольтметр подключается к контрольным точкам
моделирующего блока с помощью переключателя, имеющего соответствующие обозначения. К этим же точкам подключается осциллограф.
Осциллограф может работать в следующих режимах:
- построение графика измеряемой величины по оси времени (диапазон периода развертки от 2 до 20 с) – переключатель режимов развертки в положении «Развертка»;
- наблюдение статической характеристики нелинейного элемента
– переключатель в положении u1, u2;
- наблюдение фазовой траектории объекта управления – переключатель в положении у1, у2.
Управление разверткой производится от встроенного генератора.
Осциллограф должен использоваться в режиме усиления входных
сигналов горизонтального (х) и вертикального (у) отклонений луча.
5. Вычислитель оценок
Вычислитель предназначен для определения оценок качества переходных процессов:
- оценки математического ожидания ошибки (положение переключателя вычислителя – М):
𝑇
1
𝑀 = 𝑒̅ = ∫ 𝑒(𝑡)𝑑𝑡;
𝑇
0
- оценки дисперсии ошибки (положение переключателя – D):
𝑇
1
𝐷 = 𝑒̅ = ∫ 𝑒 2 (𝑡)𝑑𝑡;
𝑇
2
0
- интегральной оценки:
𝑇м
𝐾𝐼
𝐼 = ∫ |𝑒(𝑡)|𝑑𝑡,
𝑇
0
8
где Т – постоянная времени интегратора (Т = 4с);
Тм – время наблюдения, в течение которого наблюдается оценка;
KI – постоянный коэффициент: KI = 1 при положении «J»; KI = 10
при положении «10J».
6. Усилитель мощности
Усилитель предназначен для усиления сигналов, подаваемых на
реальный объект управления, имеющий электрический вход. Усилитель мощности имеет схему защиты по току нагрузки и по сигналам
концевых контактов, фиксирующих крайние положения рабочего органа объекта управления. Срабатывание схемы защиты индицируется
светодиодом «Защита». Полярность управляющего воздействия индицируется светодиодами «+» и «–».
Порядок работы на установке СУЛ-3
1. Включите тумблер 220 В на задней стенке системы управляющей. Должны загореться один из светодиодов полярности измеряемого вольтметром напряжения на лицевой панели системы, один из светодиодов, индицирующий знак выходного сигнала нелинейного элемента, светотодиоды «+» или «–», индицирующие полярность управляющего воздействия, подаваемого на реальный объект управления.
2. Задайте с помощью переключателей и потенциометров на лицевой панели системы управляющей параметры и структурные связи
элементов модели системы автоматического управления.
3. Переведите систему управляющую в режим «Работа» нажатием
соответствующей кнопки на лицевой панели системы. Должно загореться табло секундомера.
4. По окончании моделирования переведите систему в состояние
«Исходное положение» нажатием кнопки на лицевой панели системы
управляющей.
5. В случае необходимости измените структуру или параметры
моделируемой системы автоматического управления.
6. Повторите пункты 3–5.
9
Лабораторная работа № 1
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ
ХАРАКТЕРИСТИК ЛИНЕЙНЫХ ЗВЕНЬЕВ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Цель работы – экспериментальное исследование динамических
характеристик моделей линейных звеньев систем автоматического
управления и определение их параметров по переходным характеристикам.
Теоретические сведения
Математическая модель динамического звена представляет собой
совокупность дифференциальных уравнений связи между входными и
выходными сигналами.
Дифференциальные уравнения характеризуют поведение системы
во времени при изменении входных воздействий и называются уравнениями динамики.
Так, если x(t) – входное воздействие, а y(t) – выходной сигнал
(рис. 4), то в общем случае для линейного звена уравнение динамики
имеет вид:
𝑑 𝑛 𝑦(𝑡)
𝑑𝑛−1 𝑦(𝑡)
𝑎𝑛
+ 𝑎𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎𝑜 𝑦(𝑡) =
𝑑𝑡 𝑛
𝑑𝑡 𝑛−1
𝑚
𝑚−1
𝑑 𝑥(𝑡)
𝑑
𝑥(𝑡)
= 𝑏𝑚
+ 𝑏𝑚−1
+ ⋯ + 𝑏𝑜 𝑥(𝑡),
𝑚−1
𝑚
𝑑𝑡
где an, an-1,…, ao, bm, bm-1,…, bo – постоянные коэффициенты, определяемые физическими параметрами звена, причем m ≤ n.
Установившееся состояние системы описывается уравнением статики, которое можно получить из уравнения динамики, приравняв нулю производные входных и выходных сигналов.
Рис. 4
10
Для рассмотренного звена уравнение статики получается из уравнения динамики в следующем виде:
𝑎𝑜 𝑦(∞) = 𝑏𝑜 𝑥(∞),
где y ()  lim y (t ), а
t 
x()  lim x(t ).
t 
Так же как и дифференциальное уравнение динамику звена отражает передаточная функция W(S), т. е. отношение изображения по
Лапласу выходного сигнала У(S) к изображению входного сигнала
при нулевых начальных условиях:
𝑊(𝑆) =
У(𝑆) 𝑏𝑚 𝑆 𝑚 + 𝑏𝑚−1 𝑆 𝑚−1 + ⋯ 𝑏𝑜
=
,
𝑋(𝑆)
𝑎𝑛 𝑆 𝑛 + 𝑎𝑛 𝑆 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑜
где S – оператор Лапласа, У(S)=L[y(t)], X(S)=L[x(t)].
В ряде случаев при анализе и синтезе систем удобно использовать
амплитудно-фазовую частотную характеристику, которая может быть
получена экспериментально либо расчетным путем.
Если W(S) – передаточная функция звена, то амплитудно-фазовая
характеристика может быть получена путем замены в W(S) оператора
S на jω, т. е.
𝑊(𝑗ω) = 𝐴(ω)𝑒 𝑗φ(ω) = 𝑃(ω) + 𝑗𝑄(ω),
где А(ω) – амплитудно-частотная характеристика,
φ(ω) – фазово-частотная характеристика,
Р(ω) – действительная частотная характеристика,
Q(ω) – мнимая частотная характеристика.
Пример АФХ звена представлен на рис. 5.
Экспериментальное определение динамических характеристик
применяют, если заранее неизвестна передаточная функция элемента
или его дифференциальное уравнение. При этом в процессе эксперимента определяют переходную характеристику h(t), либо амплитудно-фазовую характеристику W(jω).
11
Рис. 5
Переходной характеристикой h(t) называется реакция звена (системы) на единичное ступенчатое воздействие х(t) = 1(t) при нулевых
начальных условиях. Единичная ступенчатая функция представляет
собой мгновенное изменение величины воздействия на единицу:
1 при 𝑡 ≥ 0,
1(𝑡) = {
0 при 𝑡 < 0.
Пример определения переходной характеристики h(t) приведен на
рис. 6.
Рис. 6
12
В табл. 1 приведены наиболее распространенные характеристики
звеньев САУ, показаны примеры аппроксимации каждой характеристики передаточными функциями, а также способы определения их
параметров.
При экспериментальном определении частотных характеристик
на вход линейного звена подают гармоническое воздействие определенной частоты ω:
где
𝑥(𝑡) = 𝑋𝑜 sinω𝑡,
ω=
2π
, 𝑇 − период.
𝑇
После окончания переходного процесса выходная величина будет
изменяться также по гармоническому закону, с той же частотой ω, но
с отличающейся амплитудой Уо и с фазовым сдвигом φ (рис. 7), т. е.:
𝑦(𝑡) = Уо sin(𝜔𝑡 + 𝜑).
Рис. 7
Изменяя частоту ω в пределах от 0 до ∞, определяют зависимость
отношения амплитуд выходного и входного сигналов от частоты, которая называется амплитудно-частотной характеристикой. Она обозначается А(ω):
𝐴(𝜔) =
13
Уо
.
Хо
Зависимость фазового сдвига между входным и выходным
сигналами от частоты называется фазовой частотной характеристикой φ(ω):
φ(ω) =
∆𝑡 ∙ 2π
.
𝑇
Полученные экспериментальные результаты используются для
построения АФХ звена (рис. 5).
Лабораторное задание
1. Провести экспериментальное исследование переходных характеристик динамических звеньев, приведенных в табл. 2. Варианты параметров звеньев получить у преподавателя.
2. По методике, представленной в табл. 1, рассчитать экспериментальные значения параметров исследованных звеньев и сопоставить
полученные результаты с заданными параметрами звеньев.
В случае существенных различий (более 20 %) установить причину и повторить эксперимент.
3. Провести экспериментальное исследование переходных характеристик динамических звеньев при неизвестных параметрах
(Тх1,…, Тх4).
4. Провести экспериментальное исследование частотных характеристик динамических звеньев при заданных известных параметрах (за
исключением звена № 4, содержащего интегрирующий элемент).
5. По передаточным функциям динамических звеньев построить
их амплитудно-фазовые характеристики и сопоставить полученные
кривые с результатами эксперимента. Определить причину расхождения полученных результатов.
Методика выполнения работы
1. Лабораторная работа выполняется на системе лабораторной
СУЛ-3.
Параметры динамических звеньев задаются на панели управления
системы. Генератор случайного сигнала N(t) в данной лабораторной
работе не используется. Поэтому потенциометр СN следует установить в положение нулевого коэффициента передачи. Следует также
отключить интегрирующий элемент
14
𝐾и 10𝑅и
(
),
𝑆
𝑆
нелинейный элемент и элемент задания начальных условий (НУ),
установив соответствующие тумблеры в нижнее положение. Структурная схема модели должна соответствовать рис. 8.
Рис. 8
2. При выполнении пунктов 1 и 3 лабораторного задания на вход
динамического звена подается ступенчатый сигнал от генератора задающего воздействия g(t) по каналу 1(t). Интенсивность сигнала регулируется потенциометром Сп.
Выходной сигнал модели наблюдается с помощью высокочастотного вольтметра и осциллографа, которые постоянно подключены к
управляющей системе.
При выполнении пункта 4 задания используется генератор синусоидальных сигналов, подключаемый в соответствии со схемой рис. 9.
3. При исследовании звеньев 1, 4, 5 дифференцирующий элемент отключается. Для этого задается Сд = 0. Для всех звеньев
устанавливается Сп = 1, при этом коэффициент передачи пропорциональной ветви управляющего устройства становится равным единице
(Kп = 1; Сп Kп = 1).
Для звеньев 2 и 3, имеющих дифференцирующий элемент, задается Сд = 1 (Kд = 1 с-1). Коэффициент передачи всех звеньев устанавливается потенциометром Со. Требуемый коэффициент передачи, соответствующий варианту задания, получается как произведение СоKо
(Kо = 10).
15
Рис. 9
4. При исследовании динамических звеньев следует подобрать
сигнал генератора таким образом, чтобы при переходных процессах
переменная У2 принимала значения ±5 В ÷ ±8 В.
В противном случае появятся погрешности, связанные с работой
динамических звеньев на нелинейном участке их статической характеристики либо связанные с наличием шумов усилителей.
Содержание отчета
1. Переходные характеристики исследуемых звеньев по пункту 1
лабораторного задания и их экспериментально измеренные параметры.
2. Переходные характеристики звеньев по пункту 3 лабораторного задания и их измеренные параметры.
3. Экспериментальные амплитудно-фазовые характеристики динамических звеньев по пункту 4 лабораторного задания и их расчетные характеристики (пункт 5).
16
Контрольные вопросы
1. Объяснить способы вычисления параметров звеньев по экспериментальным переходным характеристикам этих звеньев.
2. Объяснить способы экспериментального определения частотных характеристик звеньев и их расчетного определения по передаточным функциям звеньев.
Таблица 1
Определение параметров динамических звеньев
по их переходным характеристикам
№
п/п
Переходная характеристика
динамических звеньев
Передаточная функция,
значение параметра
1
2
3
𝐾
𝑇𝑆 + 1
K, T – по графику
𝑊(𝑆) =
2.
𝑊(𝑆) =
𝑇,
17
𝐾𝑆
𝑇𝑆 + 1
𝐾
− по графику
𝑇
K – расчет
1
3.
Продолжение табл. 1
3
𝐾(𝑇1 𝑆 + 1)
𝑊(𝑆) =
𝑇2 𝑆 + 1
K, T2 – по графику
Т1 – расчет:
𝑇1
ℎ(𝑇2 ) = 𝐾 + 0,37𝐾 ( − 1)
𝑇2
2
𝐾
𝑆(𝑇𝑆 + 1)
h(T) = 0,37KT
4.
𝑊(𝑆) =
𝐾
(𝑇1 𝑆 + 1)(𝑇2 𝑆 + 1)
K – по графику,
T1, T2 – по формулам:
𝑡7
𝑇1 + 𝑇2 =
1,2
5.
𝑊(𝑆) =
𝑇1 − 𝑇2 = √
ℎ4 − 0,191𝐾
0,143𝐾
(T1 > T2)
18
Таблица 2
Варианты параметров динамических звеньев
Вариант
2
3
3
1
0,05
Tx1
№
п/п
Передаточная функция
Параметр
1
𝐶𝑜 𝐾𝑜
𝑊(𝑆) =
𝑇𝑜1 𝑆 + 1
CoKo
To1
1
1
0,01
CoKo
1
2
1
2
2
𝐶𝑜 𝐾𝑜 𝑆
𝑊(𝑆) =
𝑇𝑜1 𝑆 + 1
To1
0,02
0,1
Tx1
Tx2
2
0,05
1
Tx3
2
Tx4
4
3
Tx2
3
𝑊(𝑆) =
𝐶𝑜 𝐾𝑜 (𝑆 + 1)
𝑇𝑜2 𝑆 + 1
CoKo
To1
1
0,01
CoKo
1
4
1
2
4
𝐶𝑜 𝐾𝑜
𝑊(𝑆) =
𝑆(𝑇𝑜1 𝑆 + 1)
To1
0,02
0,25
Tx1
Tx2
1
2
2
4
To1
0,01
0,01
Tx1
Tx2
To2
0,05
0,25
Tx3
Tx4
CoKo
5
𝑊(𝑆) =
𝐶𝑜 𝐾𝑜
(𝑇𝑜1 𝑆 + 1)(𝑇𝑜2 𝑆 + 1)
19
Лабораторная работа № 2
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ И КАЧЕСТВА
ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
Цель работы – экспериментальное исследование статического и
астатического регулирования; теоретическое и экспериментальное
исследование влияния отдельных параметров системы ни устойчивость и точность работы системы, определение оптимальных параметров управляющего устройства.
Теоретические сведения
Для нормального функционирования САУ необходимо, прежде
всего, обеспечить устойчивость ее движения. Однако устойчивость
есть необходимое, но не достаточное условие, которое отвечало бы
требованиям, предъявляемым к качеству систем автоматического
управления. Задача исследования качества САУ заключается в определении прямых показателей качества, таких, например, как время
регулирования tр, перерегулирование λ (%), статическая (установившаяся) ошибка регулирования еуст и др. (рис. 10), а также связанных с
ними косвенных показателей качества, например, интегральной квадратичной оценки.
Рис. 10
20
В лабораторной работе исследуется система, структурная схема
которой представлена на рис. 11.
Рис. 11
1. Устойчивость системы
Объект управления описывается передаточной функцией вида:
𝑊о (𝑆) =
𝐾𝑜
.
(𝑇𝑜1 𝑆 + 1)(𝑇𝑜2 𝑆 + 1)
В качестве управляющего устройства поочередно используются
три типа регуляторов:
- пропорционально-интегральный (ПИ) регулятор, имеющий передаточную функцию:
𝑊𝑝 (𝑆) = 𝐾п +
𝐾и
;
𝑆
- интегральный (И) регулятор:
𝑊𝑝 (𝑆) =
𝐾и
;
𝑆
- пропорциональный (П) регулятор
𝑊𝑝 (𝑆) = 𝐾п .
При исследовании устойчивости САУ важно не только установить, устойчива система или нет, но и определить граничные значения
параметров управляющего устройства, при которых сохраняется
устойчивость системы, наметить пути устранения неустойчивости.
21
Для анализа устойчивости рассматриваемой САУ можно воспользоваться алгебраическим критерием устойчивости Гурвица. Для этого
находят характеристическое уравнение замкнутой САУ, которое в
нашем случае имеет вид:
1 + 𝑊𝑜 (𝑆)𝑊p (𝑆) = 0.
В случае ПИ-регулятора уравнение принимает вид:
𝑇о1 𝑇о2 𝑆 3 + (𝑇о1 +𝑇о2 )𝑆 2 + (1 + 𝐾о 𝐾п )𝑆 + 𝐾о 𝐾и = 0.
Предполагая, что коэффициент усиления регулятора Kп выбран
заранее, условие устойчивости системы с ПИ-регулятором в соответствии с критерием Гурвица может быть выражено следующим образом:
(𝑇о1 +𝑇о2 )(1 + 𝐾о 𝐾п )
𝐾и <
.
𝑇о1 𝑇о2 𝐾о
В случае использования И-регулятора это условие принимает вид:
𝐾и <
𝑇о1 +𝑇о2
.
𝑇о1 𝑇о2 𝐾о
При включении П-регулятора характеристическое уравнение системы имеет второй порядок и согласно критерию Гурвица система
устойчива при любых значениях параметра Kп.
2. Точность системы в установившемся режиме
Одним из показателей качества регулирования является величина
ошибки регулирования в установившемся режиме, т.е.
еуст  lim е(t ).
t 
В зависимости от наличия установившейся ошибки в системе
различают статические и астатические САУ. Статическими называют такие САУ, в которых регулируемая величина при различных постоянных внешних воздействиях на объект принимает по окончании
22
переходного процесса различные значения, зависящие от величины
внешнего воздействия. Астатическими называют такие САУ, в которых при различных воздействиях на объект управления отклонение
регулируемой величины от требуемого значения по окончании переходного процесса становится равным нулю. Из курса «Теория автоматического управления» известно, что системы с ПИ- и Ирегуляторами являются астатическими, а с П-регулятором – статическими.
В случае САУ с П-регулятором величина статической ошибки регулирования может быть найдена по формуле:
𝑒уст = lim е(t ) = lim S 𝑊зс (𝑆)𝐺(𝑆) ,
t 
S o
где G(S) – изображение по Лапласу входного сигнала, в качестве которого примем ступенчатый сигнал 𝑔(𝑡) = 𝐴 ∙ 1(𝑡) ,
тогда
1
𝐺(𝑆) = 𝐴 ∙ ,
𝑆
а
Wзс(S) – передаточная функция замкнутой САУ, т. е.:
𝑊зс (𝑆) =
(𝑇о1 𝑆 + 1)(𝑇о2 𝑆 + 1)
𝐸(𝑆)
=
,
𝐺(𝑆) (𝑇о1 𝑆 + 1)(𝑇о2 𝑆 + 1) + 𝐾п 𝐾о
где 𝐸(𝑆) = 𝐿[𝑒(𝑡)].
Окончательно получаем:
𝑒уст =
𝐴
.
1 + 𝐾п 𝐾о
3. Интегральная оценка качества
Интегральная оценка качества дает общую оценку скорости затухания и отклонения управляемой величины в совокупности, без определения данных параметров в отдельности.
23
Простейшей интегральной квадратичной оценкой, используемого
для колебательного переходного процесса является оценка вида:
∞
𝐼𝑜 = ∫ 𝑒 2 (𝑡)𝑑𝑡 ,
𝑜
где e(t) = g(t) – y(t) – ошибка системы;
g(t) – задающее воздействие;
y(t) – регулируемая величина.
Если e(t) имеет постоянную составляющую в виде установившегося значения еуст, то интеграл будет расходящимся, поэтому в качестве ошибки берут динамическую ошибку системы:
𝑒1 (𝑡) = 𝑒(𝑡) − 𝑒уст .
В работе необходимо осуществить выбор параметров управляющего устройства по минимуму интегральной оценки Iо. В качестве такого параметра в работе рассмотрен коэффициент передачи интегральной части регулятора Kи, т. е. необходимо определить оптимальное значение Kи опт, при котором Io = min.
Решение указанной задачи приводит к следующим формулам:
– для ПИ-регулятора
𝐾и опт =
2(1 + 𝐾п 𝐾о )
,
𝐾п 𝑇о1 (3 + 𝐾п 𝐾о )
– для И-регулятора
𝐾и опт =
0,67
.
𝐾о 𝑇о1
Для упрощения процедуры нахождения оптимальных значений
параметров предполагается, что То2 = То1.
Лабораторное задание
1. Собрать схему моделирования линейной САУ (рис. 12), задав
параметры в соответствии с табл. 3.
24
Рис. 12
Таблица 3
Тип
регулятора
П
И
ПИ
Kп
0,05÷1
0
1
Параметр САУ
Kи
Kо
0
10
0,05÷10с-1
1
0,05÷10с-1
1
То1
1с
1с
1с
То2
1с
1с
1с
2. Рассчитать для различных значений Kп область возможных
значений коэффициента передачи интегрирующего блока Kи, при которых выполняется условие устойчивости САУ. Расчет выполнить
отдельно для И- и ПИ-регуляторов с учетом приведенных в таблице
параметров.
3. Для САУ с П-регулятором рассчитать установившуюся ошибку еуст. Построить график зависимости еуст = f(Kп).
4. Снять экспериментально зависимость еуст = f(Kп) для САУ с
П-регулятором. Сопоставить результаты эксперимента с расчетными
данными. Пронаблюдать величину установившейся ошибки при использовании И- и ПИ-регуляторов.
5. Проверить экспериментально выполнение условий устойчивости для И- и ПИ-регуляторов.
6. Рассчитать оптимальные значения коэффициента передачи интегрирующего блока Kи для И- и ПИ-регуляторов. Проверить выполнение условий устойчивости при Kи =Kи опт.
7. Определить экспериментальную зависимость интегральной
оценки от коэффициента передачи Kи, представить полученные результаты в виде графика:
𝐾и
𝐼𝑜 = 𝑓 (
).
𝐾и опт
25
8. Для САУ и И- и ПИ-регуляторами экспериментально исследовать переходной процесс. Определить величину перерегулирования и
время переходного процесса при следующих значениях коэффициента
передачи интегрирующего блока:
Kи=0,2 Kи опт,
Kи=Kи опт,
Kи=2 Kи опт.
Методические указания
1. Коэффициент передачи пропорционального блока регулятора
Kп может задаваться в пределах 0,05÷1, интегрирующего блока –
𝐾
0,05÷1, если используется вход 𝑆и , или 0,5÷10, если используется вход
10𝐾и
.
𝑆
2. При подготовке схемы моделирования следует отключить ненужные блоки путем установки потенциометров СN, Cд в положение
нулевого коэффициента передачи. Тумблеры в цепях обратной связи
модели объекта и выходного сигнала управляющего устройства следует поставить в нижнее положение.
3. Для всех экспериментов следует выбрать задающее воздействие:
𝑔(𝑡) = 0,5 ∙ 1(𝑡).
Величину задающего воздействия следует отрегулировать соответствующим потенциометром после подачи команды "Пуск".
4. При определении времени переходного процесса переключатель секундомера следует установить в положение «от e».
5. При определении квадратичной оценки могут использоваться
два диапазона (I или 10I) вычислителя оценки. При выборе диапазона
следует руководствоваться удобством отсчета значений и отсутствием
зашкаливания измерительного прибора.
Содержание отчета
1.Структурная схема исследуемой системы автоматического
управления.
26
2. Расчеты условий устойчивости, установившейся ошибки и
Kи опт.
3. Графики:
- теоретическая и экспериментальная зависимость еуст = f (Kп),
𝐾
- экспериментальная зависимость 𝐼𝑜 = 𝑓 ( и⁄𝐾
);
и опт
- переходные процессы по пункту 8 лабораторного задания.
Контрольные вопросы
1. Определение статической и астатической систем.
2. Связь установившейся ошибки с передаточной функцией системы и входным сигналом.
3. Влияние параметров П-, ПИ-, И-регуляторов на переходной
процесс системы.
4. Оценки качества переходного процесса.
5. Проанализировать результаты эксперимента. Объяснить причину возникновения экстремума оценки.
6. Влияние типа регулятора на устойчивость и ошибку системы.
27
Лабораторная работа № 3
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Цель работы: экспериментальное исследование автоколебательных процессов в нелинейной системе, изучение влияния параметров
нелинейного элемента на качество регулирования.
Теоретические сведения
Нелинейные системы – это системы автоматического управления,
движение которых описывается нелинейными дифференциальными
уравнениями. Нелинейность чаще всего обусловлена характеристиками входящих в систему элементов, которые по своей физической природе являются нелинейными (релейные элементы, элементы с насыщением, с зоной нечувствительности и т.п.).
Теоретический анализ нелинейных систем осложняется тем обстоятельством, что отсутствуют единые математические методы решения
нелинейных дифференциальных уравнений. В конкретных случаях
для этой цели используются методы фазового пространства и гармонической линеаризации. Подробно методы рассмотрены в курсе
«Теория автоматического управления».
В данной лабораторной работе исследуется нелинейная система,
структурная схема которой представлена на рис. 13. Система состоит
из объекта и нелинейного элемента.
Рис. 13
Уравнение объекта:
𝑇1
𝑑2 𝑦 𝑑𝑦
+
= 𝐾o 𝑢
𝑑𝑡 2 𝑑𝑡
или в операторной форме:
28
У(𝑆) =
𝐾𝑜
𝑢(𝑆).
𝑆(𝑇1 𝑆 + 1)
Для нелинейного элемента, статическая характеристика которого
представлена на рис. 14, уравнение запишется следующим образом:
+𝐵 при 𝑥1 > 𝐶; |𝑥1 | < 𝐶, 𝑥̇ 1 < 0
𝑢={
−𝐵 при 𝑥1 < −𝐶; |𝑥1 | < 𝐶, 𝑥̇ 1 > 0
𝑥1 = −𝑦; 𝑥̇ 1 =̇ 𝑥2
Для системы совместное рассмотрение уравнений объекта и регулятора дает:
а) 𝑇1 𝑥̈ 1 + 𝑥̇ 1 = −𝐵𝐾𝑜 при 𝑥1 > 𝐶; |𝑥1 | < 𝐶, 𝑥̇ 1 = 𝑥2 < 0.
б) 𝑇1 𝑥̈ 1 + 𝑥̇ 1 = 𝐵𝐾𝑜 при 𝑥1 < −𝐶; |𝑥1 | < 𝐶, 𝑥̇ 1 = 𝑥2 > 0.
Рис. 14
Решение уравнений имеет вид:
для области (а) 𝑥1 = −𝑇1 (𝑥2 − 𝐵𝐾o ln|𝑥2 + 𝐵𝐾o |) + 𝐶1 ,
для области (б) 𝑥1 = −𝑇1 (𝑥2 + 𝐵𝐾o ln|𝑥2 − 𝐵𝐾o |) + 𝐶2 .
Фазовые траектории, соответствующие этим уравнениям, показаны на рис. 15. Особенностью этих фазовых траекторий является то,
29
что все они стягиваются к одной изолированной замкнутой фазовой
траектории N, называемой предельным циклом.
Рис. 15
Предельный цикл соответствует незатухающим колебаниям в нелинейной системе (автоколебаниям). Автоколебания характеризуются
такими параметрами, как амплитуда А и частота Ω, которые могут
быть рассчитаны по следующим приближенным формулам (для нашего случая):
Ω=
1 3
𝐷2
,
√𝐷 ; 𝐴 = 𝐶√1 +
𝑇1
(1 + Ω2 𝑇12 )2
где 𝐷 =
4𝐵𝑇1 𝐾o
.
𝜋𝐶
Лабораторное задание
1. Собрать схему моделирования (рис. 16). Задать следующие
значения постоянных параметров
g(t) = 0
То1 = 0,1
Kп = 1
То2 = 1
Kо = 0,1.
30
2. Определить цену деления осциллографа, наблюдая статическую характеристику нелинейного элемента. Для этого переключатель
вольтметра перевести в положение u1, переключатель режима работы
осциллографа – в положение u2 (u1). Амплитуда выходного сигнала
нелинейного элемента u2 равна ±10 В. Исходя из этого можно определить масштаб отклонения луча по вертикальной оси. Регулятор ширины петли следует установить в крайнее по часовой стрелке положение. Переводя систему в состояние «Исходное положение» и изменяя
начальные условия модели объекта управления, следует определить
значения сигнала u1 (по вольтметру), при которых происходит переключение нелинейного элемента. Сопоставить значения сигнала u1,
определяемые по вольтметру, и отклонение луча осциллографа, определить масштаб по горизонтальной оси.
Рис. 16
3. Изменяя ширину петли гистерезиса, снять зависимость амплитуды и частоты автоколебаний в точке У2 от ширины петли статической характеристики нелинейного элемента. Данные занести в таблицу и построить графики:
С = 1в
С = 2в
…….
…….
А, в
Ω, с-1
Ширину петли следует определять с помощью откалиброванного
осциллографа, установив переключатель в положение u2 (u1).
4. Пронаблюдать и объяснить характер переходных процессов в
точках u1, u2, У1, У2 (при В = 4 в).
5 . Пронаблюдать фазовую траекторию при В = 4 в (переключатель осциллографа в положении У1(У2)). Измерить амплитуду сигнала
У2 по фазовой траектории и сравнить с результатом измерения аналогичного параметра по наблюдаемому переходному процессу.
31
Методические указания
1. При подготовке схемы моделирования следует отключить ненужные блоки путем установки потенциометров Си, Сд и потенциометра в цепи сигнала g в положение нулевого коэффициента передачи.
Тумблеры в цепях обратной связи модели объекта управления и элемента задания начальных условий следует поставить в нижнее положение.
2. Частоту автоколебаний Ω можно определить путем подсчета
числа автоколебаний в течение десятисекундного временного интервала, определяемого по секундомеру.
3. Амплитуду автоколебаний в точке У2 следует определять с помощью откалиброванного осциллографа.
Содержание отчета
1. Схема моделирования нелинейной с и с т е м ы .
2. Фазовый портрет и процессы u2(t), У1(t), У2(t), пo п.п. 4, 5 лабораторного задания.
3.Графики зависимостей А(С) и Ω (С).
Контрольные вопросы
1. Основные понятия метода фазовой плоскости.
2. Объяснить характер экспериментальных фазовых портретов и
сигналов на выходе нелинейного элемента и на выходе системы.
3. Объяснить экспериментальную зависимость параметров автоколебаний от ширины петли гистерезиса нелинейного элемента.
32
Лабораторная работа № 4
ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ
ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Цель работы – исследование влияния помех на точность линейной системы автоматического управления.
Теоретические сведения
На практике большинство систем автоматического управления
(САУ) работает в условиях постоянно действующих случайных полезных и вредных воздействий. Полезным является, например, такое
воздействие, как входной (задающий) сигнал следящей системы.
К вредным случайным воздействиям относятся различные внутренние
и внешние помехи, изменения нагрузки, напряжения сети и т. п. Полезные случайные (и неслучайные) воздействия системы автоматического управления должны воспроизводить (или преобразовывать по
заданном закону) как можно точнее. При этом вредные случайные
воздействия должны вносить минимальную ошибку в закон преобразования полезног о сигнала. Случайные воздействия относятся к
классу случайных процессов.
Случайный процесс х(t) обычно характеризуется такими величинами, как математическое ожидание mx, дисперсия Dх и корреляционная функция Rх(τ).
Для эргодических случайных процессов эти характеристики определяются следующими выражениями:
T
1
𝑚x = lim
= ∫ x(t)dt;
Т  2Т
−T
T
1
𝐷x = lim
∫ ẋ 2 (t)dt;
Т  2Т
−T
T
1
𝑅x (𝜏) = lim
∫ ẋ (t)ẋ (t + τ)dt;
Т  2Т
−T
33
где 𝑥̇ (𝑡) = 𝑥(𝑡) − 𝑚x , центрированный случайный процесс.
Для стационарных случайных функций вводится еще одно понятие – спектральная плотность, характеризующая спектральный состав
функции. Спектральная плотность Sx(ω) есть Фурье-изображение корреляционной функции, т. е.
∞
𝑆𝑥 (ω) = ∫ R x (τ)𝑒 −𝑗ω𝜏 𝑑τ.
−∞
Дисперсия случайного процесса связана со спектральной плотностью выражением:
∞
𝐷x = ∫ 𝑆x (ω)𝑑ω.
−∞
При прохождении случайного сигнала x(t) через динамическую
систему он претерпевает определенные изменения, которые можно
выразить следующим образом:
𝑆y (ω) = |𝑊(𝑗ω)|2 𝑆x (ω),
где Sx(ω), Sy(ω) – спектральные плотности сигналов на входе и выходе
системы, соответственно;
|W(jω)| – модуль амплитудно-фазовой характеристики системы
(амплитудно-частотная характеристика).
Тогда дисперсия сигнала на выходе
∞
1
𝐷y = 𝑅y (0) =
∫|𝑊(𝑗ω)|2 𝑆x (ω)𝑑ω.
2π
−∞
В данной лабораторной работе требуется определить оптимальное значение одного из параметров системы – постоянной времени
То2 интегрирующего элемента модели объекта управления, при которой обеспечивается минимум дисперсии ошибки De.
Структурная схема системы приведена на рис. 17.
34
Рис. 17
Дисперсия ошибки De имеет две составляющие:
𝑫𝒆𝒈 = 𝑴{𝒆𝟐𝒈 (𝒕)} − дисперсия составляющей ошибки воспроизведения сигнала g(t);
𝑫𝒆𝑵 = 𝑴{𝒆𝟐𝑵 (𝒕)} − дисперсия составляющей ошибки от сигнала
помехи N(t).
Для линейной системы, если g(t) и N(t) некоррелированы, можно
записать
De = Deg + DeN.
Подставив соответствующие выражения для Deg и DeN, получаем:
𝐷e =
2 2
𝑎2 𝑇𝑜2
ω𝑜
𝜎𝑁2 K 2п 𝐾о2 𝐶𝑁2
∆ω𝑁 𝑇𝑜2 𝐾п 𝐾о
+
arctg
2 2
2,
2
∆ω𝑁 𝑇𝑜2
𝑇𝑜2 ω𝑜 + (𝐾п 𝐾о )
(𝐾п 𝐾о )2 ω𝑁1 ω𝑁2 𝑇𝑜2
где а – амплитуда сигнала g(t),
ωо – частота сигнала g(t),
ωN2 , ωN1 – верхняя и нижняя частоты спектра помехи (рис. 18),
σN – среднеквадратическое значение помехи N(t),
∆ωN = ωN2 − ωN1 .
35
Рис. 18
Данное выражение позволяет построить график зависимости
дисперсии ошибки от постоянной времени То2. Вид графика показан на рис. 19.
Рис. 19
Как видно из графика, функция De(To2) имеет минимум. Определение оптимального значения постоянной времени To2 опт является конечной целью исследования в настоящей лабораторной работе. Значения параметров, входящих в формулу для определения De:
ωо = 6 с-1;
ωN1 = 7,85 с-1; ωN2 = 126 с-1;
Kп = 1;
Kо = 10;
СNσN = 13 (СN = 0,15).
То2=0,01÷1 с – изменяется в ходе эксперимента.
36
Лабораторное задание
1. Рассчитать и построить график зависимости дисперсии ошибки
Dе от постоянной времени интегрирующего элемента модели объекта
управления То2. Определить ее оптимальное значение То2 опт, при
котором достигается минимум дисперсии Dе и само значение дисперсии Dе min.
2. Собрать схему моделирования (рис. 20), задать следующие значения параметров моделируемой системы:
Kп = 0,1 То1 = 0 а = 7в
Kо = 10 СN = 0,15
Значение амплитуды а измеряется в точке «g» с помощью осциллографа.
3. Снять экспериментально зависимость дисперсии ошибки от
постоянной времени То2 , задавая значения То2 от 0,01 с до 1 с.
4. Экспериментально пронаблюдать и объяснить изменение характера сигнала ошибки е(t) и параметра Dе при изменении постоянной времени То2 в случае нулевого сигнала задающего воздействия
(g = 0). Аналогичный эксперимент следует провести при нулевом
значении сигнала помехи (N = 0).
Методические указания
1. При подготовке схемы моделирования следует отключить
ненужные блоки, установив потенциометр Сд в положение нулевого
коэффициента передачи. Тумблеры в цепях обратной связи модели
объекта управления, выходного сигнала управляющего устройства и
блока задания начальных условий следует поставить в нижнее положение.
2. Величина амплитуды задающего воздействия измеряется в
точке «g» осциллографом.
3. Отсчет дисперсии производить не менее, чем через 30 с после
подачи команды «Пуск». Отсчет времени можно осуществить по секундомеру.
37
Содержание отчета
1. Структурная схема исследуемой системы.
2.Теоретический расчет и график зависимости De(To2).
3. Таблица экспериментальных данных и экспериментальный
график De(To2).
4. Выводы по результатам работы.
Контрольные вопросы
1. Основные характеристики случайной функции: математическое
ожидание, корреляционная функция, спектральная плотность.
2. Преобразование стационарной случайной функции линейной
системой.
3. Вычисление дисперсии ошибки.
4. Экспериментальное вычисление дисперсии.
5. Объяснить влияние параметров системы на величину дисперсии ошибки.
Рис. 20
38
Литература
1. Ерофеев А. А. Теория автоматического управления. СПб.: Политехника, 2001.
2. Текиев В. М. Конспект лекций по курсу «Теория автоматического управления». Часть I. Линейные системы. Владикавказ, изд-во
«Терек», СКГМИ (ГТУ), 2007.
3. Текиев В. М. Конспект лекций по курсу «Теория автоматического управления». Часть II. Нелинейные, импульсные и стохастические системы. Владикавказ, изд-во «Терек», СКГМИ (ГТУ), 2008.
39
Оглавление
Описание лабораторной установки для исследования
линейных, нелинейных и стохастических систем
автоматического управления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Порядок работы на установке СУЛ-3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Лабораторная работа № 1
Экспериментальное определение динамических характеристик
линейных звеньев систем автоматического управления. . . . . . . .
Лабораторная работа № 2
Исследование устойчивости и качества линейной системы
автоматического управления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Лабораторная работа № 3
Исследование нелинейных систем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Лабораторная работа № 4
Исследование линейной системы автоматического управления
при случайных воздействиях. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3
9
10
20
28
33
39