МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ГОРНО-МЕТАЛЛУРГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
Кафедра «Автоматизированной обработки информации»
КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ И
АНАЛИЗА ЭКОЛОГИЧЕСКИХ СИТУАЦИЙ
Методические указания
к лабораторным работам для студентов направления подготовки
230100 – Информатика и вычислительная техника
Квалификация  «магистр»
Составитель: Н.С. Орлова
Владикавказ 2014 г.
УДК 639.3
ББК 22.18
O 66
Рецензент: кандидат технических наук, доцент Будаева А. А.
O 66
Компьютерные
методы
моделирования
и
анализа
экологических ситуаций: Методические указания к лабораторным
работам для студентов специальности 230100 - « Информатика и
вычислительная техника» / Сост. Н.С. Орлова; Северо-Кавказский
горно-металлургический институт (государственный технологический
университет).
–
Владикавказ:
Северо-Кавказский
горнометаллургический институт (государственный технологический
университет). Изд-во "Терек", 2014.- 21 с.
Методические указания предназначены для выполнения
лабораторных работ по курсу «Компьютерные методы моделирования
и анализа экологических ситуаций» для студентов специальности
230100 - « Информатика и вычислительная техника». В лабораторном
практикуме содержится шесть лабораторных работ по основным
разделам курса. Приведены краткие теоретические сведения,
порядок выполнения работ, индивидуальные задания и вопросы
для самоконтроля.
УДК 639.3
ББК 22.18
Редактор
Компьютерная верстка
Издательство «Терек» СКГМИ(ГТУ), 2014
Подписано в печать
Формат
Тираж ______ Объем усл.п.л. Заказ №.
Подразделение оперативной полиграфии СКГМИ (ГТУ) 362021, г.
Владикавказ, ул. Николаева, 44
2
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие……………………………………………………………………….4
Лабораторная работа №1. Динамика биологических популяций. Модель
Мальтуса…………………………………………………………………………...5
Лабораторная работа №2. Динамика биологических популяций. Модель
Ферхюльста………………………………………………………………………..8
Лабораторная работа №3. Динамика биологических популяций. Модель
Вольтерра………………………………………………………………………...10
Лабораторная работа №4. Динамика биологических популяций. Межвидовая
конкуренция……………………………………………………………………...13
Лабораторная работа №5. Динамика биологических популяций. Модель
Холлинга-Тэннера……………………………………………………………….16
Лабораторная работа №6. Распространение загрязняющих веществ………..19
Список рекомендуемой литературы……………………………………………21
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Решение проблемы рационального использования природных ресурсов,
оценка последствий антропогенных воздействий на экосистемы не возможны
без построения и исследования, в той или иной форме, моделей
экологических систем.
Традиционный путь построения математической модели сложного
объекта заключается в записи системы дифференциальных уравнений,
описывающих поведение объекта, с последующим решением этой системы
при различных начальных и граничных условиях (обычно численными
методами на ЭВМ). Для экологических систем такой путь неоднократно
использовался.
Экологические закономерности носят в основном эмпирический
характер, во многом неопределенны и недостаточно изучены. Тем не менее
использование дифференциальных уравнений для описания различных
экологических
ситуаций
приводит
к
изящным
математическим
зависимостям.
Цель практикума - выработать навыки построения простейших
математических моделей и их исследования. Поскольку компьютерное
моделирование непосредственно связано с программной реализацией на
ЭВМ, могут применяться различные языки программирования: ФОРТРАН,
БЕЙСИК, ПАСКАЛЬ, С++ и т.д. Поэтому данный практикум предполагает
знание студентом языков программирования.
4
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1
Динамика биологических популяций. Модель Мальтуса.
Цель: Найти численное решение уравнения Мальтуса, описывающего
динамику биологической популяции.
Теоретические положения
Популяционная динамика – один из разделов математического
моделирования, имеющий приложения в биологии, экологии, демографии,
экономике.
Модель Мальтуса. Рассмотрим некоторый биологический вид, у
которого нет врагов, а кормовая база имеется в избытке. Обозначим
численность вида x. Тогда скорость прироста (изменение числа особей в
единицу времени) dx/dt будет пропорциональна числу уже имеющихся
особей.
dx
 x,
dt
(1.1)
где α > 0 – коэффициент прироста. Впервые модель была предложена в XVIII
в. Мальтусом, и часто называется по имени создателя моделью Мальтуса.
Понятно, что эта модель является весьма упрощенной. Рост популяции
всегда ограничен различными факторами: врагами, кормовой базой,
эпидемиями и т.д.
Аналитическое решение уравнения (1.1):
x  x0 e  t ,
(1.2)
где x 0 - численность популяции в начальный момент времени.
Порядок выполнения: Для того чтобы найти численное решение
уравнения (1.1), необходимо записать его в конечно-разностном виде. Задать
значение численности популяции x 0 в начальный момент времени (t = 0), шаг
по времени ∆t и коэффициент α. Решить уравнение (1.1) явным методом
Эйлера
5
xi  xi 1    xi 1  t ,
(1.3)
где i – номер временного слоя.
Затем решить уравнение (1.1) неявным методом Эйлера
xi  xi 1    xi  t ,
(1.4)
отсюда
xi 
xi 1
.
1    t
(1.5)
Построить графики зависимости величины x (численности популяции)
от времени t. Сравнить численные расчеты, полученные двумя методами, с
аналитическим решением (1.2). Для этого необходимо построить график
функции (1.2) при тех же значениях x 0 , ∆t и α.
Задание
Найти аналитическое и численное решение уравнения Мальтуса для
периода времени от 0 до 10 с. при различных значениях численности
популяции x 0 , коэффициента прироста α и шага по времени ∆t. Выполнить
графическое сравнение полученных результатов.
Варианты задания
Номер
варианта
Шаг по
времени
Начальное значение численности популяции x 0 и
1
2
3
1
t  0.1
x0  1 и   0.1
2
t  0.01
x0  2 и   0.5
3
t  0.001
x0  0.5 и   0.5
значение коэффициента прироста α
6
Окончание
1
2
3
4
t  0.5
x0  3 и   1
5
t  0.05
x0  2 и   0.8
6
t  0.005
x0  10 и   0.3
7
t  0.1
x0  5 и   1.5
8
t  0.5
x0  1 и   2
9
t  0.01
x0  2 и   10
10
t  0.05
x0  15 и   5
Контрольные вопросы
1. Какие значения может принимать начальное значение численности
популяции x 0 ?
2. Чем отличается численное решение от аналитического?
3. В чем отличие неявного метода Эйлера от явного метода?
4. В каких случаях лучше использовать неявный метод Эйлера?
7
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2
Динамика биологических популяций. Модель Ферхюльста.
Цель: Найти численное решение уравнения
описывающего динамику биологической популяции.
Ферхюльста,
Теоретические положения
Логистическое уравнение. Сделаем модель Мальтуса более
реалистичной, ограничив рост численности особей. Очевидно, что если
популяция живет на ограниченной территории, то неизбежно возникает
конкуренция за жизненное пространство. Встречи особей друг с другом
приводят так же к распространению болезней. Понятно, что убыль
популяции, связанная с этими факторами, пропорциональна частоте встреч
особей друг с другом, т.е. x². Тогда уравнение динамики популяции имеет
вид
dx
 x  x  ,
dt
(2.1)
где β > 0 – коэффициент, описывающий убыль популяции. Уравнение (2.1)
называется уравнением Ферхюльста или логистическим уравнением.
Аналитическое решение уравнения (2.1):
x
x0    e  t
.
  x0  x0 e t
(2.2)
Порядок выполнения: записать уравнение (2.1) в конечно-разностном
виде. Задать значение численности популяции x 0 в начальный момент
времени (t = 0), шаг по времени ∆t и коэффициенты α и β. Решить уравнение
явным и неявным методами Эйлера (по аналогии с уравнением Мальтуса в
лабораторной работе №1).
Построить графики зависимости величины x от времени t . Сравнить
полученные численные расчеты с аналитическим решением (2.2). Для этого
необходимо построить график функции (2.2) при тех же значениях x 0 , ∆t и
коэффициентов α и β.
8
Задание
Найти аналитическое и численное решение уравнения Ферхюльста для
периода времени от 0 до 10 с. при различных значениях численности
популяции x 0 , коэффициента прироста α, коэффициента убыли β и шага по
времени ∆t. Выполнить графическое сравнение полученных результатов.
Номер
варианта
Шаг по
времени
Варианты задания
Начальное значение численности популяции x 0 и
значение коэффициента прироста α
1
2
3
1
t  0.1
x0  1 ,   0.1 и   0.1
2
t  0.01
x0  2 ,   0.5 и   0.1
3
t  0.001
x0  0.5 ,   0.5 и   0.5
4
t  0.5
x0  3 ,   1 и   5
5
t  0.05
x0  2 ,   8 и   0.8
6
t  0.005
x0  10 ,   0.1 и   1
7
t  0.1
x0  1 ,   2 и   5
8
t  0.5
x0  25 ,   0.001 и   0.1
9
t  0.01
x0  15 ,   0.1 и   0.001
10
t  0.05
x0  0.01 ,   0.3 и   3
Контрольные вопросы
1. Какие значения может принимать коэффициент прироста и
коэффициент убыли популяции в уравнении Ферхюльста?
2. Какой вид примет уравнение Ферхюльста при значении   0 ?
3. В чем отличие неявного метода Эйлера от явного метода?
4. Какой вариант численного решения (с использованием явного метода
или неявного метода Эйлера) уравнения Ферхюльста лучше совпадает с
аналитическим решением уравнения?
9
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3
Динамика биологических популяций. Модель Вольтерра.
Цель: Найти численное решение уравнений модели хищник - жертва.
Теоретические положения
В 1931 г. Вито Вольтерра предложил модель хищник – жертва. Пусть
на некоторой замкнутой территории обитают два вида: вегетарианцыжертвы, питающиеся подножным кормом, имеющимся в избытке, и
хищники, охотящиеся на жертв. В качестве пары хищник-жертва могут
выступать волки и овцы, щуки и караси, рыси и зайцы…
Если бы не было хищников, то жертвы размножались бы беспредельно
и их численность описывалась бы уравнением Мальтуса (1.1). Если бы не
было жертв, то хищники от бескормицы постепенно вымирали бы
dy
   y ,
dt
(3.1)
где  >0 – коэффициент убыли хищников, y – их численность в данный
момент времени. Росту численности жертв, однако, препятствуют их встречи
с хищниками, частота которых пропорциональна как числу жертв, так и
числу хищников – xy. Тогда скорость изменения численности жертв
описывается уравнением
dx
 x  y  ,
dt
(3.2)
где β > 0 – коэффициент убыли жертв при встрече с хищниками. Аналогично,
встреча хищника с жертвой увеличивает вероятность выживания хищника,
т.е. способствует приросту популяции хищников
dy
  y   y  ,
dt
(3.3)
где  > 0 – коэффициент, зависящий от того, как часто встреча хищника с
жертвой заканчивается трапезой.
10
Порядок выполнения: Записать уравнения (3.2) и (3.3) в конечноразностном виде. Задать значения коэффициентов , ,  и ; шаг по времени
∆t и значения x 0 и y 0 в начальный момент времени (t = 0). Решить уравнения
(3.2) и (3.3) явным и неявным методами Эйлера и сравнить полученные
расчеты. Построить графики зависимости x и y от t .
Задание
Найти численное решение системы уравнений Вольтерра для периода
времени от 0 до 10 с. при различных значениях x 0 , y 0 , , ,  и  и шага по
времени ∆t. Представить полученное решение в виде графиков.
Варианты задания
Номер
варианта
Шаг по
времени
Начальное значение численности популяции жертв
x 0 , начальное значение численности популяции
хищников y 0 и значения коэффициентов , , , 
1
t  0.1
x0  1 , y0  1 ,   0.1 ,   0.1,   1,   0.1
2
t  0.01
x0  2 , y0  1 ,   1 ,   0.1,   1,   0.1
3
t  0.001
x0  2 , y0  3 ,   0.1 ,   1,   0.1,   1
4
t  0.5
x0  5 , y0  2 ,   0.5 ,   5 ,   2 ,   2
5
t  0.05
x0  3 , y0  5 ,   5 ,   0.5 ,   5 ,   0.5
6
t  0.005
x0  0.5 , y0  2 ,   0.3 ,   3 ,   3 ,   3
7
t  0.1
x0  1 , y0  1 ,   0.1 ,   0.1,   0.3 ,   3
8
t  0.5
x0  2 , y 0  2 ,   2 ,   2 ,   2 ,   2
9
t  0.01
x0  10 , y0  15 ,   0.8 ,   0.5 ,   0.4 ,   0.1
10
t  0.05
x0  3 , y0  7 ,   20 ,   10 ,   5 ,   10
11
Контрольные вопросы
1. Какой смысл имеют коэффициенты , ,  и  в уравнениях (3.2) и
(3.3)?
2. Можно ли найти аналитическое решение уравнений (3.2) и (3.3)?
3. Какой вид примет уравнение (3.2), если коэффициент  принять
равным 0? И как будет называться это уравнение?
4. Какой вид примет уравнение (3.2), если коэффициент  принять равным
0? Какую динамику (динамика прироста или динамика убыли) популяции
хищников при этом будет описывать получившееся уравнение?
12
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4
Динамика биологических популяций. Межвидовая конкуренция.
Цель: Найти численное решение уравнений модели межвидовой
конкуренции.
Теоретические положения
Рассмотрим ситуацию, когда два вида потребляют один и тот же
ресурс. Примером такой системы могут служить стадо коз и стадо овец,
пасущихся на одном и том же лугу. Динамика численности видов
определяется следующей системой
 dx1
 dt  x1  1  1 x1   2 x 2 ,

 dx 2  x    x   x .
2
2
2 2
1 1
 dt
(4.1)
Здесь x1 - численность первого вида (коз), x 2 - численность второго вида
(овец),  1 - коэффициент прироста первого вида,  2 - коэффициент прироста
второго вида,  1 и  2 - коэффициенты, описывающие внутривидовое
влияние,  1 и  2 - коэффициенты, описывающие влияние со стороны другого
вида. Все коэффициенты положительны.
Порядок выполнения: Записать систему уравнений (4.1) в конечноразностном виде. Задать значения коэффициентов  1 ,  2 ,  1 ,  2 ,  1 ,  2 ; шаг
по времени ∆t и значения x10 и x20 в начальный момент времени (t = 0).
Решить систему уравнений (4.1) явным и неявным методами Эйлера и
сравнить полученные расчеты. Построить графики зависимости x1 и x 2 от t .
Задание
Найти численное решение системы уравнений (4.1) для периода
времени от 0 до 10 с. при различных значениях x10 , x20 ,  1 ,  2 ,  1 ,  2 ,  1 ,  2 и
шага по времени ∆t. Сравнить решения, полученные явным и неявным
методами Эйлера с использованием визуализации.
13
Варианты задания
Номер
варианта
Шаг по
времени
Начальное значение популяции первого вида жертв
x10 , начальное значение популяции второго вида
жертв x 20 и коэффициенты  1 ,  2 ,  1 ,  2 ,  1 ,  2
1
t  0.1
x10  1, x20  1 ,
1  0.1,  2  0.1 , 1  1,  2  1 ,  1  0.1 ,  2  0.1
2
t  0.01
x10  2 , x20  1 ,
1  0.1,  2  0.5 , 1  0.5 ,  2  1,  1  0.1 ,  2  0.2
3
t  0.001
x10  1, x 20  2 ,
1  0.5 ,  2  0.1 , 1  1,  2  0.5 ,  1  0.2 ,  2  0
4
t  0.5
x10  0.5 , x 20  5 ,
1  1,  2  0.1 , 1  0.8 ,  2  0 ,  1  1 ,  2  5
5
t  0.05
x10  5 , x20  0.5 ,
1  0.2 ,  2  0.3 , 1  0.4 ,  2  0.8 ,  1  0.5 ,  2  0.1
6
t  0.005
x10  10 , x20  20 ,
1  0.1,  2  0.1 , 1  1,  2  1 ,  1  0.1 ,  2  0.1
7
t  0.1
x10  15 , x20  10 ,
1  0 ,  2  5 , 1  0.2 ,  2  0.3 ,  1  2 ,  2  0.8
8
t  0.5
x10  10 , x 20  5 ,
1  5 ,  2  0 , 1  7 ,  2  0.7 ,  1  0.8 ,  2  2
9
t  0.01
x10  1, x20  1 ,
1  10 ,  2  0.1 , 1  0 ,  2  1 ,  1  5 ,  2  0.5
10
t  0.05
x10  1, x20  1 ,
1  15 ,  2  0.25 , 1  1,  2  10 ,  1  0 ,  2  5
14
Контрольные вопросы
1. Какой смысл имеют коэффициенты  1 ,  2 ,  1 ,  2 ,  1 ,  2 в системе
уравнений (4.1)?
2. Какой вид примет система уравнений (4.1), если коэффициенты  1 и  2
принять равными 0? Какой при этом будет иметь смысл получившаяся
система уравнений?
3. Возможно ли объединить модель Вольтерра и модель межвидовой
конкуренции? Какой при этом вид будет иметь усложненная модель?
4. Каким образом можно еще усложнить модель межвидовой
конкуренции? Какие еще факторы влияния на численность каждой
популяции можно учесть?
15
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5
Динамика биологических популяций. Модель Холлинга-Тэннера.
Цель: Найти численное решение уравнений модели Холлинга-Тэннера.
Теоретические положения
В биологии рассматривается еще одна модель, описывающая
взаимодействие популяций хищников и жертв. Это модель ХоллингаТэннера. Будем обозначать количество жертв x , а количество хищников – y.
В модели предполагается, что для поддержания жизни одного хищника
требуется m жертв. Это предположение представляется очень разумным, так
как добычей хищника становятся в первую очередь больные и слабые
животные. Не случайно хищников называют санитарами. Понятно, что если
жертв очень мало, то охота требует от хищников все больших усилий. При
некоторой численности жертв энергетические затраты на охоту перестают
восполняться, хищники вымирают.
С другой стороны, предполагается, что хищник перестает убивать,
когда насыщается. (Сравните с моделью Вольтера (Лабораторная работа №
3), где прожорливость хищников была бесконечной).
В свою очередь, динамика популяции жертв описывается в отсутствии
хищников логистическим уравнением (Лабораторная работа № 2). Наличие
хищников приводит к появлению в уравнении слагаемого xy/(D+x). Это
слагаемое описывает убыль жертв в связи с охотой хищников.
 dx
x
xy

 dt  r 1  K  x  D  x ,




 dy  S 1  my  y.
 dt
x 

(5.1)
Все коэффициенты положительны.
Порядок выполнения: Записать систему уравнений (5.1) в конечноразностном виде. Задать значения всех коэффициентов; шаг по времени ∆t и
значения x и y в начальный момент времени (t = 0). Решить систему
уравнений (5.1) явным и неявным методами Эйлера и сравнить полученные
расчеты. Построить графики зависимости x и y от t .
16
Задание
Найти численное решение системы уравнений (5.1) для периода
времени от 0 до 10 с. при различных значениях коэффициентов r, K, D, S, m,
 и шага по времени ∆t. Сравнить решения, полученные явным и неявным
методами Эйлера с использованием визуализации.
Варианты задания
Номер
варианта
Шаг по
времени
Начальное значение популяции жертв x 0 , начальное
значение популяции хищников y 0 и коэффициенты r,
K, D, S, m, 
1
t  0.1
x0  1 , y 0  1 , r  1 , K  1 , D  1 , S  1 , m  1 ,   1
2
t  0.01
x0  2 , y0  1 , r  1 , K  1 , D  0 , S  1 , m  1 ,   1
3
t  0.001
x0  2 , y0  3 , r  0.5 , K  1.5 , D  3 , S  2 , m  5 ,
  0.5
4
t  0.5
x0  5 , y0  2 , r  1.5 , K  0.5 , D  0.3 , S  10 ,
m  0.1 ,   5
5
t  0.05
x0  3 , y0  5 , r  10 , K  5 , D  0.8 , S  5 , m  2 ,
 3
6
t  0.005
x0  0.5 , y0  2 , r  15 , K  5 , D  5 , S  0.25 , m  5 ,
  0.5
7
t  0.1
x0  1 , y0  1 , r  0.25 , K  0.9 , D  8 , S  15 , m  15 ,
  10
8
t  0.5
x0  2 , y0  2 , r  0.6 , K  1, D  10 , S  0.2 , m  2 ,
  0.3
9
t  0.01
x0  10 , y0  15 , r  5 , K  0.5 , D  15 , S  20 , m  3 ,
  4.5
10
t  0.05
x0  3 , y0  7 , r  0.2 , K  10 , D  0.45 , S  5 ,
m  0.25 ,   0.75
17
Контрольные вопросы
1. Какой смысл имеет слагаемое xy/(D+x) в системе уравнений (5.1)?
2. Какой вид примет система уравнений (5.1), если коэффициенты r и K
принять равными единице, а коэффициент D равным нулю? Какой при этом
будет иметь смысл получившаяся система уравнений?
3. Какой вид примет система уравнений (5.1), если коэффициент m при
нять равным нулю?
4. Будет ли отличаться решение системы уравнений (5.1), полученное с
использованием явного метода Эйлера, от решения, полученного с
использованием неявного метода Эйлера?
18
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6
Распространение загрязняющих веществ
Цель:
Найти
численное
решение
(распространения загрязняющих веществ).
уравнения
диффузии
Теоретические положения
Сложность в оперативном и точном определении количества выбросов
в любую среду состоит в учете влияющих факторов, таких как диффузия и
перенос примесей и т.д. Рассмотрим одномерный случай распространения
загрязняющих веществ, используя уравнение диффузии:
~
~
~
C ~ C ~  2 C ~
~ V ~  D ~2  Q ,
t
x
x
(6.1)
где C ~x , ~t  - концентрация диффундирующего (загрязняющего) вещества; V ~
~
~
~
скорость распространения вещества; D - коэффициент диффузии; Q слагаемое, описывающее источники вещества (может быть как константой,
так и функцией, зависящей от пременных ~x и ~t ). Уравнение (6.1) записано в
безразмерном виде.
Порядок выполнения: Записать уравнение (6.1) в конечно-разностном
~
виде. Задать начальные и граничные условия для концентрации C ~x , ~t  на
определенном интервале x  0, n . Задать значения шага по времени ∆t и шага
~
~
~
по координате ∆x и коэффициенты V , D и Q . Решить уравнение в явном и
неявном (используя метод прогонки) виде. Затем по результатам расчетов
построить графики и сравнить два решения.
Задание
Найти численное решение уравнения диффузии (6.1) для периода
времени от 0 до 5 мин. при n = 100 и различных значениях коэффициента
~
~
~
диффузии D , скорости распространения вещества V , источника вещества Q ,
шага по координате ∆x и шага по времени ∆t.
19
Варианты задания
~
Номер
варианта
Шаг по
времени
Шаг по
координате
Коэффициент диффузии D , скорость
~
распространения вещества V ,
~
источник вещества Q
1
t  0.1
x  0.1
~
~
~
D  1, V  1, Q  0
2
t  0.01
x  0.1
~
~
~
D  10 , V  5 , Q  1
3
t  0.001
x  0.01
~
~
~
D  0.5 , V  2 , Q  3
4
t  0.05
x  0.1
~
~
~
D  0.8 , V  0.2 , Q  0.5
5
t  0.05
x  0.1
~
~
~
D  15 , V  20 , Q  10
6
t  0.005
x  0.05
~
~
~
D  2, V  3, Q  1
7
t  0.1
x  0.1
~
~
~
D  0.75 , V  15 , Q  0.9
8
t  0.05
x  0.5
~
~
~
D  1 , V  0.5 , Q  25
9
t  0.01
x  0.1
~
~
~
D  0.25 , V  0.5 , Q  5
10
t  0.01
x  0.05
~
~
~
D  10 , V  0.1, Q  0.1
Контрольные вопросы
1. Объясните смысл уравнения (6.1). Какой процесс описывает данное
уравнение?
2. Дайте определение метода прогонки.
3. Какой вид примет уравнение (6.1), если предположить, что слагаемое
~
Q равно нулю? И что это будет означать с точки зрения процесса,
описываемого данным уравнением?
4. Будет ли отличаться решение уравнения (6.1), полученное в явном
виде, от решения, полученного с использованием метода прогонки?
20
Список рекомендуемой литературы
1. Самарский А., Михайлов А. Математическое моделирование: Идеи.
Методы. Примеры. М.: Физматлит, 2005, 320с.
2. Берлянд М.Е. Прогноз и регулирование загрязнения атмосферы. М.:
Гидрометеоиздат, 1985, 272с.
3. Ризниченко Г.Ю. Лекции по математическим моделям в биологии.
Часть I. Москва, Ижевск: 2002, 232с.
4. Тарасевич Ю.Ю. Математическое и компьютерное моделирование. М.:
КД Либроком, 2012, 149с.
5. Разжевайкин В.И. Модели динамики популяций. М.: ВЦ им А.А.
Дородницина РАН, 2006, 88с.
21