№1. Путь от пункта А до пункта В, по которому... трех участков, причем длина первого в 6 раз больше длины...

№1. Путь от пункта А до пункта В, по которому едет велосипедист, состоит из
трех участков, причем длина первого в 6 раз больше длины третьего участка.
Найти среднюю скорость движения на всем пути АВ, если известно, что она
равна скорости движения на втором участке, на 2 км/ч меньше скорости
движения на первом участке и на 10 км/ч больше половины скорости
движения на третьем участке.
Решение. Обозначим
, первый участок равен 6х км, третий х
км (0 < 7x <l); второй участок имеет длину
км. Если - скорость
движения на третьем участке, то по условию
; или
,
скорость движения на втором участке
, скорость движения на первом
участке
По определению средней скорости движения, время
прохождения пути есть
часов. Оно складывается из суммы времен
прохождения каждого из трех участков.
Решаем получившееся уравнение и видим, что «лишние» неизвестные
сокращаются:
Ответ: 14км/час.
№2. В реку впадает приток. Катер отходит от пункта А, находящегося на
притоке, идет по течению 80 км до впадения притока в реку в пункте В, а
затем идет вверх по реке до пункта С. На путь от А до С он затратил 18 ч, на
обратный путь – 15ч. Найти расстояние от пункта В до пункта С, если
известно, что скорость течения реки 3 км/ч, а собственная скорость катера 18
км/ч.
Решение. Обозначим ВС=l, АВ=80, скорость течения притока v. На путь 80 км
вниз по притоку катер затратил
часов. На путь l км вверх по реке –
затратил
часов, что в сумме составляет 18 часов, т.е.
.
Аналогично описывая обратный путь, имеем
.
Решаем получившуюся систему уравнений:
Ответ: 210км.
№3. По окружности, длина которой 100 м, движутся равномерно две точки.
Они встречаются через каждые 4 с, двигаясь в противоположном
направлении, и через каждые 20 с, двигаясь в одном направлении. Найти
скорости этих точек.
Составим систему уравнений:
Ответ: 10м/с и 15м/с.
№4. Первому трактору на вспашку всего поля требуется на 2 ч меньше, чем
третьему, и на 1 ч больше, чем второму. При совместной работе первого и
второго тракторов поле может быть вспахано за 1 ч 12 мин. Какое время на
вспашку поля будет затрачено при совместной работе всех трех тракторов?
Решение.
Примем величину работы (в данном случае это вспашка всего поля) за
единицу. Пусть x ч – время, необходимое для вспашки поля первому
трактору, y ч – второму и z ч – третьему. Тогда
– производительность
первого трактора,
– второго и
– третьего. Так как при совместной
работе первого и второго тракторов выполняется
часть работы в
час, а вся работа выполняется ими за 1 ч 12 мин, т.е. за
ч, то
Решив, получим (3; 2; 5), (-0,4; -0,6; 2,4). По смыслу задачи x> 1, y> 0 и z> 2. Из
найденных решений этим условиям удовлетворяет только первое решение.
При совместной работе трех тракторов производительность составит
т.е.
На вспашку поля тремя тракторами затрачено
ч.
Ответ: 31/30 ч.
№5. Найти двузначное число, если известно, что единиц в нем на 2 больше,
чем десятков, и что произведение искомого числа на сумму его цифр равно
144.
Пусть x десятки, y единицы. Известно, что y=x+2 и что (10x+y)(x+y)=144.
Ответ: 24.
,
№6. Найти два двузначных числа, о которых известно следующее: если к
первому числу приписать справа второе число, а затем еще цифру 0, то
получится пятизначное число, которое при делении на квадрат второго числа
дает в частном 39, а в остатке 575; если же к первому числу приписать справа
второе и затем из составленного таким образом числа вычесть другое число,
полученное приписыванием справа первого числа ко второму, то разность
будет равна 1287.
Решение. Пусть x - І число, y - ІІ число.
После приписывания справа числа у к числу х получится четырехзначное
число
, а после приписывания к этому числу справа цифры 0
получится
, при делении этого числа на число в частном
получается 39 и в остатке 575, то
Это первое
уравнение составляемой системы уравнений. После приписывания справа
двузначного числа х к двузначному числу у получится четырехзначное число
получаем второе уравнение: . Итак, приходим к системе
уравнений
которая имеет два решения: (48;35) и
- натуральные числа, причем
являются числа 48 и 35.
и
. По смыслу задачи x и y
, т.е. искомыми
Ответ 48, 35
№7. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько
стали одного и другого сорта следует взять, чтобы после переплавки
получить 140 т стали с содержанием никеля 30%?
Решение: Пусть масса стали первого сорта равна х т, тогда стали второго
сорта надо взять (140 - х) т. Содержание никеля в стали первого сорта
составляет 5%, значит, в х т стали первого сорта содержится х·0,05 т никеля.
Содержание никеля в стали второго сорта составляет 40%, значит, в (140 - х) т
стали второго сорта содержится (140 – х)0,4 т никеля. По условию после
объединения взятых двух сортов должно получиться 140 т стали с 30%-ным
содержанием никеля, т. е. после переплавки в полученной стали должно
быть 140·0,3 т никеля. Но это количество никеля складывается из х·0,05 т,
содержащихся в стали первого сорта, и из (140 – х)0,4 т, содержащихся в
стали второго сорта.
Таким образом, запишем уравнение х · 0,05 + (140 – х)0,4 = 140 · 0,3,
из которого находим х = 40. Следовательно, стали с 5%-ным содержанием
никеля надо взять 40 т, а стали с 40%-ным содержанием – 100 т.
Ответ: 40 т, 100 т.
№8. Влажность свежескошенной травы составляет 80%. Влажность
полученного из нее сена равна 10%. Сколько нужно скосить травы, чтобы
получить 2 т сена?
Ответ: 9 тонн.
№9. Цену товара сперва повысили на 400%, затем новую цену товара
повысили еще на 300%. На сколько процентов нужно теперь снизить цену
товара, чтобы получить первоначальную?
X – 100%, стало сперва – x+4x, во второй раз – 5x*3. После последнего
повышения цена на товар составила x+4x+15x=20x. Осталось выяснить
процент повышения первоначальной цены. Цена была повышена на 20xx=19x, что составляет 190% от первоначальной цены.
Ответ: 190.
№10. Население страны ежегодно увеличивается на 1/80 своего числа. Через
сколько лет
население этой страны удвоится?
Возьмем условно, что население страны составляет 1000 чел.
1000 : 80 = 12,5 чел. в год
1000 : 12,5 = 80 лет нужно, чтобы население этой страны удвоилось.
Ответ: 80.