нелинейные и параметрические

НЕЛИНЕЙНЫЕ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ
ЦЕПИ
Нелинейной цепью называется такая электрическая цепь, для которой выходной сигнал является нелинейной функцией входного сигнала. При этом справедливо следующее равенство: U вых t   f U вх t  ,
где f – нелинейная функция.
4.1. Основные свойства нелинейных цепей
Свойство 1. Процессы в нелинейных цепях описываются сложными (нелинейными) дифференциальными уравнениями вида
d n y t 
d n 1 y t 
dyt 
an

a



a
 a0 y  f t , где хотя бы один из
n

1
1
dt
dt n
dt n 1
коэффициентов an, an-1, …, a0 зависит от y.
Свойство 2. К нелинейным цепям не применим принцип суперпозиции.
Свойство 3. В нелинейных цепях происходит преобразование
Iвх
I1
а
0


Iвых
б
I0
I1
I2
I3
I4
0

2
3
4
I5
5
In
n

Рис. 4.1. Спектр сигнала: на входе (а) и на выходе (б) нелинейной цепи
спектра частот сигнала. Это свойство поясняется спектрограммами
входного и выходного сигналов, представленными на рис. 4.1.
143
4.2. Аппроксимация вольт-амперной
характеристики нелинейной цепи
Вольт-амперная характеристика (ВАХ) нелинейных элементов имеет сложный вид и, как правило, не поддается простому аналитическому описанию. Замена истинной характеристики приближенной или
упрощенной называется ее аппроксимацией. Имеются различные способы такой аппроксимации. Рассмотрим кратко два основных из них.
1. Кусочно-линейная аппроксимация.
В этом случае истинная характеристика заменяется кусочнолинейной ломаной линией. В качестве примера на рис. 4.2 показана
входная характеристика реального биполярного транзистора, аппроксимированная двумя отрезками прямых (на рисунке пунктирные линии):
U бэ  U бэ0,
 0,
iб  
 k U бэ U бэ0 , U бэ  U бэ0 ,


где k и Uбэ0 – заданные параметры.
2. Аппроксимация степенным рядом (полиномом).
Этот способ основан на представлении нелинейной ВАХ в виде
степенного ряда или полинома в окрестности рабочей точки с координатами E0, i(E0) (рис. 4.3). Из курса математического анализа известно,
что в окрестности точки О справедливо следующее разложение в виде
ряда iE0  u t   iE0   u t   u 2 t   u 3 t   , где коэффициенты
i
iб
О
i(E0)
E0
0
0
Uбэ0
Uбэ
u
u
t
Рис. 4.3. ВАХ нелинейного
элемента и ее аппроксимация
полиномом
Рис. 4.2. Входная характеристика
биполярного транзистора и ее кусочно-линейная аппроксимация
144
 di 
, , , … могут быть выражены следующим образом:    
,
 du u  E0
1  d 3i 
1  d 2i 
  2
,   3
2!  du  u  E
3!  du 
0
, . При заданной форме ВАХ веu  E0
личины коэффициентов , , , … существенным образом зависят от
величины напряжения смещения E0, а следовательно от положения
рабочей точки.
4.3. Воздействие гармонического сигнала
на нелинейную цепь
Пусть на нелинейную цепь, ВАХ которой описывается степенным
рядом
iE0  u t   iE0   α u t   u 2 t   u 3 t   ,
(4.1)
действует гармоническая эдс вида
ut   E cost .
(4.2)
Выходной сигнал в этом случае можно получить, подставив выражение (4.2) в формулу (4.1). Тогда ток на выходе нелинейного элемента будет равен iвых t   iE0   E cos t  E 2 cos 2 t  E 3 cos 3 t  .
1
1
Так как cos2 t  1  cos 2t  и cos3 t  3 cost  cos3t  , то
2
4
E2
E2
3
1
iвых t   iE0   E cost  

cos 2t  E 3 cost  E 3 cos3t  
2
2
4
4
2
Собирая подобные члены, имеем iвых t   iE0    E   E  3 E 3  
2 
4

2
E
1
 cost  
cos 2t  E 3 cos3t   и, наконец, вводя обозначения
2
4
2
E
E2
E3
3
 I3 , получим
iE0   
 I 0 , E  E 3  I1 , 
 I2 , 
4
4
2
2
iвых t   I 0  I1 cos t  I 2 cos 2t  I 3 cos 3t   .
(4.3)
Итак, спектр выходного сигнала iвых t  содержит постоянную составляющую I0 и гармоники с частотами n, n=1, 2, 3, …, k (k – стеI0 полинома).
пень
I1 I2 I3 I4ВидI5этого спектра показан на рис. 4.4. Как следует из
Ik
приведенных выше соотношений,
величина постоянной составляю0
 2 3 4 5
k 
Рис. 4.4. Спектр выходного сигнала145
щей определяется положением рабочей точки и коэффициентами при
четных гармониках степенного ряда. Соотношение же между амплитудами гармоник определяется формой ВАХ, положением рабочей
точки и величиной входного сигнала.
В зависимости от назначения нелинейного устройства можно выделить любую из составляющих спектра. Например, при выпрямлении
выделяется постоянная составляющая I0, при усилении – гармоника с
амплитудой I1, при умножении частоты – гармоника с амплитудой In,
n=2,3, …, k. Для этого необходимо после нелинейной системы поставить соответствующий фильтр, позволяющий выделить сигнал с нужной частотой.
4.4. Воздействие бигармонического сигнала
на нелинейную цепь
Пусть на нелинейную цепь, ВАХ которой описывается степенным
рядом (4.1), действует бигармонический сигнал вида
u t   E1 cos 1t  E2 cos 2t .
(4.4)
Проведем почленную подстановку выражения (4.4) в степенный
ряд (4.1). Тогда для линейного члена получим выражение
u t   E1 cos 1t  E2 cos 2t , для квадратичного –
u 2 t   E1 cos1t  E2 cos2t 2  E12 cos2 1t  E22 cos2 2t 


 2


E1  E22  E12 cos 21t  E22 cos 22t 
2
2
2
 E1 E2 cos1  2  t  cos1  2  t .
С учетом проведенных подстановок для полинома второй степени
можно записать


iвых t   i E0   E12  E22  E1 cos1t  E2 cos2t  E12 cos 21t 
2
2

 E22 cos 22t  E1 E2 cos1  2  t  cos1  2  t .
2
Таким образом, полученный полином содержит: постоянную составляющую, основные частоты 1, 2, вторые гармоники основных
частот 21, 22, комбинационные частоты 1+2, 1–2. Проделав
аналогичные преобразования со слагаемым u 3 t  , можно показать,
что оно вносит в анализируемый спектр дополнительно третьи гармоники основных частот 31, 32, а также комбинационные частоты
1+22, 1–22; 21+2, 21–2.
 2E1 E2 cos1t cos2t 


146
В общем случае при воздействии гармонического сигнала на нелинейную цепь с ВАХ, описываемой полиномом k-й степени, на выходе
появляются постоянная составляющая (=0), гармоники с частотами,
кратными частоте 1 (=n1, где n=1, 2, …, k), гармоники с частотами, кратными частоте 2 (=n2, где n=1, 2, …, k), а также комбинационные частоты =n1m2, при условии, что n+mk.
Проанализируем следующий характерный пример. Пусть на нелинейный элемент, ВАХ которого описывается полиномом второй степени (k=2), воздействует бигармонический сигнал. Рассмотрим спектр
сигнала на выходе такой цепи.
1-й случай. Допустим, что частоты входного сигнала 1 и 2 расположены близко друг к другу, так, что 2/11. Тогда спектрограммы колебаний на входе и выходе нелинейного элемента, описываемого полиномом второй степени, будут иметь вид, представленный на рис. 4.5 а.
Iвх
1 2
0
Iвых

а
I0
0 2–1
1
21
2
2+1
22

Iвх
0
1
2

Iвых
б
I0
0
1 21
2–1 2 2+1
22

Рис. 4.5. Спектрограммы входного бигармонического и выходного сигналов при прохождении через нелинейную цепь: а – частоты входного
сигнала расположены близко друг к другу, так что 2/11; б – частоты
входного сигнала расположены далеко друг от друга, так что 2/1>>1
2-й случай. Пусть частоты входного сигнала расположены далеко
друг от друга так, что 2/1>>1. Спектрограммы колебаний на входе и
147
выходе нелинейного элемента для этого случая представлены на
рис. 4.5 б.
Рассмотренный пример позволяет сделать вывод о том, что простой
нелинейный элемент в сочетании с избирательной цепью может использоваться для:
1) нелинейного усиления (выделение 1-й гармоники сигнала);
2) умножения частоты (выделение 2-й гармоники);
3) сдвига или преобразования частоты сигнала (выделение частот 2–

1, 2+1 при 2  1, рис. 4.5 а, пунктир);
1
4) амплитудной модуляции (выделение всех трех частот 2–1, 2,

2+1 при 2  1 , рис. 4.5 б, пунктир);
1
5) выпрямления (выделение постоянной составляющей).
4.5. Нелинейное резонансное усиление и умножение
частоты
Будем рассматривать работу нелинейного элемента в существенно
или, что то же самое, резко нелинейном режиме. С этой целью воспользуемся кусочно-нелинейной аппроксимацией ВАХ данного элемента (рис. 4.6 а). При гармоническом воздействии (рис. 4.6 б) ток на
его выходе приобретает импульсную форму (рис. 4.6 в). Угол , соответствующий изменению этого тока от максимального значения Im до
нуля, является углом отсечки тока (рис. 4.6). Длительность импульсов
тока на выходе нелинейного элемента в угловых единицах равна 2.
Из данного рисунка также следует, что
U  E0
.
cos  1
(4.5)
E
Амплитуда выходного тока при этом равна
I m  E  U1  E0   E 1  cos   ,
(4.6)
где  
di
 tg – дифференциальная крутизна линейной чаdU U U1
сти ВАХ.
148
i
i
Imcost
а

E0
0
Im
U1
2
U

2
Imcos
б
E–(U1–E0)
t

U
Ecost
Im
Im
в
E
t
Рис. 4.6. Прохождение сигнала через нелинейный элемент, работающий в
существенно нелинейном режиме: а – кусочно-линейная аппроксимация
ВАХ нелинейного элемента; б – форма тока на его входе; в – форма напряжения на выходе элемента
Форма импульсов тока для значений аргумента t в пределах
–<t<+ близка к форме отсеченной косинусоиды и, если пренебречь кривизной ВАХ на начальном участке (рис. 4.6 а), то мгновенное значение тока можно записать в следующем виде:
it   I m cos t  I m cos   I m cos t  cos   ,
(4.7)
где I m – значение амплитуды импульса, соответствующее углу отсечки =/2.
Поскольку амплитуда реального импульса определяется значением
аргумента t=0, то i0   I m  I m 1  cos   и поэтому
Im
.
(4.8)
1  cos 
Подставив (4.8) в выражение для тока (4.7), получим следующую
формулу для его мгновенного значения:
Im
cost  cos,    t   .
it  
(4.9)
1  cos
Вычислим далее коэффициенты ряда Фурье для полученной последовательности выходных импульсов, показанных на рис. 4.7. При
этом учтем, что соответствующий ряд Фурье будет содержать лишь
одни косинусоидальные члены из-за четности функции i(t) относительно времени t. Заменяя в выражениях (1.2) и (1.3) (см. главу 1) t на
I m 
149
i
I0
Im
2
t
2
Рис. 4.7. Последовательность импульсов на выходе нелинейного элемента, работающего
в режиме, представленном на рис. 4.6
0
t для постоянной составляющей a0/2=I0 и амплитуды косинусоидальной составляющей a1=I1, будем иметь
а0
Im
1 




 I0 
i
t
d

t



2
2  
1  cos 

I sin    cos 
  cost  cos d t   m
,



1

cos

0
(4.10)
2I m
1 
а1  I1   it  cos td t  

 
1  cos 



  cos2 t  cos  cos t d t  
0
I m   sin  cos 
.
1  cos  
(4.11)
Аналогично можно получить выражение для амплитуды 2-й, 3-й и
т. д. гармоник. В частности, для амплитуды n-й гармоники будем
иметь
I 2sin n cos   n cosn sin  
.
In  m
(4.12)
n n 2  1 1  cos  


Разлагая далее в ряд Фурье последовательность импульсов вида
(4.9) и учитывая, как и ранее, что ряд будет содержать лишь одни косинусоидальные члены ввиду четности функции i(t), можно ввести
следующие отношения:
I
I
sin    cos
  sin  cos
 0    0 
, 1    1 
,
Im
1  cos 
Im
1  cos 
I
I
2sin  cos  n cosn sin  
 2    2 , ,  n    n 
,
(4.13)
Im
Im
n n 2  1 1  cos 


которые называются коэффициентами постоянной составляющей,
первой, второй и т. д. гармоник или функциями Берга.
150
Графики зависимости ко ()
эффициентов 0(), 1(), () 1
2(), 3(), а также отноше1
0
2
1  I1
0,4
ния 1 
от угла

 0  I 0
1=1/0
отсечки показаны на рис. 4.8.
1
0,2
2
Как следует из этого рисунка,
при =0 ток равен 0, и нели3
нейный элемент заперт в те0
чение всего периода. При
40
80
120
160 
=180 отсечки тока нет, и
режим работы является лиРис. 4.8. Зависимость коэффициентов разлонейным. Из рисунка также
жения импульсного тока (4.9) в ряд Фурье
видно, что амплитуда второй
от угла отсечки 
гармоники максимальна при
значении угла отсечки =60, третьей – при =40 и т. д., а для значения угла отсечки , меньшего 180, отношение амплитуды первой
гармоники I1 к постоянной составляющей I0 больше единицы:
   I1   sin  cos
.
1    1
 
(4.14)
 0   I 0 sin    cos
>
С повышением же номера гармоники максимумы функций n()
смещаются в область меньших значений . Эти особенности оказывают важное влияние на выбор режима работы нелинейного элемента с
целью усиления колебаний.
Схема простейшего нелинейного резонансного усилителя (рис. 4.9)
практически не отличается от схемы линейного резонансного усилителя. Основной ее особенностью является необходимость обеспечения
сдвига рабочей точки на ВАХ до получения существенно нелинейного режиVT
2
ма и заметного увеличения амплитуды
C L
входного сигнала, что приводит к режиму работы с отсечкой тока i(t), кото1
рый был рассмотрен выше.
u(t)=Ecost
Ток коллектора iк(t) в выходной цепи
– +
+ –
Eп
усилителя при работе с отсечкой имеет
Eсм
импульсную форму, подобную изобраРис. 4.9. Схема нелинейного
резонансного усилителя
женной на рис. 4.7, и содержит помимо
151
постоянной составляющей и полезной первой гармоники ряд высших
гармоник, которые должны быть отфильтрованы. Эта задача решается
с помощью параллельного колебательного контура, настроенного на
частоту  входного колебания. В этом случае на резонансной частоте
эквивалентное сопротивление параллельного контура между точками
1 и 2, равное Z к рез   2 R , являющееся сопротивлением нагрузки
усилителя, имеет большую величину. По отношению же к высшим
гармоникам тока i(t) сопротивление контура, обладающего большой
добротностью Q, можно рассматривать как очень малое. Поэтому, несмотря на импульсную форму тока i(t) на контуре, являющемся
нагрузкой усилителя, как и в линейном режиме, выделяется напряжение, достаточно близкое к гармоническому.
Важнейшее преимущество рассмотренного режима работы такого
усилителя – это относительно высокий кпд каскада, равный отноше1
нию колебательной мощности P~  I1U к , выделяемой в резонансном
2
контуре, к мощности, потребляемой им от источника постоянного то1 I1 U к
ка P0  I 0 Еп . При этом кпд каскада будет равен  
.
2 I 0 Еп
Поскольку в составе импульсного тока содержится ряд гармоник с
частотами, кратными основной частоте, равной частоте входного сигнала, это дает возможность использовать усилитель, работающий в
режиме с отсечкой тока как устройство для умножения частоты. При
этом не требуется принудительно изменять схему резонансного усилителя (рис. 4.9). Достаточно нагрузочный колебательный контур
настроить на частоту необходимой гармоники и установить наиболее
оптимальный для ее выделения режим усилительного элемента.
Из вида кривых, описывающих коэффициенты () (рис. 4.8), в
частности, следует, что для умножения частоты в два раза наиболее
выгодно работать с углом отсечки, равным 60, при котором коэффициент второй гармоники равен своему максимальному значению, для
утроения частоты — с углом отсечки, равным 40, и т. д.
152
4.6. Преобразование частоты сигнала
С целью преобразования частоты сигнала в общем случае, очевидно, необходимо перемножить два колебания: основное, т. е. преобразуемого сигнала, и вспомогательное, т. е. гетеродинное. Эту операцию
можно осуществить различными способами, как с помощью нелинейных, так и параметрических цепей. Для этого, например, можно подать эти два сигнала на один и тот же электрод нелинейного элемента
и выделить на выходе последнего составляющие суммарной или резонансной частоты – этот способ рассмотрен нами выше в п. 4.4, посвященном анализу воздействия бигармонического сигнала на нелинейный элемент. Другой подход состоит в том, что преобразуемое колебание подается на усилительный элемент, коэффициент передачи или
крутизна которого изменяется под воздействием гетеродинного
напряжения, и из выходного колебания также выделяются составляющие суммарной или резонансной частоты.
Остановимся подробнее на втором случае и покажем, что изменяя
крутизну усилительного элемента с частотой гетеродинного напряжения, можно осуществить операцию преобразования частоты сигнала.
Положим, что крутизна этого элемента является функцией времени и
изменяется с частотой гетеродинного напряжения по закону
S t   S 0  S m cos г t .
(4.15)
При этом отметим, что выражение (4.15) не содержит членов, являющихся гармониками гетеродинного напряжения.
Подача гармонического напряжения сигнала вида
uc t   U m cos c t
(4.16)
приводит к тому, что переменная составляющая выходного тока выразится как
iвых t   S t uc t   S 0  S m cos г t U m cos ct .
(4.17)
Формулу (4.17) можно, очевидно, переписать в виде
1
iвых t   S 0U m cosc  S mU m cosг  c t 
2
(4.18)
1
 S mU m cosг  c t.
2
Если колебательный контур, включенный на выходе преобразователя, настроен на резонансную частоту, равную промежуточной частоте пр, определяемой разностью
153
пр  г  c
(4.19)
пр  c  г ,
(4.20)
или
то напряжение на этом контуре будет пропорционально току, описываемому слагаемым с частотой г  с .
Для оценки эффективности работы преобразователя вводят количественную характеристику – крутизну преобразования Sпр, равную отношению амплитуды тока промежуточной частоты Im пр к амплитуде
напряжения сигнала Um. Таким образом,
S пр 
I mпр
Um
.
(4.21)
Из выражения (4.18) следует, что
Sm
,
(4.22)
2
т. е. крутизна преобразования равна половине амплитуды дифференциальной крутизны параметрического элемента.
На рис. 4.10 приведена
+ –
схема простого транзисторEп
ного преобразователя частоR1
ты сигнала. Транзистор VT
VT
включен по схеме с общим
Lсв
L
Cр
C
эмиттером (ОЭ). НапряжеUc
ние гетеродина Uг вводится
R2
в цепь эмиттера, в результаRэ
Cэ
те чего периодически с частотой гетеродина г меняется крутизна транзистора
Uг
Lсв Гетеродин
S(t). Входной сигнал Uc подается в цепь базы, выходной колебательный контур с
Рис. 4.10. Схема преобразователя частоты
частичным
включением
сигнала
настроен на частоту пр.
>
S пр 
154
4.7. Модуляция сигналов
Модуляцией называется процесс воздействия колебаний низкой частоты на один из параметров (амплитуду, частоту или фазу) высокочастотного колебания. Низкочастотные колебания, которые являются
сигналами, подлежащими передаче, называются управляющими или
модулирующими.
При модуляции методом непрерывных колебаний различают амплитудную, частотную и фазовую модуляции. В общем случае высокочастотный модулированный сигнал можно представить в виде
S t   Аt cost t  t ,
(4.23)
где А(t), (t), (t) – амплитуда, частота и начальная фаза высокочастотного колебания. Частоту (t) называют также несущей частотой.
Если в выражении (4.23) меняется только амплитуда, то говорят об
амплитудной модуляции (АМ) несущих высокочастотных колебаний,
если фаза или частота – то о фазовой модуляции (ФМ) или частотной
модуляции (ЧМ). ФМ и ЧМ являются разновидностями угловой модуляции.
4.8. Амплитудная модуляция сигналов
Для выяснения основных особенностей АМ рассмотрим модуляцию несущего гармонического колебания с частотой 0, изменяющегося по закону
S Н t   U m н cos0 t
(4.24)
простым гармоническим сигналом с частотой  (рис. 4.11 а, б)
S С t   U m с cos t ,
(4.25)
положив для простоты начальную фазу обоих сигналов равной 0. В
этом случае амплитуду несущих модулированных колебаний
U m н  U mн t  , очевидно, можно представить в виде
U m н t   U 0  U t   U 0  kS C t  ,
(4.26)
где U0=const, а U(t)=kSС(t) – приращение амплитуды, прямо пропорциональное величине напряжения сигнала сообщения, изменяющегося
155
SН(t)
a
t
SС(t)
б
t
SАМ(t)
в
t
A
B
Рис. 4.11. Форма колебаний при амплитудной модуляции: а – несущего (высокочастотного); б – модулирующего (низкочастотного); в – амплитудно-модулированного
в соответствии с формулой (4.25). Здесь k – коэффициент пропорциональности. Подставив соотношение (4.25) в выражение (4.26), получим
Umc


U m н t  U 0 kU m ccost  U 0 1  k
cost .
(4.27)
U0


Обозначив коэффициент kUm c/U0 при cost через m, выражение
(4.27) можно переписать в виде
U m н t   U 0 1  m cost .
(4.28)
Подставив зависимость (4.28) в соотношение (4.24), получим
SAM(t)  U 0 1  m cos t cos 0t.
(4.29)
Выражение (4.29) показывает, что при АМ амплитуда высокочастотного колебания изменяется по закону модулирующего сигнала
(риc. 4.11 в).
Величина m называтся коэффициентом модуляции или глубиной
модуляции. Учитывая, что 0 cost 1, коэффициент m может быть
выражен через наибольшее и наименьшее значения амплитуды модулированных колебаний Umн макс и Umн мин следующим образом:
156
m
U mн макс  U mн мин
U mн макс  U mн мин
.
(4.30)
Измерение коэффициента глубины модуляции, изменяющегося в
соответствии с выражением (4.30), удобно проводить с помощью осциллографа по двойной амплитуде А и В (рис. 4.11 в). Тогда
A B
A B
(4.31)
m
, 0<m<1 или m 
100 %.
A B
A B
Характерная величина коэффициента глубины модуляции m на
практике составляет в среднем (30  80) %. Анализ АМ сигналов и
наладку радиоприемной аппаратуры обычно проводят при величине
m=30 %.
АМ сигналы получают с использованием нелинейного элемента,
которым может являться, в частности, транзистор. В этом случае применяют базовую или эмиттерную модуляцию. Проанализируем работу
схемы базовой модуляции на биполярном транзисторе, представленную на рис. 4.12.
В целом схема является нелинейным усилителем высокой частоты с
резонансным контуром L1, C4 в коллекторной цепи. На базу транзистора через элементы связи и развязки (фильтры) подаются: постоянное напряжение смещения с потенциометра R3, напряжение несущей
C4
C1
1
L1
L  L  L
1
1
1
3
VT
L1
L2
Uвых
R1
U1=Sн(t),
o
U2=SC(t),

R2
C2
Тр
R3
C3
R4
2
+ Еп –
Рис. 4.12. Принципиальная схема базовой модуляции
157
частоты U1=SН(t) от генератора высокочастотных сигналов, на частоту
которого настроен резонансный контур L1, C4, и через трансформатор
Тр управляющее (модулирующее) напряжение U2=SС(t) низкой частоты, причем всегда справедливо неравенство 0>>.
Обсудим назначение элементов схемы и величину их номинальных
значений. С1 – разделительный конденсатор, предназначенный для
передачи на базу транзистора VT без заметного ослабления высокочастотного напряжения U1. В то же время эта емкость препятствует попаданию на низкоомный выход генератора высокой частоты низкочастотного управляющего напряжения U2, а также постоянного напряжения смещения Uбэ, подаваемого на базу транзистора с помощью
потенциометра R3. Конденсатор С2 является элементом фильтра низких частот. В идеальном случае он должен обеспечивать короткое замыкание для напряжения несущей частоты 0 в точке соединения
элементов R1 и С2 и иметь большое сопротивление для низкочастотного управляющего сигнала. При этом справедливы следующие неравенства:
и
1
 R1
0C1
(4.32)
1
1

.
0 C 2
C2
(4.33)
Соотношения (4.32) и (4.33) обычно легко выполняются.
Конденсатор С3 является шунтирующим элементом по высокой частоте 0 и должен обеспечивать короткое замыкание для несущей частоты между клеммами источника питания Еп. Для низкочастотного
управляющего сигнала аналогичную функцию выполняют электролитические конденсаторы блока питания.
Резистор R2 служит для ограничения тока коллектора, а также для
создания отрицательной обратной связи по постоянной и переменной
составляющим коллекторного тока, что повышает температурную
стабильность работы каскада и устраняет склонность последнего к
самовозбуждению.
В рассматриваемой схеме для получения АМ сигнала используется
нелинейная зависимость iк=f(Uбэ). На вход резонансного усилителя, собранного на транзисторе VT, одновременно подаются два переменных
158
напряжения: через разделительную емкость С1 напряжение несущей
частоты 0 и через трансформатор Тр напряжение модулирующего
сигнала частотой . Необходимое для нормальной работы в заданном
режиме постоянное смещение на базу транзистора задается делителем
напряжения R3, R4. Переменное напряжение на входе усилителя представляет собой сумму двух гармонических напряжений
U вх  U 0 cos 0t  U cos t.
(4.34)
Для осуществления модуляции необходимо выбирать рабочую точку на нелинейном участке характеристики iк=f(Uбэ). Пусть, например,
рабочий участок характеристики аппроксимируется полиномом второй степени
iк  iк0  aUвх  bUвх 2 ,
(4.35)
где a и b – некоторые постоянные коэффициенты. Подставив соотношение (4.34) в выражение (4.35), найдем спектральный состав коллекторного тока iк=iк0+a(U0cos0t+Ucost)+b(U0cos0t+Ucost)2= iк 0 +
+аU0cos0t+i+ i20  i2+bU0Ucos(0+)t+bU0Ucos(0–)t.
Так как резонансный контур, образованный емкостью C4 и катушками L1  L1  L1 , настроен на частоту 0, а его полоса пропускания
равна =2, то резонанс токов в нем в основном обусловлен составляющими с частотами 0, (0+), (0–). Тогда, обозначив комплексное сопротивление контура через Z, для U вых получим
U вых  a Z U 0 cos 0 t  b Z U 0 U cos 0    t  b Z U 0 U cos 0    t  aZU 0 
 2bU

 1 
cost  cos0t  U 0 1  m cost cos0t. Это амплитудно-моа


дулированное напряжение с коэффициентом модуляции m=2bU/a.
При этом величина U должна быть такой, чтобы выполнялось соотношение m=2bU/a<1.
При выводе последней формулы предполагалась независимость
комплексного сопротивления Z от частоты  в полосе пропускания
контура. На практике такая зависимость может иметь место, что приводит к некоторым частотным искажениям и, как следствие, к уменьшению коэффициента модуляции на высоких частотах.
Для оптимального режима работы схемы, представленной на
рис. 4.12, необходимо обеспечить выбор рабочей точки на середине
линейного участка модуляционной характеристики (точка А на
159
Iк
Im1
Iк
А
Uбэ0
Uбэ
Uбэ
t
а
б
в
Рис. 4.13. Базовая модуляция: а – модуляционная характеристика модулятора;
б – аппроксимация сквозной характеристики; в – форма импульсов коллекторного тока
рис. 4.13 а), представляющей собой зависимость амплитуды первой
гармоники Im1 коллекторного тока от величины смещения Uбэ при
U2=0. Амплитуду сигнала сообщения при этом выбирают такой, чтобы величина смещения Uбэ во время работы схемы не выходила за
пределы линейного участка модуляционной характеристики.
Для получения высокого кпд этой схемы напряжения U1 и U2 берут
достаточно большими и обеспечивают также незначительную величину тока покоя iкп. Резонансный усилитель при этом работает в режиме
с отсечкой тока, что позволяет характеристику iк=f(Uбэ) представить в
виде кусочно-линейной функции (рис. 4.13 б). Амплитуды соответствующих импульсов коллекторного тока, как видно из рис. 4.13 в,
являются функцией модулирующего напряжения частотой . Это ведет к изменению амплитуды первой гармоники, а следовательно, и к
изменению амплитуды напряжения на колебательном контуре.
4.9. Балансная модуляция
Балансно-модулированным колебанием называется АМ-колебание,
в спектре которого отсутствует колебание несущей частоты.
При модуляции косинусоидальным гармоническим сигналом балансно-модулированное колебание определяется следующим уравнением:
1
et   Em0 m cost cos0t  Em0 m cos0   t 
2
(4.36)
1
 Em0 m cos0   t.
2
160
С физической точки зрения колебания
вида (4.36) являются биениями двух
гармонических сигналов с одинаковыми
0 0+

амплитудами и частотами, равными 0–
верхней и нижней боковым частотам.
Рис. 4.14. Спектр колебаний
Спектр таких колебаний показан на
при балансной модуляции
рис. 4.14, а принципиальная схема балансного модулятора – на рис. 4.15. Высокочастотное напряжение несущей 0 подается в фазе на базы транзисторов VT1 и VT2. Модулирующее же напряжение через трансформатор Тр поступает на базы
этих
транU
вых
зисторов в
VT1
противофазе, в
реC2
+ –
L
C3
зультате
Eп
C4
0
C
1
чего
выходное
VT2
R
Тр
C5

R2
R1
Еп
Рис. 4.15. Принципиальная схема балансного модулятора
напряжение будет иметь следующий вид:
U вых t   U к1 t   U к2 t   Em0 1  m cos t cos 0t 
 Em0 1  m cos t cos 0t  Em0 m cos0   t 
 Em0 m cos0   t ,
(4.37)
где Uк1(t) и Uк2(t) – напряжения на коллекторе первого и второго транзисторов соответственно.
4.10. Однополосная модуляция
При однополосной модуляции в спектре АМ сигнала отсутствует
колебание несущей частоты и одно из боковых колебаний
(рис. 4.16 а). На рис. 4.16 б показана структурная схема устройства,
позволяющего выделить одну из боковых составляющих. На вход 1
подается сигнал модулирующей частоты , а на вход 2 – несущей ча161
Вх 1

Вх 2
0
=+90
0–
0

=+90
Балансный
модулятор 1
Балансный
модулятор 2
e1(t)
e(t)=e1(t)+e2(t)
e2(t)
а
б
Рис. 4.16. Однополосная модуляция: а – спектр частот; б – блок-схема устройства
для выделения одной из боковых частот
стоты 0. На выходе балансного модулятора 1 напряжение будет равно
1
1
e1 t   Em0 m cost cos 0t  Em0 m cos0   t  Em0 m cos0   t ,
2
2
а на выходе балансного модулятора 2
1
1
e2 t   Em0 m sin t sin 0t  Em0 m cos0   t  Em0 m cos0  t .
2
2
Сложение выходных напряжений этих двух модуляторов дает колебание вида
et   e1 t   e2 t   Em0 m cos 0   t .
(4.38)
Аналогичным образом можно выделить и колебание суммарной частоты 0+, т. е. колебание другой боковой полосы.
4.11. Угловая модуляция
Положим, что модулирующее напряжение изменяется по косинусоидальному закону, и имеет место простейший случай однотональной
модуляции
e t   U m cos t .
(4.39)
Если при этом согласно (4.39) изменение начальной фазы радиочастотного несущего колебания происходит по закону
н t    m cos t  0 ,
(4.40)
а величина m пропорциональна амплитуде модулирующего напряжения Um, то модуляция в данном случае будет называться фазовой.
162
Таким образом ФМ колебание будет иметь постоянную амплитуду
и описываться следующим выражением:
et   Еm0 cos( 0t   m cos t  0 ) .
(4.41)
Значение полной мгновенной фазы ФМ колебания можно записать как
t   0t   m cos t  0 ,
(4.42)
а значение мгновенной частоты ФМ колебания описывается уравнением
dt 
t  
 0  m  sin t .
(4.43)
dt
Отсюда вытекает вывод о том, что при фазовой модуляции происходит и модуляция частоты, поскольку мгновенная частота несущего
колебания изменяется в такт с модулирующим сигналом.
Тем не менее, ЧМ и ФМ различаются между собой. ЧМ колебанием
называется колебание, мгновенная частота которого изменяется в соответствии с тем же самым законом, что и модулирующий сигнал. В
данном случае, поскольку сигнал изменяется по закону косинуса, то
мгновенная частота при ЧМ должна определяться равенством вида
t   0  m cos t ,
(4.44)
где амплитуда отклонения частоты m  2f m в принципе пропорциональна амплитуде модулирующего сигнала.
Так как мгновенная фаза ЧМ колебания
m
t    t dt 0t 
sin t  0 ,
(4.45)

то в соответствии с этим ЧМ колебание будет определяться выражением
m


et   Em0 cos 0t 
sin t  0  .
(4.46)



m f m
В формуле (4.46) величина
, характеризующая степень ча

F
стотной модуляции, называется индексом частотной модуляции, а величина отклонения частоты m (или f m ) носит название девиации
частоты колебаний.
Если индекс частотной модуляции m<1, то такую частотную модуляцию называют узкополосной, если же индекс частотной модуляции
163
определяется неравенством m35 для самой высокой частоты модулирующего сигнала, то такая модуляция называется широкополосной.
При этом необходимо отметить, что как при узкополосной, так и при
широкополосной модуляции имеет место соотношение f m <<f0, где
f0 – частота несущей.
Таким образом, ЧМ колебание можно одновременно рассматривать
и как ФМ колебание. Вместе с тем, при ЧМ изменение частоты, а не
фазы совпадает с законом изменения модулирующего колебания. Индекс модуляции при этом обратно пропорционален модулирующей
частоте, в то время как при ФМ он от частоты модуляции зависеть не
будет.
Угловую модуляцию можно осуществить различными способами. В
качестве примера рассмотрим простую схему ЧМ с помощью варикапа – полупроводникового диода, емкость которого в значительной
степени зависит от приложенного к этому диоду напряжения
(рис. 4.17 а). Эффект изменения емкости варикапа при изменении
приложенного к нему обратного напряжения связан с изменением
ширины p-n-перехода.
Схема частотной модуляции с использованием варикапа приведена
на рис. 4.17 б. В этой схеме разделительный конденсатор Ср препятствует попаданию в контур постоянного тока от источника Есм, используемого для задания рабочей точки на вольт-фарадной характеристике варикапа, а также устраняет короткое замыкание источника модули-рующего напряжения на относительно небольшую индуктивность Lк контура Lк Ск. Блокировочный дроссель Lдр не допускает прохождение высокочастотного тока от автогенератора в источник эдс
модулирующей частоты .
При этом можно показать, что при малых относительных отклоне
ниях
изменения  и С связаны линейным соотношением, т. е.
0
С
Lдр
Ср
0
Lк
Cк

D
– Есм +
U
а
б
Рис. 4.17. Угловая модуляция: а – вольт-фарадная характеристика варикапа; б – принципиальная схема модулятора
164
165