Криволинейные интегралы первого и второго рода

Лекция 24
Криволинейные интегралы первого и второго рода
П.1. Понятие о криволинейном интеграле 1-го рода




Определение. Кривая r (t )  (t )i  (t ) j   (t )k
( a  t  b ) называется непрерывной
кусочно-гладкой, если функции ,  и  непрерывны на отрезке [a,b] и отрезок [a,b] можно
разбить на конечное число частичных отрезков так, что на каждом из них функции ,  и  имеют
непрерывные производные, не равные нулю одновременно.
Если определено не только разбиение кривой на частичные отрезки точками, но порядок
этих точек, то кривая называется ориентированной кривой.
Ориентированная кривая называется замкнутой, если значения уравнения кривой в начальной и
конечной точках совпадают.


r (a)  r (b)
Рассмотрим в пространстве XYZ кривую АВ, в каждой точке которой определена
произвольная функция f ( x, y, z ) .
Разобьем кривую на конечное число отрезков и рассмотрим произведение значения
функции в каждой точке разбиения на длину соответствующего отрезка.
f ( xi , yi , z i )si
Сложив все полученные таким образом произведения, получим так называемую
интегральную сумму функции f(x, y, z).
n
 f ( x , y , z )s
i
i 1
i
i
i
Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения кривой на частичные отрезки
существует предел интегральных сумм, то этот предел называется криволинейным интегралом
от функции f(x, y, z) по длине дуги АВ или криволинейным интегралом первого рода (24.1).
 f ( x, y, z)ds
(24.1)
AB
Свойства криволинейного интеграла первого рода:
1) Значение криволинейного интеграла по длине дуги не зависит от направления кривой
АВ.
2) Постоянный множитель можно выносить за знак криволинейного интеграла.
3) Криволинейный интеграл от суммы функций равен сумме криволинейных интегралов от
этих функций.
4) Если кривая АВ разбита на дуга АС и СВ, то
 f ( x, y, z)ds   f ( x, y, z)ds 
AB
AC
 f ( x, y, z)ds
CB
1
5) Если в точках кривой АВ
f1 ( x, y, z)  f 2 ( x, y, z) ,
то
 f ( x, y, z)ds   f
1
AB
2
( x, y, z )ds
AB
6) Справедливо неравенство:
 f ( x, y, z)ds  
AB
f ( x, y, z ds
AB
7) Если f(x, y, z) = 1, то
n
 ds  lim  si  S ;
AB
 0
i 1
S – длина дуги кривой,  - наибольшая из всех частичных дуг, на которые разбивается дуга
АВ.
8) Теорема о среднем.
Если функция f(x, y, z) непрерывна на кривой АВ, то на этой кривой существует точка (x1,
y1, z1) такая, что
 f ( x, y, z)ds  f ( x1 , y1 , z1 )  S
AB
Для вычисления криволинейного интеграла по длине дуги надо определить его связь с
обыкновенным определенным интегралом.
Пусть кривая АВ задана параметрически уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t),
  t  , где функции х, у, z – непрерывно дифференцируемые функции параметра t, причем точке
А соответствует t = , а точке В соответствует t = . Функция f(x, y, z) – непрерывна на всей
кривой АВ.
Для любой точки М(х, у, z) кривой длина дуги АМ вычисляется по формуле
t
s  s(t )   x 2 (t )  y  2 (t )  z  2 (t )dt

Длина всей кривой АВ равна:

S   x  2 (t )  y  2 (t )  z  2 (t )dt

Криволинейный интеграл по длине дуги АВ будет находиться по формуле (24.2):

 f ( x, y, z)ds   f ( x(t ), y(t ), z(t ))
AB
x 2 (t )  y  2 (t )  z  2 (t )dt
(24.2)

Таким образом, для вычисления криволинейного интеграла первого рода (по длине дуги
АВ) надо, используя параметрическое уравнение кривой выразить подынтегральную функцию
через параметр t, заменить ds дифференциалом дуги в зависимости от параметра t и
проинтегрировать полученное выражение по t.
Пример 24.1. Вычислить интеграл
x  cos t ;
y  sin t ; z  t ; 0  t  2.
 (x
2
 y 2  z 2 )ds по одному витку винтовой линии
AB
2
2
2
0
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
 ( x  y  z )ds   (cos t  sin t  t ) ( sin t )  cos t  1dt  2  (1  t )dt 
AB
 4 
.
 2 21 
3


2
Если интегрирование производится
y  ( x), a  x  b, то получаем:
по
длине
плоской
b
 f ( x, y)ds   f ( x, ( x))
AB
кривой,
1   2 ( x)dx
заданной
уравнением
(24.3)
a
П.2.Криволинейные интегралы второго рода
Пусть АВ – непрерывная кривая в пространстве XYZ (или на плоскости ХОY), а точка P(x,
y, z) – произвольная функция, определенная на этой кривой. Разобьем кривую точками
M ( xi , yi , z i ) на конечное число частичных дуг. И рассмотрим сумму произведений значений
функции в каждой точке на длину соответствующей частичной дуги.
n
 P(, , )x
i 1
i
; M (, ,  )  xi
Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения кривой АВ интегральные
суммы имеют конечный предел, то этот предел называется криволинейным интегралом по
переменной х от функции P(x, y, z) по кривой АВ в направлении от А к В (24.4).
n
 P( x, y, z)dx  lim  P(, , )xi
AB
 0
(24.4)
i 1
Криволинейный интеграл второго рода, т.е. интеграл по координатам отличается от
криволинейного интеграла первого рода, т.е. по длине дуги тем, что значение функции при
составлении интегральной суммы умножается не на длину частичной дуги, а на ее проекцию на
соответствующюю ось. (В рассмотренном выше случае – на ось ОХ).
Вообще говоря, криволинейные интегралы могут считаться также и по переменным у и z.
n
 Q( x, y, z)dx  lim  Q(, , )yi
AB
 0
i 1
n
 R( x, y, z)dx  lim  R(, , )zi
AB
 0
i 1
Сумму криволинейных интегралов также называют криволинейным интегралом второго
рода.
 P( x, y, z)dx  Q( x, y, z)dy  R( x, y, z)dz
AB
3
Свойства криволинейного интеграла второго рода:
1) Криволинейный интеграл при перемене направления кривой меняет знак.
 P( x, y, z)dx    P( x, y, z)dx
AB
2)
 kP( x, y, z)dx  k  P( x, y, z)dx;
AB
3)
AB
 (P ( x, y, z)  P ( x, y, z))dx   P ( x, y, z)dx   P ( x, y, z)dz
1
2
1
AB
4)
BA
2
AB
AB
 P( x, y, z)dx   P( x, y, z)dx   P( x, y, z)dx
AB
AC
CA
5) Криволинейный интеграл по замкнутой кривой L не зависит от выбора начальной точки,
а зависит только от направления обхода кривой.
 P( x, y, z)dx  Q( x, y, z)dy  R( x, y, z)dz
L
Направление обхода контура L задается дополнительно. Если L – замкнутая кривая без
точек самопересечения, то направление обхода контура против часовой стрелки называется
положительным.
6) Если АВ – кривая, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси ОХ, то
 P( x, y, z)dx  0.
AB
Аналогичные соотношения справедливы при интегрировании по переменным у и z.
Теорема 24.1. Если кривая АВ – кусочно-гладкая, а функции P(x, y, z), Q(x, y, z) и
R(x, y, z) – непрерывны на кривой АВ, то криволинейные интегралы
 P( x, y, z)dx;  Q( x, y, z)dy;  R( x, y, z)dz;
AB
AB
AB
 P( x, y, z)dx  Q( x, y, z)dy  R( x, y, z)dz
AB
существуют.
Вычисление криволинейных интегралов второго рода производится путем преобразования
их к определенным интегралам по формулам:

 P( x, y, z)dx   P( x(t ), y(t ), z(t )) x(t )dt
AB


 Q( x, y, z)dy   Q( x(t ), y(t ), z(t )) y(t )dt
AB


 R( x, y, z)dx   R( x(t ), y(t ), z(t )) z (t )dt
AB


 Pdx  Qdy  Rdz   Px(t )  Qy(t )  Rz (t )dt
AB

В том случае, если АВ – плоская кривая, заданная уравнением y = f(x), то
4
xB
 P( x, y)dx  Q( x, y)dy   P( x, f ( x)  Q( x, f ( x)) f ( x)dx
AB
(24.5)
xA
Пример 24.2. Вычислить криволинейный интеграл
x
2
ydx  x 3 dy . L – контур,
L
ограниченный параболами y  x; x  y . Направление обхода контура положительное.
2
2
Представим замкнутый контур L как сумму двух дуг L1 = x2 и L2 
x
1
1
0
0
0
1
2
3
2
3
2
3
4
3
2
 x ydx  x dy   x ydx   x dy   x ydx   x dy   x dx   x  2 xdx   x xdx 
L
L1
0
L1
L2
3
x3
L2
3
x5 1 2x5 1 2x 2 0 x 2

dx 



5 0
5 0
7 1 7
1 2 x
0
1

3 3 6
  ;
5 7 35
П.3.Формула Остроградского – Грина.
(Остроградский Михаил Васильевич (1861-1862) – русский математик,
академик Петерб. А.Н.)
(Джордж Грин (1793 – 1841) – английский математик)
Иногда эту формулу называют формулой Грина, однако, Дж. Грин предложил в 1828 году
только частный случай формулы.
Формула Остроградского – Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом и
двойным интегралом, т.е. дает выражение интеграла по замкнутому контуру через двойной
интеграл по области, ограниченной этим контуром.
Будем считать, что рассматриваемая область односвязная, т.е. в ней нет исключенных
участков.
5
Рисунок 24.1. Замкнутый контур
Если замкнутый контур имеет вид, показанный на рисунке, то криволинейный интеграл по
контуру L можно записать в виде:
 P( x, y)dx        
L
AB


AB
x2
1
x1
x2

DA
0
2
x2
x2
x1
x1
( x)) dx   P( x, y1 ( x)) dx   P( x, y 2 ( x)) dx
x2
 P( x, y)dx    ( P( x, y
L
CD
CD
x1
 P( x, y)dx   P( x, y ( x))dx   P( x, y
L
BC
2
( x))  P( x, y1 ( x))) dx
x1
P( x, y 2 ( x))  P( x, y1 ( x))  P( x, y )
y2 ( x )

y1 ( x )
x2 y 2
P
y2
P
 y dy
y1
P
 P( x, y)dx     y dydx   y dydx
L

x1 y1
Если участки АВ и CD контура принять за произвольные кривые, то, проведя аналогичные
преобразования, получим формулу для контура произвольной формы:
 Q
P 
 P( x, y)dx  Q( x, y)dy    x  y dydx
L
(24.6)

Формула (24.6) называется формулой Остроградского – Грина.
Формула Остроградского – Грина справедлива и в случае многосвязной области, т.е.
области, внутри которой есть исключенные участки. В этом случае правая часть формулы будет
представлять собой сумму интегралов по внешнему контуру области и интегралов по контурам
всех исключенных участков, причем каждый из этих контуров интегрируется в таком
направлении, чтобы область  все время оставалась по левую сторону линии обхода.
Пример 24.3. Решим пример, рассмотренный выше, воспользовавшись формулой
Остроградского – Грина.
6
x
L
2

1

ydx  x dy   3x  x dydx   2 x dydx   2 x y
3

2
2
2

2
x 
 2 1 6
 2 x    2    .
5 0
 7 5  35
7
Формула Остроградского-Грина позволяет
криволинейного интеграла.
7
2
5
2
0
x
x2
1
5
2
dx   2( x  x 4 )dx 
0
1
значительно
упростить
вычисление
Криволинейный интеграл не зависит от формы пути, если он вдоль всех путей,
соединяющих начальную и конечную точку, имеет одну и ту же величину.
Условием независимости криволинейного интеграла от формы пути равносильно равенству
нулю этого интеграла по любому замкнутому контуру, содержащему начальную и конечную
точки.
Это условие будет выполняться, если подынтегральное выражение является полным
дифференциалом некоторой функции, т.е. выполняется условие тотальности.
P Q

y x
7