Решение задач с помощью систем уравнений второй степени

Тема: Решение задач с помощью систем уравнений второй степени.
План урока.
1. Обобщение теоретического материала по теме «Способы решения систем
уравнений второй степени с двумя переменными». Проверка домашнего
задания.
2. Изучение нового материала по теме «Применение систем уравнений
второй степени при решении задач».
3. Исследовательская работа в группах.
4. Представление аналитического решения поставленных задач.
5. Анализ результатов и выводы.
Цели урока:
 познакомить учащихся с применением систем уравнений второй
степени
при решении задач; обеспечить овладение основными
алгоритмическими приемами применения систем уравнений при
решении задач; формирование умения переносить знания в новую
ситуацию;
 развивать
логическое
мышление,
математическую
речь,
вычислительные навыки;
 формирование умения работать в группе.
Ход урока.
1. Организационный момент.
2. Мотивация урока.
Ещё Платон говорил: «Человек, способный к математике, изощрён во
всех науках».
Как вы понимаете это высказывание?
Таким образом, мы сегодня будем размышлять, искать простые и
красивые решения,
развивать логическое мышление,
правильно и
последовательно рассуждать, тренировать память, внимание.
3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.
На предыдущих уроках Вы изучали «Решение систем уравнений второй
степени»
Давайте вспомним, что называется Пара
значений
переменных,
решением системы уравнений?
обращающая
каждое
уравнение
системы
в
верное
равенство,
называется решением системы
Какие способы решения систем Графический,
подстановки,
уравнений вы знаете?
Сложения
Эти способы решения систем уравнений Вы должны были применить при
выполнении домашнего задания.
Давайте откроем рабочие тетради и начнём проверку домашнего задания с
№440(а).
Я его тоже решал, и вот что у меня получилось. Всё ли у меня получилось
верно?
Ошибочное решение:
 x 2  y 2  16,

 x  y  4.
 y  42  y 2  16;
 y  4 2  y 2  16,

 x  y  4.
2 y 2  8 y  16  16  0;
2 y  y  4  0;
y  0,............. y  4;
Данная ошибка привела к неверному решению
 y  0,

 x  4;
 y  4,

 x  0;
Ответ:(0;4), (-4;0)
Верное решение:
 x 2  y 2  16,

 x  y  4.
 y  42  y 2  16;
 y  4 2  y 2  16,

 x  y  4.
 y  0,

 x  4;
2 y 2  8 y  16  16  0;
2 y  y  4  0;
y  0,............. y  4;
 y  4,

 x  0;
Ответ: (0;-4), (4;0)
Данную систему необходимо было решить и графическим способом
А, что Вы скажете о решении №448 (а)? Прав я или нет?
 x 2  2 y 2  14,
 2
 x  2 y 2  18.
Сложим первое и второе уравнение почтенно:
2 x 2  32;
2 x  32,
 2
 x  2 y 2  18.
2
x 2  16;
x  4,......... x  4.
 x  4,
 2
2 y  2;
 x  4,

 y  1;
 x  4,
 2
2 y  2;
 x  4,

 y  1;
 x  4,

 y  1;
 x  4,

 y  1 .
Ответ: (-4;-1), (-4;1), (4;-1), (4;1)
Спасибо!
Запишите в тетради сегодняшнее число 9.12.2015г.
Сегодня на уроке мы начнем рассматривать решение задач, с помощью
систем уравнений второй степени с двумя переменными.
Запишите, пожалуйста, её в тетрадях.
При решении задач используются формулы, с которыми Вы уже знакомы.
Некоторые из них давайте повторим.
Вам необходимо в кабинете найти формулу, относящуюся к тому или иному
утверждению, прикрепить на магниты её к доске и сформулировать данное
утверждение.
Давайте начнём с теоремы Пифагора a 2  b 2  c 2
Назовите формулы площади и S  a  b
периметра
прямоугольника
со P  2a  b 
сторонами a и b.
Путь при равномерном движении со s    t
скоростью  за время t
Как найти n% от числа а
Необходимо число, а разделить на
100 и умножить на n
Масса вещества через его плотность и m    v
объём
Замечательно! Часть этих формул Вы будете использовать при выполнении
самостоятельной работы в группах
4. Изучение нового материала.
Дорогие ребята! Область применения математики очень широка. Без неё не
обойтись и в естественных науках. Рассмотрим одну из таких задач.
Задача.
От вершины прямого угла по его сторонам начинают одновременно
двигаться два тела. Через 15 с расстояние между ними стало равно 3 м. С
какой скоростью двигалось каждое тело, если известно, что первое прошло за
6 с такое же расстояние, какое второе прошло за 8 с?
Итак, что спрашивается в данной задачи? (Читают)
Сколько в этом вопросе неизвестных величин?
Что нам неизвестно в задаче? (Скорости двух тел)
Как обозначим эти неизвестные величины? (Обозначим за х м/с скорость
первого тела, а у м/с скорость второго тела)
Выделите 1 ситуацию в задаче
Давайте поработаем с 1 части задачи и оформим анализ условия в виде
таблицы
Ситуация 1
Первое тело
Второе тело
Скорость
х м/с
у м/с
Время
15 с
15 с
Путь
15х м
15у м
Т.к. тела двигались по катетам прямоугольного треугольника, то
расстояние между ними равное 3 м можно выразить через теорему Пифагора
Первое уравнение___ 15 x 2  15 y 2  9 ______________________
Выделите 2 ситуацию в задаче. И проведем аналогичные рассуждения,
оформив их в таблицу 2
Ситуация 2
Первое тело
Второе тело
Скорость
х м/с
у м/с
Время
6с
8с
Путь
6х м
8х м
Т.к. во втором случае они прошли одинаковый путь, то получим
Второе уравнение_________6х=8у________________
Составим пояснительный текст задачи.
Пусть х м/с скорость первого тела, у м/с скорость второго тела.
Известно, что за 6 с первое тело проходит такое же расстояние, что второе за
8 с. Составим первое уравнение системы 6х=8у. Двигаясь, по сторонам
прямого угла, расстояние между ними через 15 с стало равно 3 м. Используя
теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, получим второе
уравнение системы: 15 x 2  15 y 2  9. Составим и решим систему уравнений:
225 x 2  225 y 2  9,

6 x  8 y.
3

y

 x,

4

225  x 2 225  9  x 2  9;

16

4 ,
x 

25

3.

y 
25

25 2
 x  9;
16
16
x2  2 ;
25
4
4
x
x ,
25
25
225 
не удовлетворяет
условию задачи
Ответ: 0,16 м/с, 0,12 м/с
Итак, какие этапы мы можем с Вами выделить при решении задачи на
составление системы уравнений?
Схема решения задач
1) Анализ условия
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Введение неизвестных
Выделение двух ситуаций
Установление зависимости между данными задачи и неизвестными
Составление уравнений
Решение системы уравнений
Запись ответа
7. Самостоятельная работа.
А теперь поработаем в группах. На столах у каждой группы в конвертах
лежит задание. Каждое задание состоит из двух частей. Вам предстоит
решить задачу и в бланк ответа вписать составленную систему, которая
позволит решить задачу, а далее необходимо решить данную систему и
выбрать правильный вариант ответа предложенный ниже. После чего один
представитель от каждой группы должен внести эти результаты в компьютер,
тем самым проверить правильность выполнения задания. Каждый учащийся
в группе получит отметку, зависящую от того, насколько удачно сработает
его группа.
Первая группа:
Диагональ прямоугольника равна 10 см, а его периметр равен 28 см. Найдите
стороны прямоугольника.
1. Составьте систему уравнений для решения задачи, обозначив
переменными x и y стороны прямоугольника.
2. Выберите правильный вариант ответ из ниже приведённых.
6 см. и 8 см.
7 см. и 7 см.
5 см. и 9 см.
4 см. и 10 см.
Вторая группа:
Разность двух чисел равна 5, а их произведение равно 84. Найдите эти числа.
1. Составьте систему уравнений для решения задачи, обозначив
переменными x и y искомые числа..
2. Выберите правильный вариант ответ из ниже приведённых.
12 и 7
19 и 12
7и2
21 и 4
Третья группа:
2
Периметр прямоугольника 26 см, а его площадь 42см . Найдите стороны
прямоугольника.
1. Составьте систему уравнений для решения задачи, обозначив
переменными x и y стороны прямоугольника.
2. Выберите правильный вариант ответа из ниже приведённых.
14 см и 3 см
Чётвёртая группа:
7 см и 6 см
11 см и 2 см
21 см и 2 см
Одна из сторон прямоугольника на 4 см больше другой. Найдите стороны
прямоугольника, если его площадь равна 45 см
1. Составьте систему уравнений для решения задачи, обозначив
переменными x и y стороны прямоугольников.
2. Выберите правильный вариант ответа из ниже приведённых.
2
13 см и 9 см
15 см и 3 см
22,5 см и 2 см
8. Домашнее задание. Подведение итогов урока.
Выучить п.20. Решить № 458.
9 см и 5 см