Первое занятие элективного курса «Уравнения второй степени с параметрами» в 9 классе Тема: Квадратные уравнения Цели и задачи: Образовательные – формирование и развитие общеучебных умений при работе с уравнениями второй степени, содержащими параметр. Развивающие – развивать логическое мышление, нестандартное мышление, развивать познавательный интерес к предмету. Воспитательные – воспитывать культуру диалога, творческую активность, инициативу. Оборудование: персональноый компьютер, проектор, экран для демонстрации. Ход занятия I. Организационный момент. Приветствие. Объявление цели урока и плана занятия. II. Изучение нового материала. Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами («параметр» с греч. parametron – отмеривающий). В обыденной жизни мы употребляем слово «параметр» как величину, характеризующую какое-либо основное свойство процесса, явления или системы, машины, прибора (напряжение, электрическое сопротивление, масса, коэффициент трения и др.) В математике параметр – это постоянная величина, выраженная буквой, сохраняющая свое постоянное значение лишь в условиях данной задачи. С параметрами мы уже встречались, когда вводили понятие: функция прямая пропорциональность: у= kx (х и у – переменные, k – параметр, k≠0); линейная функция: у= kx+b (х и у – переменные, k и b – параметры); линейное уравнение: ax+b=0 (х – переменная, a и b – параметры); уравнение первой степени: ax+b=0 (х – переменная, a и b – параметры, а≠0); квадратное уравнение: ax2+bx+c=0 (x – переменная, а,b и с – параметры, а≠0). Если в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение параметрическим. Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k, l, m, n, а неизвестные – буквами x, y, z. Например, в уравнении x2 -3kx+4=0 буквой k обозначен параметр. Параметру k можно давать любые числовые значения. Таким образом, будем получать различные квадратные уравнения, определяемые параметром. Решить уравнение с параметром – значит, для каждого действительного значения параметра найти все решения данного уравнения или установить, что их нет. Договоримся все значения параметра, при которых уравнение не имеет смысла, включать в число значений параметра, при которых уравнение не имеет решений. Два уравнения или две системы, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:1) имеют смысл при одних и тех же значениях параметров; 2) каждое решение первого является решением второго и наоборот. Повторение. Многочлен ах2+bх+с, где а≠0,а,b,с – действительные числа, называют квадратным трехчленом. Уравнение вида ах2+bх+с=0, где а≠0,а,b,с – действительные числа, называется квадратным. Число D = b2 – 4ас называется дискриминантом квадратного трехчлена ах2+bх+с, а также дискриминантом уравнения aх2+bх+с=0. Квадратное уравнение aх2+bх+с=0, где а≠0, не имеет действительных корней, если дискриминант отрицателен, имеет только два действительных корня, если дискриминант положителен (х1,2 = −𝑏±√𝐷 ), 2𝑎 и имеет только одно решение (или два равных корня), если дискриминант равен нулю (x = −𝑏 2𝑎 ). Рассмотрим некоторые простейшие уравнения с параметром. Пример 1. При каких значениях с уравнение х2 +2х+с = 0 не имеет корней? Решение: Какая буква здесь обозначает переменную, а какая параметр? Квадратное уравнение не имеет корней в том и только в том случае, если дискриминант отрицателен. х2 +2х+с=0, D1 = b2 – ac, D1 = 4-4c, D1<0, 4 – 4с<0, 4с>4, с>1 Ответ: (1;∞). Пример 2. При каких значениях a уравнение ax2 – 4x + 16a=0 имеет единственный корень? Решение. Для уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном. Если а=0, то данное уравнение является линейным -4х=0 с единственным корнем х=0. Если а≠0, то исходное уравнение является квадратным и имеет единственное решение при D=0. ax2 – 4x + 16a=0, D1= 4 - a∙16a= 4 – 16a2, 4 – 16a2= 0, a2= 0,25, a= ± 0,5. Ответ: -0,5; 0; 0,5. Примеры 3. Найдите все целые значения p, при которых уравнение 2px2 – √2x + p =0 имеет два различных корня. Решение. Если p = 0, то уравнение принимает вид: – √2x =0 и имеет один корень. Если p ≠ 0, то уравнение будет квадратным и имеет два корня, если дискриминант положителен. 2px2 – √2x + p =0, D= 2 - 8p2, 2 - 8p2 >0, p2 < 0,25, - 0,5 < p < 0,5. -0,5 < p < 0,5, p ≠ 0; p ∈ (-0,5; 0) ∪ (0; 0,5). На объединении данных промежутков целых значений p нет. Ответ: нет решения. Пример 4. Определить все значения параметра a, при котором уравнение 2ax2 – 4(a+1)x +4a +1=0 имеет один корень. Решение. Если a=0, то данное уравнение является линейным – 4x + 1 = 0 с 1 единственным корнем x = . 4 Если a ≠ 0, то исходное уравнение является квадратным и имеет единственное решение при D= 0. D1 = 4(a+1)2- 2a(4a+1)= 4a2 +8a+4 -8a2 - 2a= -4a2 +6a+4, 2a2 -3a -2 = 0, a1 = - 0,5, a2 = 2. Ответ: -0,5; 0; 2. III. Закрепление изученного материала. Пример 5. При каких значениях k уравнение х2+kх+9=0 имеет корни? Решение: Квадратное уравнение имеет корни в том и только в том случае, если дискриминант не отрицателен. х2+kх+9=0, D=k2 – 36, k2 – 36 ≥ 0, (k – 6) (k+6) ≥ 0. Ответ: (-∞; - 6] U [6;∞). Пример 6. При каких значениях b уравнение 3bх2 - bх+1=0 не имеет корней? Решение. Если b = 0, то уравнение обращается в неверное равенство 1=0. Значит, при b=0 корней нет. Если b≠ 0, то уравнение становится квадратным, и не будет иметь корней в том и только в том случае, если его дискриминант отрицателен. 3bх2- bх+1=0, D=b2- 12b, b2- 12b < 0. Неравенство выполняется, если 0 < b < 12. Ответ: 0 ≤ b < 12. IV. Домашнее задание. № 1.23(а), №1.15(а,в) (Мордкович А.Г. Алгебра. 9 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений/…2009 г.Задачник.)