95 5. Неопределенный интеграл 5.1 Первообразная и неопределенный интеграл К числу важных прикладных задач относятся задачи определения закона движения частицы по известной скорости и определения скорости по известному ускорению. Подобные задачи приводят к проблеме отыскания неизвестной функции по известной производной. Функция F x называется первообразной для функции f x на интервале a; b , если в любой точке x этого интервала выполнено F x f x . Теорема 6.1.1. Пусть f x определена на интервале a; b и F1 x , F2 x – две ее первообразные. Тогда существует постоянная C R , такая, что при любом x a; b выполнено F1 x F2 x C . Доказательство. Рассмотрим функцию G x F1 x F2 x . Тогда G x дифференцируема на a; b и ее производная равна G x f x f x 0 . Пусть x – произвольная точка интервала a; b , x0 – какая-либо фиксированная точка этого же интервала (без ограничения общности можно принять x0 x ). Тогда на отрезке x0 ; x функция G x удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа. Полагая C G x0 , получим G x C G x x 0 0 , x, x0 , следовательно, при любом x a; b G x C , ч.т.д. Пример. Функции F1 x 2 sin 2 x и F2 x cos 2 x являются первообразными для функции f x 2 sin 2 x на интервале ; , так как при любом x R выполнено 2 sin 2 x 2 sin 2 x , cos 2 x 2 sin 2 x . В то же время 2 sin 2 x cos 2 x 2 sin 2 x cos2 x sin 2 x 1. Множество всех первообразных для функции f x называется неопреде- ленным интегралом от функции f x : f x dx F x C , где F x – какая-либо первообразная для f x , C – произвольная постоянная. В этой записи функция f x называется подынтегральной функцией, f x dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования. 96 Операция нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием функции. Замечание 6.1.1. Из определения следует, что равенство двух неопределенных интегралов f x dx g x dx следует понимать как равенство двух множеств, состоящих из функций, которые отличаются друг от друга на произвольную постоянную. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции f x dx F x C f x , поэтому интегрирование является действием, обратным дифференцированию. Так как d F x C f x dx , то под знаком интеграла находится дифференциал dF x любой первообразной для функции f x . Поэтому dF x F x C , d f x dx f x dx . Свойства неопределенного интеграла. 1. Интеграл от суммы функций равен сумме их интегралов: f x g xdx f xdx g xdx . 2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: f xdx f xdx . Универсальных правил интегрирования не существует. В процессе нахождения первообразной используют ряд приемов, которые определяются видом подынтегрального выражения. Целью этих приемов является приведение интеграла к табличным интегралам: x 1 1. x dx C , R , 1. 1 dx 2. ln x C . x ax x C (в частности, e x dx e x C ). 3. a dx ln a 4. sh xdx ch x C , ch xdx sh x C . 5. sin xdx cos x C , cos xdx sin x C . 97 dx cos2 x tg x C . dx 7. 2 ctg x C . sin x dx 8. 2 th x C . ch x dx 9. 2 cth x C . sh x dx arcsin x C . 10. 1 x2 dx arctg x C . 11. 1 x2 dx 12. arsh x C , где arsh x ln x 1 x 2 . 1 x2 dx 13. arch x C , x ;1 1; . 2 x 1 dx ; . 14. arth x C , x 11 1 x2 Справедливость соотношений 1...14 проверяется дифференцированием. 6. Замечание 6.1.2. Знак модуля в соотношении 2 связан с тем, что функции ln x и ln x не являются двумя (отличающимися на действительную константу) первообразными 1 для функции на всем множестве действительных чисел. Можно убедиться, что x ln x 1x 1 1x , однако это соотношение справедливо только при x 0 . Знак модуля во второй формуле можно опустить, если считать, что произвольная постоянная C может принимать значения из множества комплексных чисел. Из формул Эйлера: e i chi shi cos i sin 1 , поэтому одно из значений натурального логарифма числа 1 равно i. Тогда ln x ln x ln 1 x ln x i ln x ln x i const , и две функции ln x , ln x можно считать отличающимися на константу. По указанной причине в правых частях формул 13 и 14 записаны именно обратные гиперболические функции, а не логарифмы модулей. Более строго: dx ln x x 2 1 C . 13. 2 x 1 dx 1 1 x ln C. 14. 2 1 x 2 1 x Однако запомнить формулы 13 и 14 в таком виде сложнее. 98 5.2 Замена переменной Теорема. Пусть функция x xt определена и дифференцируема на множестве t , и имеет областью значений множество x . Пусть для функции f x на множестве x существует первообразная F x Тогда на множестве разная, равная F xt f xdx F x C . t для функции f xt x t существует первооб- f xt x t dt F xt C . Доказательство. Используя правило дифференцирования сложной функции, получим F xt C Fx xt x t f xt x t , ч.т.д. t Замечание 6.2.1. Если x x t , то дифференциал dx равен x tdt . Поэтому формулу замены переменной можно понимать как следствие инвариантности формы первого дифференциала. При использовании формулы замены переменной для вычисления интеграла f x dx следует отыскать такую функцию x t , для которой интеграл f x t xtdt вычислялся бы проще, чем исходный. Однако универсального способа замены переменной не существует. Пример 1. Вычислить 1 dx dt , и 2 e 2 x 1 dx . Положим 2x 1 t , тогда x 1 t 1 , 2 1 1 1 1 dt et dt et C e2 x 1 C . 2 2 2 2 Пример 2. Вычислить tg x dx . Положим t cos x , тогда dt sin x dx , и e dx et 2 x 1 sin x dx dt ln t C ln cos x C . cos x t dx Пример 3. Вычислить . Преобразуем интеграл к виду cos x dx cos x cos x dx cos x cos2 x 1 sin 2 x dx . Полагая t sin x , dt cos x dx , получим dx cos x dt 1 sin x cos x 1 sin 2 x dx 1 t 2 arth t C arthsin x C ln cos x C . tg x dx Замечание 6.2.2. В простейших случаях замену переменной не выписывают явно. Например 99 sin 2xdx 2 sin x cos xdx 2 sin xd sin x sin 2 xC. Подобная запись называется внесением под знак дифференциала. Фактически, в рассмотренном примере была выполнена замена t sin x . 5.3 Интегрирование по частям Теорема. Пусть u x и v x – дифференцируемые на множестве x функции и, кроме того, на этом множестве существует первообразная для функции v x u x . Тогда на множестве x существует первообразная для функции u x v x , причем справедлива формула интегрирования по частям u x v x dx u x v x v x u x dx . Доказательство. Используя правило дифференцирования произведения, получим u x v x v x u x dx u x v x u x v x v x u x u x v x , что совпадает с производной от левой части. Так как дифференциалы du и dv функций u x и v x равны du u x dx и dv v x dx , то формулу интегрирования по частям можно за- писать в виде udv uv vdu . Таким образом, формула сводит вопрос о вычислении интеграла вычислению интеграла udv к vdu . В некоторых случаях этот интеграл вычисляется проще исходного. Пример 1. Вычислить xe dx . Положим u x , dv e dx . Тогда du dx , x x v e x , поэтому xe dx xe e dx xe e C . dx Пример 2. Вычислить ln x dx . Положим u ln x , dv dx . Тогда du , x x x x x x v x , поэтому dx x ln x x C . x Пример 3. Вычислить e x cos x dx . Имеем ln x dx x ln x x u e x , du e x dx x x e cos x dx dv cos x dx, v sin x e sin x e sin x dx ; x 100 u e x , du e x dx x x e sin x dx dv sin x dx, v cos x e cos x e cos x dx . x Обозначая I e x cos x dx , получим для искомого интеграла алгебраическое уравнение I e x sin x e x cos x I , 2I e x sin x cos x , откуда e 5.4 x cos x dx e x cos x sin x . 2 Интегрирование простейших дробно-рациональных функций Дробно-рациональной функцией (или просто дробью) называется отношение двух многочленов N x a m x m a m1 x m1 ... a 0 . f (x) Q x bn x n bn 1 x n 1 ... b0 Дробь называется правильной, если степень знаменателя больше степени числителя, и неправильной в противном случае. Простейшей дробью I типа называется дробь вида A P x . x a Простейшей дробью II типа называется дробь вида Mx N , P x 2 x px q знаменатель которой не имеет действительных корней. Простейшая дробь первого типа интегрируется заменой t x a (иначе, внесением разности x a под знак дифференциала): 1 x a 1 C, 1 dx 1 x a d x a . x a ln x a C, 1 Интеграл от простейшей дроби второго типа разбивают на сумму двух p p интегралов, заменяя в числителе x на x : 2 2 p p M x N M Mx N 2 2 dx dx 2 2 x px q x px q 101 M x x 2 p dx 2 px q p dx N M 2 x 2 px q p MI N M I . 2 Первый интеграл может быть взят заменой t x 2 px q : 1 1 2 x p x px q C, 2 1 1 2 I dx t dt 2 x 2 px q 1 ln x 2 px q , 1 2 1 . Для вычисления интеграла I следует дополнить трехчлен в знаменателе подынтегрального выражения до полного квадрата: 2 x 2 px q x a b , где a и b — некоторые постоянные. Обозначив y x a , получим dy . I 2 y b Если 1 , то интеграл I равен y d b 1 1 y I1 arctg C. 2 b y b b 1 b Пусть 1. Умножив и разделив подынтегральное выражение на b, а затем прибавляя и вычитая в числителе y 2 , получим 1 b I b y2 b 2 2 1 y b y 1 1 ydy dy dy I 1 y b b b y2 b y2 b Второй интеграл преобразуем, интегрируя по частям. Положим ydy u y , dv . 2 y b Тогда v I 1 1 2 1 y 2 b 1 , поэтому интеграл I примет вид 1 y I 1 b 2b 1 y 2 b y 1 2b 1 y 2 b 1 1 2b 1 y 1 2 b 2 3 I 1 . 2b 1 1 dy . 102 Преобразуя далее интеграл I 1 , можно получить его выражение через интеграл I 2 . Продолжая преобразования, на - м шаге придем к уже известному интегралу I1. Тем самым интегрирование простейшей дроби второго типа выполнено. Замечание 6.4.1. Полученное соотношение связывает неизвестное I с большим порядковым номером и неизвестное I 1 с меньшим порядковым номером. Подобные соотношения называют рекуррентными. 5.5 Интегрирование дробно-рациональных функций Для интегрирования произвольной дробно-рациональной функции следует представить ее в виде суммы простейших дробей первого и второго типов. Неправильную дробь всегда можно представить в виде суммы целой части (многочлена) и правильной дроби. Для этого достаточно, пользуясь правилами деления целых чисел, разделить с остатком числитель на знаменатель. Пусть знаменатель правильной дроби N x f x Q x разложен на линейные множители: Q x bn x x1 1 x x2 ... x xk 2 k , где xi – действительный или комплексный корень Q(x) кратности i. Тогда дробь f x можно представить в виде суммы простейших дробей первого типа: A1 N x A1 A2 B1 B2 ... 1 1 1 2 2 1 Q x x x1 x x x x x x x x 1 2 2 1 ... B2 D1 D2 ... k 1 Dk . k x x x x x x k k k где A1, A2, ... D k – некоторые коэффициенты, действительные или комплексные. Для разложения привлекают метод неопределенных коэффициентов – записывают правую часть с буквенными коэффициентами в числителях, умножают обе части на знаменатель Q x и приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях. Решая полученную систему линейных алгебраических уравнений, находят коэффициенты разложения. x x2 Замечание 6.5.1. Наиболее сложным шагом может оказаться разложение знаменателя на произведение двучленов x xi . Это связано с тем, что для многочленов степени выше четвертой не существует методов отыскания корней в радикалах. Для многочленов третьей и четвертой степеней подобные методы существуют, однако весьма громоздки. 103 Если знаменатель Q x имеет мнимые корни, то разложение выполняют на сумму простейших дробей первого и второго типов: N x N x Q x b x x 1 x x 2 ... x x r x 2 p x q 1 ... x 2 p x q s n 1 A1 x x1 1 A2 x 2 r ... 1 1 x x1 M 1 x N1 2 x p1 x q1 1 U 1 x V1 2 ps x q s s A1 x x1 x ... p1 x q1 x r ... 1 1 U 2 x V2 2 1 D1 x xr M2 x N2 2 1 ps x q s D2 s s ... r 1 x xr M 1 x N 1 x 2 p1 x q1 ... s 1 Dr x xr ... U s x Vs x 2 ps x q s . Все коэффициенты в разложении являются вещественными. Разложение можно выполнить методом неопределенных коэффициентов. Таким образом, интеграл от любой дробно-рациональной функции сводится к интегралам от простейших рациональных дробей первого и второго типов. Следовательно, такой интеграл всегда выражается в конечном виде через сумму рациональных функций, логарифмов и арктангенсов. x3 Пример 1. Вычислить 2 dx . x 3 Подынтегральное выражение содержит неправильную дробь. Выполняя деление, получим x 3 x x 2 3 3x . Следовательно, 2 x3 3x 3 d x 3 1 2 3 2 x 2 3 dx x x 2 3 dx xdx 2 x 2 3 2 x 2 ln x 3 C . x 3 Пример 2. Вычислить 3 dx . x x N x x 3 3 Здесь требуется разложить дробь на простейшие. Решая Q x x x уравнение x 3 x 0 , находим: x1= 0, x2 = 1, x3= –1. Все корни знаменателя оказались действительными, поэтому в разложении будут только простейшие дроби первого типа. Общий вид разложения: x3 A B C . x x 1 x 1 x x 1 x 1 Умножая обе части на Q x x x 1 x 1 , получим: x 3 A x 1 x 1 Bx x 1 Cx x 1 . Раскрывая скобки и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, придем к системе уравнений: 104 A B C 0 . B C 1 3 A Решая ее, найдем: A = 3, B = –1, C = –2. Искомое разложение имеет вид: x 3 3 1 2 , 3 x x x x 1 x 1 поэтому x 3 dx dx dx x3 dx 3 2 ln x3 x x x 1 x 1 x 1 x 1 2 C . Замечание. 6.5.2. Если знаменатель дроби не имеет кратных и мнимых корней, то разложение можно выполнить, не записывая систему уравнений. В рассмотренном примере: x 3 A x 1 x 1 Bx x 1 Cx x 1 . Положим x 0 , тогда в правой части останется только одно слагаемое: 3 A, откуда A 3 ; полагая x 1 , получим 1 3 2 B , откуда B 1 ; полагая x 1 , получим 1 3 2C , откуда C 2 . Пример 3. Вычислить dx x 3 3x 2 4 x 2 . Непосредственной проверкой можно убедиться, что значение x=1 является корнем знаменателя. Разделим знаменатель на двучлен x 1 : x 3 3x 2 4 x 2 x3 x2 x 1 x2 2 x 2 2 x2 4 x 2 2 x2 2 x 2x 2 2x 2 0 Частное от деления x 2 2 x 2 не имеет вещественных корней, поэтому разложение будем искать в виде 1 A Bx C . 2 3 2 x 3x 4 x 2 x 1 x 2 x 2 Приводя к общему знаменателю, получим: 1 Ax 2 2 Ax 2 A Bx 2 Cx Bx C . Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях, придем к системе уравнений: 105 A B 0 2 A B C 0 , 2 A C 1 из которой A=1, B=-1, C=1. Искомый интеграл равен сумме: dx dx 1 x x 3 3x 2 4 x 2 x 1 x 2 2 x 2 dx . Первый интеграл берется линейной заменой: dx x 1 ln x 1 C . Второй интеграл может быть взят заменой t x 2 2 x 2 . С учетом dt dt 2 x 2dx , 1 x dx , получим 2 1 x 1 dt 1 dx ln x 2 2 x 2 C . x2 2x 2 2 t 2 Окончательно: dx x 3 3x 2 4 x 2 ln 5.6 x 1 2 x 2x 2 C. Наибольший общий делитель и алгоритм Евклида. Метод Остроградского Пусть f x an x n an1x n1 ...a0 – многочлен с вещественными коэффициентами. Лемма 1. Если число (действительное или комплексное) является для f x корнем кратности k: f x x x , 0 , k то это же число является корнем кратности k – 1 для многочлена f x . Лемма 2. При дифференцировании кратности всех корней уменьшаются на единицу: если для многочлена f x справедливо представление f x x 1 k1 x 2 k2 ... x m km , то для многочлена f x справедливо представление f x x 1 k1 1 x 2 k2 1 ... x m x , k m 1 в котором x – многочлен, среди корней которого нет чисел 1 , 2 , ..., m . В приложениях встречается задача выделения кратных корней: по данному многочлену f x построить многочлен 106 F x x 1 x 2 ... x m , имеющий только однократные корни, совпадающие с корнями f x . В силу леммы 2 искомый многочлен F x равен F x f x D f x , f x , где D f x , f x – наибольший общий делитель многочленов f x и f x – многочлен, который делится на любой другой делитель многочленов f x или f x (следует заметить, что наибольший общий делитель многочленов опре- делен с точностью до постоянного множителя). Таким образом, задача выделения кратных корней сводится к задаче нахождения наибольшего общего делителя. Для решения последней задачи используют процесс, называемый алгоритмом Евклида. Пусть f x и g x – произвольные многочлены. Без ограни- чения общности можно считать что степень g x не выше степени f x . Разделим f x на g x с остатком: f x g x q x r1 x , тогда степень остатка r1 x окажется меньше степени делителя g x . Поэтому многочлен g x можно разделить на остаток r1 x : g x r1 x q1 x r2 x При каждом делении степень остатка снижается по крайней мере на единицу. Поэтому, продолжая деление дальше, на некотором шаге получим нулевой остаток: rk x rk 1 x qk 1 x rk 2 x , k 1, m 1; rm1 x rm x qm x . Последний ненулевой остаток rm x является искомым наибольшим об- щим делителем многочленов f x и g x . Вернемся к вопросу интегрирования дробно-рациональной функции. Материал пп. 6.4 и 6.5. позволяет заключить, что интеграл от правильной дроби N x имеет вид: Q x N x N1 x N2 x dx dx , Q x Q1 x Q2 x (*) 107 Если все корни знаменателя Q x являются однократными, то после интегрирования в правой части могут быть только логарифмы и арктангенсы – функции, не являющиеся рациональными. N1 x В случае кратных корней появляется рациональное слагаемое . Q1 x Остроградским был предложен метод отыскания этого слагаемого, не требуюN x щий ни интегрирования дроби , ни разложения знаменателя Q x на проQ x стейшие множители. Пусть разложение знаменателя Q x имеет вид Q x x x1 1 x x 2 2 ... x xr r x 2 p1 x q1 1 ... x 2 ps x q s s . Пользуясь результатами пп. 6.4. и 6.5 можно установить, что знаменатель Q1 x имеет те же корни, что и Q x , однако их кратность на единицу меньше Q1 x x x1 1 1 x x2 1... x 2 ps x qs 2 s 1 , поэтому Q1 x можно найти как наибольший общий делитель Q x и Q x : Q1 x DQ x , Q x . Знаменатель Q2 x имеет те же корни, что и Q x , однако их кратность равна единице: Q2 x x x1 x x2 ... x xr x 2 p1x q1 , поэтому отыскание знаменателя Q2 x сводится к задаче отделения кратных корней: Q x Q x . Q2 x DQ x , Q x Q1 x Далее следует учесть, что степени числителей N1 x и N 2 x на единицу меньше степеней соответствующих знаменателей (все дроби в правой части являются правильными). Для отыскания числителей пользуются методом неопределенных коэффициентов – записывают разложение (*) с неизвестными коэффициентами, дифференцируют его и приравнивают коэффициенты при соответствующих степенях. dx Пример. Вычислить 2 . x2 1 Здесь знаменатель Q x x 2 1 2 уже разложен на простейшие множи- тели, поэтому знаменатели дробей в правой части разложения (*) можно найти, не прибегая к отделению кратных корней: Q1 x Q2 x x 2 1. 108 Запишем разложение с неизвестными коэффициентами: dx Ax B Cx D x 2 1 2 x 2 1 x 2 1 dx . Дифференцируя его, получим A x 2 1 2 x Ax B Cx D 1 . 2 2 2 x 1 x2 1 x2 1 Умножая обе части на x 2 1 2 и приравнивая коэффициенты при одина- ковых степенях, придем к системе уравнений C 0 A D 0 , 2 B C 0 A D 1 1 откуда B C 0 , A D . Искомый интеграл равен 2 dx 1 x 1 dx 1 x x 2 1 2 2 x 2 1 2 x 2 1 2 x 2 1 arctg x C . 5.7 Интегрирование дробно-линейных иррациональных выражений. Интеграл от дробно-рациональной функции всегда может быть взят в конечном виде. Поэтому интегрирование различных классов выражений часто сводится к отысканию замен, которые позволяют представить подынтегральное выражение в виде дробно-рациональной функции. Говорят, что данные замены рационализуют подынтегральное выражение. Пусть подынтегральное выражение является рациональным относительно переменной интегрирования x и радикалов от x: R x, k x , m x ,... dx . Пусть также n – наименьшее общее кратное среди всех k, m, .... Тогда интеграл может быть взят заменой x=un. Действительно, dx=nun-1du и интеграл приводится к интегралу от рациональной функции: n r r n1 R u , u 1 , u 2 ,... nu du . Аналогично решается вопрос об интегрировании дробно-рациональных ax b выражений – выражений, рациональных относительно функции и ее px q радикалов: ax b ax b ax b R px q , k px q , m px q ... dx . 109 Интеграл указанного вида может быть взят заменой ax b aq bp nun1du , un , dx 2 px q a pun где n – наименьшее общее кратное среди k, m, .... dx Пример. Вычислить интеграл . 2 3 x 1 x 1 3 dx x 1 x 1 2 Положим u 3 3 x 1 x 1 x 1 3 dx 3 x 1 dx . x 1 x 1 x 1 6u2du u3 1 ; тогда x 3 , dx 2 : x 1 u 1 u3 1 u3 1 6u2 du . I u du 3 3 3 2 2u u 3 1 u 1 Исходный интеграл рационализован. 5.8 Подстановки Эйлера. Пусть подынтегральное выражение рационально относительно квадратного корня из квадратичной функции от x: R x, ax 2 bx c dx . Пусть a>0. Первой подстановкой Эйлера называется замена: ax 2 bx c u ax . Возводя обе части последнего равенства в квадрат, придем к уравнению, линейному относительно x: bx c u2 2 aux , откуда: au2 bu c a u2 c au2 bu c a 2 du . , ax bx c , dx 2 x 2 2 au b 2 au b 2 au b Подставляя последние выражения в исходный интеграл, приведем его к интегралу от рациональной функции. Пусть c>0. Второй подстановкой Эйлера называется замена: ax 2 bx c xu c . После возведении в квадрат вновь придем к уравнению, линейному относительно x: ax b xu2 2 cu . Тогда: 2 cu b cu2 bu a c cu2 bu a c 2 , ax bx c , dx 2 du . x 2 2 a u2 a u2 au Подставляя найденные выражения в исходный интеграл, выполним рационализацию подынтегрального выражения. 110 Пусть трехчлен под знаком радикала имеет вещественные корни и . Тогда он может быть разложен на линейные сомножители: ax 2 bx c a x x . В этом случае подынтегральное выражение может быть рационализовано третьей подстановкой Эйлера: ax 2 bx c u x , при которой: a u2 , x u2 a ax 2 bx c a u a u , dx 2 . 2 2 du 2 u a u a Можно показать, что первой и третьей подстановок Эйлера достаточно для рационализации подынтегрального выражения при всех возможных значениях a, b и c. Поэтому интегралы от квадратичных иррациональностей всегда берутся в конечном виде. dx Пример. Вычислить интеграл . 1 x2 Выражение под знаком радикала имеет вещественные корни 1 , 1 . Используя третью подстановку, получим: 4udu u u2 1 2 1 x u1 x , x 2 , dx , 1 x2 2 2 , 2 2 u 1 u 1 u 1 du 1 x 2 arctg u C 2 arctg C. 1 x u 1 1 x2 Полученный результат отличается от известного только по форме. dx 2 2 Замечание 6.8.1. Для вычисления интеграла R x , ax 2 bx c dx можно в подкоренном выражении выделить полный квадрат. При этом будет получен один из следующих интегралов: (a) R y , a 2 y 2 dy R y , R y , a2 y2 y2 a2 dy dy (b) (c) Интеграл (a) берется тригонометрической подстановкой y a sin t . Интегралы (b) и (c) берутся гиперболическими подстановками y a sh t и y a ch t , соответственно. 5.9 Интегрирование дифференциальных биномов. Дифференциальным биномом называется выражение вида: p x m a bx n dx , где a и b – произвольные постоянные; m, n, p – рациональные числа. 111 Если p целое, то обозначая через q наименьшее общее кратное знаменаq телей дробей m и n, придем к выражению, рациональному относительно x . В этом случае интеграл p m n x a bx dx q может быть взят заменой u x . Пусть p Z и имеет вид p число. Выполним замену: m1 , где , Z . Пусть также – целое n u a bx n . Тогда: 1 1 1 u a n u a n 1 x , dx u du . n b b m1 Обозначив q 1 ( q Z ), придем к интегралу: n x a bx n p u a q n u 1du . b Подынтегральное выражение рационализовано. m1 Пусть p — целое число. Обозначим u=xn; исходный интеграл n можно записать в виде: p a bz pq m n p x a bx dx z z dz . Поэтому подынтегральное выражение может быть рационализовано заm dx меной u ax n b . Таким образом, если целым оказывается одно из чисел: p, m1 или n m1 p , то интеграл от дифференциального бинома выражается в элементарn ных функциях. Можно показать, что во всех остальных случаях указанный интеграл в конечном виде не берется. 5.10 Интегрирование выражений, рациональных относительно тригонометрических функций. Пусть требуется найти интеграл вида: Rsin x,cos xdx . Подынтегральное выражение может быть рационализовано заменой: 112 x u tg , 2 которую называют универсальной тригонометрической подстановкой. Действительно: x 2 tg x x x x 2 2u , sin x 2 sin cos 2 tg cos2 2 2 2 2 1 tg 2 x 1 u 2 2 x 1 tg 2 1 u2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 cos x cos sin cos 1 tg , 2 2 2 2 1 tg 2 x 1 u 2 2 2du , x 2arctg u , dx 1 u2 поэтому: 2u 1 u2 2du R sin x ,cos x dx R 1 u2 , 1 u2 1 u2 . Таким образом, интегралы указанного вида всегда берутся в конечном виде, выражаясь через рациональные и тригонометрические функции, логарифмы и арктангенсы. Универсальная тригонометрическая подстановка зачастую приводит к сложным выкладкам. В отдельных случаях интегралы удается взять при помощи более простых замен. Так, если sinx и cosx входят в подынтегральное выражение только в четных степенях, то удобной оказывается замена u=tgx. Если требуется взять интеграл вида m n sin x cos xdx , то при нечетном m удобна замена u=cosx, при нечетном n – замена u=sinx. Последний интеграл может быть также взят многократным интегрированием по частям. Пример. Используя универсальную тригонометрическую подстановку, вычислить интеграл I cos xdx . 1 t 2 2t 2 1 t 2 2dt 1 t2 cos xdx 1 t 2 1 t 2 2 1 t 2 2 dt 2 1 t 2 2 dt dt t 2 dt 2 2 1 t 2 1 t 2 2 arctg t 2 t tdt 2 1 t 2 2 113 x t dt 2t 2 C sin x C . 2 arctg t C 2 2 2 x 1 t 1 t 1 t 1 tg 2 2 2 tg