Теорема Виета в задачах с параметрами

ГОРОДСКОЙ МЕТОДИЧЕСКИЙ ЦЕНТР УПРАВЛЕНИЯ ОБРАЗОВАНИЯ
АДМИНИСТРАЦИИ ГОРОДА КОСТРОМЫ
Теорема Виета в задачах с параметрами.
КОСТРОМА
2006
1
Теорема Виета в задачах с параметрами: В помощь учителю /
Составитель С. А. Сорокина. – Кострома, 2006. – 8 с.
Составитель пособия «Теорема Виета в задачах с параметрами» - Почётный работник
Российской Федерации, учитель математики высшей квалификационной категории МОУ
лицея №17 города Костромы Сорокина Светлана Анатольевна. Светлана Анатольевна
работает в классах углублённого изучения математики. Её учащиеся – призёры и победители
математических олимпиад различных уровней.
В пособии представлен практикум «Теорема Виета в задачах с параметрами» и один из
способов решения заданий практикума.
Задания расположены в порядке возрастания сложности и носят обучающий характер.
Рецензент:
Л. К. Борткевич – методист ГМЦ
 С.А. Сорокина
 Оформление и вёрстка Л. К. Борткевич
2
Теорема Виета в задачах с параметрами.
Теорема. Если квадратное уравнение ax2+bx+c=0 имеет корни x1 и x2 ,то для
них справедливы соотношения
x1  x2  -
b
,
a
x1  x 2 
c
.
a
Задачи.
1. При каких значениях k произведение корней квадратного уравнения
x 2  3x  (k 2  7k  12)  0 равно нулю?
2. При каких значениях k сумма корней квадратного уравнения
x 2  (k 2  4k  5) x  k  0 равна нулю?
3. В уравнении x 2  4 x  a  0 сумма квадратов корней равна 16.Найдите а.
4. Найдите все значения а, при которых сумма квадратов корней уравнения
x 2  ax  a  7  0 равна 10.
5. В уравнении x 2  2 x  a  0 квадрат разности корней равен 16.Найдите а.
6. Найдите все значения
а, для которых разность корней уравнения
2
2 x  (a  1) x  a  3  0 равна 1.
7. При каких значениях а сумма корней уравнения x 2  2a( x  1)  1  0 равна
сумме квадратов его корней?
8. При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения
x 2  (2  m) x  m  3  0 наименьшая?
9. При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения
x 2  (m  1) x  m 2  1,5  0 наибольшая?
10. При каких значениях коэффициента b сумма квадратов корней уравнения
x 2  bx  1  0 принимает наименьшее значение?
11. Найдите сумму квадратов всех корней уравнения x 2  3 x  1  0 .
12. При каких значениях p и q корни уравнения x 2  px  q  0 равны 2 p и
q
?
2
13. Не решая уравнения x 2  (2a  1) x  a 2  2  0 найти, при каком значении а
один из корней в 2 раза больше другого.
14. В уравнении (a 2  5a  3) x 2  (3a  1) x  2  0 определить
а так, чтобы
отношение корней равнялось 2.
15. При каких значениях параметра а разность корней уравнения
2 x 2  (a  2) x  (2a  1)  0 равна их произведению?
16. Известно, что корни уравнения x 2  5 x  a  0 на 1 меньше корней уравнения
x 2  7 x  3a  6  0 . Найдите а и корни каждого из этих уравнений.
17. Известно, что корни уравнения x 2  13x  b  0 равны соответственно
квадратам корней уравнения x 2  ax  6  0 . Найдите a и b и корни каждого из
уравнений.
18. При каких значениях коэффициента с один из корней уравнения
8 x 2  6 x  c  0 равен квадрату другого корня?
19. При каких значениях параметра а уравнение (a  4 x  x 2  1)(a  1  x  2 )  0
имеет ровно три корня?
20. При каком а уравнение (a  5) x 2  (2a  3) x  a  10  0 имеет два отрицательных
корня?
3
Решения и ответы.
1. При каких значениях k произведение корней квадратного уравнения
x 2  3x  (k 2  7k  12)  0 равно нулю?
Решение.
По теореме Виета имеем x1  x2 = k 2  7k  12 и по условию x1  x2 =0. Корнями
уравнения k 2  7k  12 =0 являются числа 3 и 4. При k=3 и k=4 получим
уравнение x 2  3x  0 , произведение корней которого равно 0.
Ответ:3;4.
значениях k сумма корней квадратного уравнения
x  (k  4k  5) x  k  0 равна нулю?
Решение.
По условию x1  x2 =0, по теореме Виета имеем x1  x2 =  (k 2  4k  5) .
Корнями уравнения k 2  4k  5  0 являются числа 1 ,-5. При k=1 получим
уравнение x 2  1  0 , сумма корней которого равна 0. При k = -5 получим
уравнение x 2  5  0 , которое не имеет корней.
Ответ:1.
2.
2
При
каких
2
3. В уравнении x 2  4 x  a  0 сумма квадратов корней равна 16.Найдите а.
Решение.
По теореме Виета имеем x1  x2 =4, x1  x2 = а. По условию x12  x22 =16.
x12  x22  2 x1 x2  2 x1 x2  16
( x1  x2 ) 2  2 x1 x2  16
42-2а=16, а=0
При а = 0 уравнение x 2  4 x  0 имеет корни, сумма квадратов которых равна 16.
Ответ: 0.
4. Найдите все значения а, при которых сумма квадратов корней уравнения
x 2  ax  a  7  0 равна 10.
Решение.
Для того, чтобы сумма квадратов корней уравнения равнялась какой-либо
величине, эти корни должны существовать. Значит, дискриминант нашего
уравнения должен быть неотрицательным, т.е. а2-4(а+7)  0 . При таких а у
исходного уравнения найдутся (возможно, совпадающие) корни x1 и x2.
Запишем для них теорему Виета: x1  x2 = а, x1  x2 = а+7 . Теперь, не вычисляя
корней, можно найти сумму их квадратов через а:
x12  x 22 = ( x1  x2 ) 2  2 x1 x2 = а2-2(а+7) Согласно условию, эта сумма квадратов равна
10, откуда получаем квадратное уравнение а2-2(а+7)=10, корнями которого
являются числа 6 и -4. При а = 6 дискриминант исходного уравнения
отрицательный, а при а = -4 положительный.
Ответ: а = -4.
4
5. В уравнении x 2  2 x  a  0 квадрат разности корней равен 16.Найдите а.
Решение.
По теореме Виета имеем x1  x2 =2, x1  x2 = а. Чтобы корни существовали,
дискриминант нашего уравнения должен быть неотрицательным, 4-4а  0 , т.е.
а  1 . По условию ( x1  x2 ) 2  16
x12  x22  2 x1 x2  16
( x1  x2 ) 2  4 x1 x2  16
4-4а=16
а = -3, -3  1 .
Ответ: а = -3.
6. Найдите все значения
2 x 2  (a  1) x  a  3  0 равна 1.
Решение.
а, для которых разность корней уравнения
( x1  x2 ) 2  ( x1  x2 ) 2  4 x1 x2
По
теореме
Виета
x1  x2 =
a 1
;
2
x1  x2 =
a3
.
2
Следовательно,
a  3 a 2  6a  23
 a 1

4
=
.
( x1  x2 ) 2  

2
4
 2 
a 2  6a  23
По условию
=1. Значит, а1=9, а2=-3. При данных значениях
4
2
параметра а дискриминант исходного уравнения больше нуля.
Ответ: 9, -3.
7. При каких значениях а, сумма корней уравнения x 2  2a( x  1)  1  0 равна
сумме квадратов его корней?
Решение.
По теореме Виета x1  x2 =2а, x1  x2 =2а-1. По условию x1  x2 = x12  x22 .
x1  x2 = ( x1  x2 ) 2  2 x1 x2
2а=(2а)2-2(2а-1),
1
2
а=1, а = .
При а =1 уравнение x 2  2( x  1)  1  0 имеет корень 1 , при а =
1
уравнение
2
x 2  x  0 имеет корни 1 и 0.
1
Ответ: 1 , .
2
8. При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения
x 2  (2  m) x  m  3  0 наименьшая?
Решение.
По теореме Виета имеем x1  x2 = m-2, x1  x2 = -m-3
x12  x 22 = ( x1  x2 ) 2  2 x1 x2 =(2-m)2-2(-m-3)=m2-2m +10=(m-1)2+9.
5
Сумма квадратов корней наименьшая при m =1. При m=1 уравнение x 2  x  4  0
имеет два корня.
Ответ: 1.
9. При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения
x 2  (m  1) x  m 2  1,5  0 наибольшая?
Решение.
По теореме Виета имеем x1  x2 = -m+1, x1  x2 = m2-1,5.
x12  x 22 = ( x1  x2 ) 2  2 x1 x2 =(-m+1)2-2(m2-1,5)= -m2-2m+4= -(m+1)2+5
При m= -1 выражение -(m+1)2+5 принимает наибольшее значение. При m = -1
уравнение x 2  2 x  0,5  0 имеет корни.
Ответ: -1.
10. При каких значениях коэффициента b сумма квадратов корней уравнения
x 2  bx  1  0 принимает наименьшее значение?
Решение.
Выразим сумму квадратов корней данного уравнения через его коэффициенты
при помощи теоремы Виета следующим образом:
x12  x 22 = ( x1  x2 ) 2  2 x1 x2 =b2-2.
Выражение b2-2 принимает наименьшее значение при b=0. При этом значении b
сумма квадратов корней отрицательна. Надо обязательно добавить условие
неотрицательности дискриминанта b2-4  0 . Теперь уже нетрудно заключить,
что сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение при
b=  2
Ответ:  2
11. Найдите сумму квадратов всех корней уравнения x 2  3 x  1  0 .
Решение.
Пусть x = t. Рассмотрим уравнение t 2  3t  1  0 . D >0, по теореме Виета t1+t2=3,
t1  t1 =1.
Уравнение имеет два положительных корня, следовательно, исходное
уравнение имеет 4 корня. Причем t1= x1  x2 , t2= x3  x4
x12  x 22 + x32  x 42 = 2t12  2t 22 =2( t12  t 22  2t1t 2  2t1t 2 ) =2((t1+t2)2-2t1t2)=2(9-2)=14
Ответ: 14.
12. При каких значениях p и q корни уравнения x 2  px  q  0 равны 2 p и
6
q
?
2
Решение.
q
2
Пусть x1  2 p, x 2  . По теореме Виета имеем x1  x2 = -p, x1  x2 =q, D =p2-4q  0 ,
q
 p
2
;
q
2p  q
2
2p 
следовательно,
q= -6p
q  ( p  1)  0 .
Если q=0, то p=0, D =0, если p=1, то q= -6, D >0. Уравнение имеет корни.
Ответ: p=q=0 или p=1, q= -6.
13. Не решая уравнения x 2  (2a  1) x  a 2  2  0 найти, при каком а один из
корней в 2 раза больше другого.
Решение.
По условию x1  2x2 . По теореме Виета имеем x2  2x2  2a  1 .
x2 
2a  1
;
3
a2  2
.
2
a 2  2 4a 2  4a  1 2
Значит,

; a  8a  16  0, a  4. При а = 4 уравнение x 2  9 x  18  0
2
9
2 x 22  a 2  2; x 22 
имеет корни 6 и 3.
Ответ: 4.
14. В уравнении (a 2  5a  3) x 2  (3a  1) x  2  0 определить а так, чтобы
отношение корней равнялось 2.
Решение.
Пусть х - корень уравнения. Тогда второй корень 2х.
1  3a
1  3a
;3 x  2
;
1  3a
a  3  5a
a  5a  3
x 2
2
2
(a  5a  3)  3
x  2x  2
;2 x 2  2
.
a  5a  3
a  5a  3
x  2x 
2
(1  3a) 2
1
2
 2
;a  .
2
2
3
9(a  5a  3)
a  5a  3
2
При a= получим уравнение x 2  9 x  18  0 , корни которого -3 и -6.
3
2
Ответ:
3
значениях параметра а разность
2 x  (a  2) x  (2a  1)  0 равна их произведению?
15.
При
каких
2
7
корней
уравнения
Решение.
Имеем ( x1  x2 ) 2  ( x1  x2 ) 2  4 x1 x2 ;
2a  1
a  2
;
( x1  x2 )  
 4
2
 2 
2
2
a 2  12a  12
2a  1
, x1  x2 
.
4
2
2
a 2  12a  12  2a  1 

По условию
 .
4
 2 
2
a 2  12a  12  2a  1 ;
( x1  x2 ) 2 
3a 2  8a  11  0;
a1  1, a 2  3
2
3
При а=1 уравнение 2 x 2  3x  1  0 имеет корни 1 и
при а =  3
1
,
2
2
1
5
5
2
уравнение 2 x 2  1 x  8  0 имеет корни и  , разность которых
3
3
3
2
3
равна их произведению.
2
3
Ответ: 1,  3 .
16. Известно, что корни уравнения x 2  5 x  a  0 на 1 меньше корней уравнения
x 2  7 x  3a  6  0 . Найдите а и корни каждого из этих уравнений.
Решение.
Пусть x1 и x 2 - корни уравнения x 2  5 x  a  0 .
По условию x1 +1 и x 2 +1 корни уравнения x 2  7 x  3a  6  0 .
x1  x 2  5
По теореме Виета имеем
x1  x 2  a
( x1  1)  ( x 2  1)  3a  6
Отсюда a+5+1=3a-6, a=6.
При а = 6 уравнение x 2  5 x  6  0 имеет корни 2 и 3, а уравнение x 2  7 x  12  0
имеет корни 3 и 4.
Ответ: а = 6, 2 и 3 - корни первого уравнения, 3 и 4 - корни второго
уравнения.
17. Известно, что корни уравнения x 2  13x  b  0 равны соответственно
квадратам корней уравнения x 2  ax  6  0 . Найдите a и b и корни каждого из
уравнений.
8
Решение.
x1  x 2  a
По условию и теореме Виета имеем
x1  x 2  6
x12  x 22  13
x12  x 22  b
Отсюда b=36, x12  x22 = ( x1  x2 ) 2  2 x1 x2 = a 2  2  6  13
a 2  25, a  5
При b = 36 уравнение x 2  13x  36  0 имеет корни 9 и 4.
При а = 5 уравнение x 2  5 x  6  0 имеет корни -2 и -3.
При а = -5 уравнение x 2  5 x  6  0 имеет корни 2 и 3.
Ответ: при а = -5, b=36 корни первого уравнения 2 и 3,
корни второго уравнения 4 и 9
при а =5 , b=36 корни первого уравнения -2 и -3,
корни второго уравнения 4 и 9
18. При каких значениях коэффициента с корень уравнения 8 x 2  6 x  c  0 равен
квадрату другого корня?
Решение.
Пусть числа x1 и x 2 являются корнями этого уравнения.
Тогда по теореме Виета должны выполнятся равенства x1  x 2 
3
c
и x1  x 2  .
4
8
Поскольку корень x1 должен быть равен квадрату корня x 2 , то подставим
выражение x1 = x 2 2 в эти два уравнения.
Получим систему
x 22  x 2 
c
x 
8
3
4
.
3
2
Первое уравнение этой системы является квадратным и имеет два корня

1
и
2
3
.
2
Подставляя эти значения во второе уравнение системы, получаем два
уравнения
3
3
c
c
1
 3
   и     . Решая эти уравнения, получим с =1 и с = -27.
8
8
 2
2
При этих значениях с дискриминант больше 0.
Ответ:- 27,1.
19. При каких значениях параметра а уравнение (a  4 x  x 2  1)(a  1  x  2 )  0
имеет ровно три корня?
9
Решение.
Чтобы заданное уравнение имело три корня, необходимо, чтобы корни одного
из сомножителей заданного уравнения совпадали.
Итак, имеем x 2  4 x  (1  a)  0 x1  x2 , если дискриминант равен нулю.
Значит а = -3. Но если а = -3, то при любом x, второй сомножитель отрицателен,
что невозможно.
Рассмотрим равенство нулю второго сомножителя: a  1  x  2 . Его корни
совпадают, если а+1=0 , т.е. а = -1.
При а = -1 первый сомножитель имеет два корня .
Ответ: -1.
20. При каком а уравнение (a  5) x 2  (2a  3) x  a  10  0 имеет два отрицательных
корня?
Решение.
D =(2а-3)2 -4(а+5)(а-10)=8а+209>0
a  10
0
a5
 2a  3
0
Оба корня будут отрицательны, если при этом x1  x 2 
a5
Корни будут иметь одинаковые знаки, если x1  x 2 
Таким образом, задача свелась к решению системы неравенств 8а+209>0
a  10
0
a5
 2a  3
0
a5
Ответ:  
209 
;5 10;  
 8

10