Педагогический проект «Моя инициатива в образовании»

Региональный конкурс«Педагогический дебют – 2014»
Педагогический проект
«Моя инициатива в образовании»
Ткаченко Наталья Павловна,
учитель математики и физики
муниципального автономного
общеобразовательного учреждения
«Средняя общеобразовательная школа №25
с углубленным изучением отдельных предметов
г. Уссурийска» Уссурийского городского округа
2014
ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………………………..
1.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ………..........................................................................
3
5
1.1 Текстовые задачи и их роль в развитии алгоритмического мышления учащихся…
5
1.2 Сущность метода математического моделирования………………………………...
6
ПРОЕКТНАЯ ЧАСТЬ…………………………………………………………………..
8
2.
2.1
Применение метода математического моделирования при решении задач как способ
развития алгоритмического мышления …………………………………….
8
ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………...........................
10
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ……………………………………….
11
ПРИЛОЖЕНИЕ ………………………………………...…………………………………...
12
2
ВВЕДЕНИЕ
В Федеральном компоненте государственного стандарта «Об образовании в
Российской Федерации», разработанным в соответствии с направлениями реформы
образовательной школы, написано, что одной из основных целей курса математики
является развитие мышления учащегося, его интеллекта. Важной составляющей
интеллектуального развития человека является алгоритмическое мышление.
Анализ
психолого-педагогической
и
методической
литературы
(Д.И. Богоявленский, В.В. Давыдов, З.И. Калмыкова, Л.Н. Ланда, А.Н. Леонтьев,
Н.Ф. Талызина, Л.М.Фридман и др.) показал, что наиболее активно в исследованиях
разрабатываются вопросы развития алгоритмического мышления при обучении
информатике. Однако, по мнению Г.В. Дорофеева, алгоритмическое мышление в наиболее
чистом виде может быть сформировано только в процессе изучения математики, так как
обучение математике вносит в его формирование «важную и специфическую компоненту,
которая в настоящее время не может быть эффективно реализована даже всей
совокупностью остальных школьных предметов».
Математике принадлежит ведущая роль в формировании алгоритмического
мышления, воспитании умений действовать по заданному алгоритму и конструировать
новые алгоритмы. В ходе изучения математики систематически и последовательно
формируются навыки умственного труда: планирование своей работы, поиск
рациональных путей ее выполнения, критическая оценка результатов.
Математические навыки у учащихся закрепляются успешнее при введении в
учебный процесс специальных предписаний и правил, что служит пропедевтикой
формирования в дальнейшем алгоритмического мышления школьников.
Проблемой развития алгоритмического мышления школьников в обучении
математике занимались такие методисты, как И.Н. Антипов, Г.Н. Александров, Н.Я.
Виленкин, Н.Б. Истомина, И.Г. Габович, Б.Чад. В их исследованиях было отмечено, что
под алгоритмической деятельностью понимается деятельность, направленная на решение
заданий с помощью правил, предписаний. Развитие алгоритмического мышления
происходит при решении математических заданий, направленных на построение или
выполнения алгоритма.
Анализ современных учебников по математике для 5-7 классов показал, что
большинство из них содержат задания, направленные на развитие алгоритмического
мышления учащегося, но они не носят системного характера, используются в качестве
необязательного материала. Часть заданий уже предполагает наличие у ребенка
сформированных умений и навыков составления алгоритма решения задач. Кроме того,
почти все задания в этих учебниках представлены в виде текстовых заданий, а это
усложняет ребенку их выполнение, т.к. у подростков в большинстве случаев преобладает
наглядно-образное мышление. Поэтому существует необходимость перевода условий
данных заданий на математический язык, а это достигается применением метода
математического
моделирования.
Поэтому
наиболее
эффективно
развитие
алгоритмического мышления учащихся основной школы происходит при решении
текстовых задач методом математического моделирования. Однако отсутствие
специального комплекса подобных задач в значительной степени затрудняют работу
учителя в данном направлении.
Таким образом, актуальность проблемы развития алгоритмического мышления у
учащихся основной школы при решении задач и недостаточная разработанность путей
педагогического и дидактического воздействия на процесс его развития обусловили выбор
темы педагогического проекта: «Метод математического моделирования как способ
развития алгоритмического мышления учащихся основной школы в процессе решения
текстовых задач».
3
Объект исследования – развитие алгоритмического мышления учащихся
основной школы в процессе обучения математике.
Предмет исследования – метод математического моделирования как
способ
развития алгоритмического мышления учащихся основной школы при решении текстовых
задач.
Цель проекта состоит в выявлении эффективных способов развития
алгоритмического мышления учащихся основной школы в процессе обучения математике.
Гипотеза: развитие алгоритмического мышления учащихся 7-9 классов при
решении текстовых задач будет более эффективным, если на уроках алгебры
систематически использовать задачи на применение метода математического
моделирования.
Объект, предмет, цель определили задачи исследования:
1) в процессе анализа психолого-педагогической литературы уточнить понятие
алгоритмического мышления, раскрыть особенности алгоритмического мышления;
2) рассмотреть различные способы развития алгоритмического мышления
учащихся при решении текстовых задач и выявить наиболее эффективные;
3) разработать методические рекомендации к использованию метода
математического моделирования на уроках математики;
4) подобрать комплекс текстовых задач на использование метода
математического моделирования.
При решении поставленных задач были использованы следующие методы
исследования:
1)
анализ психолого-педагогической и методической литературы;
2)
анализ учебников по алгебре для 7-9 классов;
3)
наблюдение уроков, беседы с учителями.
Практическая значимость исследования заключается в том, что разработанные
задания могут быть использованы учителем математики при подготовке и проведении
уроков, кружков, внеклассных мероприятий.
4
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Текстовые задачи и их роль в развитии алгоритмического мышления учащихся
Задача является эффективным средством развития алгоритмического мышления.
Решая задачи, учащиеся приобретают новые или закрепляют, углубляют и
систематизируют уже имеющиеся математические знания.
Математические задачи, в которых есть хотя бы один объект, являющийся
реальным предметом, принято называть текстовыми (сюжетными, практическими,
арифметическими и т.д.). В последнее время наиболее распространенным является термин
«текстовая задача».
Текстовая задача – описание некоторой ситуации на естественном языке с
требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой
ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между её
компонентами или определить вид этого отношения [3,8].
Придерживаясь современной терминологии, можно сказать, что текстовая задача
представляет собой словесную модель ситуации, явления, события, процесса и т.п. Как в
любой модели, в текстовой задаче описывается не все событие или явление, а лишь его
количественные и функциональные характеристики.
Любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования
(вопроса). Числовые значения величин и существующие между ними зависимости, т.е.
количественные и качественные характеристики объектов задачи и отношений между
ними, называют условием (или условиями) задачи. В условии сообщаются сведения об
объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекты, об известных и
неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними. В задаче обычно не
одно, а несколько условий, которые называют элементарными.
Требования задачи – это указание того, что нужно найти. Они могут быть
сформулированы как в вопросительной, так и в повествовательной форме, их также может
быть несколько. Величину, значение которой требуется найти, называют искомой
величиной, а числовые значения искомых величин – искомыми, или неизвестными [3,10].
Ответ на требование задачи получается в результате ее решения. Решить задачу в
широком смысле этого слова – это, значит, раскрыть связи между данными, указанными
условием задачи, и искомыми величинами, определить последовательность применения
общих положений математики (правил, законов, формул и т.п.), выполнить действия над
данными задачи, используя эти общие положения, и получить ответ на требование задачи
или доказать невозможность его выполнения.
Различают общий и частный подходы к решению задач. Частный подход связан с
решением задач частных видов. Общий подход основан на том, что есть общие при
решении любых задач этапы решения, которые вычленил Д.Пойа. Количество этапов и их
содержание примерно одинаково у разных авторов, что говорит об объективном характере
существования соответствующих этапов в деятельности решающего. Базовым
считаются четыре этапа решения задачи:
1. Анализ задачи.
2. Поиск и составление плана решения задачи.
3. Осуществление плана решения задачи.
4. Проверка решения задачи[5,11].
Чаще всего при решении задачи названные этапы не имеют четких границ и не
всегда выполняются одинаково полно. Все зависит от уровня знаний и умений
решающего. Каждый из этапов решения задачи подразумевает выполнение неких
действий, которые могут являться компонентами алгоритмического мышления.
Подробная характеристика каждого этапа решения задач предложена в Приложении 1.
5
Анализ школьной практики свидетельствует, что на уроках математики при
решении текстовых задач преимущественное внимание уделяется второму и особенно
третьему этапам. Первый этап считается пройденным, если ученики смогли сказать, что в
задаче дано, и что нужно найти. Однако это не так. Если учащиеся неправильно увидели
взаимосвязи между данными задачи, то и составление плана решения будет неверным.
Поэтому в своей работе будем рассматривать работу над анализом задачи как один из
трудных. И выбранный метод математического моделирования будет способствовать не
только развитию алгоритмического мышления, но и качественному анализу задачи с
помощью чертежа, блок-схемы, таблицы и т.д.
Сущность метода математического моделирования
Математическое моделирование – частный случай моделирования. Является
важнейшим видом знакового моделирования и осуществляется средствами языка
математики. Знаковые образования и их элементы всегда рассматриваются вместе с
определенными преобразованиями, операциями над ними, которые выполняет человек
или машина (преобразования математических, логических, химических формул и т. п.).
Математическое моделирование предполагает использование в качестве
специфического средства исследования оригинала его математическую модель, изучение
которой дает новую информацию об объекте познания, его закономерностях. Предметом
исследования при математическом моделировании является система «оригинал –
математическая модель», где системообразующей связью выступает изоморфизм структур
оригинала и модели. Структура служит инвариантным аспектом системы, раскрывающим
механизм ее функционирования [1,151].
Математической моделью называют описание какого-либо реального процесса или
некоторой исследуемой ситуации на языке математических понятий, формул и отношений.
Математическая модель – это упрощенный вариант действительности, используемый для
изучения ее ключевых свойств.
Для моделирования привлекаются различные математические объекты: числовые
формулы, числовые таблицы, буквенные формулы, функции, уравнения алгебраические
или дифференциальные и их системы, неравенства, системы неравенств (а также
неравенств и уравнений), ряды, геометрические фигуры, разнообразные графосхемы,
диаграммы Венна, графы.
При построении модели используются такие операции мышления, как анализ
через синтез, сравнение, классификация, обобщение, которые являются операциями
мышления, и способствуют его развитию. Составление математической модели задачи,
перевод задачи на язык математики исподволь готовит учащихся к моделированию
реальных процессов и явлений в их будущей деятельности [4,46].
Процесс моделирования состоит из следующих этапов:
1. Постановка задачи и определение свойств оригинала, подлежащих
исследованию.
2. Констатация затруднительности или невозможности исследования оригинала.
3. Выбор модели, достаточно хорошо фиксирующей существенные свойства
оригинала и легко поддающейся исследованию.
4. Исследование модели в соответствии с поставленной задачей.
5. Перенос результатов исследования модели на оригинал.
6. Проверка этих результатов [4,15].
Наиболее распространенной является трехэтапная схема процесса математического моделирования:
1) перевод предложенной задачи с естественного языка на язык
математических терминов, то есть построение математической модели задачи
(формализация);
6
2) решение задачи в рамках математической теории (решение внутри модели);
3) перевод полученного результата (математического решения) на язык, на
котором была сформулирована исходная задача (интерпретация полученного
решения).
Наиболее ответственным и сложным является первый этап – само построение
математической модели. Оно осуществляется логическим путем на основе глубокого
анализа изучаемого явления (процесса) и требует умения описать явление (процесс) на
языке математики.
Следующий этап – этап решения задачи в рамках математической теории – можно
еще назвать этапом математической обработки модели. Он является решающим в
математическом моделировании. Именно здесь применяется весь арсенал математических
методов – логических, алгебраических, геометрических и т. д. – для формального вывода
нетривиальных следствий из исходных допущений модели. На стадии математической
обработки обычно – вне зависимости от сути задачи – имеют дело с чистыми
абстракциями и используют одинаковые математические средства. Этот этап представляет
собой дедуктивное ядро моделирования.
На последнем этапе моделирования полученные выводы проходят через еще один
процесс перевода – на сей раз с языка математики обратно на естественный язык.
Метод математического моделирования является мощным инструментом для
исследования различных процессов и систем. Приложения этого метода к решению
конкретных задач изложены в ряде известных монографий и учебных пособий таких
авторов, как А.Б. Горстко, И. Володарской, Л.М. Фридмана. Вместе с тем, многие из них
предполагают достаточно высокий уровень математической подготовки учеников, что
зачастую вызывает определенные трудности при изучении материала. Понятие
математической модели и некоторые общие положения, связанные с ним, должны в той
или иной форме иллюстрироваться на протяжении всего курса математики, а разделы
школьной программы, посвященные задачам на работу, движение, проценты, прогрессии
и, наконец, задачам на применение производных и интегралов, могут рассматриваться как
введение в метод математического моделирования [10, 24].
Так как применение метода математического моделирования подразумевает
выполнение трех этапов, т.е. некоторую последовательность действий, причем каждый из
этапов требует выполнения компонентов алгоритмического мышления, то можно
говорить о развитии как такового алгоритмического мышления.
7
ПРОЕКТНАЯ ЧАСТЬ
Применение метода математического моделирования при решении задач как способ
развития алгоритмического мышления учащихся среднего звена
В первой части проекта было сказано, что одним из эффективных способов
развития алгоритмического мышления является применение метода математического
моделирования, так как оно предполагает выполнение некоторого алгоритма действий.
Однако, проанализировав ряд учебников по алгебре [3], [7], [8] для учащихся основной
школы, было выявлено, что не все авторы рассматривают метод математического
моделирования. А также система задач в этих учебниках не всегда предполагает
использование этого метода. Поэтому было решено подобрать комплекс текстовых
задач, направленных на применение метода математического моделирования.
Систематическое использование учителем задач этого комплекса на уроках математики
будет способствовать развитию алгоритмического мышления учащихся среднего звена.
Подборка задач приведена в Приложении 2, это текстовые задачи на движение, на сплавы
и проценты, на работу. Каждая их этих задач предполагает построение различной
математической модели и её решение.
Проведение бесед с учителями математики нашей школы и посещений уроков
наставников показало, что значительная их часть (65%) используют модели лишь в
демонстрационных целях, без привлечения учащихся к процессу создания модели.
Немногие учителя (10%) учат учащихся представлять результаты анализа проблемной или
задачной ситуации в наглядной форме, строить модели в виде блок-схем, графиков,
таблиц, графов и т.п. Моделирование в обучении математике в школе носит
фрагментарный характер, специально процесс построения модели не анализируется и
учащимся не показывается, как модель может быть использована при решении других
задач. Эти результаты говорили о том, что существует необходимость в рекомендациях к
применению метода математического моделирования.
Исходя из требований к применению моделирования в учебном процессе и
функций, выполняемых моделированием в обучении математике, были выделены
рекомендации по его использованию:
1) включение понятий «модель» и «моделирование» в содержание предмета;
2) предъявление учащимся основных видов моделей, используемых в школьной
математике, обучение учащихся взаимопереходу от одной модели к другой, обучение
формализации и интерпретации;
3) иллюстрация связей математики с окружающим миром;
4) проведение учителем работы, направленной на овладение учащимися
деятельностью моделирования (выделение и отработка этапов моделирования);
5) отражение отношения между математическими объектами при предъявлении
материала в моделях и изучение математических понятий с помощью моделей при
введении новых понятий, правил, формул, проведении понятийного и операционного
анализа, в ходе обобщения и т.д.
Характерные признаки алгоритмического мышления есть структурирование
информации, динамическое узнавание ситуации, формирование алгоритмов принятия
решения и собственно выполнение этого решения. Применение учащимися метода
математического моделирования при решении текстовых задач предполагает выполнение
формирование алгоритма решения задачи, выделение структуры и взаимосвязей в задаче,
внутримодельное решение задачи. Поэтому для учащихся также были выделены
рекомендации к применению данного метода:
1) необходимо тщательно анализировать задачные ситуации, выделять
существенные связи между элементами задачи (важность первого этапа);
8
2) на этапе построения модели следует как можно полнее переводить их на
математический язык, описывать математически все выделенные существенные связи;
3) на этапе исследования модели важно уметь правильно оперировать ею (решать
уравнение, неравенство и т.д.);
4) на четвертом этапе нужно аккуратно проводить интерпретацию полученного
решения;
5) необходимо не только проводить проверку правильности внутримодельного
решения, но и уточнять соответствие построенной модели данной задачной ситуации.
С методикой применения метода математического моделирования на конкретных
примерах, а такжес примерами конкретных алгоритмов решения текстовых задач из
подобранного комплексаможно ознакомиться в Приложении 3.
Четкие условные обозначения помогают детям строить сложные схемы, видеть в
них нужные формулы, отношения для решения задачи. Иногда четкое соблюдение
условных обозначений в схеме позволяет не запутаться в числовых значениях задачи и
предотвращает многие ошибки. Анализируя модель, можно увидеть несколько способов
решения задачи.
Использование графических изображений способствует сознательному и прочному
усвоению многих понятий. Благодаря им, математические связи и зависимости
приобретают для учеников наглядный смысл, а в процессе их использования происходит
углубление и развитие математического мышления учащихся.
Соблюдение точности и аккуратности при выполнении рисунков, схем, чертежей,
помимо учебного, имеет важнейшее воспитательное значение. Графические изображения
служат хорошим и удобным средством для организации коллективной и индивидуальной
(дифференцированной) самостоятельной работы учащихся, быстродействующим
средством для проверки знаний учащихся. Правильно построенные графические модели
условий задач позволяют ученикам во многих случаях сделать прикидку ожидаемого
ответа, графическую проверку правильности решения задачи, выполненной
аналитическим способом.
Таким образом, использование модели при решении задач обеспечит качественный
анализ задач, осознанный поиск их решения, обоснованный выбор арифметического
действия, рациональный способ решения и предупредит многие ошибки в решении задач
учащимися. Модель задачи может быть применена и для составления и решения обратных
задач, для проведения исследования задачи. Модель помогает поставить условия, при
которых задача имеет решение или не имеет решения; выяснить, как изменяется значение
искомой величины в зависимости от изменения данных величин; помогает обобщить
теоретические знания; развивает самостоятельность и вариативность мышления. А
использование метода математического моделирования как алгоритма для решения задачи
позволит развивать умения, присущие алгоритмическому мышлению.
9
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Значение алгоритмического мышления велико. Такой тип мышления очень сильно
помогает освоению многих знаний и навыков, в том числе и школьных предметов.
Способность мыслить точно, формально, если это нужно, становится одним из важных
признаков общей культуры человека в современном высокотехнологизированном мире.
Вот некоторые умения, которые требуется во многих сферах: разбиение общей
задачи на подзадачи, умение планировать этапы и время своей деятельности, оценивать
эффективность
деятельности,
понимать
последовательные,
параллельные,
недетерминированные действия. Конечно, еще Гёте заметил, что «сущее не делится на
разум без остатка». Но разум очень помогает в жизни. Когда говорят, что человек умеет
думать, обычно, подразумевают развитое алгоритмическое мышление.
В процессе исследования были решены следующие задачи:
1.
В ходе изучения и анализа психолого-педагогической и методической
литературы было уточнено понятие алгоритмического мышления. Оно представляет
собой процесс решения практических задач, который приводит к созданию у человека
мыслительной модели предполагаемой совокупности действий – плана операций – с
реальными объектами и процессами. Способами развития алгоритмического мышления на
уроках математики являются использование ролевых игр, использование общепринятых
алгоритмов для решения уравнений, неравенств и т.д. Наиболее эффективно на уроках
математики алгоритмическое мышление развивается при решении задач методом
математического моделирования, так как этапы решения последней предполагают
выполнение всех компонентов алгоритмического мышления.
2.
Были разработаны методические рекомендации к применению метода
математического моделирования, так как его применение предполагает выполнение
строгого алгоритма, каждый этап которого также может предполагать действие по
алгоритму. Также данный метод применяется при решении текстовых задач, что уже
характерно для развития алгоритмического мышления.
3.
Подобран комплекс текстовых задач на применение метода математического
моделирования. Это является важнейшей составляющей нашего исследования. Такие
задачи приучают обращать внимание на особо тонкие места в рассуждениях, помогают
различать во многом сходные понятия, приучают к точности суждений и математической
строгости и так далее, к выполнению заданного алгоритма.
Таким образом, можно утверждать, что развитие алгоритмического мышление
учащихся основной школы будет проходить эффективнее, если учитель математики будет
использовать разработанные нами методические рекомендации и алгоритмы к решению
текстовых задач на уроках, а также на математических кружках, факультативов,
внеклассных мероприятиях.
10
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Веников, В.А. Теория подобия и моделирования / В. А. Веников. – М.: Высшая
школа, 1986. – 480 с.
2. Виленкин, Н. Я. Математика, 6 класс. Учебник для 6 кл. общеобразовательных
учреждений / Н. Я. Виленкин [и др.] – 12-е изд., стереотип. – М.: Мнемозина, 2003.
– 304 с.
3. Виноградова, Л.П. Обучение решению задач / Л.П. Виноградова // Фестиваль
педагогических идей «Открытый урок». – М.: Первое сентября, 2004. – 540 с
4. Горстко, А. Б. Познакомьтесь с математическим моделированием / А. Б. Горстко. –
М.: Знание, 1991. – 160 с.
5. Лебедев, В. Анализ и решение текстовых задач. / В. Лебедев // Математика в школе. –
2002. – №11. – С. 8.
6. Левитас, Г.Г. Об алгебраическом решении текстовых задач / Г.Г. Левитас //
Математика в школе. – 2000. – №8. – С. 13.
7. Макарычев, Ю. Н. Алгебра: Учебник для 7 кл. сред.шк. / Ю. Н. Макарычев [и др.];
под ред. С. А. Теляковского. – М.: Просвещение, 1990. – 272 с.
8. Макарычев, Ю. Н. Алгебра: Учебник для 8 кл. сред.шк. / Ю. Н. Макарычев [и др.];
под ред. С. А. Теляковского. – М.: Просвещение, 1990. – 272 с.
9. Петухова, Л.И. О решении текстовых задач по математике. / Л.И. Петухова //
Фестиваль педагогических идей «Открытый урок». – М.: Первое сентября, 2004. – 540
с.
10. Уемов, А. И. Логические основы метода моделирования / А. И. Уемов. – М.:
Просвещение, 1996.
11. Фридман, Л.М. Как научиться решать задачи. / Л.М. Фридман, Е.Н. Турецкий. – М.:
Просвещение, 1984. – 250 с.
12. Целищева, И. Моделирование в текстовых задачах / И. Целищева, С. Зайцева //
Приложение к газете «1 сентября». Математика, 2002, №33 – 34
13. Чаплыгин, В.Ф. Некоторые методические соображения по решению текстовых задач /
В.Ф. Чаплыгин // Математика в школе. – 2000. – №4. - С.28.
11
ПРИЛОЖЕНИЕ
12
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Характеристика этапов решения текстовых задач
Базовым считаются четыре этапа решения задачи:
1. Анализ задачи.
2. Поиск и составление плана решения задачи.
3. Осуществление плана решения задачи.
4. Проверка решения задачи.
Чаще всего при решении задачи названные этапы не имеют четких границ и не
всегда выполняются одинаково полно. Все зависит от уровня знаний и умений
решающего. Каждый из этапов решения задачи подразумевает выполнение неких
действий, которые могут являться компонентами алгоритмического мышления.
Важнейшим этапом решения задачи является первый этап – анализ задачи. Цель
этапа – понять задачу, т.е. выделить все множества и отношения, величины и зависимости
между ними, числовые данные, лексическое значение слов.
Результатом выполнения этого этапа является понимание задачи, так как с точки
зрения психологии восприятие текста – это его понимание. Чтобы добиться понимания
задачи, полезно воспользоваться разными приемами, которые накопились в современной
методике.
Возможности выполнения анализа задачи:
• драматизация, обыгрывание задачи;
• разбиение текста задачи на смысловые части;
• постановка специальных вопросов;
• переформулировка текста;
• перефразирование задачи (заменить термин содержанием; заменить описание
термином, словом; заменить слово синонимом; убрать несущественные слова;
конкретизировать, добавив не меняющие смысл подробности);
• построение модели (схема, рисунок, таблица, чертеж, предметная модель,
выражение);
• определение вида задачи и выполнение соответствующей схемы – краткой
записи.
На данном этапе эффективнее всего использовать метод математического
моделирования, он предполагает применение большинства из выше перечисленных
приемов, тем самым делая анализ задачи более точным. Метод математического
моделирование предполагает выполнение алгоритма построения модели, поэтому можно
говорить о развитии алгоритмического мышления в ходе анализа задачи.
Второй этап – поиск и составление плана решения задачи. Данный этап требует
рассуждений, но если их осуществлять устно, как часто бывает, то многие учащиеся не
освоят умения искать план решения задачи. Нужны приемы графической фиксации
подобных рассуждений.
Возможности выполнения этапа:
• рассуждения (от условия к вопросу; от вопроса к условию; по модели; по
словесному заданию отношений);
• составление уравнения;
• частный подход решения задач, название вида, типа задачи.
Этот этап также требует выполнение действий, свойственных алгоритмическому
мышлению, так как составление плана решения есть составление мини-алгоритма,
который решающий будет соблюдать в последующем.
Третий этап решения задачи – осуществление плана решения задачи. Наиболее
существенный этап, особенно при арифметическом решении задачи. Цель этапа –
13
выполнить операции в соответствующей математической области (арифметика, алгебра,
геометрия, логика и др.) устно или письменно.
Возможности выполнения этапа:
• арифметические действия, оформленные выражением, по действиям (без
пояснения, с пояснением, с вопросами);
• измерение, счет на модели;
• решение уравнений, неравенств, их систем;
• логические операции.
Четвертый этап – проверка выполненного решения. Цель этапа – убедиться в
истинности выбранного плана и выполненных действий, после чего сформулировать ответ
задачи. Это самый нелегальный этап. Большинство учителей убеждено в том, что если
дети во время решения задачи проверяли себя (по действиям с пояснением или с
вопросами), то в другой проверке они не нуждаются.
Возможности выполнения этапа:
До решения:
• прикидка ответа или установление границ с точки зрения здравого смысла, без
математики.
Во время решения:
• по смыслу полученных выражений;
• осмысление хода решения по вопросам.
После решения задачи:
• решение другим способом;
• решение другим методом;
• подстановка результата в условие;
• сравнение с образцом;
• составление и решение обратной задачи.
Все четыре этапа решения задачи одинаково важны. Только выполнение всех
этапов позволяет считать решение завершенным полностью.
14
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Комплекс текстовых задач, направленных на применение метода
математического моделирования
На движение.
1. Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде равна 10 км/час, проплыла по
течению 91 км и вернулась обратно. Вычислите скорость течения реки, если лодка
провела в пути 20 часов.
2. Из города А со скоростью 48 км/ч выехал мотоцикл. Через 50 мин. В том же
направлении со скоростью 63 км/ч выехал автомобиль. Через сколько времени после
выезда автомобиля расстояние между ним и мотоциклом окажется равным 42 км ?
3. В соревнованиях участвовали три байдарки. Первая байдарка проходит каждые
100 м на 2 сек быстрее второй и на 3 сек быстрее третьей. За сколько секунд вторая
байдарка прошла один километр, если за каждые 30 сек вторая байдарка опережает
третью на 60/13 м?
4. Пешеход и велосипедист отправляются из городов А и В, расстояние между
которыми равно 40 км., и встречаются спустя 2 часа после отправления. Затем они
продолжают путь, причем велосипедист прибывает в город А на 7 ч. 30 мин. раньше, чем
пешеход в город В. Найти скорость пешехода и велосипедиста.
5. От пристани А одновременно отправились вниз по течению катер и плот. Катер
спустился вниз по течению на 96 км. и вернулся в А через 14 часов. Найти скорость катера
в стоячей воде и скорость течения, если известно, что катер встретил плот на обратном
пути на расстоянии 24 км от А.
6. Найдите скорость и длину поезда, зная, что он проходит с постоянной
скоростью мимо неподвижного наблюдателя в течении 7 с и тратит 25 с на то, чтобы
проехать с той же скоростью вдоль платформы длиной 378 метров.
7. После встречи двух пароходов один из них пошел на юг, а другой — на запад.
Через два часа после встречи расстояние между ними стало 60 км. Найдите скорость
каждого парохода, если известно, что скорость одного из них была на 6 км/час больше
скорости второго.
8. Расстояние между пунктами А и В, равное 80 км, второй грузовик проезжает на
два часа быстрее первого. За сколько часов первый грузовик пройдет путь из А в В и
обратно, если за один час, двигаясь навстречу друг другу, они вместе пройдут % пути от А
до В.
9. Из одного и того же города вышли два поезда, причем первый из них прошел
240 км, а второй 300 км. Скорость первого поезда на 10 км/час больше скорости второго, а
на весь путь первый потратил на 4 часа меньше, чем второй на свой путь. Определить
скорости поездов.
10.
Автомобиль, пройдя путь от А до В, равный 300 км, повернул назад и после
1 ч 20 мин после выхода из В увеличил скорость на 16 км/ч. В результате на обратный
путь он затратил на 48 мин меньше, чем на путь из А в В. Найти первоначальную скорость
автомобиля.
11.
Велосипедист проехал 96 км на два часа быстрее, чем предполагал. При
этом за каждый час он проезжал на 1 км больше, чем ранее предполагал проезжать за 1 ч
15 мин. С какой скоростью он ехал?
12.
Два велосипедиста выехали навстречу друг другу из пунктов А и В,
расстояние между которыми равно 28 км. Через час езды они встретились, и не
останавливаясь, продолжили ехать с той же скоростью. Первый прибыл в пункт В на 35
минут раньше, чем второй в пункт А. Какова скорость каждого велосипедиста?
13.
Из пункта А в пункт В выехал велосипедист, а через четверть часа вслед за
ним выехал автомобиль. На половине пути от А до В автомобиль догнал велосипедиста.
15
Когда автомобиль прибыл в пункт В, велосипедисту оставалось проехать еще треть пути.
За сколько минут велосипедист проехал путь от А до В, если известно, что скорости
велосипедиста и автомобиля постоянны на всем пути от пункта А до пункта В?
14.
В гору ехал автомобиль. В первую секунду после достижения пункта А он
проехал 30 м, а в каждую следующую секунду он проезжал на 2 м меньше, чем в
предыдущую. Через 9 сек после того, как автомобиль достиг пункта А, навстречу ему
выехал автобус из пункта В, находящегося на расстоянии 258 метров от пункта А. В
первую секунду автобус проехал 2 м, а в каждую следующую он проезжал на 1 м больше,
чем в предыдущую. Какое расстояние проехал автобус до встречи с автомобилем?
15.
Из пункта А в пункт В выехал велосипедист. В тот момент, когда он проехал
% пути между А и В, из В в А выехал мотоциклист, который, прибыв в А, не
задерживаясь, повернул обратно и одновременно с велосипедистом прибыл в В. Время
движения мотоциклиста до первой встречи с велосипедистом равно времени движения
мотоциклиста из А в В. Считая скорости мотоциклиста при движении из А в В и из В в А
различными, найти, во сколько раз скорость мотоциклиста при движении из А в В больше
скорости велосипедиста.
На проценты и сплавы.
1. Определите первоначальную стоимость продукта, если после подорожания
соответственно на 120%, 200% и 100% его конечная стоимость составила 264 р.
2. Цена некоторого товара увеличилась на 20%, а затем снизилась на 20%. На
сколько в итоге изменилась стоимость товара ?
3. Цена на товар была повышена на 25 %. На сколько процентов ее надо снизить,
чтобы получить первоначальную цену товара ?
4. В течение года завод дважды увеличивал выпуск продукции на одно и тоже
число процентов. Найти это число, если известно что в начале года завод ежемесячно
выпускал 600 изделий, а в конце года завод ежемесячно выпускал 726 изделий.
5. К 1,5 кг 10% раствора соли добавили 2,5 кг 16% раствора этой же соли. Найти
концентрацию соли в смеси.
6. Сколько килограммов воды нужно добавить к 20 кг 5% раствора соли в воде,
чтобы получить 4% раствор ?
7. Свежие фрукты содержат 72% воды, а сухие 20% воды. Сколько фруктов
получится из 20 кг свежих ?
8. К 20 кг 4 % раствора соли в воде добавили 30 кг 5% раствора, а затем 8 % воды
выпарили. Найти концентрацию соли в полученном растворе.
9. Из двух сплавов с 60% и 80% содержанием меди требуется получить 40 кг
сплава с 75% содержанием меди. Сколько килограммов каждого сплава следует взять ?
10.
Кусок сплава меди и цинка массой в 36 кг.содержит 45 % меди. Какую массу
меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60 % меди
?
11.
Один сплав меди с оловом содержит эти металлы в отношении 2:3, а другой
- в отношении 3:7. В каком количестве необходимо взять эти сплавы, чтобы получить 12
кг нового сплава, в котором медь и олово содержались бы в отношении 3:5 ?
12.
Объем строительных работ увеличился на 80%. На сколько процентов надо
увеличить число рабочих, если производительность труда повысится на 25% ?
13.
Собрали 100 кг грибов, влажность которых составила 99%. Когда грибы
подсушили, их влажность снизилась до 98%. Какова стала их масса ?
14.
Смешали 1 кг 30% раствора соли с 2 кг раствора этой же соли меньшей
концентрации. В результате получили 3 кг 25% раствора. Найти концентрацию второго
раствора.
15.
Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля в 5% и 40%. Сколько
нужно взять каждого из этих сортов стали, чтобы получить 140 т стали с содержанием
никеля в 30% ?
16
На работу.
1. Две бригады вместе обработали участок земли за 12 часов. За какое время могла
бы обработать этот участок каждая из бригад в отдельности, если производительности
труда бригад относятся как 3:2?
2. Двое рабочих вместе выполняют некоторое задание за 8 часов. Первый из них,
работая отдельно, может выполнить все задание на 12 часов быстрее, чем второй. За
сколько часов каждый из них, работая отдельно, может выполнить все задание?
3. Двое рабочих выполняют всю работу за 10 дней, причем последние 2 дня
первый из них не работал. За сколько времени первый рабочий выполнил бы всю работу,
если известно, что за первые 7 дней они вместе выполнили 80 % всей работы ?
4. Бригада маляров начала красить цех. Через 5 дней вторая бригада начала
красить другой такой же цех и закончила покраску одновременно с первой. Если бы они
стали красить первый цех вместе, то им понадобилось бы на это 6 дней. Сколько времени
первая бригада красила цех?
5. Бак наполняется двумя кранами А и В. Наполнение бака только через кран А
длится на 22 минуты дольше, чем через кран В. Если открыть оба крана, то бак
наполнится за 1 час. За какой промежуток времени может наполниться бак, если будет
открыт только кран В?
6. Две бригады рабочих, работая одновременно, могут выполнить всю работу в 8
7. дней. Если бы работало 2/3 рабочих и 0,8 второй, то работа была бы выполнена в
11, 25 дней.
8. Во сколько дней могла бы выполнить эту работу каждая бригада в отдельности ?
9. Экскаватор роет котлован. После того, как было вынуто 20 м3 грунта,
10.
производительность экскаватора снизилась на 5 м3/час. Найдите
первоначальную
11.
производительность экскаватора, если через 8 часов работы было вынуто 50
м3 грунта.
12.
В бассейн проведены две трубы разного сечения - равномерно подающая,
другая -равномерно отводящая воду, причем через первую бассейн наполняется на 2 часа
дольше, чем через вторую опорожняется. При заполненном на 1/3 бассейне были открыты
обе трубы и бассейн оказался пустым спустя 8 часов. За сколько часов, действуя отдельно,
первая труба наполняет, а вторая опорожняет бассейн ?
13.
Три тракторные бригады вместе вспахивают поле за 4 дня. Первая и вторая
бригады вместе вспахали бы это поле за 6 дней, а первая и третья вместе — за 8 дней. Во
сколько раз вторая бригада вспахивает за день больше, чем третья?
14.
Двум рабочим было поручено изготовить партию одинаковых деталей.
После того, как первый проработал 7 часов и второй 4 часа, оказалось, что они выполнили
5/9 всей работы. Проработав совместно еще 4 часа, они установили, что им осталось
выполнить 1/18 всей работы. За сколько часов каждый из рабочих, работая отдельно, мог
бы выполнить всю работу?
15.
Первая бригада выполняет работу на 2 часа быстрее второй бригады и на 7
часов медленнее, чем обе бригады, работающие одновременно. Выполнят ли бригады,
работающие одновременно, эту работу быстрее, чем за 7 час. 57 мин.?
17
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Методика применения метода математического моделирования
Задача 1: «Из двух пунктов, расстояние между которыми 7 км 500 м,
одновременно в одном направлении вышел пешеход со скоростью 6 км/ч и выехал
автобус. Определите скорость автобуса, если он догнал пешехода через 15 мин?»
- Читаем внимательно задачу.
- Давайте к этой задаче составим чертеж.
- Что нам уже известно? (Из двух пунктов одновременно в одном направлении
вышел пешеход и выехал автобус)
- Отметим это на чертеже.
? км/ч
6 км/ч
7 км 500 м
tвстр = 15 мин
- Что еще известно? (Расстояние между пунктами 7 км 500 м; скорость пешехода 6
км/ч; автобус догнал пешехода через 15 мин)
- Отметим все данные на чертеже.
- Что нужно узнать в задаче? (Скорость автобуса)
- Можем сразу ее найти? (Нет)
- Почему? (Не знаем расстояние, которое прошел пешеход за 15 мин)
- А можем это узнать? (Да)
- Как? (Скорость умножить на время)
- А сейчас можем ответить на главный вопрос задачи? (Нет)
- Почему? (Так как не знаем путь, который проехал автобус)
- Можем это узнать? (Да)
- Как узнаем? (К расстоянию между пунктами прибавим тот путь, который прошел
пешеход за 15 мин)
- Можем теперь ответить на вопрос задачи? (Да)
- Как? (Надо весь путь, который проехал автобус, разделить на время)
- Итак, во сколько действий решается задача? (В 3 действия)
- Записываем решение:
1
15 мин = ч
4
1
1) 6 ∙ 4 = 1,5 (км) – прошел пешеход за 15 мин.
2) 7,5 + 1,5 = 9 (км) – прошел автобус до того, как догнал пешехода.
1
3) 9 ∙ 4= 36 (км/ч) – скорость автобуса.
Ответ: 36 км/ч.
Задача 2: «Два поезда вышли в разное время навстречу друг другу из двух городов,
расстояние между которыми 782 км. Скорость первого поезда 52 км/ч, а второго 61 км/ч.
Пройдя 416 км, первый поезд встретился со вторым. На сколько один из поездов вышел
раньше другого?»
- Читаем внимательно задачу.
- Давайте к этой задаче составим чертеж.
- Что нам известно в задаче? (Два поезда вышли в разное время навстречу друг
другу из двух городов)
18
52 км/ч
61 км/ч
416 км
782 км
- Отметим это на чертеже.
-Что еще известно? (Расстояние между городами 782 км; скорость первого поезда
52 км/ч, а второго 61 км/ч)
- Отметим все данные на чертеже.
- Что нам еще дано? (Пройдя 416 км, первый поезд встретился со вторым)
- Покажем это на чертеже.
- Что нужно узнать в задаче? (На сколько один из поездов вышел раньше другого?)
- Можем сразу на него ответить? (Нет)
- Почему? (Не знаем, сколько часов ехал первый поезд)
- Можем это найти? (Да)
- Как? (Надо расстояние, которое прошел первый поезд, разделить на скорость)
- А сейчас можем ответить на главный вопрос? (Нет)
- Почему? (Сначала надо найти расстояние, которое прошел второй поезд)
- Можем найти это расстояние? (Да)
- Как найдем? (Нужно из расстояния между городами вычесть то расстояние,
которое прошел первый поезд)
- Теперь мы можем ответить на главный вопрос? (Нет, так как мы не знаем, сколько
часов ехал второй поезд)
- Можем это узнать? (Да)
- Как узнаем? (Надо расстояние, которое прошел второй поезд, разделить на время)
- А сейчас можем ответить на главный вопрос? (Да)
- Что для этого нужно сделать? (Надо из времени, которое шел первый поезд,
вычесть то время, которое шел второй поезд)
- Итак, во сколько действий решили задачу? (В 4 действия)
- Записываем решение:
1) 416 ÷ 52 = 8 (ч) – шел первый поезд.
2) 782 − 416 = 366 (км) – прошел второй поезд.
3) 366 ÷ 61 = 6 (ч) – шел второй поезд.
4) 8 − 6 = 2 (ч) – на это время первый поезд вышел раньше второго.
Ответ: на 2 часа.
Таким образом, можно составить алгоритм, по которому учащиеся могут решать
текстовые задачи методом математического моделирования:
1) Внимательно прочитать задачу.
2) Определить, что известно в задаче.
3) Проверить соответствие единиц измерения величин.
4) Определить зависимость между известными и неизвестными величинами и
перевести их на математический язык в виде таблицы, схемы и т.д.
5) Пользуясь составленной моделью, составить план действий и решить задачу.
6) Проверить соответствие полученного ответа реальному процессу.
Анализируя данные выше решения тестовых задач, отметим, что при решении
задач на движение использовалась графическая модель – чертеж, однако
распространенным видом математических моделей являются уравнения. Математическое
моделирование включает в себя три этапа:
19
1) построение модели (перевод условия задачи на математический язык);
2) работу с моделью;
3) практический вывод.
В соответствии с этим и решение задач с помощью уравнений состоит из трех
этапов:
1) составление уравнения;
2) решение уравнения;
3) ответ на вопрос задачи.
Составление уравнение начинается с выбора неизвестной величины, которую
обозначают буквой x(или любой другой буквой). Для этого, прежде всего, надо
определить, о каких величинах идет речь в задаче, какая между ними взаимосвязь, какие
из величин известны, а какие нет.
Обычно за xпринимают искомую величину, однако это совсем не обязательно.
Лучше обозначать величины так, чтобы получилось более простое и удобное для решения
уравнение.
Есть еще один важный момент, на который нужно обращать внимание при
составлении уравнения – это соответствие единиц измерения величин. Если, например,
скорость движения выражена в километрах в час, а время в минутах, то необходимо или
время выразить в часах, или скорость – в километрах в минуту.
Решая задачу с помощью уравнения, надо помнить о том, что не всегда корни
уравнения представляют собой искомые величины. Поэтому перед тем, как записать
ответ, надо сопоставить введенные обозначения с вопросом задачи.
Кроме того, ответ должен соответствовать реальности. Например, если получилось,
что в классе 25,8 учащихся, то либо задача составлена не корректно, либо в решении
допущена ошибка.
Итак, при решении задач с помощью уравнений можно руководствоваться
следующим алгоритмом:
1) Внимательно прочитать задачу.
2) Определить, какие величины известны, а какие – нет.
3) Проверить соответствие единиц измерения величин.
4) Одну из неизвестных величин обозначить буквой x(или любой другой буквой).
5) Выразить через xзначения других неизвестных величин, используя при
необходимости таблицы и схемы.
6) Составить уравнение.
7) Соотнести корень уравнения с вопросом задачи.
8) Проверить соответствие полученного ответа реальному процессу.
Приведем пример решения задачи с помощью уравнений.
Задача 3: «В первой бочке было в 2 раза меньше огурцов, чем во втором. После
того как из первой бочки взяли 500 г огурцов, а из второй – 6 кг, во второй бочке осталось
на 60% огурцов больше, чем в первой. Сколько огурцов было во второй бочке
первоначально?»
1 этап. Прежде всего, заметим, что масса огурцов выражена в разных единицах.
Переведем граммы в килограммы: 500 г = 0,5 кг.
В задаче требуется найти исходную массу огурцов во второй бочке. Но за xудобнее
принять исходную массу огурцов в первой бочке, так как она меньше и у нас не появится
дробей.
Для того чтобы составить уравнение, заполним таблицу.
Масса огурцов в 1 бочке
Масса огурцов во 2 бочке
Было
𝑥кг
2𝑥кг
Стало
(𝑥 – 0,5) кг
(2𝑥 – 6)кг
20
Заметим, что, составляя таблицу, делая к задаче рисунок или чертеж, мы также
составляем математическую модель данной задачи, которая называется графической, что
во многих случаях позволяет нам облегчить решение задачи.
Решение:
1) 100% + 60% = 160% - составляет масса огурцов, оставшихся во второй бочке от
массы огурцов, оставшихся в первой бочке.
2) Пусть в первой бочке было xкг огурцов, тогда во второй бочке было 2xкг огурцов. В
первой бочке осталось (𝑥 – 0,5) кг, а во второй – (2𝑥 – 6)кг огурцов. Масса огурцов,
оставшихся в первой бочке, составляет 160% от массы огурцов, оставшихся во второй
бочке, тогда составим уравнение: 2𝑥 − 6 = 1,6 ∙ (𝑥 − 0,5)
2 этап. Решаем полученное уравнение:
2𝑥 − 6 = 1,6𝑥 − 0,8
0,4𝑥 = 5,2
𝑥 = 13
13 кг огурцов было в первой бочке
3) 13 ∙ 2 = 26(кг)
3 этап. Ответ: во второй бочке было 26 кг огурцов.
В 8 классе учащиеся знакомятся с системами уравнений и методами их решения,
поэтому появляются задачи на составление систем уравнений, здесь также целесообразно
использовать метод математического моделирования, иногда потребуется составлять
вспомогательную графическую модель. Рассмотрим это при решении следующей задачи.
Задача 4: «Расстояние между двумя городами скорый поезд проходит на 4 часа
быстрее товарного и на 1 час быстрее пассажирского. Найти скорости товарного и скорого
5
поездов, если известно, что скорость товарного поезда составляет 8 от скорости
пассажирского и на 50 км/ч меньше скорости скорого»
Решение задачи.
Отвечаем на вопросы, поэтапно составляя таблицу.
1. Речь идёт о процессе движения, которое характеризуется тремя величинами:
расстояние, скорость, время (3 столбца таблицы).
2. В задаче 3 процесса: движение скорого, пассажирского и товарного поездов (3
строчки таблицы).
Можно составить таблицу.
Величины
Расстояние (км)
Скорость (км/ч)
Время (ч)
Процессы
Скорый поезд
Пассажирский поезд
Товарный поезд
3. Заполняем таблицу в соответствии с условиями задачи.
4. Вводим неизвестные величины: 𝑥км/ч – скорость товарного поезда (𝑥 > 0), у, ч –
время движения скорого поезда (𝑦 > 0).
Величины
Расстояние (км)
Скорость (км/ч)
Время (ч)
Процессы
Скорый поезд
(х + 50)у
х + 50 ?
у
8
8
Пассажирский
у+1
х(у + 1)
х
поезд
5
5
Товарный
х(у + 4)
х?
у+4
поезд
5. Составим модель: {
(𝑥 + 50)𝑦 =
8
5
8
5
𝑥(𝑦 + 1),
𝑥(𝑦 + 1) = 𝑥(𝑦 + 4).
21
6. Решаем эту систему. Из первого уравнения находим 𝑦. Из второго уравнения
находим 𝑥.
𝑥 = 50 (км/ч) – скорость товарного поезда.
50+50 = 100 (км/ч) – скорость скорого поезда.
7. Проверка по условию задачи.
50км/ч – скорость товарного поезда,
4 + 4 = 8 (ч) – время движения товарного поезда.
50 ∙ 8 = 400 (км) – расстояние, которое прошёл товарный поезд.
8
50 ∙ 5 = 80 (км/ч) – скорость пассажирского поезда.
4 + 1 = 5 (ч) – время движения пассажирского поезда.
80 ∙ 5 = 400 (км) – расстояние, которое прошёл пассажирский поезд.
4ч – время движения скорого поезда.
50 + 50 = 100 (км/ч) – скорость скорого поезда.
100 ∙ 4 = 400 (км) – расстояние, которое прошёл скорый поезд.
Каждый поезд прошёл одно и то же расстояние.
Задача решена верно.
Ответ: 50 км/ч, 100 км/ч.
Примеры конкретных алгоритмов решения текстовых задач
Алгоритм решения задач на совместную работу.
1. Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить за 1.
1
2. Находим производительность труда каждого рабочего в отдельности, т.е. 𝑡 , где
𝑡 – время, за которое этот рабочий может выполнить всю работу, работая отдельно.
3. Находим ту часть всей работы, которую выполняет каждый рабочий отдельно
за то время, которое он работал.
4. Составляем уравнение, приравнивая объем всей работы к сумме слагаемых,
каждое из которых есть часть всей работы, выполненная отдельно каждым из рабочих.
Задача №1
Один комбайнер может убрать урожай пшеницы с участка на 24 ч быстрее, чем
другой. При совместной работе они закончат уборку урожая за 35 часов. Сколько времени
потребуется каждому комбайнеру, чтобы одному убрать урожай?
Решение.
1. Принимаем площадь участка, с которого необходимо собрать урожай, за 1.
2. Пусть 𝑥 – время, необходимое первому комбайнеру для уборки всего урожая, 𝑦 1
время, необходимое второму комбайнеру для уборки всего урожая. Тогда 𝑥 –
1
производительность первого комбайнера,𝑦 – производительность второго комбайнера.
1
3. 𝑥 ∙ 35 – часть участка, с которого может убрать урожай первый комбайнер за 35
1
часов работы, 𝑦 ∙ 35 – часть участка, с которого может убрать урожай второй комбайнер за
35 часов работы.
35
+
35
= 1,
𝑦
4.Составим систему уравнений: { 𝑥
𝑥 = 24 + 𝑦.
5. Решение системы: 𝑦 = 60, 𝑥 = 84
Ответ: для уборки всего урожая первому комбайнеру потребуется 84 часа, второму
– 60 часов.
Задача №2
22
Две бригады, работая совместно, могут выполнить некоторое задание за 3 ч 36 мин.
Сколько времени затратит на выполнение этого задания каждая бригада, работая в
отдельности, если известно, что первой бригаде требуется для этого на 3 часа больше
времени, чем второй.
Задача №3
Мастер и ученик должны были выполнить некоторое задание. После четырех дней
совместной работы ученик был переведен в другой цех, и, чтобы закончить выполнение
задания, мастеру пришлось еще 2 дня работать одному. За сколько дней мог бы
выполнить каждый из них это задание, если известно, что мастеру для этого требуется на
3 дня меньше, чем ученику?
Алгоритм решения задач, в которых используется формула двузначного
числа.
1. Вводится обозначение:
𝑥 – цифра десятков
𝑦 – цифра единиц
2. Искомое двузначное число 10𝑥 + 𝑦
3. Составить систему уравнений
Задача №1.
Двузначное число в четыре раза больше суммы его цифр. Если к этому числу
прибавить произведение его цифр, то получится 32. Найдите это двузначное число.
Решение.
1. 𝑥 – цифра десятков, 𝑦 – цифра единиц.
2. 10𝑥 + 𝑦 – искомое число.
10𝑥 + 𝑦 = 4(𝑥 + 𝑦),
3. Составим систему уравнений: {
10𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦 = 32.
4. Решение системы: 𝑥1 = −8 (посторонний корень) 𝑥2 = 2, тогда 𝑦 = 4.
Ответ: 24.
Задача №2.
Двузначное число в трое больше суммы его цифр. Если из этого числа вычесть
произведение его цифр, то получится 13. Найдите это двузначное число.
Задача №3.
Двузначное число в шесть раз больше суммы его цифр. Если это число сложить с
произведением его цифр, то получится 74. Найдите это число.
Задача №4.
Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 13. Если от этого числа отнять 9,
то получим число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти число.
Задача №5.
Произведение цифр двузначного числа в три раза меньше самого числа. Если к
искомому числу прибавить 18, то получится число, написанное теми же цифрами, но в
обратном порядке. Найти это число.
Алгоритм решения задач на смеси.
1. 𝑥 – масса первого раствора, 𝑦 – масса второго раствора, (𝑥 + 𝑦) – масса
полученной смеси.
2. Найти
содержание
растворенного
вещества
в
растворах,
т.е.
𝑎 % от 𝑥, 𝑏 % от 𝑥, 𝑐 % от (𝑥 + 𝑦)
3. Составить систему уравнений.
Задача №1
Смешали 30% -ный раствор соляной кислоты с 10% -ным и получили 600г 15% ого раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?
Решение.
1. Введем обозначение. Пусть взяли 𝑥г первого раствора, 𝑦 г – второго раствора,
тогда масса третьего раствора – (𝑥 + 𝑦).
23
2. Определим количество растворенного вещества в первом, втором, третьем
растворах, т.е. найдем 30% от 𝑥, 10% от 𝑦, 15% от 600.
𝑥 + 𝑦 = 600,
3. Составим систему уравнений: {
0,3𝑥 + 0,1𝑦 = 90.
4. Решение сиcтемы: 𝑥 = 150, 𝑦 = 600 – 150 = 450
Ответ: взяли 150 г первого раствора и 450 г второго раствора.
Задача №2
Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно
взять металла каждого их этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием 30%
никеля?
Задача №3
Смешали 10% -ный и 25% -ный растворы соли и получили 3 кг 20% -ного раствора.
Какое количество каждого раствора в килограммах было использовано?
24