Контрольная работа по математике скачана с сайта кампании «Решение контрольных... математике.ru» Если вам необходима помощь в решение задач по математике обращайтесь

Контрольная работа по математике скачана с сайта кампании «Решение контрольных по
математике.ru» - http://www.reshenie-kontrolnyh-po-matematike.ru/
Если вам необходима помощь в решение задач по математике обращайтесь
http://www.reshenie-kontrolnyh-po-matematike.ru/
Контакты: тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: [email protected], Дмитрий
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №4
Задание 1. Автомобильный концерн "Кайзер", выпускающий мощный
автомобиль
"Родео"
с
большим
определенными
трудностями,
конкурирующего
концерна
расходом
топлива,
вызванными
"Топаз".
столкнулся
давлением
Эксперты
выделили
на
с
рынке
следующие
основные стратегии на рынке:
A1- продолжать выпуск "Родео";
А2 - перейти к выпуску малолитражного автомобиля;
A3- внедрить среднелитражный автомобиль нового поколения;
Конкурирующий
концерн
"Топаз"
располагает
3
возможными
стратегиями:
B1 - внедрить на рынок свой новый автомобиль-малютку;
В2 - разработать автомобиль среднего класса;
В3- продолжить выпуск старого автомобиля с мощным мотором и
большим расходом топлива.
Варианты возможных матриц выигрыша концерна "Кайзер" даны ниже. (При
этом предполагается, что выигрыш одного конкурента равен проигрышу
другого).
Вариант 1
В1
В2
В3
А1
-2
1
5
А2
4
0
2
А3
3
2
3
Найти оптимальные стратегии обоих игроков.
Решение:
Контрольная работа по математике скачана с сайта кампании «Решение контрольных по
математике.ru» - http://www.reshenie-kontrolnyh-po-matematike.ru/
Если вам необходима помощь в решение задач по математике обращайтесь
http://www.reshenie-kontrolnyh-po-matematike.ru/
Контакты: тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: [email protected], Дмитрий
Определим – имеет ли матрица седловую точку.
Находим нижнюю цену игры:   max min строк  max  2;0;2  2 .
Находим верхнюю цену игры:   min max столбцов  min 4;2;5  2
Так как    , то матричная игра имеет решение в чистых стратегиях.
Оптимальная чистая стратегия первого игрока (концерн "Кайзер") – вторая
(перейти к выпуску малолитражного автомобиля); оптимальная чистая
стратегия второго игрока (концерн "Топаз") – тоже вторая (разработать
автомобиль среднего класса).
Цена игры в этом случае равна: v      2 .
Задание 2. Фирма планирует выпуск двух видов телевизоров A1 и А2,
прибыль от продажи которых зависит от возможных стратегий B1, B2, B3
основного конкурента фирмы. Матрицы выигрышей (прибыли) фирмы в
зависимости от вида телевизора A1, А2 и стратегий B1, B2, B3 основного
конкурента даны ниже по вариантам. Найдите оптимальные смешанные
стратегии фирмы и ее конкурента.
Вариант 1
B1
B2
B3
А1
2
3
4
А2
6
5
3
Решение:
B1
B2
B3
ai  min( A j )
А1
2
3
4
2
А2
6
5
3
3
b j  max( Ai )
6
5
4
Контрольная работа по математике скачана с сайта кампании «Решение контрольных по
математике.ru» - http://www.reshenie-kontrolnyh-po-matematike.ru/
Если вам необходима помощь в решение задач по математике обращайтесь
http://www.reshenie-kontrolnyh-po-matematike.ru/
Контакты: тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: [email protected], Дмитрий
Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры:
α = max(ai) = 3, которая указывает на максимальную чистую стратегию A2.
Верхняя цена игры β = min(bj) = 4.
Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как α ≠ β, тогда цена
игры находится в пределах 3  v  4. Находим решение игры в смешанных
стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику
свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно
решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным
образом (смешивать чистые стратегии).
Решим задачу геометрическим методом, который включает в себя
следующие этапы:
1. В декартовой системе координат по оси абсцисс откладывается отрезок,
длина которого равна 1. Левый конец отрезка (точка х = 0) соответствует
стратегии A1, правый - стратегии A2 (x = 1). Промежуточные точки х
соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий S1 = (p1,p2).
2. На левой оси ординат откладываются выигрыши стратегии A1. На линии,
параллельной оси ординат, из точки 1 откладываются выигрыши стратегии
A2.
Решение игры (2 x n) проводим с позиции игрока A, придерживающегося
максиминной стратегии. Доминирующихся и дублирующих стратегий ни у
одного из игроков нет.
Контрольная работа по математике скачана с сайта кампании «Решение контрольных по
математике.ru» - http://www.reshenie-kontrolnyh-po-matematike.ru/
Если вам необходима помощь в решение задач по математике обращайтесь
http://www.reshenie-kontrolnyh-po-matematike.ru/
Контакты: тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: [email protected], Дмитрий
Максиминной оптимальной стратегии игрока A соответствует точка N,
лежащая на пересечении прямых B1B1 и B3B3, для которых можно записать
следующую систему уравнений:
v = 2 + (6 - 2)p2
v = 4 + (3 - 4)p2
2+4p2=4-p2
5p2=2
p2=2/5
p1 = 1-p2 = 1 - 2/5 = 3/5
3 2
 ;  - оптимальная смешанная стратегия первого игрока.
5 5
Цена игры v = 33/5.
Контрольная работа по математике скачана с сайта кампании «Решение контрольных по
математике.ru» - http://www.reshenie-kontrolnyh-po-matematike.ru/
Если вам необходима помощь в решение задач по математике обращайтесь
http://www.reshenie-kontrolnyh-po-matematike.ru/
Контакты: тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: [email protected], Дмитрий
Теперь
можно
найти
минимаксную
стратегию
игрока
B,
записав
соответствующую систему уравнений, исключив стратегию B2, которая дает
явно больший проигрыш игроку B, и, следовательно, q2 = 0.
2q1+4q3 = v
6q1+3q3 = v
q1+q3 = 1
или
2q1+4q3 = 33/5
6q1+3q3 = 33/5
q1+q3 = 1
Решая эту систему, находим:
q1 = 1/5
q3 = 4/5
1 4
 ;0;  - оптимальная смешанная стратегия второго игрока.
5 5
3 2
1 4
Ответ:  ;  - оптимальная смешанная стратегия первого игрока;  ;0;  5 5
5
5
оптимальная смешанная стратегия второго игрока.
Задание 3. Дана матрица игры с рынком, где Вj – конъюнктура,
складывающаяся на рынке, Аi – стратегия игрока. Известны вероятности
состояний Вj: р1=1/16, р2=1/8, р3=1/4, р4=9/16. Найти оптимальную
стратегию игрока по критерию максимального среднего выигрыша и
величину среднего выигрыша.
Контрольная работа по математике скачана с сайта кампании «Решение контрольных по
математике.ru» - http://www.reshenie-kontrolnyh-po-matematike.ru/
Если вам необходима помощь в решение задач по математике обращайтесь
http://www.reshenie-kontrolnyh-po-matematike.ru/
Контакты: тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: [email protected], Дмитрий
Решение:
Вычисляем
средний
выигрыш
(математическое
ожидание)
при
использовании первой стратегии:
М 1  1
1
1
1
9
 9  4  5  5
16
8
4
16
Аналогично вычисляем средний выигрыш (математическое ожидание) при
использовании второй и третий стратегий:
М2  7
1
1
1
9
 6   5   8   6,9375
16
8
4
16
М3  2
1
1
1
9
 3   4   10   7,125
16
8
4
16
Отсюда – оптимальная стратегия А3, средний выигрыш М 3  7,125 .
Задание 4. Дана матрица игры с рынком, где Вj – конъюнктура,
складывающаяся на рынке, Аi – стратегия игрока. Найти оптимальную
стратегию игрока по критерию Сэвиджа и максимальную величину риска при
использовании этой стратегии.
Решение:
Составляем матрицу рисков
Контрольная работа по математике скачана с сайта кампании «Решение контрольных по
математике.ru» - http://www.reshenie-kontrolnyh-po-matematike.ru/
Если вам необходима помощь в решение задач по математике обращайтесь
http://www.reshenie-kontrolnyh-po-matematike.ru/
Контакты: тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: [email protected], Дмитрий
 6  0 6  6 3  2 4  3  6 0 1 1

 

R=  6  4 6  5 3  3 4  4    2 1 0 0 
 6  6 6 1 3  1 4  2  0 5 4 2

 

Определяем максимальные значения рисков по строкам:
r1=6
r2=2
r3=5
min ri   min 6;2;5  r2  2
Следовательно, по критерию Сэвиджа оптимальная стратегия игрока –
вторая. Максимальная величина риска при использовании этой стратегии
равна 2.
Задание 5. Дана матрица игры с рынком, где Вj – конъюнктура,
складывающаяся на рынке, Аi – стратегия игрока. Найти оптимальную
стратегию игрока по критерию Гурвица с коэффициентом пессимизма λ=0,5 .
Решение:
Определяем величины: mi    max aij  (1   )  min aij
j
j
m1  0,5  8  (1  0,5)  0  4
m2  0,5  7  (1  0,5)  4  5,5
m3  0,5  9  (1  0,5)  1  5
По критерию Гурвица наиболее эффективна стратегия которой соответствует
max m j 
max 4;5,5;5  5,5  оптимальная стратегия игрока – вторая.
Контрольная работа по математике скачана с сайта кампании «Решение контрольных по
математике.ru» - http://www.reshenie-kontrolnyh-po-matematike.ru/
Если вам необходима помощь в решение задач по математике обращайтесь
http://www.reshenie-kontrolnyh-po-matematike.ru/
Контакты: тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: [email protected], Дмитрий