Глава 2 Функции многих переменных n 2.1 R , скалярное произведение, длина вектора, расстояние и их свойства. Функция многих переменных, область определения, линии уровня. График и координатные линии. Примеры. 2.2 Окрестности точек. Внутренние, граничные точки множества. Открытые и замкнутые множества. Ограниченные множества, области. Пределы функций в точке . Арифметические свойства пределов 2.3 Непрерывные функции многих переменных в точке. Их арифметические свойства. Непрерывность функций от одной переменной. Непрерывность суперпозиции. Непрерывность на множестве . Примеры. Ограниченные множества. Граничные точки, замкнутые множества. Теоремы Вайерштрасса. 2.4 Частные производные функций многих переменных и их геометрический смысл. Касательная плоскость к графику, ее уравнение. Условие существования касательной плоскости, дифференцируемость. Дифференциал, геометрический смысл и формула. Формула линеаризации и ее использование на примерах. 2.5 Теоремы о дифференцировании сложных функций. Примеры. Производная по направлению. Градиент. Его геометрический смысл. 2.6 Производные высших порядков. Теорема Шварца. Примеры. Локальный экстремум. Необходимое и достаточное условие. Пример. 2.7 Теорема Юнга для 2-х и 3-х переменных. Уравнение касательной к графику неявной функции. Свойство градиента. Примеры. n 2.1 R , расстояние и его свойства.Функция многих переменных, область определения, линии уровня. График и координатные линии. Примеры Прежде, чем приступить к изложению материала, напомним некоторые известные понятия, известные из алгебры. Постранством Rn называется множество упорядоченных наборов из n чисел, с покоординатными операциями сложения и умножения на число: Rn={ x (x1, x2,…,xn), xi R, _ i 1,..., n }, x y (x1, x2,…,xn)+(y1, y2,…,yn), =(x1 +y1 , x2 +y2,…,xn +yn), ax a*(x1, x2,…,xn), =(ax1, ax2,…,axn). Эти операции обладают многими естественными свойствами: Перстановочность сложения, разные правила раскрытия скобок, наличие нулевого элемента 0 (0,…,0) ( 0 x x 0 x ) и обратного элемента x (x1, -x2,…,-xn) ( x x x x 0 ). Тогда расстоянием между точками называется d ( x , y ) ( x1 y1 ) 2 ... ( xn y n ) 2 . Свойства расстояния следующие: 1) d ( x , y ) 0, _ d ( x , y ) 0 x y. 2) d ( x , y ) d ( y , x ). 3) d ( x , y ) d ( x , z ) d ( z , y ). Последнее неравенство называется неравенством треугольника. После этого введения перейдем к предмету этой главы. Определение 1.(функции многих переменных) Пусть какое-то подмножество . Тогда говорят, что задана функция n переменных с областью определения X R n , если для любой точки x ( x1 , x2 ,..., xn ) X единственным образом определено число f ( x ) f ( x1 , x2 ,..., xn ) R . Примеры. f ( x, y ) x 2 y 2 . Область определения x 2 y 2 0, _ x y . (рис.1) Определение 2.(поверхности уровня) Пусть f (x ) функция n переменных, определенная на множестве X R n . Тогда поверхность , принадлежащая X, на которой f ( x ) C , называется поверхностью уровня C _ для _ f ( x ). Замечание. Для размерности 2 поверхности уровня являются линиями и они называются линиями уровня. Пример. Нарисовать линии уровня 0,1, 2 для . f ( x, y) x 2 y 2 f(x,y)=C, x2-y2=C2 , При C=0 имеем x 2 y 2 0, _ x y . Это две прямые y x. При _ С 0 x2/C2-y2/C2=1-гипербола для С=1,2. (рис.2) Определение 3. (график) Пусть f (x ) функция n переменных, определенная на множестве X R n . Поверхность n+1- мерного пространства Г {x ( x1 , x2 ,..., xn , xn1 ) : ( x1 ,..., xn ) X , _ xn1 f ( x1 ,..., xn )} называется графиком функции f (x ). Пример. График функции 2 переменных-поверхность в 3-х мерном пространстве. Пусть f ( x, y) x 2 y 2 . График будет параболоидом вращения. (рис.3). Здесь линия уровня f ( x, y) x 2 y 2 С при С=0 будет точкой (0,0), а при С, большем 0-окружностью радиуса C , являющуюся проекцией окружности над графиком, расположенной на высоте С(на «уровне» С) над плоскостью XOY. Определение 4(координатные линии) Пусть f (x ) функция n переменных, определенная на множестве X R n . Г {x ( x1 , x2 ,..., xn , xn1 ) : ( x1 ,..., xn ) X , _ xn1 f ( x1 ,..., xn )} график функции f (x ). Тогда координатной k-линией на графике функции называется линия, проекция которой находится на координатной линии x ( x10 , x20 ,..., xk01 , xk , xk01 k 1 , xn0 ). Пример. На графике f ( x, y) x 2 y 2 координатными x-линиями будут параболы z=x2 +y02 в вертикальной плоскости y=y0 , координатными yлиниями будут параболы z=x02+y2 в вертикальной плоскости x=x0.(рис.4) 2.2 Окрестности точек. Внутренние, граничные точки множества. Открытые и замкнутые множества. Ограниченные множества, области. Пределы функций в точке . Арифметические свойства пределов Для перехода к определению пределов функций нужно определить окрестности точек в Rn . Определение 5(окрестность точки). -окрестностью точки x 0 называется множество точек, удаленных от x 0 менее, чем на . O ( x0 ) {x R n : d ( x , x0 ) . Примеры. На плоскости O ( x0 ) -круг радиуса с центром x 0 без окружности(рис.5а). В трехмерном пространстве это –шар радиуса с центром x 0 без граничной сферы(рис.5б) Определение 6(ограниченного множества) Множество A R n называется ограниченным, если оно целиком содержится в окрестности какой-то точки пространства. Примеры. Окрестность любой точки ограничена(содержится в себе самой). Треугольник на плоскости ограничен. Пирамида в пространстве ограничена(рис.6) Определение 7(внутренней точки множества) Пусть дано множество A R n . Точка x 0 называется внутренней точкой множества A ,если какая-то Окрестность x 0 целиком входит в множество A . Т.е. для некоторого 0 _ O ( x0 ) A. Определение 8(открытого множества) Множество A R n называется открытым, если все его точки внутренние. Примеры. Окрестность точки -открытое множество, так как все ее точки внутренние (рис.6в). Определение 9(граничной точки множества) Пусть дано множество A R n . Точка x 0 называется граничной точкой множества A ,если в любой окрестности x 0 есть как точки, входящие в множество A , так и точки, в него не входящие(эта точка как бы находится «между множеством и немножеством»). Примеры. 1. Круг на плоскости. Граничные точки-точки окружности. Действительно, для всякой точки окружности A и любой –окрестности A часть окрестности входит в круг(заштрихована), а часть –не входит(не заштрихована).Они граничные. А для точки B не на окружности есть -окрестность, вся лежащая в круге. Эти точки не гртаничные. (рис.7а) 2. Шар в пространстве. Граничные точки-точки сферы Действительно, для всякой точки сферы A и любой –окрестности A часть окрестности входит в шар(заштрихована), а часть –не входит(не заштрихована).Они граничные. А для точки B не на сфере есть -окрестность, вся лежащая в шаре. Эти точки не граничные. (рис.7б) 3. Заметим, что окрестность OR ( x ) R n имеет те же граничные точки, что и замкнутый шар с центром x радиуса R (см. рис. 7) Определение 10(замкнутого множества) Множество A R n называется замкнутым, если содержит все свои граничные точки. Примеры. Замкнутый шар-замкнутое множество, так как содержит границу-сферу. Окрестность точки-не замкнутое множество, так как не содержит границусферу(рис.7). Определение 11(области). Множество A R n называется областью, если оно открыто и ограничено. Пример. Окрестность точки- область(примеры к определению 6 и 8). Перейдем теперь к определению пределов функций многих переменных. На плоскости может встретиться последовательность точек x n ,n=1,2,… приближающаяся к какой-то точке a . (рис.8) Это можно выразить через расстояние: d ( xn , a ) 0 . n То же можно записать для точек R n . Определение 12(сходимости последовательности точек). Пусть x n R n , n 1,2,... Тогда говорят, что lim x n a , если lim d ( x n , a ) 0 n n d ( xn , a ) числовая последовательность. Вспомним, что означает lim d ( n x n , a ) 0 . По определению 0 _ _ N : при _ n N _ будет _ d ( xn , a ) . Т.е., если последовательность точек x n ,n=1,2,… приближается к какой-то точке a , то d ( xn , a ) 0 . n Заменяя последовательность любыми точками , будем понимать что x a _ означает _ d ( x , a ) 0, Становится меньше любого >0. Т.е. lim f ( x ) b мы заменяем x a lim f ( x ) b. Это аналогично пределу d ( x , a ) 0 функции одного числового переменного d ( x , a ) (Хотя f (x ) не есть функция d ( x , a )! ) Это означало, что f (x ) становится сколь угодно близкой к b( f ( x ) b _ 0 , если d ( x , a ) достаточно близка к 0(т.е. при d ( x , a ) , _ для _ некоторого _ 0. . Поэтому получаем Определение 13(предела функции многих переменных). Пусть функция f (x ) определена в некоторой окрестности O (a ) R n , кроме, может быть, точки a . Говорят, что lim f ( x ) lim f ( x ) b если x a d ( x , a ) 0 0 _ _ 0 : при _ d ( x , a ) _ будет _ f ( x ) b . Замечание 1 .Т.к. xi ai d ( x , a ) ( x1 a1 ) 2 ( x 2 a 2 ) 2 ... ( x n a n ) 2 max ( xi ai ) 2 , _ i 1,2,..., n i 1,... n то d ( x, a ) 0 xi ai 0 _ _ i 1,..., n. Т.е. расстояние бесконечно малая тогда и только тогда, когда имеет место покоординатная сходимость и lim f ( x ) lim x a f (x) d ( x , a )0 lim f ( x ). xi ai i 1, 2,... n Замечание 2.Для функций многих переменных рассматриваем только конечные пределы. Пример. Найти lim x . Имеем f ( x, y ) x. И по определению ( x , y ) (1, 2 ) lim x ( x , y )(1, 2 ) lim d (( x ,e ),(1, 2 )) 0 покоординатная _ сходимость x lim x 1. x 1 y 2 Теорема 1(св-ва пределов) Пусть lim f ( x ) b, _ lim g ( x ) c. Тогда x a x a lim f ( x ) g ( x ) b c, _ lim df ( x ) db, _ d R. x a x a f (x) b lim f ( x ) * g ( x ) b * c, _ lim g ( x ) c , _ при _ c 0. Так как lim f ( x ) lim f ( x ) , то доказательство не отличается от x a x a x a d ( x , a ) 0 доказательства для функций одного переменного. Мы доказательств не приводим. Пример. Найти lim x *y+x/(y-2)= ( x , y ) (1, 2 ) lim x* x 1, y 2 lim x 1, y 2 y lim x x 1, y 2 lim x 1, y 2 y lim 2 1(2) 1 2,25. 22 x 1, y 2 Замечание. Если функция двух переменных определена на множестве A, содержащем точку a но не содержащем никакой ее окрестности. Тогда аналогично можно определить предел в этой точке по множеству A Определение 14(предела функции многих переменных по множеству). Пусть функция f (x ) определена на множестве A и точка a Является внутренней или граничной точкой этого множества Говорят, что предел функции по множеству lim f ( x ) lim f ( x ) b если ч a xA d ( x , a ) 0 , xA, x a d ( x , a ) 0 _ _ 0 : при _ _ будет _ f ( x ) b . x A Замечание. Для пределов по множеству выполнены все свойства пределов. 2.3 Непрерывные функции многих переменных в точке. Их арифметические свойства. Непрерывность функций от одной переменной. Непрерывность суперпозиции. Непрерывность на множестве . Теоремы Вайерштрасса. Определение 14 (непрерывность функции в точке) Пусть функция f( x ) n переменных определена в O (a ) . Она называется непрерывной в a , если lim f ( x ) f (a ). x a Замечание. Если f( x ) непрерывна в a , то ее график(поверхность) не «разрывается» в этой точке. Например, если (x,y) (a, b), то покоординатная _ сходимость ( x, y. f ( x, y)) (a, b, f (a, b)) точка графика. То есть,если двигаться по графику непрерывной функции в направлении (a,b), то попадаешь в точку графика (a.b, f(a,b). 1, _ x * y 0 . 0, _ x * y 0 Пример. f ( x, y) Ее график- плоскость XOY с вырезанным «крестом» из координатных осей , Поднятым на уровень z=1.что он разрезан по координатным осям в XOY . И в точках этих осей нет непрерывности функции. В точках (x,y), xy 0 будет непрерывность по графику.(рис.9) Теорема 2(арифметические св-ва непрер. функций) Пусть функции n переменных f ( x ), _ g ( x ) непрерывны в a . Тогда f ( x ) g ( x ), _ df ( x ) _ d R, f (x) _ при _ g (a ) 0 g(x) тоже непрерывны в a . f ( x ) * g ( x ), _ Доказательство следует из свойств пределов, и не приводится. Теорема 3(непрерывность функции от 1 переменного) Пусть f (x) непрерывна как функция 1 переменного в точке a. Тогда функция n переменных F ( x ) f ( xi ), _ 1 i n непрерывна в любой точке b (a1 , a 2 ,...ai 1 , a, ai 1 ,..., a n ) . Доказательство. покоорд. _ сходимость lim F ( x ) x b lim x1 a1 ,... xi a ,... непрерывность f ( xi ) f (а) F (b ). Непрерывность доказана. Теорема 4(непрерывность суперпозиции, для функции 2 переменных) Пусть функция f(x,y) непрерывна в (x0, y0), x(u,v),y(u,v) непрерывны в (u0, v0), причем x(u0,v0)=x0,y(u0,v0)=y0 . Тогда f(x(u,v),y(u,v)) непрерывна в (u0, v0). Доказательство. По определению lim непрер сть f ( x(u , v), y (u , v)) lim покоорд. _ сх. f ( x(u , v), y (u , v)) ( u , v ) ( u 0 , v0 ) ( u , v ) ( u 0 , v0 ) x ( u , v ) x ( u 0 , v0 ) x 0 y ( u , v ) y ( u 0 , v0 ) y 0 f(x0,y0)=f(x(u0,v0),y(u0,v0)), что и означает непрерывность. Определение 15 (непрерывность функции в точке по множеству) Пусть функция f( x ) n переменных определена на множестве A,содержащем a . Она называется непрерывной в a по множеству A, если предел по этому множеству lim f ( x ) f (a ). x a xA Определение 16 (непрерывность функции на множестве) Функция f( x ) n переменных, определенная на множестве A, называется непрерывной на нем, если она непрерывна по этому множеству в каждой его точке. Аналогично функциям одного переменного для функций многих переменных верны теоремы Вайерштрасса, которые приводятся без доказательства. Теорема 4(1 теорема Вайерштрвсса, ограниченность непрерывной функции) Пусть функция f( x ) n переменных определена на замкнутом и ограниченном множестве A и непрерывна на нем. Тогда эта функция ограничена на множестве A. Теорема 5(2 теорема Вайерштрвсса, достижение непрерывной функцией максимума и минимума) Пусть функция f( x ) n переменных определена на замкнутом и ограниченном множестве A и непрерывна на нем. Тогда эта функция достигает на множестве A своего максимального и минимального значения. Пример. f ( x, y ) 1 x 2 y 2 определена и непрерывна на круге x2+y2 1. Круг замкнут и ограничен. Там функция ограничена: 0 f ( x, y) 1 и достигает 0 в (1.0) единицы- в (0,0). 2.4 Частные производные функций многих переменных и их геометрический смысл. Касательная плоскость к графику, ее уравнение. Условие существования касательной плоскости, дифференцируемость. Дифференциал, его геометрический смысл . Формула линеаризации и ее использование на примерах. Изложение этого параграфа приводим для функций 2 переменных. Это легко переносится на случай функций большего числа переменных. Функция двух переменных 2.4 Частные производные функций многих переменных и их геометрический смысл. Касательная плоскость к графику, ее уравнение. Условие существования касательной плоскости, дифференцируемость. Дифференциал, геометрический смысл и формула. Формула линеаризации и ее использование на примерах. Функция 2 переменных f(x,y) превращается в функцию 1 переменного, если фиксировать другое переменное. А у функций 1 переменного определена производная . Определение 15(частных производных) Частной производной от функции 2 переменных f(x,y) в точке (x0, y0) по переменной x называется производная от функции 1 переменного f(x,y0) в точке x0. df ( x, y 0 ) f ( x0 , y 0 ) . x x0 x dx Аналогично частной производной от функции 2 переменных f(x,y) в точке (x0, y0) по переменной y называется производная от функции 1 переменного f(x0,y) в точке x0. df ( x0 , y) f ( x0 , y 0 ) . y y0 y dy Примеры. sin( x 2 xy y 2 ) 1 2 y, x sin( x 2 xy y 2 ) 2 x 2 y. y Рассмотрим геометрический смысл частных производных. Если рассмотреть график функции z=f(x,y), точку графика ( x0,y0, f(x0,y0)) и координатные линии в этой точке z=f(x,y0) и z=f(x0,y),то последние являются графиками функций z=f(x,y0) и z=f(x0,y) в плоскостях y=y0 x=x0 соответственно. Если первая функция имеет производную по x в x0 . вторая –производную по y в y0, то эти производные будут равны тангенсам наклона касательных к соответствующим координатным линиям в точке ( x0,y0, f(x0,y0)) По определению значения этих производных равны значениям соответствующих частных производных. Поэтому геометрический смысл частных производных z=f(x,y) в (x0,y0) тангенсы наклона касательных к соответствующим координатным линиям в точке (x0,y0) Выведем общепринятые формулы для частных производных. Теорема 6(формулы для частных производных) Если функция f(x,y) в точке (x0, y0) имеет частные производные, тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы, им равные f ( x, y 0 ) f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 ) lim . x x x0 x x0 f ( x , y ) f ( x0 , y 0 ) f ( x0 , y 0 ) lim . y y y0 y y0 Доказательство. Эти формулы легко вытекают из расписывания определения: Например, df ( x, y 0 ) f ( x0 , y 0 ) . x x0 x dx опред. _ произв. _ по _ 1 _ перем. f ( x, y 0 ) f ( x0 , y 0 ) ,_ lim x x0 x x0 ч.т.д. Для производной по y все аналогично. Для дальнейшего изучения напишем по этим данным уравнения касательных прямых к координатным линиям в точке (x0,y0). В плоскости x=x0 начальная точка z0=f(x0,y0), тангенс наклона касательной к координатной y-линии df ( x0 , y) f ( x0 , y 0 ) . Поэтому уравнение этой касательной прямой y y0 y dy f z f ( x0 , y 0 ) ( x0 , y 0 )( y y 0 ) . x x x0 Аналогично в плоскости y=y0 начальная точка z0=f(x0,y0), тангенс наклона касательной к координатной x-линии df ( x, y 0 ) f ( x0 , y 0 ) . Поэтому уравнение этой касательной прямой x x0 x dx f z f ( x0 , y 0 ) ( x0 , y 0 )( x x0 ) . x y y0 Все эти касательные изображены на рисунке 9 а, 9б в вертикальных плоскостях и на рис.9в в трехмерном пространстве. Заметим, что через 2 пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Сравнивая уравнения этих прямых, можно сразу написать уравнение этой плоскости. Это z f ( x0 , y 0 ) f f ( x0 , y 0 )( x x0 ) ( x0 , y 0 )( y y 0 ) ..Эта плоскость содержит обе x y касательные прямые к координатным линиям на графике, значит вместе с этими касательными она-самая близкая проходящая через( x0,y0, f(x0,y0)) плоскость к координатным линиям, отличающаяся на o(x-x0) от x-линии и на o(y-y0) от y-линии, т.е. всегда на , где ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 , т.к. x x0 и y y0 вблизи точки ( x0,y0, f(x0,y0)). Значит, если плоскость, проходящая через( x0,y0, f(x0,y0)) ,отличается от графика на o( ) при приближении к (x0,y0), то она совпадает с найденной плоскостью! Для любого графика это может быть не выполнено(см. рис.9) o( ) Определим теперь понятие касательной плоскости к гафику. Определение 16(касательная плоскость) Пусть z=f(x,y) определена в окрестности точки ( x0 , y0 ) . Тогда плоскостью, касательной к графику в точке ( x0 , y0 , z 0 ), z 0 f ( x0 , y0 ) называется плоскость z=z0+A(x-x0)+B(y-y0) все более приближающаяся к графику z=f(x,y) при (x,y) ( x0 , y0 ) ,что записывается : f(x,y)=f(x0,y0) +A(x-x0)+B(y-y0) +o( ) где ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 . Замечание В силу проведенных перед определением касательной плоскости рассуждений получаем , если функция имеет обе частные производные в точке, то касательная плоскость должна иметь уравнение z f ( x0 , y 0 ) f f ( x0 , y 0 )( x x0 ) ( x0 , y 0 )( y y 0 ) . Сейчас покажем обратное. x y Теорема 7(формула для касательной плоскости) Если график z=f(x,y) имеет касательную плоскость z= f(x0,y0) +A(x-x0)+B(yy0) в точке ( x0 , y0 ) , то эта функция имеет частные производные в этой точке и A B f ( x0 , y 0 ) x . f ( x0 , y 0 ) y Доказательство. Достаточно доказать для одного коэффициента, для другого все аналогично. Будем действовать по формуле для частных производных.. df ( x, y 0 ) f ( x, y 0 ) f ( x0 , y 0 ) f ( x0 , y 0 ) lim x x0 x x0 x dx x x0 lim f ( x0 , y 0 ) A( x x0 ) B( y 0 y 0 ) o( ( x x0 ) 2 ( y 0 y 0 ) 2 ) f ( x0 , y 0 ) x x0 x x0 lim подставляем _ опр. _ _ и _ кас. _ пл. A( x x0 ) o( ( x x0 ) 2 ) x x0 x x0 lim A x x0 o( x x 0 ) A0 ( x x0 ) по определению o(x-x0). Определение 17(дифференцируемость) Пусть z=f(x,y) определенная в окрестности точки ( x0 , y0 ) называется дифференцируемой в точке ( x0 , y0 ) , если у графика функции в этой точке существует касательная плоскость. Замечание 1. Это перефразировонное определение существования касательной плоскости удобно тем, называет существование касательной плоскости одним словом, что упрощает изложение. Замечание 2 . Другими словами при ( x, y) ( x0 , y0 ) выполнено асимптотическое равенство f(x,y)=f(x0,y0) +A(x-x0)+B(y-y0) +o( ) где ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 . , что совпадает с общепринятым определением дифференцируемости. В силу формулы для касательной плоскости имеем для дифференцируемой в точке функции A B f ( x0 , y 0 ) x . отсюда следует f ( x0 , y 0 ) y Теорема 8 Формула для приращения дифференцируемой в (x0,y0) функции f(x,y) имеет вид f f(x,y)-f(x0,y0) = f f ( x0 , y 0 ) (x-x0)+ ( x0 , y 0 ) (y-y0) +o( ) где x y ( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2 . Замечание. f f ( x 0 , y 0 )) 2 +( ( x0 , y 0 ) )2 0 следует равенство x y f f f ( x0 , y 0 ) ~ ( x0 , y 0 )( x x0 ) ( x0 , y 0 )( y y 0 ) x y Из этой формулы при ( Т.е. приращение дифференцируемой функции имеет в этом случае главную линейную часть. Эта линейная часть имеет свое название. Определение 18(дифференциал) Дифференциалом дифференцируемой в точке (x0,y0) функции f(x,y) называется f f ( x0 , y 0 )( x x0 ) ( x0 , y 0 )( y y 0 ). x y f f Замечание1. При ( ( x0 , y 0 )) 2 +( ( x0 , y 0 ) )2 0 из равенства x y f f f ( x0 , y 0 ) ~ ( x0 , y 0 )( x x0 ) ( x0 , y 0 )( y y 0 ) x y df ( x0 , y 0 ) следует, что при этом дифференциал есть главная линейная часть приращения . В некоторых учебниках приводится такое определение дифференциала. Замечание 2.(геометрический смысл дифференциала) Запишем уравнение касательной плоскости в несколько ином виде: z кас f f ( x0 , y 0 )( x x0 ) ( x0 , y 0 )( y y 0 ) x y по _ определению df ( x0 , y 0 ). Итак, получили, что дифференциал есть приращение аппликаты касательной плоскости(рис.10) Так как график дифференцируемой функции приближается к графику касательной плоскости при приближении к точке, то естественно получить линейное приближение для дифференцируемой функции, заменяя ее касательной плоскостью вблизи точки. Определение 19(формула линеаризации) Формулой линеаризации (ФЛ) для дифференцируемой точке (x0,y0) функции f(x,y) называется приближенная формула f ( x, y ) f ( x0 , y 0 ) f f ( x0 , y 0 )( x x0 ) ( x0 , y 0 )( y y 0 ) x y Замечание. Эта формула используется для приближенных вычислений. Но для этого нужно уметь проверять. Будет ли функция дифференцируемой. Приведем достаточное условие дифференцируемости. Теорема 9 Если функция f(x,y) имеет в окрестности (x0,y0) обе частные производные, непрерывные в (x0,y0) , то она дифференцируема в (x0,y0) . Доказательство. ф..Лагр.по1 _ перем.и _ фикс.друг. f ( x, y ) f ( x 0 , y 0 ) f ( x, y ) f ( x 0 , y ) f ( x 0 , y ) f ( x 0 , y 0 ) f f ( x0 1 ( x x0 ), y)( x x0 ) ( x0 , y 0 2 ( y y 0 )( y y 0 ) x y ( непр сть _ произв. f f ( x0 , y 0 ) ( x, y ))( x x0 ) ( ( x0 , y 0 ) ( x, y ))( y y 0 ) x y f f ( x0 , y 0 )( x x0 ) o( x x0 ) ( x0 , y 0 )( y y 0 ) o( y y 0 ) x y f f ( x0 , y 0 )( x x0 ) ( x0 , y 0 )( y y 0 ) o( ) x y Т.к. x x0 , _ y y 0 ( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2 Пример.Вычислим приближенно (3,023) 2 (3,934) 2 . Для этого введем в рассмотрению функцию 2 переменных f ( x, y ) x 2 y 2 Ее частные производные будут f x x x2 y2 , f y y x2 y2 . Они непрерывны всюду, кроме (0,0). Следовательно всюду, кроме этой точки функция дифференцируема. В частности в точке (x0,y0)=(3,4). Тогда z0=f(x0,y0)= 32 4 2 5 Применим формулу линеаризации для (x,y)=(3,023,3,934). Тогда x-x0=0,23; y-y0=-0,66 f x x x 2 y 2 (3,4) 3 f 0,6; 5 y y 4 . 0,8. x 2 y 2 (3,4) 5 Подставим это в ФЛ f ( x, y ) f ( x0 , y 0 ) Получим f f ( x0 , y 0 )( x x0 ) ( x0 , y 0 )( y y 0 ) x y (3,023) 2 (3,934) 2 5 0.6 * 0.23 0.8 * 0.66 4.61. 2.5 Теоремы о дифференцировании сложных функций. Примеры. Производная по направлению. Градиент. Его геометрический смысл. Теорема 10 . Пусть функция двух переменных f (x,y) дифференцируема в точке (x0,y0), x=x(t), y=y(t) дифференцируемы в t=t0 . причем x(t0)=x0,y(t0 )=y0. Тогда сложная функция f(x(t),y(t)) дифференцируема в t=t0, причем df ( x(t 0 ), y (t 0 )) f dx f dy ( x0 , y 0 ) (t 0 ) ( x0 , y 0 ) (t 0 ) dt x dt y dx Доказательство. В силу дифференцируемости f ( x(t ), y (t )) f ( x(t 0 ), y (t 0 )) f x(t ) x(t 0 ) f y (t ) y (t 0 ) ( x0 , y 0 ) ( x0 , y 0 ) t t0 x (t t 0 ) y t t0 ( x(t ), y (t )) ( x(t ) x0 2 y (t ) y 0 2 ) ( ) , t t0 t t 0 где ( x(t ), y (t )) бесконечно малая при x(t ) x0 x(t 0 ), y(t ) y0 y(t 0 ) и значит при t t0 . Тогда x(t ) x(t 0 ) y(t ) y(t 0 ) dx dy (t 0 ), (t 0 ), t t0 dt t t0 dt Используя это при переходе к пределу при t t 0 , получим требуемое df ( x(t 0 ), y (t 0 )) f dx f dy ( x0 , y 0 ) (t 0 ) ( x0 , y 0 ) (t 0 ). dt x dt y dx Пример 1. Получим для примера, используя эту формулу формулу для дифференцирования частного двух функций u=u(x), v=v(x). u дифференцируема при v 0 . u(x),v(x)- дифференцируемы в v f 1 f u , 2 . Поэтому по теореме 10 x0 , причем v( x0 ) 0. Тогда u v v v u ( x) d( ) du u dv du v dv u v( x) dx 2 dx . Это известная формула. = dx dx v dx v2 v f(u,v,)= Теорема 11. Пусть функция двух переменных f (x,y) дифференцируема в точке (x0,y0), x=x(u,v), y=y(u,v) дифференцируемы в (u0,v0) . причем x(u0,v0)=x0,y(u0,v0 )=y0. Тогда сложная функция f(x(t),y(t)) дифференцируема в t=t0, причем f ( x(u 0 , v0 ), y (u 0 , v0 )) f x f y ( x0 , y 0 ) (u 0 , v0 ) ( x0 , y 0 ) (u 0 , v0 ), u x u y u f ( x(u 0 , v0 ), y (u 0 , v0 )) f x f y ( x0 , y 0 ) (u 0 , v0 ) ( x0 , y 0 ) (u 0 , v0 ). v x v y v Доказательство. Частная производная от функции по u считается при фиксированном v. При этом x(u,v), y(u,v) тоже превращаются в функции 1 переменного u ,а частные производные есть производные от функций одного u. Таким образом первая формула-это формула предыдущей теоремы. Вторая формула получается прификсировании u. Пример.Найти частные производные f(x,y)= ln( x 2 y 4 sin 3 ( x y)) . Можно рассмотреть вспомогательные функции u(x,y)=x2+y2,v(x,y)=sin3(x+y). ln( u v) 1 , u uv u u v v ln( u v) 1 , 2 x, 4y3, 3 sin 2 ( x y ) cos( x y ) . v u v x y x y f 1 ( x, y ) 2 (2 x 3 sin 2 ( x y ) cos( x y )), 4 x x y sin 3 ( x y ) Здесь внешняя функция ln(u+v). Ее производные f 1 ( x, y ) 2 (4 y 3 3 sin 2 ( x y ) cos( x y )). 4 3 x x y sin ( x y ) Перейдем к рассмотрению производной в точке по заданному направлению. Определение 20.(производной по направлению) Пусть функция f(x,y) определена в некоторой окрестности точки (x0,y0). e (a, b) единичный вектор, приложенный в этой точке. x at x0 имеет часть, лежащую в этой окрестности, на y bt y 0 Тогда прямая которой будет определена функция. На прямой она будет функцией одного переменного t f(at+x0,bt+y0), имеющей в t=0 значение f(x0, y0). Если эта функция дифференцируема в t=0, то эта производная называется производной от f(x,y) в точке (x0,y0) по направлению e (a, b). Это записывается так: f e ( x0 , y 0 ) d f (at x0 , bt y 0 ) . t 0 dt Следствие. Производная по направлению, как производная функции 1 переменного определяет скорость изменения функции в начальной точке. Теорема 12(формула для производной по направлению) Пусть функция f(x,y) дифференцируема в точке (x0,y0). e (a, b) единичный вектор, приложенный в этой точке. Тогда ее производная по направлению этого вектора будет: f e ( x0 , y 0 ) a f f ( x0 , y 0 ) b ( x0 , y 0 ). x y Доказательство следует из применения формулы теоремы 10. Дадим теперь следующее Определение 21(градиента) Если функция f(x,y) имеет в точке (x0,y0) обе производные, то составленный из них вектор называется градиентом функции f(x,y) в точке (x0,y0) . Он обозначается grad f ( x0 , y 0 ) ( f f ( x0 , y 0 ), ( x0 , y 0 )) x y Следствие1 теоремы 12. С учетом этого определения формулу для производной по направлению можно переписать через скалярное произведение вектора направления и градиента: f e ( x0 , y 0 ) a f f ( x0 , y 0 ) b ( x0 , y 0 ) (( a, b),.grad f ( x0 , y 0 )) x y Следствие2 Вектор градиент задает направление наибольшего изменения(возрастания) функции в точке его приложения. Достаточно доказать, что модуль производной по направлению градиента максимален. Действительно f e нерав.К Б (a, b) един. ( x0 , y 0 ) (( a, b),.grad f ( x0 , y 0 )) (a, b) grad f ( x0 , y 0 gradf ( x0 , y 0 И если (a,b) сонаправлен градиенту, то ( a, b) f e ( x0 , y 0 ) (( a, b),. grad f ( x0 , y 0 ) gragf gradf . gradf gradf 2 grad f ( x0 , y 0 ) 0 достигает максимального значения. При этом производная больше 0,значит в направлении градиента функция всегда возрастает. Пример1. Найти направления максимального изменения ln(x+y2) в точке (1.0) и скорость изменения функции по этому направлению. Убывает или возрастает функция в направлении градиента? 1 2y , ) (1,2). 2 2 grad f(1,0)=( x y x y (1,0) ( Единичный вектор по этому направлению будет 1 2 , 5 5 f e (1,0) (( 1 5 , 1 2 ),.grad f (1,0)) , , (1,2) 5 5 5 2 1 5 4 5 5 0 Производная по направлению положительна, поэтому функция по нему возрастает. 2.6 Производные высших порядков. Теорема Шварца. Примеры. Локальный экстремум. Необходимое и достаточное условие. Пример. Аналогично производным функции одного переменного определяются производные высших порядков для функции многих переменных. Причем производные каждого следующего порядка есть производные от производных предыдущего порядка. Определим подробнее производные 2 Порядка функции 2 переменных. Определение 22(производных 2 порядка) Если производные 1 порядка имеют свои производные в точке, то эти производные называются производными 2 порядка. При этом в зависимости от порядка дифференцирования они обозначаются f 2 f f 2 f f 2 f f 2 f ( ), ( ), ( ), ( ). 2 2 y y xy x y yx y x x x y x Последние 2 производные называются смешенными. Причем понимание связи записи для них с порядком дифференцирование условное, может меняться в разных учебниках. Но в силу следующей теоремы это не является существенным. Теорема 13. Если все производные функции1 и 2 порядка непрерывны в точке, то смешанные производные 2 порядка в ней равны. Доказательство. Напомним, что непрерывность двух производных функции дает ее дифференцируемость. Имеем f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 ) f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) f ( x0 x, y 0 y) f ( x0 x, y 0 ) f ( x0 x, y 0 ) f ( x0 , y 0 ) (**) Из непрерывности первых производных следует дифференцируемость функции в точке и формула для дифференцируемости дает f ( x 0 x, y 0 y ) f ( x 0 , y 0 y ) f ( x 0 , y 0 y )x o(x), x f ( x 0 , y 0 )y o(y ), y f f ( x 0 x, y 0 y ) f ( x 0 x, y 0 ) ( x 0 x, y 0 )y o(y ), y f f ( x 0 x, y 0 ) f ( x 0 , y 0 ) ( x 0 , y 0 )x o(x) x f ( x 0 , y 0 y ) f ( x 0 , y 0 ) Подставив в (**), получим f f f ( x 0 , y 0 y )x o(x) ( x 0 x, y 0 )y o(y ) ( x 0 , y 0 )y o(y ) x y y f ( x 0 , y 0 )x o(x) . x Тогда f f ( x 0 , y 0 y )x ( x 0 , y 0 )x o(x) = x x f f = ( x0 , y 0 )y ( x 0 x, y 0 )y o(y ) (***) y y Из дифференцируемости 1 производных по формуле дифференцируемости f f f ( x0 , y0 )y o(y))x o(x), ( x 0 , y 0 y )x ( x 0 , y 0 )x o(x) = ( x x yx 2 f f f ( x0 , y0 )x o(x))y o(y). ( x 0 x, y 0 )y o(y ) = ( ( x 0 , y 0 )y y y xy 2 Подставив это в (***), получим 2 f 2 f ( ( x0 , y0 )y o(y)) x o(x) ( ( x0 , y0 )x o(x))y o(y) . yx xy 2 f 2 f Отсюда ( ( x0 , y 0 ) ( x0 , y0 ))xy o(x)y o(y) o(x) 0 . yx xy Положим x y и поделим на y 2 : Получим 2 f 2 f ( ( x0 , y 0 ) ( x0 , y0 ) o(1)) o(1) o(1) 0. yx xy Перейдем к пределу при x, y 0 . Все o(1)-бесконечно малые. Получим 2 f 2 f ( x0 , y 0 ) ( x0 , y 0 ) , что и требовалось. yx xy Пример 1. Продемонстрируем это на примере. x y f(x,y)=arctg( ( ). f x 1 y (1 2 x ) y2 y f , 2 x y y 2 x y 2 (1 2 x ) y2 x , x y2 2 2 f y x2 y2 2y2 x2 y2 ( ) 2 , yx y x 2 y 2 (x2 y 2 )2 (x y 2 )2 2 f x x 2 y 2 2x 2 x2 y2 ( ) 2 xy x x 2 y 2 (x2 y 2 )2 (x y 2 )2 Смешанные производные равны. Пример 2. Пусть f(x,y) имеет непрерывные первые и вторые частные производные в O (x0,y0) e (a,b), a 2 b 2 1. x=x0+at, y=y0+bt-параметрические уравнения прямой. Тогда по теореме df f f f f ( x(t ), y(t )) ( x(t ), y(t )) x (t ) ( x(t ), y (t )) y (t ) a ( x(t ), y (t )) b ( x(t ), y (t )), dx x y x y d2 f 2 f 2 f ( x ( t ), y ( t )) a ( ( x ( t ), y ( t )) a ( x(t ), y(t ))b) yx dx 2 x 2 2 f 2 f 2 f 2 f b( ( x(t ), y (t )) a 2 ( x(t ), y (t ))b) = a 2 2 ( x(t ), y(t )) 2ab ( x(t ), y(t ))b) xy y yx x b2 2 f ( x(t ), y (t )) y 2 Замечание. (x,y) O (x0,y0) t . Действительно, d((x,y),(x0,y0)= ( x(t ) x(0)) 2 ( y(t ) y(0)) 2 (at x0 a * 0 x0 ) 2 (bt y0 b * 0 y0 ) 2 ( a 2 b 2 ) t t , так как – e -единичный вектор. Т.е. d((x,y),(x0,y0) t . Это значит, что расстояние между точками прямой можно измерять по параметру t, если направляющий вектор имеет длину 1. Далее будем изучать локальные экстремумы функции 2 переменных. Определение 23. Пусть f(x,y) определена в окрестности O ( x0 , y0 ). . Если в этой окрестности f ( x, y) f ( x0 , y 0 ) . то говорят, что (x0,y0)-точка локального максимума для f(x,y), если в этой окрестности f ( x, y) f ( x0 , y0 ) . то говорят, что (x0,y0)-точка локального минимума. Точка (x0,y0) называется точкой локального экстремума. если она является точкой локального максимума или локального минимума. Замечание. В точке локального максимума график образует «горку», в точке Локального минимума-«ямку» (см. рис. 11) Теорема 14(необходимые условия экстремума) Если (x0,y0) точка локального экстремума для f(x,y) и существует какаялибо частная производная в этой точке. то она равна 0. Доказательство. Пусть для определенности существует частная производная по x. Тогда по определению df ( x, y0 ) f ( x0 , y 0 ) . x x0 x dx График функции f(x,y0) является координатной x–линией на графике f(x,y) и одновременно с ним имеет в x=x0 «горку», или «ямку», т.е. локальный экстремум(см. рис.12) Так как функция f(x,y0) дифференцируема в x=x0 , то ее производная равна 0, а вместе с ней равная ей частная производная df ( x, y 0 ) f ( x0 , y 0 ) 0. . x x0 x dx Замечание. Если существуют обе частные производные, то они обе равны 0. На этом основании разыскиваются точки, в которых может быть локальный экстремум. Определение 24. Точка (x0,y0) называется критической точкой для f(x,y), если обе ее частные производные в этой точке равны 0: f ( x0 , y 0 ) f ( x0 , y 0 ) 0. x y Теорема 15(достаточные условия экстремума) Пусть f(x,y) определена в окрестности O ( x0 , y0 ). и имеет в ней непрерывные первые и вторые производные. В точке (x0,y0) выполнены необходимые условия экстремума: f ( x0 , y 0 ) f ( x0 , y 0 ) 0. x y Обозначим 2 f 2 f 2 f ( x , y ) A , ( x0 , y 0 ) C , AC B 2 . ( x , y ) B , 0 0 0 0 2 2 y x xy Тогда если 0, то в точке (x0,y0)будет локальный экстремум: максимум при A<0 и минимум при A>0; если 0, то в точке (x0,y0)будет локального экстремума нет; если 0, то ничего сказать нельзя. Доказательство. Рассмотрим функции 2 f 2 f 2 f ( x, y ) A( x, y ), ( x, y) B( x, y), 2 ( x, y ) C ( x, y ), y x 2 xy 2 ( x, y) A( x, y)C ( x, y) B ( x, y). В точке (x0,y0) они совпадают с A,B,C, соответственно. Все эти функции вместе с вторыми производными непрерывны в окрестности O ( x0 , y0 ). По свойствам непрерывных функций, если в (x0,y0) эти функции не равны 0, то они сохраняют знак в некоторой окрестности O ( x0 , y 0 ). Эту окрестность можно считать одинаковой для всех не равных нулю в (x0,y0) функций A и . Рассмотрим единичный вектор e (a,b), a 2 b 2 1. Возьмем прямую x(t)=x0+at, y(t)=y0+bt, заданную параметрически. В силу примера 2 к теореме 13 f f df df ( x(t ), y (t )) a ( x(t ), y (t )) b ( x(t ), y (t )), ( x(0), y (0)) 0 из-за необх. условий dx dx x y Экстремума. 2 2 f d2 f 2 f ( x(t ), y (t )) = a ( x(t ), y(t )) 2ab ( x(t ), y(t ))b) dx 2 yx x 2 по введ. обозн. 2 2 f b ( x(t ), y (t )) a 2 A(t ) 2ab B(t ) b 2 C (t ). 2 y Все эти производные непрерывны на прямой x=x0+at, y=y0+bt. Запишем для функции f(x,y) на этой прямой формулу Тейлора 1 порядка в форме Лагранжа в точке t=0. t2 f(x(t),y(t))-f(x0,y0)= f ( x0 , y0 )t f (a x0 , b y 0 ) 2 (a 2 A( ) 2ab B( ) b 2 C ( )) по ф лам (1) t2 . 2 При наличии экстремума в t=0 в рассматриваемой окрестности необходимо и достаточно неизменение знака этого приращения функции. t2>0, значит надо исследовать знак a 2 A( ) 2ab B( ) b 2 C ( ). при между 0 и t , т.е. соотв. точка прямой внутри O ( x0 , y 0 ). Пусть 0, а значит тоже ( ) 0, (сохраняет знак 0 ). Направляющий вектор прямой не равен 0. Пусть для определенности b 0. Тогда a a ( ) b 2 ( A( )( ) 2 2 B ( ) C ( )). b b b2>0. В скобке стоит квадратный трехчлен относительно Он не меняет знак при a . b 2 D A( x, y )C ( x, y ) B ( x, y ) ( ) 0 , что выполнено. 4 При этом знак трехчлена(приращения функции) совпадает со знаком A. Т.е. при A>0 приращение положительно-локальный минимум, при A<0 приращение отрицательно-локальный максимум, что и требовалось. 2 Если 0 то AC B 0 И аналогичным образом d2 f ( x(0), y (0)) a 2 A 2abB Cb 2 меняет знак при 2 dx разных (a,b). Т.е. на 2 разных прямых x(t)=x0+at, y(t)=y0+bt имеем в t=0 выполнение необходимых и достаточных строгих экстремумов, на одной для максимума(2 произв. В 0 меньше 0), для другой для минимума(2 произв. В 0 больше 0). Т.е общего экстремума во всей окрестности нет. Что и требовалось. 2.7 Теорема Юнга для 2-х и 3-х переменных. Уравнение касательной к графику неявной функции. Свойство градиента. Примеры. Разберем теоремы о неявных функциях. Для примера рассмотрим уравнение x2+y2=4 или x2+y2+z2=1. Первое является уравнением окружности на плоскости, второе – уравнением сферы в пространстве. Возникает вопрос, являются ли эти множества или их части графиками функций? Первое можно разрешить относительно y, второе- относительно z. Получим y 4 x 2 , z 1 x 2 y 2 . В обоих случаях получим по 2 разные функции. Попробуем получить условия разрешимости таких уравнений. Теорема 16. Пусть имеем уравнение F(x,y)=0.(*) Оно определяет кривую на плоскости. (x0,y0) принадлежит этой кривой. Пусть F(x,y) непрерывна и имеет в некоторой окрестности каждой точки кривой непрерывные в этой точке частные производные. F ( x0 , y 0 ) 0. Тогда существует единственная в некоторой окрестности y O 1 ( x0 , y 0 ) функция y=y(x), y(x0)=y0, определенная в окрестности O ( x0 ) и Пусть удовлетворяющая там уравнению(*).При этом y=y(x) дифференцируема в x0. F ( x0 , y 0 ) При этом y ( x0 ) x . F ( x0 , y 0 ) y Доказательство. F ( x, y ) 0 и сохраняет y F знак(существует из непрерывности и условия теоремы ( x0 , y0 ) 0. ) y Рассмотрим любую окрестность O 1 (x0,y0), где Предположим для определенности, что эта производная там больше 0.Уменьшив окрестность, можно считать, что это выполнено вплоть до ее границы. Тогда F(x0,y) строго возрастает в пределах этой окрестности по y. Поэтому В на границе той же окрестности существуют точки (x0,y1), (x0,y2) (y 1<y0<y2), где F(x0,y1)<0=F(x0,y0)<F(x0,y2) , (см. рис. 13). В силу непрерывности найдется O ( x0 ) где для всех ( x, y1 ), ( x, y 2 ) на нижней и верхней границах окрестности будет F(x, y1 )<0<F(x, y 2 ), Тогда из-за положительности F ( x0 , y 0 ) 0 и y непрерывности F(x,y) x O ( x0 ) единственное y1 y( x) y 2 , такое, что F ( x, y( x)) 0 . Итак, решение уравнения найдено. Это будет непрерывная функция по x. Действительно, 0 при уменьшении исходной окрестности до рад. 1 , мы получим решение при ( ) , которое в его области определения будет совпадать с построенным в силу его единственности(рис. 13a). Кроме того x x0 ( ) точки (x,y(x)) O ( x0 , y0 ) y( x) y( x0 ) (рис. 13б). Это есть непрерывность y(x) в x0. Все другие точки графика y(x), x x0 , ничем не отличаются от (x0,y0), т.е. в них функция тоже непрерывна. Значит, она непрерывна во всей области своего определения. Далее по свойству дифференцируемости F(x,y)= F(x0,y0)+ F F ( x x0 ) ( x0 , y 0 )( y y 0 ) o( ). Так как F(x0,y0)=0,то x y F F ( x0 , y 0 )( x x0 ) ( x0 , y 0 )( y y 0 ) o( ) 0. x y Подставим найденное решение, получим тождество: F F ( x0 , y 0 )( x x0 ) ( x0 , y 0 )( y ( x) y 0 ) o( ) 0. x y F ( x0 , y 0 ) 0. Поэтому y F ( x0 , y 0 ) y ( x) y ( x0 ) x ( x x 0 ) o( ( x x 0 ) 2 ( y ( x ) y 0 ) 2 ) F ( x0 , y 0 ) y Поскольку у(x) непрерывна в x0 , то при x x 0 y ( x) y 0 и ( x x 0 ) 2 ( y ( x) y 0 ) 2 0 и o( ( x x0 ) 2 ( y( x) y0 ) 2 ) o(( x x0 )) Получаем формулу дифференцируемости y(x) в x0. F ( x0 , y 0 ) x y ( x) y ( x0 ) ( x x0 ) o( x x0 ). При этом F ( x0 , y 0 ) y F ( x0 , y 0 ) x y ( x 0 ) . F ( x0 , y 0 ) y Теорема 17. Пусть имеем уравнение F(x,y,z)=0(*). Оно определяет поверхность в пространстве. (x0,y0,z0) принадлежит этой поверхности. Пусть F(x,y,z) непрерывна и имеет в некоторой окрестности каждой точки поверхности непрерывные в этой точке частные производные. Пусть F ( x0 , y 0 , z 0 ) 0. Тогда существует единственная в некоторой z окрестности O 1 ( x0 , y0 , z 0 ) функция z=z(x,y), z(x0,y0)=z0, определенная в окрестности O ( x0 , y 0 ) и удовлетворяющая там уравнению(*).При этом z=z(x,y) дифференцируема в (x0,y0). При этом F ( x0 , y 0 , z 0 ) z ( x0 , y 0 ) x , F x ( x0 , y 0 , z 0 ) z F ( x0 , y 0 , z 0 ) z y ( x0 , y 0 ) . F y ( x0 , y 0 , z 0 ) z Доказательство аналогично доказательству теоремы 16, его не приводим. Рассмотрим пример: Дано уравнение xy2+5y6x3-6=0. Точка (1,1) ему удовлетворяет. 1)Разрешимо ли оно относительно y в окрестности x=1? 2) Существуют ли у него 2 производные и чему они равны? По теореме 16 имеем F(x,y)= xy2+5y6x3-6, F 2 xy 30 y 5 x 3 32 0. ( x, y ) (1,1) y Поэтому