08-14-03

08-14-03. Геометрическое представление решений
системы уравнений с двумя неизвестными.
1. Системы уравнений с двумя неизвестными возникают при решении с помощью
координат геометрических задач на плоскости. Примеры таких задач уже встречались.
Например, нахождение точки пересечения двух прямых в координатной плоскости
можно свести к решению системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
В этом параграфе мы рассмотрим некоторые новые применения координатного
метода.
Разберем, как находить точки пересечения прямой с окружностью, с параболой,
эллипсом.
Пример 1. Найдем точки пресечения прямой с уравнением 2 x  3 y  1 и окружности с
уравнением 9 x 2  9 y 2  10 .
Решение. Пусть общая точка M прямой и окружности имеет координаты (a b) .
Точка M ( a b) лежит на прямой 2x  3 y  1 , поэтому выполняется равенство
2a  3b  1 . Так как точка M ( a b) лежит и на окружности 9 x 2  9 y 2  10 , то выполняется
равенство 9a 2  9b 2  10 . Следовательно, пара чисел (a b) является решением системы
2 x  3 y  1
 2
2
9 x  9 y  10
Из первого уравнения системы имеем y  132 x . Подставляя найденное выражение для
y во второе уравнение системы, получаем уравнение 9 x 2  9 
2x) 2 9  10 . Решим это уравнение
9 x 2  (1  2 x)2 ,
9 x 2  4 x 2  4 x  1  10  0 ,
13x 2  4 x  9  0 ,
 22
  139 . Для каждого из найденных
D  16  4 13  9  4 121 , x1  41322  1 , x2  413
значений x находим соответствующее значение y :
1  2 x1 1  2
1
y1 

 
3
3
3
y2 
1  2 x2 1
18
31
  (1  )  
3
3
13 39
31
) . Так как пара координат
В результате получаем две точки M1 (1 13 ) и M 2 ( 139  39
каждой из найденных точек удовлетворяют и первому и второму уравнению системы, то
обе точки M 1 и M 2 лежат и на прямой 2 x  3 y  1 , и на окружности 9 x 2  9 y 2  10
(рисунок 1).
Пример 2. Найдем точки пересечения прямой с уравнением 5 y  2 x  2 и параболы
y  x2 .
Решение. Координаты точек пересечения прямой и параболы являются решением
системы уравнений
5 y  2 x  2

2
y  x 
Из первого уравнения y  2 x52 . Подставляя это значение y во второе уравнение
системы, получаем
2 x2
5
 x 2 , откуда 5 x 2  2 x  2  0 , D  4  4  5  2  4 11,
2  2 11 1  rt11


10
5
1  11
x2 

5
Соответственно y1  12252 11 , y2   12252 11 .
После этого записываем координаты точек пересечения:
1  11 12  2 11
M1 (

bigg )
5
25
x1 
1  11 12  2 11
M2(

)
5
25
(рисунок 2).
Пример 3. Найдем точки пересечения прямой 8 y  3x  12 с эллипсом 9 x 2  y 2  9 .
Решение. Составим систему
8 y  3x  12
 2
2
9 x  y  9
Из первого уравнения x  83 y  4 . Подставляя во второе уравнение системы, получаем
9( 83 y  4) 2  y 2  9 , откуда 64 y 2  192 y  144  y 2  9 ,
65 y 2  192 y  135  0 .
D  1922  4  65 135  62  (32  65 15) 
 62  (1024  975)  62  72  422 ,
192  42 9
192  42 15
y1 
  y2 
 
2  65
5
2  65
13
Соответственно x1  54 , x2   12
.
13
В результате получаем координаты точек пересечения:
4 9
12 15
M 1 (  ) M 2 (  )
5 5
13 13
(рисунок 3).
2. Разберем, как в прямоугольной системе координат находить точки пересечения
двух окружностей.
Пример 4. Пусть даны две окружности: одна окружность с центром A(0 0) и
радиусом 3, вторая окружность с центром B (4 3) и радиусом
10 . Тогда уравнение
первой окружности x  y  9 , а уравнение второй окружности ( x  4)2  ( y  3)2   10 .
2
2
Координаты точек пересечения этих окружностей являются решениями системы
уравнений
 x 2  y 2  9

2
2
( x  4)  ( y  3)  10
Для решения этой системы почленно вычтем из первого уравнения второе и получим
x 2  ( x  4)2  y 2  ( y  3)2  9  10 ,
x 2  x 2  8x  16  y 2  y 2  6 x  9  9  10  0 ,
8 x  6 y  24  0 , 4 x  3 y  12  0 .
Затем решим систему
 x 2  y 2  9,

4 x  3 y  12
равносильную начальной системе.
Из второго уравнения y  4  43 x . Подставляя это в первое уравнение системы,
получаем x 2  (4  43 x) 2  9 , откуда
x 2  16  323 x  169 x 2  9  0 , 25 x 2  96 x  63  0 ,
D  962  4  25  63  62 (162  25  7)   62  81  542 ,
96  54
96  54 21
x1 
 3 x2 
 
2  25
2  25
25
Соответственно
72
y1  0 y2  
25
В результате получаем координаты точек пересечения данных окружностей:
21 72
M 1 (3 0) M 2 (  )
25 25
(рисунок 4).
3.** Рассмотрим параболу y  x 2 и прямую m с уравнением x  y  0 .
Проведем всевозможные прямые, которые параллельны прямой m и пересекают
параболу y  x 2 в точках A и B . Найдем множество середин всех отрезков AB .
Любая прямая, параллельная прямой m , имеет уравнение y  x  k , где k —
некоторое фиксированное число. Вычислим координаты точек A и B в зависимости от
k.
 y  x2 ,

y  x  k
Отсюда x 2  x  k , x 2  x  k  0, D  1  4k . Следовательно, квадратное уравнение
имеет два различных корня при k   1 4 , и тогда
x1 
Следовательно,
1  1  4k
1  1  4k
, x2 
.
2
2
y1 
1  2k  1  4k
1  2k  1  4k
, y2 
.
2
2
Поэтому точки A и B имеют координаты
1  1  4k 1  2k  1  4k
(

)
2
2
1  1  4k 1  2k  1  4k
(

)
2
2
Отсюда середина отрезка AB имеет координаты ( 12  12  k ) .
Таким образом, множество середин всех отрезков с концами в точках пересечения
параболы y  x 2 с прямыми вида y  x  k совпадает с множеством точек, координаты
которых имеют вид ( 12  12  k ) , где k   14 . Получаем луч, параллельный оси ординат
(рисунок 5).
5.** Геометрическое исследование систем уравнений с параметром.
Между решениями системы двух уравнений с двумя неизвестными и координатами
точек пересечения кривых, заданных этими уравнениями, существует соответствие. Это
позволяет провести геометрическое исследование системы уравнений.
Пример 5. Найдем, при каких значениях параметра a система уравнений
 x 2  y 2  8,

| x -1|  | y -1| a
Имеет непустое множество решений
Решение. Первое уравнение системы x 2  y 2  8 задает окружность с центром O(0;0)
и радиусом r  2 2 (рисунок 6). Для изображения решений уравнения | x -1|  | y -1| a
вначале сделаем замену переменных z  x 1 , t  y  1 . Тогда уравнение будет выглядеть
как | z |  | t | a . Так как модуль больше 0, то уравнение имеет решение только при
a  0 , например при a  2 . При этом множество решений симметрично относительно
осей координат. Поэтому достаточно сначала изобразить решение уравнения при
положительных z и t. Но тогда уравнение запишется в виде z  t  2 . Следовательно
решения уравнения | z |  | t | 2 при положительных переменных изображается точками
отрезка прямой z  t  2 , лежащими в 1 четверти системы координат, а все множество
решений изображается квадратом (рисунок 7)
Возвращаясь к переменным x  z  1 и квадрата параллельным переносом на вектор
(1;1) получаем множество решений уравнения  x  1    y  1  2 (рисунок 8).
Аналогичные рассуждения можно провести при любом a  0 и получить, что при
a  0 решением уравнения  x  1    y  1  0 является одна точка F (11) , а при a  0
множество решений изображается квадратом с центром F , причем диагонали квадрата
параллельны координатным осям.
Полученное геометрическое представление решений каждого из уравнений начальной
системы позволяет провести полный анализ числа решений системы в зависимости от
параметра a .
I. При a  0 второе уравнение системы не имеет решений, поэтому и множество
решений самой системы пусто.
II. При малых неотрицательных значениях параметра a множество решений
уравнения  x  1    y  1  a либо точка, либо квадрат с малой стороной (рисунок 9). В
этом случае квадрат не пересекается с окружностью x 2  y 2  8 , а поэтому множество
решений начальной системы пусто. Так будет при возрастании a от нуля до тех пор,
пока не перейдем к следующему случаю.
III. При возрастании a наступит момент, когда две вершины квадрата попадут на
окружность, как на рисунке 10. В этом случае точка A имеет координаты (1 7 ) ,
соответствующее значение a равно 7  1 , а начальная система имеет два решения.
IV. При возрастании a от 7 квадрат начнет пересекать окружность в четырех
точках (рисунок 11). Так будет до тех пор, пока не перейдем к следующему случаю.
V. При возрастании a наступит момент, когда сторона квадрата касается окружности,
как на рисунке 12. В этом случае точка M имеет координаты (2;2), соответствующее
значение a равно 2, а начальная система имеет три решения.
VI. При возрастании a от 2 квадрат начнет пересекать окружность в двух точках
(рисунок 13). Так будет до тех пор, пока не перейдем к следующему случаю.
VII. При возрастании a наступит момент, когда две вершины квадрата будут вне
окружности, а две вершины попадут на окружность, как на рисунке 14. В этом случае
точка C имеет координаты (1 7) , соответствующее значение a равно 1  7 , а
начальная система имеет четыре решения.
VIII. При возрастании a от 7  1 квадрат начнет пересекать окружность в шести
точках (рисунок 15). Так будет до тех пор, пока не перейдем к следующему случаю.
IX. При возрастании a наступит момент, когда все вершины квадрата будут вне
окружности, а две его стороны касаются окружности, как на рисунке 16. В этом случае
точка K имеет координаты (2 2) , соответственное значение a равно 4, а начальная
система имеет четыре решения.
X. При возрастании a от 4 квадрат начнет пересекать окружность в двух точках
(рисунок 17). Так будет до тех пор, пока не перейдем к следующему случаю.
XI. При возрастании a наступит момент, когда все вершины квадрата будут вне
окружности, а одна из его сторон касаться окружности, как на рисунке 18. В этом случае
точка L имеет координаты ( 2 2) , соответствующее значение a равно 6, а начальная
система имеет одно решение.
XII. При возрастании a от 6 квадрат не будет пересекать окружность (рисунок 19).
Следовательно, при a  6 начальная система решений не имеет.
Проведенное исследование позволяет, например, сделать вывод, что система
уравнений
 x 2  y 2  8

 x  1    y  1  a
имеет нечетное число решений при a  2 и a  6 .
6.** Геометрические подходы к нахождению целочисленных решений уравнений с
несколькими неизвестными.
Геометрические рассуждения можно использовать при решении некоторых
уравнений в целых числах. Разберем это на примере нахождения всех пифагоровых
троек, то есть таких наборов положительных целых чисел (m n k ) , что
m2  n2  k 2 
1
Разделив обе части уравнения (1) на ненулевое число k 2 , получим равенство
m
n
( )2  ( )2  1
k
k
Так как числа x  mk и y  kn рациональны, то каждому целочисленному решению
уравнения (1) соответствует рациональное решение уравнения
2
x 2  y 2  1
Справедливо и обратное утверждение: если x 
p
q
и y  rs — некоторое рациональное
решение уравнения (2), то для целых чисел m  ps , n  qr , k  qs выполняется
равенство m 2  n 2  k 2 . Тем самым получается некоторое целочисленное решение
уравнения (1).
Таким образом, для получения всех целочисленных решений уравнения (1)
достаточно научится находить решения уравнения (2) в рациональных числах.
Геометрически это означает, что достаточно научиться находить на окружности
x 2  y 2  1 точки, обе координаты которых рациональны. Одна из таких точек M (1 0)
находится без особого труда (рисунок 20).
Покажем, что любую другую точку окружности x 2  y 2  1, обе координаты которой
рациональны, можно получить как вторую точку пересечения с этой окружностью
прямой l , которая проходит через точку M и имеет уравнение y   qp ( x  1) , где p и
q — произвольные фиксированные целые числа, причем q  0 .
Действительно, для получения координат точек пересечения прямой y  qp ( x  1) с
окружностью x 2  y 2  1 можно составить систему уравнений
 x 2  y 2  1

p
 y  q ( x  1)
Подставляя в первое уравнение системы выражение для y из второго уравнения,
получим
p2
x 2  2 ( x  1)2  1
q
Это квадратное уравнение имеет один известный корень x1  1 . Следовательно,
второй корень можно найти, выделяя множитель x  1:
p2
x 2  1  2 ( x  1)2  0
q
p2
( x  1))  0
q2
Приравнивая x  1 к нулю, получим x1   1 , а из уравнения
( x  1)( x  1 
( x  1)( x  1 
найдем x2 
q2  p2
q2  p2
. Тогда y2  qp ( x2  1) 
Найденная точка
P
p2
( x  1))  0
q2
2 pq
q2  p2
.
с рациональными координатами
( qq2  pp2  q22pqp2 )
2
2
лежит на
окружности x 2  y 2  1 (рисунок 21). Справедливо и обратное утверждение: уравнение
прямой MP при рациональных координатах точки P окружности x 2   y 2  1 можно
представить в виде y   mn ( x  1) , где m и n — целые числа. Например, пусть точка P
имеет координаты ( 135  12
. Тогда равенство y  mn ( x  1) при x  135 , y   12
имеет вид
13 )
13
m 5
m
1213
12
2
 13   n ( 13  1) , откуда n   1318   3 .
Следовательно, можно взять m  2 , n  3 , и тогда прямая y   23 ( x  1) пересечет
окружность x 2  y 2  1 в точках M (1 0) и P( 135  12
13 ) .
Подведем итоги. На окружности x 2   y 2  1 любую точку с рациональными
координатами можно получить как точку с координатами вида
q 2  p 2 2 pq
( 2

)
q  p2 q2  p2
при соответствующем выборе целых чисел p и q . Отсюда следует, что любая
упорядоченная тройка чисел вида
(q 2  p 2  2 pq q 2  p 2 )
(m n k ) уравнения m 2  n 2  k 2 . Любое
является
целочисленным
решением
целочисленное решение этого уравнения можно получить из упорядоченной тройки
чисел вида
(q 2  p 2  2 pq q 2  p 2 )
либо сокращением на общий делитель этих чисел, либо домножением этих чисел на
одно и то же целое число.
Контрольные вопросы
1. К решению какой системы можно свести задачу о нахождении точки пересечения
двух прямых?
2. Какая линия на плоскости задается уравнением вида ax  by  c  0 ?
3. В какой точке находится центр окружности, заданной уравнением
( x  a )2  ( y  b)2  r 2 ?
4. Чему равен радиус окружности, заданной уравнением ( x  a )2  ( y  b)2  r 2 ?
5. Сколько точек пересечения могут иметь прямая и парабола?
6. Как проверить, что точка ( x0 ; y0 ) лежит на прямой ax  by  c  0 ?
7. Какой вид имеют уравнения прямых, параллельных прямой ax  by  c  0 ?
8. Где расположено множество середин всех хорд параболы y  x 2 , параллельных
прямой y  x ?
9. Какое множество на координатной плоскости задается уравнением x  y  1 ?
10. Сколько точек с рациональными координатами лежит на окружности, задаваемой
уравнением x 2  y 2  1 ?
11. Какими формулами можно задать пифагоровы тройки чисел?
Задачи и упражнения
1. Найдите уравнение прямой, проходящей через точки:
а) A(31) и B(1 2) ;
б) A(7 2) и B(5 2) ;
в) A( 21) и B(2 4) ;
г) A(1 3) и B (1 3) .
2. Найдите точки пересечения окружности и прямой l :
а) x 2  y 2  2 и x  y  0 ;
б) x 2  y 2  2 x  4 y  20  0 с прямой x  y  4  0 .
3. Найдите точку пересечения эллипса x 2  3 y 2  36 с прямой 2 x  y  9  0
y 9  0 .
4. Найдите точку пересечения параболы x 2  18 y со следующими прямыми:
1) x  6 y  6  0 ;
2) 2 x  9 y  2  0 ;
3) x  4 y  5  0 ;
4) x  3  0 .
5. Составьте уравнение общей хорды параболы y 2  18 x и окружности
( x  6)2  y 2  100 .
6. Найдите уравнение прямой, симметричной прямой y  2 x  3 относительно
а) прямой x  2 ;
б) прямой y  1 .
7. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку (71) параллельно прямой
y  x.
8. Проверьте, что прямые y  3x  1 ; x  7 y  7 и x  y  7  0 при пересечении
образуют вершины равнобедренного треугольника.
9. Составьте уравнения касательных, проведенных:
1) из начала координат к окружности ( x  2)2  ( y  4)2  2 ;
2) из точки (71) к окружности x 2  y 2  25 .
10. Найдите те касательные к эллипсу
2 x  y  17  0 .
x2
30
2
y
 24
 1 , которые параллельны прямой
2
y
x
11. Известно, что прямая 4 x  5 y  40  0 касается эллипса 50
 32
  1 . Найдите
координаты точки касания.
12. Дана парабола y  121 x 2 . Проведите к ней касательную:
1) из точки с ординатой y  3 ;
2) параллельно прямой 3x  y  5  0 .
13. Найдите точки с рациональными координатами на окружности x 2  y 2  2 .
2
Ответы и указания к решению наиболее трудных задач.
Задача 6. Указания. а) Прямая y  2 x  3 с угловым коэффициентом k1  2
пересекает ось симметрии x  2 в точке M с координатами (2;7). В данной задаче
угловой коэффициент k2 симметричной прямой равен (k1 ) , то есть k2  2 .
Следовательно, симметричная прямая имеет уравнение y  2 x  b , где b  11 находится
из условия, что прямая проходит через точку M .
б) Прямая y  2 x  3 пересекает ось симметрии y  1 в точке N с координатами
(21) . В этой задаче угловой коэффициент симметричной прямой также равен (2) .
Поэтому симметричная прямая имеет уравнение y  2 x  m , где m  5 находится из
условия, что прямая проходит через точку N .
Задача 9. Указание. Опираясь на определение, уравнение касательной можно
находить как уравнение прямой, которая имеет с окружностью единственную точку
пересечения.
Задача 10. Указание. За одно из решений уравнения можно взять пару чисел (11) .
Остальные рациональные точки искать как пересечения с окружностью x 2  y 2  2
прямых вида y  1  qp ( x  1) , где p , q — произвольные пары целых чисел (q  0) . В
итоге все точки с рациональными координатами запишутся в виде

p2  2 pq  q 2
p q
2
2
q
2
 2 pq  p 2
p2  q2
.