Содержание 3
реклама
Математика 8-11 классы, выпуск 6
3
Содержание
Мендель Виктор Васильевич, доцент ДВГГУ, Шмарин Сергей Владимирович, преподаватель АМГГПУ
ТРИГОНОМЕТРИЯ В ГЕОМЕТРИИ ................................................................................. 4
Монина Мария Дмитриевна, преподаватель ДВГГУ
ОТ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧЕК К ОЛИМПИАДНЫМ ЗАДАЧАМ ..................................... 12
Пишкова Наталья Евгеньевна, преподаватель ДВГГУ, Поличка Анатолий Егорович, профессор ДВГГУ
ОТНОШЕНИЕ, ЗАВИСИМОСТЬ, ОТОБРАЖЕНИЕ, ФУНКЦИЯ................................... 32
§ 1.1
Введение ............................................................................................................................................................ 32
§ 1.2
Понятие величины ............................................................................................................................................ 32
§ 1.3
Отношения и отображения величин ............................................................................................................. 34
§ 1.4
Числовые величины ........................................................................................................................................... 34
§ 1.5
Функциональная зависимость ......................................................................................................................... 35
§ 1.6
Способы задания функции ............................................................................................................................... 40
§ 1.7
Основные свойства функций: четность, нечетность, периодичность, монотонность, ограниченность
42
§ 1.8
Вариант классификации функций, задаваемых аналитически: основные элементарные функции;
расширение этого множества ..................................................................................................................................... 43
§ 1.9
Упражнения-практикумы ............................................................................................................................... 46
Хабаровск 2011 г.
Мендель В.В., Монина М.Д., Пишкова Н.Е.,Поличка А.Е., Шмарин С.В.
4
Мендель Виктор Васильевич, доцент ДВГГУ, Шмарин Сергей Владимирович,
преподаватель АМГГПУ
ТРИГОНОМЕТРИЯ В ГЕОМЕТРИИ
П.1. Вместо введения
Название курса «Тригонометрия в геометрии» может показаться парадоксальным,
ведь исторически тригонометрия появилась как часть геометрии, исследующая
соотношения между сторонами и углами треугольника. Тем не менее, за
многовековую историю тригонометрия превратилась в самостоятельный раздел
математики. Тригонометрические функции получили широкое распространение в
теории колебаний, задачах математической физики, электротехнике и прочее и
прочее…
Цель предлагаемого курса – возвращение тригонометрии к ее «альма-матер» геометрии. Данное возвращение должно и может обогатить геометрию новыми
подходами к решению геометрических задач. Мы так же попробуем взглянуть на
хорошо известные факты геометрии под новыми ракурсами.
П.2. Основные понятия тригонометрии
1. Соотношение между сторонами
и
углами
прямоугольного
треугольника
Для угла : b – прилежащий
катет, a – противолежащий катет
sin
Разделим
c
a
, cos
b
c
в
теореме
(1).
Пифагора
a 2 b 2 c 2 обе части на c 2 , получим
Рисунок 1
основное тригонометрическое тождество:
2
2
a d
2
2
1 или sin cos 1.
c c
(2)
2. Отношение катетов:
a
tg - тангенс угла
b
(3),
b
ctg - котангенс угла
a
.
(4).
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 6
5
П.3. Тригонометрическая окружность
Рассмотрим
в
координатной
плоскости
окружность, центр которой расположен в начале
координат, а радиус равен единице. Пусть M –
произвольная точка на окружности. Вектор OM
называется радиус-вектором точки M. Угол между
осью
OX
и
Треугольник
вектором
OMMx
–
обозначим
.
прямоугольный,
его
OM
гипотенуза OM равна 1. Обозначим x и y
координаты точки M. По модулю они равны
Рисунок 2
катетам треугольника OMMx.
Из формул (1) и (2) следует что x cos , y sin .
Вспомним, что до сих пор мы считали угол
острым. Обобщим понятия «синус» и «косинус» на
углы, большие прямого, либо «отрицательные».
Определение
1.
Косинусом
и
синусом
произвольного угла будем называть абсциссу и
ординату точки M единичной окружности, такой,
что, вектор OM составляет с положительным
направлением оси OX угол .
Замечание. Угол считается положительным,
Рисунок 3
если обход от OX к OM направлен против часовой
стрелки.
В
противном
случае
угол
-
отрицательный.
П.4. Единичный вектор
1.
Рассмотрим
вектор
единичной
длины,
отложенный на плоскости от начала координат. Если
этот
Рисунок 4
Хабаровск 2011 г.
вектор
составляет
с
положительным
направлением оси OX угол , то его координаты
(согласно
определению
1)
равны
(см.
рис.4):
Мендель В.В., Монина М.Д., Пишкова Н.Е.,Поличка А.Е., Шмарин С.В.
6
e (cos ; sin ) (5) Заметим так же, что если угол
<0, то, положив получим:
e (cos ; sin )
(6) (смотри рисунок 5).
2. Если a и b - два вектора и угол между
ними, то скалярное произведение равно:
(a, b ) a b cos
(7).
Если известны координаты векторов a и b :
a {a1 , a2 } и b {b1 , b2 } , то скалярное произведение
можно вычислить по формуле:
(a , b ) a1b1 a2 b2
Рисунок 5
(8).
3. Так как cos 900 0 , то скалярное произведение перпендикулярных друг другу
(ортогональных) векторов равно нулю. Верно и обратное: если скалярное
произведение двух не нулевых векторов равно нулю то они ортогональны.
Зная координаты вектора a {a1 , a 2 } , легко найти
координаты перпендикулярного ему вектора той же
длины. Для этого достаточно поменять координаты
вектора a местами и заменить знак у одной из них на
противоположный:
b { a 2 , a1 } или b {a 2 ,a1 } .
Мы можем в этом убедиться вычислив скалярное
произведение (a , b ) по формуле (8).
4. Из формулы (7) следует, что
если a b =1, то (a , b ) cos (9).
П.5. Косинус суммы и разности двух углов
1. Рассмотрим два единичных вектора, таких, что
один составляет с положительным направлением оси
OX угол , а другой угол . Тогда угол между
Рисунок 6
векторами a и b равен . Заметим (см. (5) (6)), что
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 6
7
a {cos , sin } , b {cos , sin } .
По свойству (9) (a , b ) cos( ) . Вычислив это же скалярное произведение по
формуле (8), получим: (a , b ) cos cos sin sin . Отсюда следует известная
формула:
cos( ) cos cos sin sin
(10).
2. Пусть теперь векторы a и b составляют
с положительным направлением оси OX углы
и соответственно. Тогда угол между ними
равен
.
Координаты
векторов
a {cos , sin } , b {cos , sin } . Применив к
ним рассуждения из предыдущего под пункта,
получим формулу косинуса разности:
cos( ) cos cos sin sin (11)
Рисунок 7
П.6 Синус суммы и синус разности
1. Так как для острых углов и прямоугольного треугольника понятия
«прилежащий» и «противолежащий катет» двойственны, то
cos
b
c
sin и sin cos .
c
b
Из того, что 90 0 следует, что
cos sin( 900 ) и sin cos(900 )
(12).
2. Эти соотношения мы применим к п.5.
Итак: sin( ) cos(900 ) . Найдем косинус разности углов 90 0 и :
cos( 90 0 ) cos(90 0 ) cos sin( 90 0 ) sin .
Применим далее формулы (12) получим:
sin( ) sin cos sin cos
(13).
3. Аналогично sin( ) cos((90 0 ) ) . Найдем косинус суммы углов 90 0
и по формуле (11):
cos((90 0 ) ) cos(90 0 ) cos sin( 90 0 ) sin
sin cos sin cos .
Хабаровск 2011 г.
Мендель В.В., Монина М.Д., Пишкова Н.Е.,Поличка А.Е., Шмарин С.В.
8
Откуда
sin( ) sin cos sin cos
(14).
П.7 Тангенс суммы и разности
1. Тангенс суммы углов и представим в виде дроби:
tg ( )
sin( )
.
cos( )
Заменив синус и косинус суммы по формулам (11) и (13) получим
tg ( )
sin cos sin cos
.
cos cos sin sin
Разделив выражения в числителе и знаменателе на произведение cos cos ,
получаем
tg ( )
sin / cos sin / cos
tg tg
, или tg ( )
sin sin
1 tgtg
1
cos cos
(15).
П.8 Формулы суммы и разности тригонометрических функций
1. cos cos
Введем вспомогательные аргументы u
2
и v
2
. Тогда
cos(u v) cos u cos v sin u sin v ,
cos(u v) cos u cos v sin u sin v .
Если сложить левые и правые части этих уравнений, получим:
cos(u v) cos(u v) 2 cos u cos v ,
отсюда получим
cos cos 2 cos
2
cos
(16).
2
Если из первого уравнения вычесть второе, получим:
cos cos 2 sin
2
sin
2
(17).
2. sin sin
Используя тот же прием для синусов суммы и разности, можно получить
формулы:
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 6
9
sin sin 2 sin
sin sin 2 cos
2
2
cos
sin
(18),
2
(19).
2
3. Важные тождества для суммы и разности тангенсов
tg tg
sin sin sin cos sin cos
.
cos cos
cos cos
Сворачивая числитель, получаем:
tg tg
sin( )
cos cos
(20).
tg tg
sin( )
cos cos
(21).
Аналогично:
П.9 Сводная таблица выражений тригонометрических функций двойных и
половинных углов
1. Двойной угол
а. sin 2 2sin cos
б. cos 2 cos 2 sin 2 1 2 sin 2 2 cos 2 1
в. tg 2
2tg
1 tg 2
г. ctg 2
2tg
ctg 2 1
2. Половинный угол
а. cos
2
1 cos
2
1 cos
б. sin
2
2
в. tg
2
г. ctg
2
sin
1 cos
cos 1
sin
1 cos
sin
sin
1 cos
3. Другие тождества
а. Так как
(sin cos ) 2 1 2 sin cos 1 sin 2 ,
то
sin 2 (sin cos ) 2 1 .
Аналогично:
Хабаровск 2011 г.
Мендель В.В., Монина М.Д., Пишкова Н.Е.,Поличка А.Е., Шмарин С.В.
4
sin 2 1 (sin cos ) 2 .
Замечание:
Эти
формулы
позволяют
так
же
выражать сумму или разность sin и cos через
sin 2 .
б. 1 tg 2
1
1
cos
,
2
cos
1 tg 2
в. 1 ctg 2
1
1
sin
.
2
sin
1 ctg 2
Рисунок 8
П.10 Выражение периметра и площади треугольника через радиусы вписанной и
описанной окружности и углы
1. Заметим что в равнобедренном треугольнике с боковой стороной a и углом 2
основание b 2a sin . Кроме того, напомним, что величина центрального угла вдвое
больше величины вписанного угла, опирающегося
на ту же дугу. Поэтому справедлив рисунок 9.
Найдем
основания
равнобедренных
треугольников OAB, OAC и OBC:
c 2R sin , b 2R sin и a 2R sin .
Отсюда периметр треугольника равен:
PABC 2 R(sin sin sin )
(22).
Чтобы найти площадь треугольника, вычислим
площадь равнобедренных треугольников OAB, OAC
Рисунок 9
и OBC и сложим их:
S ABC
1 2
R (sin 2 sin 2 sin 2 )
2
(23).
2. Центр вписанной окружности треугольника
лежит
на
пересечении
его
биссектрис.
Проекции центра на стороны треугольника
Рисунок 10
являются точками касания вписанной окружности с этими сторонами.
Далее напомним, что в прямоугольном треугольнике
b actg , S
1 2
a ctg .
2
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 6
5
Применим эти формулы к шести прямоугольным треугольникам, на которые
разбивают данный треугольник биссектрисы его углов и радиусы вписанной
окружности, проведенные в точки касания со
сторонами (смотри рисунок 11), получаем:
PABC 2r ctg сtg сtg
2
2
2
(24),
S ABC r 2 ctg сtg сtg
2
2
2
(25).
Рисунок 11
П.11 Упражнения для самостоятельного решения
11.1. Синус острого угла равен
1
, найдите значения его косинуса и тангенса. (1 балл)
3
11.2. Тангенс половины тупого угла равен 2, найдите синус и косинус этого угла. (2
балла)
11.3. Тангенс острого угла равен
3
, найдите значения синуса, косинуса и тангенса его
4
половины. (2 балла)
11.4. Найдите косинус и синус суммы и разности двух острых углов и , если
sin
7
2
, cos . (2 балла)
4
5
11.5. Выразите радиусы вписанной и описанной окружностей равнобедренного
треугольника через его основание и угол при основании. (2 балла)
11.6. Сторона с в треугольнике равна 5, синус и косинус прилежащих острых углов sin
3
2
и cos соответственно. Найдите площадь этого треугольника. (2 балла)
4
5
П.12. Вычислительные задачи (до пяти баллов. В зависимости от решения)
12.1. Найдите sin 15o и tg75o.
12.2. Найдите sin 18o и tg72o.
12.3. Через вершины A и B треугольника ABC проходит окружность радиуса r,
пересекающая сторону BC в точке D. Найдите радиус окружности, проходящей через
точки A, D и C, если AB = c и AC = b.
12.4. В треугольнике ABC известны стороны: AB = 6, BC = 4, AC = 8. Биссектриса угла
C пересекает сторону AB в точке D. Через точки A, D и C проведена окружность,
пересекающая сторону BC в точке E. Найдите площадь треугольника ADE.
Хабаровск 2011 г.
6
Мендель В.В., Монина М.Д., Пишкова Н.Е.,Поличка А.Е., Шмарин С.В.
12.5. В остроугольном треугольнике ABC из вершин A и C опущены высоты AP и CQ
на стороны BC и AB. Известно, что площадь треугольника ABC равна 18, площадь
треугольника BPQ равна 2, а PQ = 2 2 . Найдите радиус окружности, описанной
около треугольника ABC.
12.6. В остроугольном треугольнике ABC из вершин A и C на стороны BC и AB
опущены высоты AP и CQ. Найдите сторону AC, если известно, что периметр
треугольника ABC равен 15, периметр треугольника BPQ равен 9, а радиус
окружности, описанной около треугольника BPQ, равен
9
.
5
12.7. Продолжения высот AM и CN остроугольного треугольника ABC пересекают
описанную около него окружность в точках P и Q. Найдите радиус описанной
окружности, если AC = a, PQ =
6а
.
5
12.8. В окружность радиуса 2 вписан правильный шестиугольник ABCDEF. Из точки
K, лежащей на продолжении стороны AF так, что KA < KF и KA = 11 1 , проведена
секущая KH, пересекающая окружность в точках N и H. Известно, что внешняя часть
секущей KN равна 2 (KN = 2), а угол NFH — тупой. Найдите угол HKF.
12.9. Около квадрата BEFC описана окружность радиуса 2 2 . Из точки P, лежащей на
продолжении стороны BC так, что PC < BP и PC = 28 2 , проведена секущая PA,
пересекающая окружность в точках D и A. Известно, что внешняя часть секущей PD
равна 4 (PD = 4), а угол BAC — тупой. Найдите угол BPA.
12.10. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R. Его диагонали
взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке P. Найдите AP2 + BP2 + CP2 + DP2
и AB2 + BC2 + CD2 + AD2.
12.11. Окружность радиуса 1 вписана в треугольник ABC, в котором cos B = 0, 8. Эта
окружность касается средней линии треугольника ABC, параллельной стороне AC.
Найдите сторону AC.
12.12. В равнобедренной трапеции лежат две окружности. Одна из них, радиуса 1,
вписана в трапецию, а вторая касается двух сторон трапеции и первой окружности.
Расстояние от вершины угла, образованного двумя сторонами трапеции,
касающимися второй окружности, до точки касания окружностей вдвое больше
диаметра второй окружности. Найдите площадь трапеции.
12.13. В выпуклом четырёхугольнике ABCD проведена диагональ AC, AD = 7, BC = 3,
ACD = 60o. Известно, что точки A, B, C, D лежат на одной окружности, и
перпендикуляр, проведённый из точки A к стороне CD, делит угол BAD пополам.
Найдите диагональ AC.
12.14. В треугольнике ABC отрезок MN с концами на сторонах AC и BC параллелен
основанию AB и касается вписанной окружности. Предполагая, что углы A и B
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 6
известны и равны соответственно 2
треугольников ABC и MNC.
7
и 2 , найдите коэффициент подобия
12.15. Две окружности разных радиусов касаются в точке A одной и той же прямой и
расположены по разные стороны от неё. Отрезок AB -- диаметр меньшей окружности.
Из точки B проведены две прямые, касающиеся большей окружности в точках M и N.
Прямая, проходящая через точки M и A, пересекают меньшую окружность в точке K.
Известно, что MK = 2 3 , а угол BMA равен 15o. Найдите площадь фигуры,
ограниченной отрезками касательной BM, BN и той дугой MN большей окружности,
которая не содержит точку A.
12.16. В треугольнике ABC угол ABC равен , угол BCA равен 2 . Окружность,
проходящая через точки A, C и центр описанной около треугольника ABC
окружности, пересекает сторону AB в точке M. Найдите отношение AM к AB.
12.17. В треугольнике ABC угол BCA равен , а угол ABC равен 2 . Окружность,
проходящая через точки A, C и центр описанной около треугольника ABC
окружности, пересекает продолжение стороны AB (за точку A) в точке M. Найдите
отношение AM к AB.
12.18. В равнобедренной трапеции с острым углом при основании окружность,
построенная на боковой стороне как на диаметре, касается другой боковой стороны.
В каком отношении она делит большее основание трапеции?
12.19. Длина окружности, описанной около равнобедренного треугольника, в три раза
больше длины окружности, вписанной в этот треугольник. Найдите углы
треугольника.
12.20. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, в 4 раза
меньше радиуса окружности, описанной вокруг него. Найдите углы треугольника.
12.21. Площадь круга, описанного около равнобедренного треугольника, в 36 раз
больше площади вписанного круга. Найдите углы треугольника.
12.22. Дана равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность и около
которой описана окружность. Отношение длины описанной окружности к длине
вписанной окружности равно 2 5 . Найдите углы трапеции.
12.23. В окружность вписан равнобедренный треугольник с основанием a и углом при
основании . Кроме того, построена вторая окружность, касающаяся обеих боковых
сторон треугольника и первой окружности. Найдите радиус второй окружности.
12.24. В равнобедренный треугольник с основанием a и углом при основании
вписана окружность. Кроме того, построена вторая окружность, касающаяся
основания, одной из боковых сторон треугольника и вписанной в него первой
окружности. Найдите радиус второй окружности.
Хабаровск 2011 г.
Мендель В.В., Монина М.Д., Пишкова Н.Е.,Поличка А.Е., Шмарин С.В.
8
12.25. В треугольнике ABC перпендикуляр, проходящий через середину стороны AB,
пересекает сторону AC в точке M, причём MA:CM = 3. Перпендикуляр, проходящий
через середину стороны AC, пересекает сторону AB в точке N, причём AN:BN= 2.
Найдите углы треугольника ABC.
12.26. В треугольнике ABC известно, что CAB = 75o , ABC = 45o . На стороне CA
берется точка K , причём CK:AK = 3 . На стороне CB берется точка M . Найдите
KM:AB, если известно, что это отношение меньше
3
4
и что прямая MK отсекает от
треугольника ABC треугольник, ему подобный.
12.27. Из вершины тупого угла ромба ABCD проведены высоты BM и BN. В
четырёхугольник BMDN вписана окружность радиуса 1. Найдите сторону ромба, если
ABC = 2arctg2.
12.28. Из вершины A острого угла ромба ABCD опущены перпендикуляры AM и AN на
продолжения сторон BC и CD. В четырёхугольник AMCN вписана окружность
1
2
радиуса 1. Найдите сторону ромба, если
BAC = 2arctg .
12.29. Основание AC равнобедренного треугольника ABC является хордой
окружности, центр которой лежит внутри треугольника ABC. Прямые, проходящие
через точку B, касаются окружности в точках D и E. Найдите площадь треугольника
DBE, если AB=BC = 2,
ABC = 2 arcsin
1
5
, а радиус окружности равен 1.
12.30. Биссектрисы углов A и B трапеции ABCD ( BC || AD) пересекаются в точке O.
Найдите стороны AB и BC, если
A = 2 arccos
5
, OC =
6
7 , OD = 3 15 , AD = 5BC.
12.31. Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке O.
Найдите площадь параллелограмма, если
A = 2 arcsin
2
13
, OA = 2 10 , OD = 5.
(Найдите все решения).
12.32. В выпуклом четырёхугольнике ABCD сторона AB равна
5
, сторона BC равна
8
4
33
, сторона AD равна 12 . Известно, что угол DAB острый, синус угла DAB равен
5
40
3
63
, косинус угла ABC равен . Окружность с центром в точке O касается сторон
5
65
19
BC, CD и AD. Найдите OD.
12.33. В остроугольном треугольнике две высоты равны 3 и 2 2 , а их точка
пересечения делит третью высоту в отношении 5:1, считая от вершины треугольника.
Найдите площадь треугольника.
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 6
9
12.34. В параллелограмме ABCD большая сторона AD равна 5. Биссектрисы углов A и
B пересекаются в точке M. Найдите площадь параллелограмма, если BM = 2, а
cos BAM =
4
.
5
12.35. Докажите, что для произвольного треугольника выполняется равенство
r
a sin
2
cos
sin
2.
2
П.13. Задачи на доказательство. Разные задачи (до пяти баллов в зависимости от
решения)
13.1. На окружности, описанной около прямоугольника ABCD , выбрана точка K .
Оказалось, что прямая CK пересекает отрезок AD в точке M такой, что AM:MD=2 .
Пусть O — центр прямоугольника. Докажите, что точка пересечения медиан
треугольника OKD лежит на окружности, описанной около треугольника COD .
13.2. В четырёхугольнике ABCD известно, что AB = BC , A = B = 20o , C=30o .
Продолжение стороны AD пересекает BC в точке M, а продолжение стороны CD
пересекает AB в точке N . Найдите угол AMN.
13.3. Два правильных многоугольника с периметрами a и b описаны около
окружности, а третий правильный многоугольник вписан в эту окружность. Второй и
третий многоугольники имеют вдвое больше сторон, чем первый. Найдите периметр
третьего многоугольника.
13.4. В окружность вписаны три правильных многоугольника, число сторон каждого
последующего вдвое больше, чем у предыдущего. Площади первых двух равны S 1 и
S2 . Найдите площадь третьего.
13.5. На сторонах треугольника внешним образом построены три квадрата. Какими
должны быть углы треугольника, чтобы шесть вершин этих квадратов, отличных от
вершин треугольника, лежали на одной окружности?
13.6. В окружность радиуса R вписан шестиугольник ABCDEF. Известно, что A =
C = E, AB = a, CD = b, EF = c. Найдите площадь шестиугольника ABCDEF.
Подсказка. Треугольник BDF — равносторонний.
13.7. Вписанная в треугольник ABC окружность радиуса 1 касается его сторон AB ,
BC и AC соответственно в точках K , M и N . Известно, что MKN = ABC = 45o .
Найдите стороны треугольника ABC .
13.8. Диагональ BD четырёхугольника ABCD является диаметром окружности,
описанной около этого четырёхугольника. Найдите диагональ AC, если BD = 2,
AB=1, ABD : DBC = 4 : 3.
13.9. Окружность проходит через вершины A и B треугольника ABC и касается
прямой AC в точке A. Найдите радиус окружности, если BAC = , ABC = и
площадь треугольника ABC равна S.
Подсказка. Пусть D — точка пересечения данной окружности со стороной BC. Зная
площадь треугольника ABC, найдите AB с помощью теоремы синусов. Затем
докажите, что ADB = 180o- .
13.10. Через точку M, лежащую внутри окружности S, проведена хорда AB; из
точки M опущены перпендикуляры MP и MQ на касательные, проходящие через
Хабаровск 2011 г.
10
Мендель В.В., Монина М.Д., Пишкова Н.Е.,Поличка А.Е., Шмарин С.В.
точки A и B. Докажите, что величина 1/PM + 1/QM не зависит от выбора хорды,
проходящей через точку M.
13.11. В трапеции BCDE основание BE = 13, основание CD = 3, CE = 10. На
описанной около трапеции BCDE окружности взята отличная от E точка A так, что
CA = 10. Найдите длину отрезка BA и площадь пятиугольника ABCDE. Ответ 3;
4098
.
61
13.12. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1. На
меньшей дуге AB описанной окружности выбрана такая точка L , что LC=CB. При
этом оказалось, что BLB1 = 90o . Докажите, что высота AA1 делится высотой BB1
пополам.
13.13. Окружность с центром на стороне AB равнобедренного треугольника ABC
(AB=BC) касается отрезка AC в точке F , пересекает отрезок BC в точке G, проходит
через точку B и пересекает отрезок AB в точке E , причём AE = a, BFG = γ . Найдите
радиус окружности.
13.14. Даны две непересекающиеся окружности, к которым проведены две общие
внешние касательные. Рассмотрим равнобедренный треугольник, основание которого
лежит на одной касательной, противоположная вершина — на другой, а каждая из
боковых сторон касается одной из данных окружностей. Докажите, что высота
треугольника равна сумме радиусов окружностей.
13.15. Радиус вписанной в треугольник PQR окружности равен 5, причём RP = RQ. На
прямой PQ взята точка A, удалённая от прямых PR и QR на расстояния 12 и 2
соответственно.
Найдите
косинус
угла
AQR.
Дана равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность и около которой
описана окружность. Отношение высоты трапеции к радиусу описанной окружности
равно
2
. Найдите углы трапеции.
3
13.16. Длина окружности, описанной около равнобедренного треугольника, в три раза
больше длины окружности, вписанной в этот треугольник. Найдите углы
треугольника.
13.17. Дана равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность и около
которой описана окружность. Площадь описанного круга в 12 раз больше площади
вписанного круга. Найдите углы трапеции.
13.18. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, в 4 раза
меньше радиуса окружности, описанной вокруг него. Найдите углы треугольника.
13.19. Дана равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность и около
которой описана окружность. Отношение длины описанной окружности к длине
вписанной окружности равно 2 5 . Найдите углы трапеции.
13.20. Площадь круга, описанного около равнобедренного треугольника, в 36 раз
больше площади вписанного круга. Найдите углы треугольника.
13.21. Окружность с центром в точке O, лежит на гипотенузе AC прямоугольного
треугольника ABC, касается его катетов AB и BC. Найдите AC, если известно, что
AM =
20
, AN : MN = 6 : 1, где M — точка касания AB с окружностью, а N — точка
9
пересечения окружности с AC, расположенная между точками A и O.
13.22. На гипотенузе KM прямоугольного треугольника KLM расположен центр O
окружности, которая касается катетов KL и LM в точках A и B соответственно.
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 6
Найдите AK, если известно, что BM =
11
23
, AK : AC = 5 : 23, где C — точка
16
пересечения окружности с KM, лежащая между точками O и M.
13.23. В прямоугольном треугольнике ABC из точки E, расположенной в середине
катета BC, опущен перпендикуляр EL на гипотенузу AB. Найдите углы треугольника
ABC, если AE = 10 . EL и BC > AC.
13.24. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BD и AE,
пересекающиеся в точке P . Докажите, что AB2 = AP·AE + BP·BD.
13.25. В треугольнике ABC угол C в два раза больше угла A и AC=2BC. Докажите,
что этот треугольник прямоугольный.
13.26. На основании AB равнобедренного треугольника ABC выбрана точка D так,
что окружность, вписанная в треугольник BCD, имеет тот же радиус, что и
окружность, касающаяся продолжений отрезков CA и CD и отрезка AD
(вневписанная окружность треугольника ACD). Докажите, что этот радиус равен
1
4
высоты треугольника, опущенной на её боковую сторону.
13.27. Во вписанном четырёхугольнике ABCD длины сторон BC и CD равны.
Докажите, что площадь этого четырёхугольника равна
1
AC 2 sin A .
2
13.28. На диаметре AC некоторой окружности дана точка E. Проведите через неё
хорду BD так, чтобы площадь четырёхугольника ABCD была наибольшей.
13.29. На сторонах AB и AD квадрата ABCD взяты точки K и N соответственно. При
этом AK . AN = 2BK . DN. Отрезки CK и CN пересекают диагональ BD в точках L и
M. Докажите, что точки K, L, M, N и A лежат на одной окружности. Докажите, что
сумма квадратов расстояний от точки, лежащей на окружности, до вершин
правильного вписанного в эту окружность треугольника есть величина постоянная, не
зависящая от положения точки на окружности.
13.30. Площадь треугольника равна 1. Докажите, что средняя по длине его сторона не
меньше 2 .
13.31. Периметр выпуклого четырёхугольника равен 4. Докажите, что площадь
четырёхугольника не превосходит 1.
13.32. Диагонали выпуклого четырёхугольника равны d1 и d2. Какое наибольшее
значение может иметь его площадь?
13.33. Каждая сторона выпуклого четырёхугольника меньше a. Докажите, что его
площадь меньше a2.
Хабаровск 2011 г.
Мендель В.В., Монина М.Д., Пишкова Н.Е.,Поличка А.Е., Шмарин С.В.
12
Монина Мария Дмитриевна, преподаватель ДВГГУ
От логических задачек к олимпиадным задачам
Тема 1. Логические задачи. Истинные и ложные утверждения.
Взвешивания. Числовые ребусы
Под логическими задачами обычно понимают такие задачи, которые решают с
помощью одних лишь логических операций.
Логические
задачи
могут
решаться
и
фактически
решаются
обычными
рассуждениями. Иногда их решение требует длинных рассуждений, необходимое
направление которых заранее нельзя предугадать.
Такими задачами увлекались ещё в древности. Вот одна из них.
Пример 1. Утомившись от споров и летнего зноя, три древнегреческих философа
прилегли под деревом сада Академии и уснули. Пока они спали, шутники испачкали
углем их лбы.
Проснувшись, и взглянув друг на друга, все пришли в весёлое настроение начали
смеяться, но это никого не тревожило, так как каждому казалось естественным,
что двое других смеются друг над другом.
Внезапно один из мудрецов (А) перестал смеяться, так как сообразил, что его
собственный лоб тоже испачкан. Как он рассуждал?
Решение. А рассуждал так:
- Каждый из нас может думать, что его собственный лоб чистый. Б уверен, что его
лицо чистое и смеётся над измазанным лбом В. Но если бы Б видел, что моё лицо
чистое, то он удивился бы смеху В, так как в этом случае В смеялся бы без причины.
Однако Б не удивлён, значит он может думать, что В смеётся надо мной.
Следовательно, мой лоб чёрный!
Пример 2. Один путешественник отправился на остров, населённый двумя
племенами, о которых ему было известно, что в одном племени все высокие, а в
другом низкие, что члены одного из племён всегда говорят правду, а члены другого
всегда врут, и что те и другие знают английский язык.
Высадившись на остров, путешественник встретил двух туземцев – высокого и
низкого. Высокий на заданный ему по-английски вопрос путешественника: «Всегда ли
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 6
13
вы говорите правду?» - ответил: «Карра бум», а низенький сказал, что это значит
«да». Какому племени принадлежал каждый туземец?
Решение. 1) Пусть низкий лжец, тогда «кара бум» означает «нет», в таком случае
высокий не принадлежит ни к племени лжецов (так как там все низкие, а он высокий),
ни к племени правдивцев (так как он не всегда говорит правду). Но это невозможно,
так как он должен принадлежать к одному из племён.
2) Пусть низкий - правдивец, тогда «Карра бум» означает «да», и тогда высокий лжец.
Есть особый вид логических задач, решение которых удобно оформлять в виде
таблицы.
Пример 3. Три брата (Иван, Дмитрий и Сергей) преподают различные дисциплины
(химию, историю, биологию) в университетах Москвы, Петербурга и Киева.
1) Иван работает не в Москве, а Дмитрий не в Петербурге.
2) Москвич преподаёт не историю.
3) Тот, кто работает в Петербурге, преподаёт химию.
4) Дмитрий преподаёт не биологию.
Что и в каком университете преподает Сергей?
Решение. При решении этой задачи целесообразно по ходу рассуждений заполнять
нижеприведённую таблицу знаками «л», «и», в зависимости от того ложно или
истинно высказывание, «соответствующее» данной клетке таблицы.
Заполним таблицу, в соответствии с условиями.
Исходя из условий 1) и 4)можем заполнить три клетки.
Дальше рассуждаем так:
ввиду того, что Дмитрий работает не в Петербурге (1), а согласно (3) тот, кто
работает в Петербурге, преподаёт химию, то Дмитрий преподаёт не химию. В клетку,
соответствующую строке «Дмитрий» и столбцу «химия» ставим «л».
Москва
Петербург
Киев
Л
И
л
И
Л
Л
Л
Хабаровск 2011 г.
Химия
Биология
История
Иван
и
л
л
л
Сергей
л
и
л
и
Дмитрий
л
л
и
Мендель В.В., Монина М.Д., Пишкова Н.Е.,Поличка А.Е., Шмарин С.В.
14
Из таблицы видно, что Дмитрий преподаёт историю. В соответствующую клетку
ставим «и». А для всех остальных (Ивана и Сергея) – «л».
Согласно (2) Москвич преподаёт не историю, следовательно, Дмитрий работает не
в Москве. Но так как Иван тоже не работает в Москве, то там работает Сергей.
Занесём эти данные в таблицу. Иван работает в Петербурге, так как Дмитрий – в
Киеве.
Следовательно, согласно (3), Иван преподаёт химию. А так как Дмитрий
преподаёт историю, то Сергей преподаёт биологию.
В результате постепенного заполнения получится таблица. (Не поленитесь
проделать заполнение самостоятельно по ходу рассуждений!)
Итак, Сергей работает в Московском университете и преподаёт биологию.
Для сложной и запутанной задачи, мы получили красивое и простое решение.
Существуют задачи, в которых дано несколько высказываний о предметах и
сказано, сколько из них верно, сколько верно лишь наполовину.
Пример 4. В салоне небольшого самолета было 42 пассажира. Некоторые из них
были москвичами, остальные – иногородними. Среди москвичей было 9 мужчин.
Некоторые из пассажиров были артистами, но
ни одна из иногородних женщин артисткой не
была. Всего иногородних мужчин было 18.
Из
них
13
не
были
артистами.
Среди
пассажиров, не являвшихся артистами, была 16
мужчин и 11 женщин. 5 москвичей не были
артистами. Сколько всего артистов было в
самолёте?
Решение. Построим диаграмму.
Нанесём на диаграмму (маленький круг – это
артисты, большой – не артисты, снаружи – всего человек) то, что нам известно:
1) 9 мужчин - москвичи;
2) область «иногородние женщины артистки» закрашена, так как иногородних
артисток нет;
3) 18 иногородних мужчин;
4) 13 – иногородних не артисты, следовательно, артистов 18-13= 5;
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 6
15
5) так как среди пассажиров 16 мужчин не артистов, а иногородних не артистов
мужчин 13, то москвичей 16-13=3.
6) тогда московских мужчин - артистов 9-3=6;
7) так как среди москвичей 5 не артистов и из них только трое мужчин, значит 53=2 женщин;
8) а так как среди не артистов было всего 11 женщин и 2 из них москвички, то 112=9 – иногородних;
9) используем, что всего пассажиров 42 и узнаем, сколько было артистов. Для
этого от общего числа отнимем число не артистов: 42-(2+9+3+13)=15 человек.
Тема 2. Четность
Многие задачи легко решаются, если заметить, что некоторая величина имеет
определённую чётность. Из этого следует, что ситуации, в которых эта величина
имеет другую чётность, невозможны. Иногда эту величину (функцию) надо
сконструировать, например, рассмотреть чётность суммы или произведения, разбить
объекты на пары, заметить чередование состояний, раскрасить объекты в два цвета.
Чётность в играх – это возможность сохранить чётность некоторой величины при
своем ходе.
Пример 1. Кузнечик прыгал вдоль прямой и вернулся в исходную точку (длина
прыжка 1 м). Докажите, что он сделал чётное число прыжков.
Решение. Поскольку кузнечик вернулся в исходную точку, количество прыжков
вправо равно количеству прыжков влево, поэтому общее количество прыжков чётно.
Пример 2. Существует ли замкнутая 7-звенная ломаная, которая пересекает
каждое свое звено ровно один раз?
Решение. Допустим, что существует. Тогда пересекающиеся звенья образуют пары.
Следовательно, количество звеньев должно быть чётным. Противоречие.
Пример 3. У марсиан бывает произвольное число рук. Однажды все марсиане
взялись за руки так, что свободных рук не осталось. Докажите, что число марсиан,
у которых нечётное число рук, чётно.
Решение. Назовём марсиан с чётным числом рук чётными, а с нечётным –
нечётными. Поскольку руки образуют пары, то общее число рук чётно. Общее число
Хабаровск 2011 г.
Мендель В.В., Монина М.Д., Пишкова Н.Е.,Поличка А.Е., Шмарин С.В.
16
рук у чётных марсиан чётно, поэтому общее число рук у нечётных марсиан тоже
чётно. Следовательно, число нечётных марсиан чётно.
Тема 3. Делимость и остатки
В данном разделе далее будем рассматривать только целые числа.
Определение. Число а делится на число b (или b делит а) если существует такое
число с, что а = =b∙c. При этом число c называется частным от деления а на b.
Обозначения: ab - а делится на b или ba – b делит a.
Пример 1. Докажите, что число n3 − n делится на 6 при всех целых n.
Решение. Разложим данное выражение на множители: n3 − n = (n − 1)n(n + 1). Мы
получили произведение трёх последовательных целых чисел. Одно из них делится на
3, поэтому произведение делится на 3. По крайней мере одно из трёх
последовательных чисел чётно, поэтому произведение чётно. Число, делящееся на 2 и
3, делится на 6.
Пример 2. Докажите, что существует бесконечно много чисел, не представимых в
виде суммы трёх квадратов.
Решение. Квадрат целого числа при делении на 8 даёт остаток 0, 1 или 4. Чтобы
убедиться в этом достаточно проверить квадраты всевозможных остатков от деления
на 8 – числа от 0 до 8. Поэтому сумма трёх квадратов не может иметь остаток 7.
Пример 3. Докажите, что число, в десятичной записи которого участвуют три
единицы и несколько нулей, не может быть квадратом.
Решение. Если такое число существует, то оно делится на 3, но не делится на 9 (по
признакам делимости на 3 и 9).
Но если число делится на 3 и является полным квадратом, то оно делится на 9.
Противоречие.
Тема 4. Обратный ход
Если в задаче задана некоторая операция, и эта операция обратима, то можно
сделать «обратный ход» от конечного результата к исходным данным. (Например,
надо вынести шкаф из комнаты. Пройдёт ли он через дверь? Пройдёт, потому что
через дверь его внесли.) Анализ с конца используется в играх при поиске
выигрышных и проигрышных ситуаций.
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 6
17
Пример 1. На озере расцвела одна лилия. Каждый день число цветков удваивалось, и
на двадцатый день всё озеро покрылось цветами. На который день покрылась
цветами половина озера?
Решение. Начнем с конца. Пусть сегодня половина озера покрылась цветами. Через
сколько дней покроется всё озеро? Завтра! И это будет 20-й день.
Ответ: за 19 дней.
Пример 2. Три мальчика делили 120 фантиков. Сначала Петя дал Ване и Толе
столько фантиков, сколько у них было. Затем Ваня дал Толе и Пете столько, сколько
у них стало. И наконец, Толя дал Пете и Ване столько, сколько у них к этому
моменту имелось. В результате всем досталось поровну. Сколько фантиков было у
каждого в начале?
Решение. Мы знаем, что в конце у всех оказалось по 40 фантиков, а перед этим у
Пети и Вани было вдвое меньше. Значит, у Пети и Вани было по 20, а у Толи –80. А
перед этим у Пети и Толи было вдвое меньше, т. е. у Пети было 10, у Толи – 40, у
Вани –70. И наконец, возьмём половину фантиков у Вани и Толи и вернем Пете.
Ответ: у Пети было 65 фантиков, у Вани – 20, а у Толи – 35.
Тема 5. Оценка + пример
Важно помнить, что иногда в условии содержится подсказка на идею решения. К
таким задачам, например, относятся те, условия которых содержат словосочетания:
«какое наименьшее (наибольшее)», «при каком наименьшем (наибольшем)» и т.п.
Идеей решения является «оценка + пример».
Пример 1. Каково наименьшее натуральное n, такое что n!делится на 18, на 19, на
20 и на 21?
Решение. Заметим, что число 19 простое, поэтому если n<19, то n! не делится на 19.
Осталось понять, что 19! делится и на 18, и на 19, и на 20 (20 = 54), и на 21 (21 = 73).
Следовательно, n = 19.
Пример 2. Несколько камней весят вместе 10 тонн, при этом каждый из них вест
не более одной тонны. На каком количестве трехтонок можно увезти этот груз за
один раз?
Решение. Покажем, что на пяти трехтонках можно увезти весь груз за один раз.
Действительно, на каждой из четырех первых трехтонок можно увезти более двух
Хабаровск 2011 г.
Мендель В.В., Монина М.Д., Пишкова Н.Е.,Поличка А.Е., Шмарин С.В.
18
тонн камней, т.е. первые 4 машины увезут по крайней мере 8 т камней. Оставшиеся
камни (суммарным весом менее двух тонн) увезет пятая машина. Покажем теперь,
что четырех машин может не хватить. Действительно, если бы изначально было 13
камней весом по
10
т каждый, то одна трехтонка увезла бы только три таких камня,
13
то есть 4 трехтонки могут увезти лишь 12 из 13 камней.
Тема 6. Доказательство от противного
Рассуждают примерно так: «Допустим, исходное утверждение неверно. Если из
этого получим противоречие, то исходное утверждение верно».
Пример 1. Докажите, что простых чисел бесконечно много.
Решение. Предположим противное, пусть p1, p2, . . . ,pn – все простые числа.
Рассмотрим число N = p1p2 ∙…∙ pn+1. Оно не делится ни на одно из чисел p1, p2,…, pn,
иными словами, ни на одно простое число. Получаем противоречие с тем, что любое
число имеет хотя бы один простой делитель.
Пример 2. Пять мальчиков нашли девять грибов. Докажите, что хотя бы двое из
них нашли грибов поровну.
Решение. Допустим, что мальчики нашли разное количество грибов. Расставим их по
возрастанию числа найденных грибов. Первый собрал не меньше нуля, второй – не
меньше одного, третий – не меньше двух, четвёртый – не меньше трёх, пятый – не
меньше четырёх. Всего – не меньше десяти. Противоречие.
Пример 3. Докажите, что не существует треугольной пирамиды, у которой к
каждому ребру примыкает тупой угол одной из граней.
Решение. Допустим, что такая пирамида существует. Поскольку в треугольнике
против тупого угла лежит самая длинная сторона, то для каждого ребра найдётся
более длинное ребро. Это невозможно, так как количество рёбер у пирамиды
конечно. Противоречие.
Замечание. Вместе с рассуждением от противного мы использовали «Метод
крайнего».
Тема 7. Принцип Дирихле
В простейшем виде его выражают так: «Если десять кроликов сидят в девяти
ящиках, то в некотором ящике сидят не меньше двух».
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 6
19
Общая формулировка: «Если n кроликов сидят в k ящиках, то найдётся ящик, в
котором сидят не меньше чем n/k кроликов, и найдётся ящик, в котором сидят не
больше чем n/k кроликов».
Пусть вас не смущает дробное число кроликов − получается, что в ящике не
меньше 10/9 кроликов, значит, не меньше двух.
Доказательство принципа Дирихле простое, но заслуживает внимания, поскольку
похожие рассуждения часто встречаются.
Допустим, что в каждом ящике сидят меньше чем n/k кроликов. Тогда во всех
ящиках вместе кроликов меньше чем n/k ∙ k = n. Противоречие.
Принцип Дирихле кажется очевидным, однако, чтобы его применить, бывает не
просто догадаться, что считать кроликами, а что − ящиками.
Зная принцип Дирихле, можно догадаться, в каких случаях его применять.
Например, если каждому элементу множества A соответствует ровно один элемент
множества B, то элементы A можно назвать кроликами, а элементы B − ящиками.
Принцип Дирихле бывает непрерывным: «Если n кроликов съели m кг травы, то
какой-то кролик съел не меньше m/n кг и какой-то съел не больше m/n кг» (а если ктото съел больше среднего, то кто-то съел меньше среднего).
Заметим, что в последней формулировке кролики играют роль ящиков для травы, а
трава − роль кроликов, сидящих в ящиках.
Пример 1. В школе 400 учеников. Докажите, что хотя бы двое из них родились в
один день года.
Решение. Всего в году бывает 366 дней. Назовём дни ящиками, а учеников −
кроликами. Тогда в некотором ящике сидят не меньше 400/366 кроликов, т. е. больше
одного.
Следовательно, не меньше двух.
Можно рассуждать от противного. Допустим, что каждый день отмечают день
рождения не больше одного ученика, тогда всего учеников не больше 366.
Противоречие.
Пример 2. Кот Базилио пообещал Буратино открыть великую тайну, если он
составит чудесный квадрат 6× 6 из чисел +1, −1, 0 так, чтобы все суммы по
строкам, по столбцам и по большим диагоналям были различны. Помогите
Буратино.
Хабаровск 2011 г.
Мендель В.В., Монина М.Д., Пишкова Н.Е.,Поличка А.Е., Шмарин С.В.
20
Решение. Допустим, что квадрат составлен. Тогда суммы чисел могут меняться в
пределах от −6 до +6. Всего 13 значений. Строк в квадрате 6, столбцов 6, диагоналей
2. Получаем 14 различных сумм. Противоречие, значит составить такой квадрат
невозможно.
Пример 3. На Земле океан занимает больше половины площади поверхности.
Докажите,
что
в
мировом
океане
можно
указать
две
диаметрально
противоположные точки.
Решение. Отразим океан симметрично относительно центра Земли. Поскольку сумма
площадей океана и его образа превышает площадь земной поверхности, то
существует точка, принадлежащая океану и его образу. Возьмём эту точку вместе с
противоположной к ней.
Пример 4. На собеседование пришли 65 школьников. Им предложили 3 контрольные
работы. За каждую контрольную ставилась одна из оценок: 2, 3, 4 или 5. Верно ли,
что найдутся два школьника, получившие одинаковые оценки на всех контрольных?
Решение. Рассмотрим множество наборов из трёх оценок за соответствующие
контрольные. Количество таких наборов равно 43 или 64 (4 возможности за каждую
из трёх контрольных). Поскольку число учащихся больше 64, по принципу Дирихле
каким-то двум учащимся соответствует один набор оценок.
Тема 8. Метод крайнего
Особые, крайние объекты часто служат «краеугольным камнем» решения. Так,
например, рассматривают наибольшее число, ближайшую точку, угловую точку,
вырожденную окружность, предельный случай. Поэтому полезно сразу рассматривать
особые, крайние объекты.
В задачах на метод крайнего работает метод минимального контрпримера:
допустим, утверждение задачи неверно. Тогда существует минимальный в некотором
смысле контрпример. И если окажется, что его можно ещё уменьшить, то получится
искомое противоречие.
Пример 1. Плоскость разрезана вдоль N прямых общего положения. Докажите, что
к каждой прямой примыкает треугольник.
Решение. Выберем прямую и рассмотрим точки пересечения других прямых между
собой. Среди этих точек пересечения выберем ближайшую к нашей прямой. Две
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 6
21
прямые, проходящие через эту точку, пересекают исходную прямую и образуют с ней
треугольник. Этот треугольник не могут пересекать другие прямые (подумайте,
почему).
Пример 2. В каждой клетке шахматной доски записано число. Оказалось, что любое
число равно среднему арифметическому чисел, записанных в соседних (по стороне)
клетках. Докажите, что все числа равны.
Решение. Рассмотрим наибольшее из чисел. Оно равно своим соседям. Поскольку
любые два числа соединяются цепочкой соседних чисел, все числа равны.
Тема 9. Метод математической индукции
Принцип математической индукции заключается в следующем.
Утверждение справедливо для всякого натурального n, если:
1) оно справедливо для n=1 и
2) из справедливости утверждения для какого либо произвольного натурального n=k
следует его справедливость при n=k+1.
Пример 1. Доказать, что формула 1+3+5+…+(2n-1)=n2 верна, при любом
натуральном числе n.
Решение. Для доказательства этой гипотезы достаточно установить два факта.
Первый факт заключается в том, что для n=1 (и даже для n=2,3,4…) нужное
утверждение верно. Второй – в том, что можно осуществить так называемый шаг
индукции, который состоит в следующем: предположим, что утверждение верно при
n=k, то есть 1+3+5+…+(2k-1)=k2, и проверим, что тогда оно верно и для n=k+1.
Имеем:
1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)= (1+3+5+…+(2k-1))+(2k+1)= k2+(2k+1)= (k+1)2.
Значит, доказываемое утверждение верно для всех значений n.
Пример 2. Докажите, что число состоящее из 243 единиц, делится на 243.
Решение. Заметим, что 243 = 35. Попробуем доказать более общее утверждение, что
число, составленное из 3n единиц, делится на 3n. Оказывается, это проще.
Для n = 1 утверждение верно (111 делится на 3).
Заметим, что 111111111 = 111 · 1001001, и вообще число из 3n единиц разлагается
на множители:
1
...1 = 1
...1 ∙10…010…01
3n 1
Хабаровск 2011 г.
3n
Мендель В.В., Монина М.Д., Пишкова Н.Е.,Поличка А.Е., Шмарин С.В.
22
причём, второй множитель делится на 3 (по признаку делимости на 3). Итак, в
последовательности чисел 111, 111111111, . . . , «3n единиц» каждое следующее равно
...1 делится на
предыдущему, умноженному на число, кратное трём. Поэтому, если 1
3n 1
...1 делится на 3n. Теперь индукция очевидна.
3n−1, то 1
3n
Замечание. Мы специально не использовали слов «база индукции» и «шаг индукции
», чтобы не отвлекать внимание от более существенных моментов.
Тема 10. Математические игры
Под понятием математической игры мы понимаем игру двух соперников,
обладающую
следующим
свойством.
В
каждый
момент
игры
состояние
характеризуется позицией, которая может изменяться только в зависимости от ходов
игроков. Для каждого из игроков некоторые позиции объявляются выигрышными.
Добиться выигрышной для себя позиции и есть цель каждого. Иногда игры
допускают ничью. Это означает, что ни один из игроков не может добиться
выигрышной для него позиции, или некоторые позиции объявлены ничейными.
Например, шахматы, шашки, крестики - нолики являются математическими играми.
А игры в кости, домино, большинство карточных игр математическими играми не
являются, так как состояние игры зависит не только от ходов соперника, но и от
расклада или результата бросания кости.
В математических играх существуют понятия выигрышной стратегии, т. е. набора
правил (можно сказать, инструкции или алгоритма), следуя которым, один из игроков
обязательно выиграет (не зависимо от того, как играет его соперник), и ничейной
стратегии, следуя которой один из игроков обязательно добьётся либо выигрыша,
либо ничьей.
В любой математической игре существует либо выигрышная стратегия для одного
из игроков, либо ничейные стратегии для обоих (если игра допускает ничью). В
зависимости от этого игра называется выигрышной для первого или второго игрока,
или ничейной.
Например, крестики-нолики (на доске 3 × 3) являются ничейной игрой. К какому из
перечисленных случаев относятся шахматы и шашки неизвестно. Хотя стратегия
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 6
23
(либо выигрышная, либо ничейная) в этих играх существует, она не найдена, поэтому
соревнования по этим играм пока представляют интерес.
Соответствие. Наличие удачного ответного хода (может обеспечиваться
симметрией, разбиением на пары, дополнением числа).
Решение с конца. Последовательно определяются позиции, выигрышные и
проигрышные для начинающего. Очередная позиция являются выигрышной, если из
неё можно получить ранее определённую проигрышную позицию, и является
проигрышной, если любой ход из неё ведёт к попаданию в ранее определённую
выигрышную позицию.
Передача хода. Если мы можем воспользоваться стратегией противника, то наши
дела не хуже чем у него. Например, выигрыш (или ничья) обеспечивается, когда
можно по своему желанию попасть в некоторую позицию либо заставить противника
попасть в неё.
Пример 1. Двое кладут по очереди пятаки на круглый стол. Проигрывает тот, кто
не сможет положить очередной пятак. Кто выигрывает?
Решение. Выигрывает первый. Он кладёт пятак в центр стола, после чего на любой
ход второго у первого всегда есть симметричный ответ.
Пример 2. В куче 25 камней. Игроки берут по очереди 2, 4 и 7 камней. Проигрывает
тот, у кого нет хода. Кто победит?
Идея решения. Случаи 0 и 1 камня проигрышны для начинающего. Поэтому случаи
2, 3, 4, 5, 7, 8 камней для начинающего выигрышны: своим ходом он переводит игру в
позицию, проигрышную для противника. Аналогично, 6 и 9 камней проигрышны для
начинающего, поскольку из них можно перейти только в позицию, выигрышную для
противника. Рассуждая аналогично, легко установить периодичность выигрышных и
проигрышных позиций и получить ответ.
Задачи
1.1. На улице, став в кружок, беседуют четыре девочки: Аня, Валя, Галя, Надя.
Девочка в зеленом платье (не Аня и не Валя) стоит между девочкой в голубом платье
и Надей. Девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом платье и Валей.
Какое платье носит каждая из девочек?
Хабаровск 2011 г.
Мендель В.В., Монина М.Д., Пишкова Н.Е.,Поличка А.Е., Шмарин С.В.
24
1.2. В трех мешках находятся крупа, вермишель и сахар. На одном мешке написано
«крупа», на другом – «вермишель», на третьем – «крупа или сахар». В каком мешке
что находится, если содержимое каждого из них не соответствует надписи?
1.3. Мачеха, уезжая на бал, дала Золушке мешок, в котором были перемешаны мак
и просо, и велела перебрать их. Когда Золушка уезжала на бал, она оставила три
мешка: в одном – просо, в другом – мак, а в третьем – еще не разобранная смесь.
Чтобы не перепутать мешки, Золушка к каждому из них приклеила таблички: «Мак»,
«Просо», «Смесь». Мачеха вернулась с бала первой и нарочно поменяла местами
таблички так, чтобы на каждом мешке оказалась неправильная запись. Ученик Фе
успел предупредить Золушку, что теперь ни одна надпись на мешках не соответствует
действительности. Тогда Золушка достала только одно-единственное зернышко из
одного мешка и, посмотрев на него, сразу догадалась, где что лежит. Как она это
сделала?
1.4. В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода.
Известно, что вода и молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между кувшином
и сосудом с квасом, в банке не лимонад и не вода. Стакан стоит около банки и сосуда
с молоком. В какой сосуд налита каждая из жидкостей?
1.5. Олег, Игорь и Аня учатся в 6-ом классе. Среди них есть лучший математик,
лучший шахматист и лучший художник. Известно, что: а) Аня никогда не
проигрывала мальчикам в шахматы; б) лучший художник не нарисовал своего
портрета, но нарисовал портрет Игоря. Кто в классе лучший математик, лучший
шахматист и лучший художник?
1.6. Инопланетяне сообщили жителям Земли, что в системе их звезды три планеты
А, Б, В. Они живут на второй. Далее передача сообщения ухудшилась из-за помех, но
было принято еще два сообщения, которые, как установили ученые, оказались оба
ложными: а) А – не третья планета от звезды; б) Б – вторая планета. Какими
планетами от звезды являются А, Б, В?
1.7. Три подруги вышли в белом, синем, зеленом платьях и туфлях таких же
цветов. Известно, что только у Ани цвет платья и туфель совпадает. Ни платье, ни
туфли Вали не были белыми. Наташа была в зеленых туфлях. Определить цвет платья
и туфель каждой подруги.
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 6
25
1.8. Три студента: Андреев, Борисов и Воронов учатся на различных факультетах
Поморского
государственного
университета
(математическом,
физическом
и
историческом). Все они приехали из различных городов: Вельска, Северодвинска,
Няндомы; причем один из них увлекается футболом, другой – баскетболом, третий –
волейболом.
Известно, что:
1) Андреев не из Няндомы, а Борисов не из Северодвинска;
2) Студент, приехавший из Няндомы, учится не на математическом факультете;
3) Северодвинец учится на историческом факультете и увлекается футболом;
4) Воронов учится на математическом факультете;
5) Студент физического факультета не любит волейбол.
Из какого города приехал каждый студент, на каком факультете он учится и каким
видом спорта увлекается?
1.9. В парламенте одной из стран 150 депутатов. По крайней мере, один из них
честен. В каждой паре депутатов хотя бы один продажен. Сколько всего честных
депутатов в парламенте данной страны?
1.10. Пришел Иван-царевич в подземелье к Кощею Бессмертному Василису
Прекрасную освобождать. В подземелье три темницы. В одной из них томится
Василиса, в другой расположился Змей Горыныч, а третья темница пустая. На дверях
есть надписи, но все они ложные. На первой темнице написано: «Здесь Василиса
Прекрасная»; на второй темнице: «Темница№3 не пустая»; на третьей темнице
написано: «Здесь Змей Горыныч». В какой же темнице Василиса?
1.11. Четверо ребят – Алексей, Борис, Владимир и Григорий участвовали в лыжных
гонках. На следующий день на вопрос, кто какое место занял, они ответили так:
Алексей: Я не был ни первым и ни последним;
Борис: Я не был последним;
Владимир: Я был первым;
Григорий: Я был последним.
Известно, что три из этих ответов были правдивыми, а один – ложью. Кто сказал
правду? Кто был первым?
1.12. Вера, Нина, Оля и Люба надели платья разных цветов: красное, синее, белое и
голубое. На вопрос, кто из них в каком платье, три мальчика ответили:
Хабаровск 2011 г.
Мендель В.В., Монина М.Д., Пишкова Н.Е.,Поличка А.Е., Шмарин С.В.
26
Александр: «Оля – в синем, Люба – в белом»;
Борис: «Оля – в красном, Нина – в синем»;
Виктор: «Вера – в синем, Люба – в голубом».
В каждом ответе только одна часть верна, а другая нет. Какого цвета платье надето
на каждой девочке?
1.13. Петя, Вася, Коля и Миша играли в футбол. Кто-то разбил мячом стекло. На
вопрос: «Кто это сделал?» пятеро свидетелей ответили так:
Первый: «То ли Петя, то ли Вася»;
Второй: «То ли Петя, то ли Коля»;
Третий: «То ли Коля, то ли Миша»;
Четвертый: «То ли Миша, то ли Вася»;
Пятый: «Не знаю». Потом оказалось, что трое из свидетелей сказали правду, а двое
– неправду.
Знал ли пятый свидетель, кто разбил стекло?
1.14. Петя, Коля, Вася, Саша и Вова играли в футбол. Кто-то из ребят разбил мячом
стекло. На вопрос: «Кто это сделал?» они ответили так:
Коля: «То ли Петя, то ли Вася»;
Петя: «То ли Петя, то ли Коля»;
Вася: «То ли Коля, то ли Миша»;
Саша: «То ли Миша, то ли Вася»;
Вова: «Не знаю». Потом оказалось, что двое из ребят сказали правду, а двое –
неправду.
Знал ли Вова, кто разбил стекло?
1.15. На острове два племени. Люди одного из них говорили всегда правду, а люди
другого племени – только ложь.
Путешественник вышел на развилку дорог, и ему нужно было спросить у
проходящего мимо островитянина, какая дорога ведет в деревню. Отличить по
внешнему виду лживого от правдивого он не мог. Путешественник задумался, а затем
задал встречному только один вопрос. По ответу он узнал, по какой дороге ему
следует идти. Какой вопрос он задал островитянину?
2.1. Можно ли разменять 25 рублей десятью купюрами достоинством 1, 3 и 5
рублей?
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 6
27
2.2. Девять шестеренок зацеплены по кругу: первая со второй, вторая с третьей и т.
д., девятая с первой. Могут ли они вращаться? А если шестеренок n?
2.3. В ряд стоят 100 фишек. Разрешается менять местами любые две фишки,
стоящие через одну. Можно ли таким способом переставить фишки в обратном
порядке?
2.4. Даны 6 чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Разрешается к любым двум из них прибавлять 1.
Можно ли все числа сделать равными?
2.5. Все кости домино выложили в цепочку по правилам игры. На одном конце
оказалась пятёрка. Что может оказаться на другом конце?
2.6. Может ли прямая, не проходящая через вершины 11- угольника, пересекать все
его стороны?
2.7. На столе стоят 7 перевёрнутых стаканов. Разрешается одновременно
переворачивать любые два стакана. Можно ли добиться того, чтобы все стаканы
стояли правильно?
2.8. В языке дикарей хотийцев всего два звука: «ы» и «у». Два слова означают одно
и то же, если одно получается из другого при помощи некоторого числа следующих
операций: пропуска идущих подряд звуков «ыу» или «ууыы» и добавления в любом
месте звуков «уы». Означают ли одно и то же слова «уыу» и «ыуы» ?
2.9. На доске написаны числа 1, 2, . . . , 101. Разрешается стереть любые два числа и
написать их разность. Повторив эту операцию 100 раз, мы получим одно число.
Докажите, что это число не может быть нулем.
2.10. Улитка ползёт по плоскости с постоянной скоростью и каждые 15 минут
поворачивает на 90о. Докажите, что она может вернуться в исходную точку только
через целое число часов.
2.11. В трёх вершинах квадрата сидели кузнечики. Они стали играть в чехарду:
один из кузнечиков прыгает в точку, симметричную относительно другого. Сможет
ли хоть один кузнечик попасть в четвёртую вершину квадрата?
3.1. Однажды царь наградил крестьянина яблоком из своего сада. Пошёл
крестьянин к саду и видит: весь сад огорожен тройным забором, в каждом заборе
только одни ворота, и в каждых воротах стоит сторож. Подошёл крестьянин к
первому сторожу и показал царский указ, а сторож ему в ответ: «Иди возьми, но при
выходе отдашь мне половину тех яблок, что несёшь, и ещё одно». То же ему сказали
Хабаровск 2011 г.
Мендель В.В., Монина М.Д., Пишкова Н.Е.,Поличка А.Е., Шмарин С.В.
28
второй и третий сторож. Сколько яблок должен взять крестьянин, чтобы после
расплаты со сторожами у него осталось одно яблоко?
3.2. Трём братьям дали 24 бублика так, что каждый получил на три бублика
меньше, чем ему лет. Меньший брат был сообразительный и предложил поменять
часть бубликов: «Я, – сказал он, – оставлю половину бубликов, а другую разделю
между вами поровну; после этого средний брат также оставит половину бубликов, а
другую разделит поровну между мной и старшим братом. В конце старший брат
поделит так же». Так они и сделали. Оказалось, что все получили поровну. Сколько
лет каждому брату?
3.3. Учитель раздавал школьникам открытки. Первому он дал одну открытку и
одну десятую оставшихся. Второму он дал две открытки и одну десятую оставшихся
и т. д. Девятому он дал девять открыток и одну десятую оставшихся. Оказалось, что
все получили поровну и все открытки были розданы. Сколько всего было открыток?
4.1. В лесу растет миллион елок. Известно, что на каждой из них не более 600 000
иголок. Докажите, что в лесу найдутся две елки с одинаковым количеством иголок.
4.2. В классе 35 учеников. Можно ли утверждать, что среди них найдутся хотя бы
два ученика, фамилии которых начинаются с одной буквы?
4.3. На дискотеку в студенческое общежитие, в котором 42 комнаты, пришли 36
гостей. Докажите, что найдется комната, в которую не пришёл ни один гость.
4.4. В мешке лежат 10 белых и 10 черных шаров. Они тщательно перемешаны и не
различимы на ощупь. Какое наименьшее число шаров нужно вытянуть из мешка
вслепую, чтобы среди них наверняка оказались 2 шара:
1) одного цвета,
2) разного цвета,
3) белого цвета?
4.5. Верно ли, что из любых трех целых чисел можно выбрать два, сумма которых
четна?
4.6. В класс 37 учеников. Докажите, что среди них найдутся 4 ученика,
отмечающие день рождения в одном месяце.
4.7. В школе учатся 1200 учеников. Найдется ли день, в который отмечают свои
дни рождения не меньше, чем 4 ученика данной школы?
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 6
29
4.8. В школе 33 класса, 1150 учеников. Найдется ли класс, в котором меньше 35
учеников?
4.9. В магазин привезли 26 ящиков с яблоками трех сортов, причем в каждом
ящике лежат яблоки какого-то одного сорта. Можно ли найти 9 ящиков с яблоками
одного сорта?
4.10. В классе 29 учеников. Петя Иванов сделал в диктанте 13 ошибок, остальные
ученики – меньше. Докажите, что в классе найдется, по крайней мере, три ученика,
сделавших ошибок поровну.
4.11. В классе 26 учеников, из них более половины – мальчики. Докажите, что
какие-то два мальчика сидят за одним столом (в классе 13 столов).
4.12. На шахматном столе размером 88 Вася расставил 14 фигур. Докажите, что
найдется квадрат размера 22, в котором не будет фигур (фигуры размещаются
внутри клеток размера 11).
4.13. Дано 9 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать два, разность
которых делится на 8.
4.14. Внутри правильного шестиугольника со стороной 1 см расположено 7 точек.
Докажите, что расстояние между некоторыми двумя точками меньше чем 1 см.
4.15. В прямоугольнике 34 расположено шесть точек. Докажите, среди них
найдутся две точки, расстояние между которыми не превосходит
5.
4.16. В первенстве по хоккею участвуют 5 команд. Каждые две из них должны
сыграть между собой один
матч. Доказать, что в любой момент соревнования
имеются две команды сыгравшие одинаковое число матчей.
4.17. 30 команд участвуют в первенстве по футболу. Каждые две команды должны
сыграть между собой один матч. Докажите, что в любой момент состязаний имеются
две команды сыгравшие одинаковое число матчей.
4.18. Несколько дуг одной окружности покрасили в красный цвет. Сумма длин
окрашенных дуг меньше половины длины окружности. Докажите, что существует
диаметр, оба конца которого не окрашены.
4.19. В классе 13 мальчиков и 6 девочек, каждый день они в течение двух недель
ходили в кино, причем не было двух таких дней, когда в кино ходило бы одинаковое
количество детей. Докажите, что найдется день когда в кино ходила по крайней мере,
одна девочка в компании не менее чем 8 мальчиков.
Хабаровск 2011 г.
Мендель В.В., Монина М.Д., Пишкова Н.Е.,Поличка А.Е., Шмарин С.В.
30
4.20. На далекой планете, имеющей форму шара, суша занимает больше половины
поверхности планеты. Докажите, что можно прорыть туннель проходящий через
центр планеты, который соединит сушу с сушей.
5.1. Путешественник отправился из своего родного города A в самый удалённый от
него город страны B; затем из B – в самый удалённый от него город C и т. д.
Докажите, что если C не совпадает с A, то путешественник никогда не вернется
домой. (Расстояния между городами страны различны).
5.2. Назовём автобусный билет (c шестизначным номером) счастливым, если сумма
цифр его номера делится на 7. Могут ли два билета подряд быть счастливыми?
5.3. В одну из голов стоглавого дракона пришла мысль расположить свои головы
так, чтобы каждая находилась между двумя другими. Сможет ли он это сделать?
(Головы дракона можно считать точками в пространстве.)
6. Докажите утверждение, используя метод математической индукции:
1. (n3+5n) 6;
2. (2n3+3n2+7n) 6;
3. (22n-1) 3;
4. 3+5+7+…+(2n+1)=n(n+2);
5. 1+4+7+…+(3n-2)=
6. 12+22+32+…+n2=
n(3n 1)
;
2
n(n 1)( 2n 1)
.
6
7.1. Есть куча из n спичек. За один ход разрешается брать от 1 до 10 спичек,
выигрывает взявший последнюю спичку. При каких n выигрывает начинающий?
7.2. В крайних клетках полоски 1× 20 стоят белая и чёрная шашки. Двое по очереди
передвигают свою шашку на одну или две клетки вперед или назад, если это
возможно (перепрыгивать через шашку нельзя). Проигрывает тот, кто не может
двинуть свою шашку. Как играть начинающему, чтобы выиграть?
7.3. По кругу расставлены 8 точек. Двое по очереди соединяют их отрезками.
Первый отрезок проводится произвольно, а каждый следующий начинается из конца
предыдущего. Проигрывает тот, кто не может провести новый отрезок (дважды
проводить один отрезок нельзя). Кто победит при правильной игре?
7.4. В строчку выписаны натуральные числа от 1 до 20. Двое по очереди ставят
перед этими числами знак «+» или «-» (знак можно ставить перед любым числом,
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 6
31
перед которым он ещё не стоит, включая первое). Игра заканчивается после того, как
проставлены все 20 знаков, затем вычисляется значение получившегося выражения.
Первый хочет добиться, чтобы оно было по абсолютной величине как можно меньше,
а второй – как можно больше. Какое наибольшее по абсолютной величине значение
может обеспечить в итоге второй игрок?
7.5. В строчку выписаны 1992 звёздочки. Двое игроков по очереди заменяют их на
цифры от 0 до 9. Может ли второй игрок добиться того, чтобы окончательное число
делилось бы на 1993?
7.6. Есть две кучи камней, причём в большей – 8 камней. Два игрока по очереди
берут либо несколько камней из одной кучи, либо по равному количеству камней из
обеих куч. Выигрывает тот, кто возьмет последний камень. Кто выиграет при
правильной игре?
7.7. На трёх крайних справа полях доски 1×n стоит по фишке. Двое по очереди
берут одну из фишек и передвигают её на несколько полей влево. Проигрывает тот,
кто не может сделать свой ход. Кто выигрывает при правильной игре?
7.8. В 50 коробках лежат 100 конфет. Девочка и мальчик берут поочередно по
конфете. Может ли мальчик добиться того, чтобы последние две конфеты лежали в
одной коробке?
7.9. В одной куче 18 конфет, а в другой − 23. Двое по очереди съедают одну из куч,
а другую делят ещё на две кучи. Тот, кто не сможет поделить кучу (если там одна
конфета), проигрывает. Как должен играть начинающий, чтобы выиграть?
Хабаровск 2011 г.
Мендель В.В., Монина М.Д., Пишкова Н.Е.,Поличка А.Е., Шмарин С.В.
32
Пишкова Наталья Евгеньевна, преподаватель ДВГГУ, Поличка Анатолий
Егорович, профессор ДВГГУ
ОТНОШЕНИЕ, ЗАВИСИМОСТЬ, ОТОБРАЖЕНИЕ, ФУНКЦИЯ
§ 1.1 Введение
Роль научного изучения действительности велика. Понимание законов
реальной действительности позволяет не только созерцать ее, слепо ей подчиняться,
но и влиять на ее развитие. Одной из наук, занимающейся управлением и связями в
различных системах: искусственных, биологических и социальных, является
кибернетика. Основные методы у нее – это моделирование и алгоритмизация. Отсюда
видна важная роль, в частности, математического моделирования. Под ним будем
понимать
отражение
объекта
реальной
действительности
средствами
математического языка. На этом пути появляются математические модели,
математические соотношения между числовыми величинами.
Для овладения методами математического моделирования необходимо изучить:
- язык математики;
- основные факты математики, необходимые для рассмотрения уже известных
математических моделей, используемых в профессиональной деятельности;
-
основные
известные
методы
построения
математических
моделей,
необходимые для создания новых моделей.
Языком можно назвать средства некоторой науки, предназначенные для
переработки информации. Алфавитом называется набор символов, используемых для
передачи информации. Используемый в математике алфавит состоит из букв и
символов русского, греческого, латинского алфавитов, арабских и римских цифр, и
знаков операций и специальных символов.
Для сокращения записи будем использовать следующие обозначения языка: для любого;
- существует; - следовательно;
- тогда и только тогда.
§ 1.2 Понятие величины
Примером
процесса
математического
моделирования
является
процесс
решения простейших так называемых «текстовых» задач с помощью сведения их к
уравнениям или неравенствам. Наиболее интересен для приложений не сам этап
получения решения и записи его в виде математической символики, а следующий
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 6
33
этап. Это исследование зависимости решения от параметров, которые были
объявлены данными. В этом смысле, с формальной точки зрения, никаких
специальных уравнений или неравенств с параметрами нет.
Пример. Рассмотрим уравнение x 2 ax a 2 0 . Его можно понимать как квадратное
уравнение относительно неизвестного х, а можно понимать как квадратное уравнение
относительно неизвестного а с параметром х. Следует же понимать это уравнение с
двумя неизвестными х и а. В левой части уравнения стоит математическое выражение
от двух аргументов х и а.
Множество решений такого уравнения – это множество пар чисел, при
подстановке которых в уравнение получается верное равенство.
Взгляд относительно х говорит о решении уравнения относительно х. В этом
случае аргументы х и а считают неравноправными. Поэтому необходимо выразить
при решении х через а, которое называют «параметром».
Можно рассмотреть это уравнение по-другому, взгляд относительно а:
необходимо иметь ответ в таком виде, чтобы для каждого значения а было указано,
какие числа х в паре с этим а дают решения данного уравнения.
На этом пути, если брать разные основания для классификаций, учитывая
различные взгляды на аргументы, входящие в эту модель, получим спектр разных
типов уравнений (неравенств).
Основаниями для классификаций могут например быть:
- вид математического выражения (линейные, квадратные и т.д.);
- количество неизвестных и выражений (системы и т.д.);
- количество параметров.
В реальных задачах (например, с физическим содержанием), естественно
вводится неравноправие аргументов, входящих в уравнение. Они делятся на
«неизвестные», обозначаемые, как правило, последними буквами латинского
алфавита (…, x, y, z), и «параметры», обозначаемые первыми буквами (a, b, c,…).
Описанные аргументы принято еще называть величинами. Это понятие особенно
важно для реализации его цифровыми средствами. На этом пути необходимо
рассматривать
у
величины
программировании на ЭВМ.
Хабаровск 2011 г.
ее
тип.
Особенно
это
ярко
проявляется
в
Мендель В.В., Монина М.Д., Пишкова Н.Е.,Поличка А.Е., Шмарин С.В.
34
§ 1.3 Отношения и отображения величин
Одно из направлений математического моделирования основано на поиске
аналитической зависимости между факторами, регулирующими рассматриваемый
процесс. В каких отношениях они состоят?
Уже на первом этапе задаются вопросы:
1. Что дано?
2. Что требуется?
3. Какие данные допустимы?
4. Какие результаты будут правильными, а какие нет?
Этот этап процесса моделирования состоит из определения цели и
формирования, так называемой, целевой функции рассматриваемого объекта
моделирования.
Второй этап — составление списка переменных и их ранжирование по степени
влияния на целевую функцию.
Таким образом, возникает необходимость описания понятия функциональной
зависимости и разработки специального аппарата ее исследования. Этим занимается
раздел математики — математический анализ.
§ 1.4 Числовые величины
Для дальнейшего рассмотрения важными являются величины, значениями
которых являются действительные числа. Это так называемы числовые величины. В
школьном курсе множество R действительных чисел определяется как объединение
множества рациональных и иррациональных чисел.
N = {n=1, 2, 3, … } – множество натуральных чисел;
Z { p 0,1,2,...} - множество целых чисел;
Q {
p
p,q Z,q 0} - множество рациональных чисел;
q
J = { х
х - бесконечные десятичные непериодические дроби}, то есть,
иррациональные числа.
Определение. Числовой осью называется множество точек, удовлетворяющее
свойствам:
1) точки лежат на прямой линии;
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 6
35
2) задана точка О — начало отсчета, направление и масштаб. Обычно числовая
ось изображается следующим образом:
Из свойств действительных чисел и их представления в виде десятичных
дробей следует теорема.
Теорема. Каждому действительному числу можно поставить в соответствие
единственную точку на числовой оси, и наоборот, каждой точке действительной оси
соответствует единственное действительное число.
Упражнение. Построить отрезок длины
2 , 3, 5 .
Определение. Координатной плоскостью называется декартово произведение R2
числовой оси R самой на себя.
§ 1.5 Функциональная зависимость
В практике работы предприятия важно установить количественную связь
между результатом, или эффектом, некоторого процесса и условиями его получения,
по крайней мере, часть из которых, является управляемыми, хотя и не обязательно в
рамках изучаемого процесса. Под результатом чаще всего понимается выпуск
продукции некоторой производственной единицы — предприятия, отрасли, региона,
всего хозяйства в целом в натуральном или денежном выражении, а под условиями –
ресурсы (истраченные, использованные или наличные). Ресурсы обычно называются
факторами производства. Для определенного предприятия или отрасли, выпускающей
однородный продукт, производственные функции часто связывают объем выпуска в
Хабаровск 2011 г.
Мендель В.В., Монина М.Д., Пишкова Н.Е.,Поличка А.Е., Шмарин С.В.
36
натуральных единицах с затратами рабочего времени по видам трудовой
деятельности, различными видами сырья, энергии и т.д. (измеренными как и выпуск в
натуральных единицах). Производственные функции на уровне крупных отраслей,
регионов или всего хозяйства в целом обычно используют агрегированные
стоимостные измерители и отражают не только (и не столько) технологические, но и
экономические закономерности. Концепция производственных функций базируется в
первую очередь на идее замещения между факторами, т.е. на гипотезе о том, что один
и тот же выпуск может быть получен при разных комбинациях используемых
ресурсов. При этом речь идет о замещении как между различными ресурсами в
рамках одной и той же технологии, так и между различными технологиями
производства одного и того же продукта или между различными продуктами,
имеющими разную ресурсоемкость.
Для изучения функций необходимо разработать аппарат их исследования. Для
этого будут рассмотрены основные свойства функций и введены понятия предела,
производной, интеграла и степенного ряда.
Примером производственной функции является функция Кобба-Дугласа
Y
A K L ,
Y – количество выпуска продукции, A – некоторый числовой коэффициент, K числовой измеритель основных фондов, L -трудовых ресурсов, α, β - числовые
параметры.
Применим для описания этого аппарата теоретико-множественный язык.
Определение. Пусть даны два множества X и Y ; каждому элементу x из X
поставлен в соответствие единственный элемент у из Y . Тогда говорят, что между X
и Y имеется функциональная зависимость, у зависит от х.
Обозначения:
f
f: X Y или X Y , где
f — обозначение функциональной зависимости; х - аргумент; f(x) — значение;
X - область определения;
f(X) — область значений = {у | у = f(x), х X }.
Примеры:
1) X = R; Y 0, ; у = х2.
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 6
37
2) X 0, ; Y 0, ; y
x.
X 0,, Y ,0 ; y x .
Понятие функции
Определение. Пусть каждому элементу х множества X
из R поставлен в
соответствие единственный элемент у множества Y из R , тогда говорят, что на
множестве X задана числовая функция одной переменной:
у = f(x).
Область определения, множество значений
Множество X в приведенном определении называют областью определения
функции D(f), а множество таких y, что у = f(x) для всех x из D(f), называют областью
значений F(D).
Примеры.
1) Исследования показывают, чтобы между спросом и предложением все время
сохранялось равновесие, необходимо, чтобы цена р(t) изменялась в зависимости от
времени в соответствии с формулой
p( x) 9e 10t p0 .
Здесь область определения по условиям модели: t 0, , а область значений:
p 1, p0 .
2) Периметр p правильного n - угольника, вписанного в круг данного радиуса
R, определяется формулой:
p(n) 2 Rn sin(180 / n) .
Область
определения:
D( p) n n 2, n Z ,
область
значения
—
p(D) 0 .
3). Рассмотрим уравнение, описывающее окружность. Для определенности
пусть это будут точки плоскости, находящиеся на одинаковом расстоянии R от начала
координат O(0, 0). Уравнение имеет вид:
х 2 + у 2 = R2 .
Отсюда
y R2 x2
т.е. можно описать две функции:
Хабаровск 2011 г.
Мендель В.В., Монина М.Д., Пишкова Н.Е.,Поличка А.Е., Шмарин С.В.
38
(1) y
R 2 x 2 , D( f ) x R x R, f ( D) y 0 y R/
(2) y R 2 x 2 , D( f ) x R x R, f ( D) y R y 0
График функции
Определим далее понятие графика функции.
Определение. Графиком функции называется множество точек на плоскости с
координатами (х, f(х)):
Q f x, y x D( f ), y f ( x).
График принято изображать в декартовой системе координат:
Главное свойство графика функции — это то, что прямая, параллельная оси Оу,
может иметь не более одной точки пересечения с графиком (одной точки "прокола"
графика).
Таким образом, в случае последнего примера будем иметь следующие графики:
y R2 x2
y R2 x2 .
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 6
39
Всякое уравнение вида f(x;y)=0 определяет на плоскости некоторое множество
точек (может быть пустое), координаты которых удовлетворяют данному уравнению.
При некоторых условиях полученное множество является линией на плоскости.
Примеры. Рассмотрим линии второго порядка - линии, которые задаются
уравнениями второй степени.
1. Уравнение
x
y
1
a b
2
2
2
2
определяет эллипс на плоскости:
2
2
На рисунке OA1=OA2=a,OB1=OB2=b, OF1=OF2=c= a b , F1, F2 – фокусы
эллипса.
2. Уравнение
x
y
1
a b
2
2
2
2
определяет гиперболу
На рисунке прямые y=bx/a и y=-bx/a - асимптоты гиперболы,
2
2
OA1=OA2=a, OB1=OB2=b -полуоси, OF1=OF2 =c= a b , F1, F2,- –фокусы.
Параметры a и b называются полуосями эллипса (гиперболы).
3. Уравнение y2=2px определяет параболу
Хабаровск 2011 г.
Мендель В.В., Монина М.Д., Пишкова Н.Е.,Поличка А.Е., Шмарин С.В.
40
Линию на плоскости можно задать параметрическими уравнениями вида
x x(t )
y y (t )
Пример.
x a cos(t )
- параметрические уравнения эллипса.
y b sin( t )
§ 1.6 Способы задания функции
Способы задания функции можно представить в виде следующей схемы:
Опишем каждый из них.
A. Аналитический
Аналитическим выражением (формулой) называется последовательная запись
букв, знаков математических операций и обозначений математических функций,
подчиненная математическим законам.
Функция
называется
заданной
аналитически,
если
функциональная
зависимость у от х описывается аналитическим выражением.
B. Табличный
Функция называется заданной таблично, если функциональная зависимость
описана таблицей значений аргумента и соответствующих значений функции:
x
x1
x2
…
xn
y
y1
y2
…
yn
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 6
41
Пример. Экономические показатели некоторого производства (например, темпы
производства валовой продукции), зависящие от периода времени заданы таблицей:
Год
1960
1970
1980
1
990
Об
100
110
ъем
120
1
30
C. Графический
Функция называется заданной графически, если функциональная зависимость
описана в виде графика.
Пример. Описание тарифа стоимости билетов проезда в зависимости от
расстояния:
D. Специальные способы задания.
1. На разных подмножествах области определения функция задана различными
формулами.
Примеры.
A.
x, x 0,
y x
.
x, x 0
x 2 , x 0,
B. y
.
2
x , x 0
2. Зависимость задается словесным описанием.
Примеры.
Хабаровск 2011 г.
Мендель В.В., Монина М.Д., Пишкова Н.Е.,Поличка А.Е., Шмарин С.В.
42
0, если x J ,
1, если x Q.
A. D( x)
функция
Дирихле
(J
–множество
иррациональных чисел, Q-множество рациональных чисел).
В. у = [х] - целая часть числа х;
у = {х} - дробная часть числа х.
3. Специальные обозначения.
Пример.
Факториал натурального числа
y(n)=n!=1·2·3·…·n,
0!=1.
Замечание.
У каждого способа задания функции есть свои достоинства и недостатки.
Упражнение. Перечислить их.
§ 1.7 Основные свойства функций: четность, нечетность,
периодичность, монотонность, ограниченность
Можно произвести классификацию функций по их некоторым свойствам.
Периодичность
Определение. Функция f называется периодичной, если существует такое число
T * R , что f(x+ T * )=f(x), для всех x D(f).
Естественно,
что
таких
чисел
существует
бесчисленное
множество.
Наименьшее положительное число Т называется периодом функции.
Примеры.
А. у = соs х, Т = 2 .
В. у = tg х, Т = .
С. у = {х}, Т = 1.
D. у = x n , эта функция не является периодической.
Четность
Определение. Функция f называется четной, если для всех х из D(f) выполняется
свойство f(-х) = f(х).
Если f(-х) = -f(х), то функция называется нечетной.
Если ни одно из указанных соотношений не выполняется, то функция
называется функцией общего вида.
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 6
43
Примеры.
А. у = соs (х) - четная;
В. у = tg (х) - нечетная;
С. у = {х}; y=sin(x+1) – функции общего вида.
Монотонность
Определение. Функция f: X —> R называется возрастающей (убывающей), если для
любых x1 , x 2 X выполняется условие:
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 );
( f ( x1 ) f ( x2 )).
Определение. Функция Х —>R называется монотонной на X, если она на X
возрастающая или убывающая.
Если f монотонна на некоторых подмножествах из X, то она называется
кусочно-монотонной.
Пример. у = cos х — кусочно-монотонная функция.
Ограниченность
Определение. Функция f : X R называется ограниченной, если ограничена ее
область значений.
Пример.
1. у = соs х , f(D(f)) = [-1,1] - функция ограничена.
2. у = tg х - функция неограниченна.
Упражнение. Проиллюстрировать описанные свойства функций на примерах их
графиков.
§ 1.8 Вариант классификации функций, задаваемых
аналитически: основные элементарные функции; расширение
этого множества
Функции,
заданные
аналитических выражений:
Хабаровск 2011 г.
аналитически,
можно
классифицировать
по
виду
Мендель В.В., Монина М.Д., Пишкова Н.Е.,Поличка А.Е., Шмарин С.В.
44
Основные элементарные функции задаются специальными определениями и
описываются
специальными
обозначениями.
Их
элементарные
свойства
и
графическое описание даны в школьном курсе математики.
Аналитические выражения, описывающие основные элементарные функции.
1. y x a , a R — степенная функция.
2. y a x , a 0, a 1, a R — показательная функция.
3. y log a x , a R , a>0, a 1 - логарифмическая функция.
4. Тригонометрические функции:
а) у = sin х,
б) у = cоs х,
в) у =tg х,
г) у = сtg х.
5. Обратные тригонометрические функции:
а) у = аrсsin х,
б) у = аrccos х,
в) у = аrсtg х,
г) у = аrссtg х.
Элементарными функциями называются функции, задаваемые аналитическими
выражениями, составленными из основных элементарных функций, математических
операций над ними и последовательных применений этих функций.
Примеры.
(1)
y cos2 x sin 2 x.
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 6
(2)
e x e x
y
.
2
(3)
y ctg x 2 1 .
45
4. у=b/(x+d) - заработок на каждого члена семьи, где b - общая сумма заработка
на семью, d - число работающих, х - число неработающих.
5. А = а q t - начисление при накоплении при начальном вкладе а, q количество процентов, t - время.
Элементарные функции можно классифицировать по виду аналитического
выражения.
1. Рациональные функции – функции, заданные рациональным выражением,
т.е. выражением вида:
y Pn ( x) an x n an 1x n 1 ... a1x a0 .
Это выражение называется еще многочленом одной переменной n - ой степени,
a0 , a1 ,..., a n - коэффициенты.
Пример.
y 3x 2 2 x 1 - многочлен 2-ой степени, квадратный трехчлен.
2. Дробно-рациональной функцией называется функция, заданная дробнорациональным выражением, т.е. выражением вида:
p n ( x)
an x n an 1 x n 1 ... a1 x a0
.
y
Qm ( x) bm x m bm 1 x m 1 ... b1 x b0
Это выражение еще называется рациональной дробью.
Пример.
y
1
.
x 1
3. Иррациональные функции - это функции, заданные выражениями,
составленными
с помощью арифметических операций и последовательного
применения дробных степеней от рациональных и дробно-рациональных выражений
аргумента.
Пример.
y x2 1 .
Хабаровск 2011 г.
Мендель В.В., Монина М.Д., Пишкова Н.Е.,Поличка А.Е., Шмарин С.В.
46
4. Трансцендентные функции - это функции, содержащие в задающих их
формулах следующие элементарные функции: показательные, или логарифмические,
или тригонометрические, или обратные тригонометрические.
Примеры.
(1)
ye x.
(2)
y sin x 2 .
y arctg
(3)
x 1
.
x 1
§ 1.9 Упражнения-практикумы
-
(Построение таблицы графиков основных элементарных функций)
Используя ЭВМ составьте таблицу графиков основных элементарных функций;
-
(Нахождение
области
определения
и
ее
применение
для
исследования свойств числовых множеств) Если функция задана аналитически и
нет других ограничений, то ее область определения может быть найдена исходя из
свойств основных элементарных функций и определения области допустимых
значений соответствующих аналитических выражений.
Пример.
Найти область определения.
y x 1 ln( x 2 1)
x 1 0
2
x 1 0
-
x 1 0
x 1 0
x 1
x 1.
x
1
x
1
0
(
x
1
)(
x
1
)
0
(Нахождение множества значений функции) Построить график
заданной функции на ПЭВМ и по изображению описать ее область значений.
-
(Определение
по
графику
вида
функции
и
ее
интервалов
преобразования
графиков)
монотонности)
-
(Элементарные
геометрические
Представить последовательность преобразования графиков для получения данного
графика из графика основной элементарной функции с помощью ПЭВМ.
Применение графиков для решения неравенств
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 6
При
графическом
47
решении
задач
оптимизации
возникает
проблема
исследования областей, заданных линейными неравенствами вида:
ax+by+c<0 или ax+by+c>0.
Теорема.
Неравенству ax+by+c>0
удовлетворяют
все
точки
полуплоскости
относительно прямой ax+by+c=0, в которую направлен вектор нормали n=(a;b), если
его отложить от некоторой точки прямой.
Доказательство. Пусть точка M(x1;y1) расположена в одной из полуплоскостей
относительно прямой ax+by+c=0. Опустим перпендикуляр из точки M на прямую до
пересечения с ней в точке M0(x0;y0).
Тогда
вектор
M0M
параллелен
вектору
n,
следовательно,
M0M=t n, или в координатах,
x1-x0=t a; y1-y0=t b.
Выразим x1, y1
x1=x0+t a; y1=y0+t b.
Подставив x1, y1 в выражение ax+by+c, получим
ax1+by1 +c=a(x0+t*a)+b(y0+tb)+c= ax0+by0+c+t(a2+b2)= =t(a2+b2)
Таким образом ax+by+c>0 тогда и только тогда, когда t>0, т.е. когда векторы
M0M и n сонаправлены. Теорема доказана.
Из теоремы вытекает, что каждое неравенство
ax+by+c>0
или
ax+by+c<0
определяет соответствующую полуплоскость относительно прямой
ax+by+c=0.
Задача. Задать неравенствами внутреннюю область треугольника ABC, если A(1;2),
B(-3;5), C(0;-1).
Найдем уравнения сторон
Хабаровск 2011 г.
Мендель В.В., Монина М.Д., Пишкова Н.Е.,Поличка А.Е., Шмарин С.В.
48
(AB): x 1 y 2 3(x-1)=-4(y-2) 3x+4y-11=0;
3 1
52
(AC): x 1 y 2 -3(x-1)=-1(y-2) 3x-y-1=0
0 1
1 2
(BC): x 0 y 1 6(x)=-3(y+1) 6x+3y+3=0
3 0
5 1
Относительно прямой AB треугольник расположен в той же полуплоскости, что
и точка C. Подставим координаты точки C(0;-1) в левую часть уравнения прямой AB:
3(0)- 4(-1)-11=-7<0. Следовательно, точки треугольника ABC
удовлетворяют
неравенству
3x-4y-11<0.
Аналогично, подставим координаты точки A в левую часть уравнения прямой
BC: 6(1)+3(2)+3=15>0 и координаты точки B в левую часть прямой AC: 3(-3)-y(5)-1=15<0. Следовательно, получим неравенства:
6x+3y+3>0 и 3x-y-1<0.
Соединяя в систему все три неравенства, получим систему неравенств, которой
удовлетворяют внутренние точки треугольника:
3x 4 y 11 0
6x 3 y 3 0
3x y 1 0
Упражнения: 1. Задать неравенствами внутреннюю область треугольника
ABC, если a) A(-3;1), B(2;-3), C(0;5); b) A(1;1), B(3;-3), C(5;1).
2. Решить графически систему:
x y 11 0
2x 4 y 5 0
a) 6x y 3 0 ; b)
5x 2 y 10 0
2x 3 y 6 0
x y20
учебные материалы к элективным курсам
