Моделирование процессов нелинейного деформирования

УДК 539.3
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ НЕЛИНЕЙНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ
ГРУНТОВ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ДЕФОРМИРУЕМЫМИ
КОНСТРУКЦИЯМИ
Д. В. Бережной, И. С. Кузнецова, Л. Р. Секаева
Казанский государственный университет, Казань, Россия
Бетон и грунты являются физически нелинейными средами и подчиняются закону
Гука в небольшом диапазоне прикладываемых нагрузок. Существуют многочисленные
математические модели, позволяющие описать процесс их деформирования, которые
различаются сложностью разрешающих уравнений. В настоящей работе используется
модель, аналогичная модели идеально пластического тела. В соответствии с ней
предполагается, что до предельного состояния справедлив закон Гука, а после его
достижения среда начинает деформироваться без увеличения воспринимаемой нагрузки,
что приводит к перераспределению напряжений во всем объеме. Построение
вычислительного алгоритма основано на дискретизации расчетной области в рамках
конечно-элементной методики. Рассчитываемую опору и прилегающий к ней грунт можно
представить как трехмерный массив, обладающий специфическими свойствами.
Мягкие грунтовые среды (глины, суглинки, лессы, пески и др.) отличаются слабыми
связями между частицами грунта, которые разрушаются при избыточных нагрузках
порядка 0,1 МПа. Они обладают существенно большей пористостью, влажностью,
меньшей прочностью, большей чувствительностью свойств к скорости деформирования и
разрушаются при всестороннем гидростатическом сжатии.
В нормальном состоянии частицы грунта образуют скелет с множеством пор, которые
заполнены газом (воздухом) и жидкостью. При нагружении происходит разрушение
скелета и переукладка частиц, объем пор уменьшается.
При снятии нагрузки прежняя структура не восстанавливается. Поэтому одним из
характерных свойств мягких грунтовых сред является пластическое поведение как
сдвиговых, так и объемных деформаций. Кроме того, появляются вязкие эффекты,
поскольку переукладка частиц осуществляется не мгновенно, а за конечный промежуток
времени. Величина деформации грунта и характер ее изменения во времени зависят от
величины нагрузки на грунт и размеров площадки, к которой она приложена.
Приложение к грунту нагрузки вызывает взаимные перемещения твердых
минеральных частиц, воды и воздуха, входящих в состав грунта. Возможны следующие
виды перемещений:
- смещение грунтовых частиц и структурных агрегатов, сопровождающееся разрушением
отдельных из них, изменением их взаимного расположения и образованием точек
контакта;
- выжимание воды и воздуха из пустот грунтового скелета, сопровождающее его более
плотную укладку и сближение частиц;
- сжатие пузырьков воздуха, защемленных в порах грунта и не имеющих возможности
выжимания.
Для деформаций грунта характерна значительная объемная сжимаемость. При
уплотнении грунтов более компактная укладка грунтовых частиц приводит к изменению
их механических свойств, которые могут быть направлены как к повышению прочности
грунта (усиление молекулярного сцепления между частицами грунтового скелета), так и к
ее снижению (ослабление и нарушение структуры в грунте).
При действии внешних сил в грунте возникают как упругие деформации,
восстанавливающиеся
при
удалении
нагрузки,
так
и
пластические,
не
восстанавливающиеся при удалении нагрузки. К числу необратимых пластических
деформаций относятся: взаимные сдвиги грунтовых частиц, разрушение структурных
элементов и грунтовых частиц, выжимание из грунта воздуха. Упругими деформациями
грунта, восстанавливающимися при удалении нагрузки являются: сжатие от выжимания
воды, сжатие защемленных объемов воздуха, собственные упругие деформации
грунтовых частиц, деформации пленок связной воды.
Для бетона в качестве условия достижения предельного состояния принимается
теория прочности Гениева [2], которая предполагает введение условия текучести в виде
1/ 2
1

1
1
   0 ( Rc  R p )  Rc R p  0, где  0    ii – среднее напряжение,  i    S mn  –
3
3 i
 2 m,n

интенсивность касательных напряжений, Smn   mn   mn 0 – девиатор напряжений, Rc , R p
– пределы прочности на сжатие и растяжение.
Грунты, в которых размещаются исследуемые опоры, представляют собой
"слоеный пирог" из песков, глин, суглинков, известняка, песчаника и т.д. Для песков и
глин предельное состояние хорошо описывается условием прочности Мизеса-Боткина [3],
которое записывается в виде  i   0tg *  c*  0, где  * – угол внутреннего трения на
2
i
октаэдрических площадках, c * – предельное сопротивление чистому сдвигу. Эти
параметры определяются через коэффициент сцепления c и угол внутреннего трения 
соотношениями tg *  2 3 sin  /(3  sin  ) , c*  2 3c cos  /(3  sin  ) .
Значения c ,  определяются экспериментально по результатам инженерногеологических изысканий. В частности, для песков коэффициент сцепления либо равен
нулю, либо очень мал, но угол внутреннего трения достаточно велик (до 20–30°). Для глин
и суглинков ситуация обратная –угол внутреннего трения мал при значительном
коэффициенте сцепления.
В отличие от пластического течения классических конструкционных материалов,
пластическое деформирование бетона и грунтов сопровождается изменением объема, так как
градиент к поверхности пластичности не полностью определяется девиатором напряжений.
S kj
Rc  R p
F
tg *
F

  kj
, а для бетона
 S kj   kj
.
Например, для грунтов
 kj 2 i
3
 kj
3
После несложных преобразований получается выражение "упругопластической
матрицы" в виде
 SkjG /  i  K kj M   SmnG /  i  K mn M  ,
ep
Dkjmn
 Dkjmn 
G  KM 2
где G – модуль сдвига, K – модуль всестороннего сжатия, для грунтов M  tg *, для
бетона M   Rc  R p  /  2 i  .
Используемая итерационная процедура типа "метода начальных напряжений" [1]
представляет собой следующую последовательность действий. Первое приближение
определяется из решения вариационного уравнения принципа виртуальных перемещений
в предположении справедливости закона Гука. Предполагается, что кинематические связи
между фрагментами (условия непрерывности перемещений) и кинематические граничные
условия выполняются априори. Уравнения равновесия для каждого фрагмента,
статические условия сопряжения и статические граничные условия выполняются
автоматически в интегральном смысле. Переход от вариационной задачи к
алгебраической производится посредством дискретизации методом конечных элементов.
Для опоры моста при расчете на прочность выбрана подконструкция, состоящая из
одной стойки, заделанной в грунт, и горизонтального ригеля. Такая расчетная схема, в
основе которой лежит классическая одномерная модель, должна давать вполне
приемлемые для практики результаты за исключением зон сопряжения ригеля со стойкой
и участков стойки, находящихся во взаимодействии с неоднородным по глубине грунтом.
Для моделирования опоры моста используется приближенная схема (модель линейно
упругого основания), не позволяющая достоверно описать процессы его
упругопластического деформирования. Вследствие этого, в рамках принятой расчетной
схемы, следует ожидать недостоверного определения полей напряжений в теле стойки,
прежде всего в части, находящейся в грунтовом массиве. В области, примыкающей к
стойке опоры, при всех вариантах нагружения, грунт находится в трехмерном
напряженно-деформированном состоянии.
Рассчитываемую конструкцию и прилегающий к ней грунт можно представить как
трехмерный массив, обладающий специфическими свойствами. В частности, железобетон
моделируется в виде композитной среды, состоящей из трехмерного бетонного массива –
изотропной сплошной среды, и пучков арматуры, моделируемой соответствующими по
прочности мембранами, размещенными на лицевых поверхностях опоры.
Базовыми являются линейные изопараметрические восьмиузловые трехмерные
конечные элементы сплошной среды. Аппроксимация пучков арматуры проводится с
помощью четырехузлового линейного конечного элемента мембраны. Геометрически
мембранный конечный элемент является искривленной поверхностью четырехугольной
формы в трехмерном пространстве.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 08-01-00546-а).
ЛИТЕРАТУРА
1. Голованов А.И., Бережной Д.В. Метод конечных элементов в механике
деформируемых твердых тел. – Казань: Изд-во «Дас», 2001. – 300 с.
2. Гениев Г.А., Киссюк В.Н., Тюпин Г.А. Теория пластичности бетона и
железобетона. – М.: Стройиздат, 1974. – 316 с.
3. Зарецкий Ю.К. Лекции по современной механике грунтов. – Ростов: РГУ, 1989. –
607 с.