iv. предельные теоремы теории вероятности

IV. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ
4.1 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НЕЗАВИСИМЫХ СОБЫТИЙ
Рассмотрим некоторое вероятностное пространство (Ω, F, P). Будем
говорить, что события A1 , A 2 , , A n независимы, если для всех m,
m
 m
P  Aik    P(A i ) .


k
 k 1
 k 1
A1 , A 2 , , A n ,
Будем говорить, что события
образуют
последовательность независимых событий, если для любых n
события A1 , A 2 , , A n независимы.
Если
A1 , A 2 , , A n ,... – последовательность независимых
m  2,..., n , и всех 1  i1  i 2 
 im  n
событий, то последовательность B1 , B2 , , где Bk  A k или A k ,
также является последовательностью независимых событий.
С каждой последовательностью событий A n  можно связать
события
limA n  lim sup A n 
n 


n 1k n
An
и
(4.1)
limAn  lim inf An 
n 


n 1k n
An
Первое из событий (4.1) означает, что для любого n
осуществляется хотя бы одно из событий A k , k = n, n+1,… т.е.
177
событие
limAn осуществляется тогда и только тогда, когда
происходит бесконечное число из событий A n  .
Второе из событий (4.1) означает, что существует такое число n,
что осуществляются все события A k , k = n, n+1,… т.е. событие
limA n происходит тогда и только тогда, когда не происходит лишь
конечное число из событий A n  .
Теорема 1 (Бореля - Кантелли).
последовательность независимых событий, то:


0,
если

 P(An )  

n 1
P(limA n )  

1, если
 P(An )  

n 1

An  –
Если
Доказательство. Первый случай. Из определения верхнего
предела
последовательности
следует
соотношение
limA n 

k n
A k . Тогда согласно свойствам Р3, Р8 вероятностей
событий
P(limAn )  P(
получим

k n

A k )   P(A k )  0
соотношения
при n  , как остаток
k n
сходящегося ряда.
Второй случай. Перейдем к событию
Вычислим вероятность
limA n 

n 1k n
  e P(Ak )  e


 P(Ak )
k n
Ak .

 
 
P  A k    P(A k )   (1  P(A k )) 
k n
 k  n  k  n
воспользуемся неравенством 1  x  ex для всех x  1 ≤


 0 при n  .
k n
178



 



Отсюда P  Ak   1– P  A k  →1, при n→ ∞.
 k  n 
k n 


Далее,



 

 



P  Ak   P  A k  , следовательно, P  A k  →1, при n→ ∞.
 k  n 
 k  n 
k n 


Так как
lim sup A k  lim
n 
n 

k n
A k , то P(limA n )  lim P(
n 
k n
A k )  1.
В чем смысл доказанной теоремы? Для независимых событий
событие limAn может иметь вероятность 0 или 1. В первом случае
это означает что с вероятностью 1 происходит лишь конечное
число из событий A n  ; во втором – с вероятностью 1 происходит
бесконечное множество событий из A n  .
Замечание. Первый случай теоремы справедлив для любой
последовательности событий (необязательно независимых).
4.2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕЗАВИСИМЫХ
ВЕЛИЧИН
Пусть 1 ,  2 , – последовательность независимых сл. величин.
Это значит, что n и любых чисел x1 , , x n события
1  x1 ,2  x 2  , ,n  x n 
независимы.
Замечание. Следует помнить, что когда мы говорим пусть  –
сл. величина или пусть 1 ,  2 , – последовательность сл. величин,
то полагаем, что существует некоторое вероятностное
пространство (, F, P), на котором эта сл. величина  или эти сл.
величины 1 ,  2 , заданы.
Приведем некоторые признаки независимости сл. величин.
Теорема 2. Для того чтобы сл. величины 1 , 2 , n были
независимы необходимо, чтобы для любых ограниченных
борелевских функций g1 ,g 2 , ,g n
179
Mg1 (1 )g 2 (2 ) g n (n ) = Mg1 (1 )Mg 2 (2 ) Mg n (n )
(4.2)
и достаточно, чтобы равенство (4.2) выполнялось для
непрерывных ограниченных функий.
Борелевскими называются функции, измеримые относительно
– алгебры борелевских множеств.
Следствие 1. Если 1 , ,  n – независимые сл. величины и
существуют,
Mk , k  1, n ,
M12 ...n  M1M2 ...Mn .
Следствие 2. Если 1 ,  2 –
то
существует
и
независимые сл. величины и
M2k
 , k  1, 2, , то 1 ,  2 – не коррелированны.
Следствие 3. Если 1 , ,  n – независимые сл. величины и
n
n
k 1
k 1
M2k  , k  1, n, то D k   Dk .
Результаты следствий нам уже известны, они приведены в
соответствующих свойствах математичского ожидания и
дисперсии.
4.3. НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА
Теорема 3. Пусть – с вероятностью 1 неотрицательная сл.
величина, имеющая конечное математическое ожидание. Тогда
M
(4.3)
  0 P   

Доказательство. Введем в рассмотрение событие   0 . Для
него
индикаторная
функция
имеет
вид:


1,
если


:

(

)

0
,



I{0} ()  
 . Согласно свойству М8
0, если  : ()  0 


MI{0} ()  P   0 . Рассмотрим
математического ожидания
теперь
очевидное
неравенство
180

I0 ()  ,  

любое
положительное
число.
M I0 
Тогда
M

или
M
M
или P    
.


Доказанное неравенство известно под названием неравенства
Чебышева.
Следствие. Для произвольной сл. величины  , имеющей
дисперсию D,
D
(4.4)
P    M    2

Именно это неравенство известно широкому кругу читателей
под названием неравенства Чебышева. Оно получается из теоремы
3, если в качестве неотрицательной
сл. величины
взять
2
(  M)  0.
P     0 
Неравенство
   M 2  2
эквивалентно

неравенству

  M   . Поэтому P    M    P    M    2 
2
D
.
2
Однако, неравенство (4.4) может быть доказано и без помощи
теоремы 3.
Введем в рассмотрение сл. величину

 , если   M  
.
Тогда


0, если   M  
2
2
2    M , M2  M   M .
Но
M2  2 P    M  .
Следовательно, 2 P    M    D и P    M   
D


.
2
Неравенство (4.4) следует применять, когда ε> Dξ , иначе оно
дает тривиальную оценку.
Пример 1.
Пусть сл.
величина  имеет плотность
x
распределения
1 
f (x)  e 2 , x  R .
4
181
Тогда
M=
 xe

x
2
dx =0
(интеграл от нечетной функции по симметричному множеству),

x

1
D   x 2 e 2 dx 8 (нтегрировали по частям).
4 
Оценим p  P    при =1,2, 5, 10. Получим p1  8, p 2  2,
p5  0.32, p10  0.08 . Прямое вычисление величин p при заданных
значениях ε дает выражения p1  0.6065..., p2  0.3679... ,
p5  0.08208..., p10  0.000674... .
Видим, что неравенство Чебышева дает довольно грубые оценки
вероятностей.
Однако
неравенство
Чебышева
является
родоначальником многих других неравенств, широко применяемых
в теории вероятностей.
4.4. ТИПЫ СХОДИМОСТИ
Пусть дана некоторая последовательность сл.
величин
1 , 2 , , n , и сл. величина .
Определение. Говорят, что последовательность сл. величин
 n сходится к сл. величине  почти наверное (с вероятностью 1),


п.н
если P lim n    0  0. Обозначение: n   или lim  n  .
n 

n

n 
Иначе говоря, равенство P  : lim (n  )  0  0 означает, что
n 
множество тех , для которых последовательность n () 
 ()
имеет вероятностную меру 0.
Определение. Говорят, что последовательность сл. величин
 n сходится к сл. величине 
по вероятности, если
  0 lim P  n      0 .
n 
Обозначение:
P
n  
n
p lim  n  .
n 
182
или
В отличие от предыдущего случая сходимость по вероятности
означает, что существуют множества значений ω ненулевой
вероятности, для которых n   не имеет пределом    при
n→∞.
Эти два вида сходимости связаны между собой: из сходимости
почти наверное следует сходимость по вероятности. Обратное
утверждение не имеет места, но если последовательность
P
n   , то любая её подпоследовательность
n
n  содержит
k
другую подпоследовательность, сходящуюся по вероятности 1 [3].
Определение. Говорят, что последовательность сл. величин
 n сходится к сл. величине 
в среднем порядка p, если
p
lim M n    0 .
n 
В анализе этот вид сходимости называют сходимостью в
смысле Lp . Поэтому обозначают этот вид сходимости так:
Lp
n , n   .
При p = 2 сходимость называют сходимостью в среднем
квадратическом, обозначают это так:   l.i.m.  n (от limit in the
n 
с.к.
mean) или n , n   .
Определение.
Пусть сл. величины  n имеют функции
распределения Fn (x) , а сл. величина  – F(x). Говорят, что
последовательность сл. величин  n сходится по распределению к
lim Fn (x)  F(x) во всех точках
сл. величине , если
n 
d
непрерывности функции F. Обозначение: n , n  .
Говорят ещё в этом случае, что последовательность функций
распределения Fn (x) слабо сходится к функции распределения

F(x) : Fn  x   F  x  .
Соотношения между различными
представлены ниже в виде схемы:
183
типами
сходимости
4.5. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
Так называются теоремы, дающие условия, при которых
арифметическое среднее сл. величин по вероятности сходится к
арифметическому среднему их математических ожиданий:
p 1 n
1 n


 k n  Mk .
n k 1
k 1
Теорема 4 (закон больших чисел). Если последовательность
независимых одинаково распределенных сл. величин такова, что
Mk  m, Dk  , k  1, 2, , то   0


1 n
1 n

P   k   Mk     0, n   .
n k 1
 n k 1



Доказательство. Заметим прежде всего, что все  n одинаково
распределены, потому у них у всех одно и то же математическое
ожидание и одна и та же дисперсия. Теорему докажем опираясь на
теорему 1. Доказываемый предел можно переписать в виде
184


1 n

P   k  m     0, n   .
n
 k 1



Воспользуемся
неравенством
1 n

D   k 
 1 n

n
D
Чебышева:
P   k  m      k21   2  0, n   ,

n
 n k 1

так как конечная сумма независимых сл. величин, умноженная на
1
число
, есть сл. величина с математическим ожиданием
n
1 n
 1 n
1 n

1
M   k    Mk   n  m  m и дисперсией D   k  
n
 n k 1  n k 1
 n k 1 

1
2
n
1
 D  n D .
n k 1
Замечание.
Теорема 4 имеет место и без требования
существования конечных дисперсий. Просто доказательство её
будет иным.
Теорема 5. Если последовательность независимых сл. величин
Dn
такова, что Dn существуют и
то
 0, n   ,
n
P 1 n
1 n


 k n  Mk .
n k 1
k 1
Это тоже закон больших чисел, но для произвольной
последовательности сл. величин, произвольной в том смысле, что
не утверждается одинаковое распределение всех сл. величин.
Доказательство. По неравенству Чебышева (4.4)
имеем
n
n
n
n
1

1

1
1


P   k   Mk     2 2  Dk , т.к. D   k  
n k 1
 n k 1
 n  k 1
 n k 1 


n

1
n
 Dk .
n 2 k 1
 Dk
По теореме Штольца
185
lim k 1
n   2 n 2

n 1
n

1
 Dk   Dk
lim
2 n 
k 1
k 1

1
lim
Dn
Dn
1
 2 lim
 0 (по
 1 2 n  n
n  (n  1)
условию). Теорема доказана.
В основе этой теоремы лежит известная теорема Чебышева
П.Л.(1880 г.):
Пусть последовательность попарно независимых сл. величин
имеет математические ожидания m1 , m 2 ,... и дисперсии D 1 , D 2 ,... ,
ограниченные в совокупности числом В, то есть k : Dk  B ,
2
2
2 n  2n
1

1
lim P   k   mk     0 .

n   n
n k
 k

Пример 2. Пусть μ – число успехов в серии из n независимых
испытаний по схеме Бернулли, величина  i фиксирует успех или
неудачу в i –ом испытании по схеме Бернулли (оно принимает
значение 1 или 0 соответственно). Тогда в серии испытаний число
n

успехов  равно    k , f n 
– частота успехов в n
n
k 1
к=1,2,3,… Тогда   0
независимых испытаниях. Известно, что Mi  p, Di  pq .
1

1
По доказанному P   k   Mk     P  f n  p    0
n

n k
 k

при n  . Последнее соотношение есть теорема Бернулли.
Ранее при определении вероятности мы говорили о
приближении в каком-то смысле частот событий к вероятностям
этих событий. Теперь этот смысл понятен – последовательность
частот сходится к вероятности события по вероятности.
4.6. УСИЛЕННЫЙ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
Поскольку в законе больших чисел речь идет о сходимости по
вероятности с ростом числа n среднего арифметического сл.
величин к некоторой постоянной величине, то в каждом отдельном
186
эксперименте (при произвольном ω) закон больших чисел этой
сходимости не гарантирует. А на практике мы встречаемся со сл.
величинами именно в отдельных экспериментах.
Усиленный закон больших чисел – это одна из форм закона
больших чисел, в которой вместо сходимости по вероятности
утверждается сходимость почти наверное (с вероятностью 1).
Тогда те ω, для которых закон больших чисел не имеет места,
образуют множество, вероятностная мера которого равна 0, т.е. он
имеет место для почти всех ω.
Приведем
прежде всего неравенство Колмогорова (без
доказательства).
Теорема 6. Пусть 1 ,  2 , ,  n – независимые сл. величины.
Если Mk  0, Dk  , k  1,n ,
тогда для любого числа a>0
справедливо соотношение
k



 1 n
(4.5)
P sup  i  a   2  Dk
 k i 1
 a k 1


Неравенство (4.5) называют неравенством Колмогорова.
Теорема 7 (усиленный закон больших чисел). Если n  –
последовательность независимых сл. величин, для которых

D
Mk  a k , Dk   и ряд  2n сходится, то с вероятностью 1
n 1 n
1 n
1 n


 k n  Mk  0 при n  .
n k 1
k 1
Для доказательства теоремы понадобится
имеет место сходимость
Лемма: Если k  0, k  1, 2,... и если   0

 Pk     ,
k 1
п.н.
то k  0, k  .
Докажем её. Обозначим через A k событие k   , k  1, 2,... ,
ε > 0 – некоторое число. Согласно замечанию к теореме Бореля –
187
Кантелли, условие

 P  Ak   
означает, что с вероятностью 1
k 1
происходит лишь конечное число событий A k  . Следовательно,
начиная с некоторого номера n  ( n  n  ),
n 
номер с вероятностью 1 существует. Лемма доказана.
Доказательство теоремы.
1
 и этот
n
m2
m
 ( k  a k ) .
n
Обозначим n  sup
k 1
m
Так
как
 (k  a k )  n ,
(по свойству sup), то на основании
k 1
неравенства Колмогорова имеем:
m


1


P  sup  (k  a k )    2n   P  nn     2 2n


2
  2
 m2n k 1


1
 2 4n
2n
 Dk .
Просуммируем
полученное
2n
 (Dk  a k ) 
k 1
неравенство:
k 1
n 1

 n
 1  1 2
P



 n   2  4n  Dk . Покажем, что последовательность
n 1  2
n 1
k 1
n , n  1, 2,..., удовлетворяет условиям леммы, для чего в
последнем неравенстве изменим порядок суммирования:

Dn
1
4  D

 1 
P  nn     2  Dk  n  2  2k
и ряд

2
3 k 1 k
2
  k 1
n  k 4
n 1 n
сходится по условию. Здесь
 k определяется из соотношения
k
k  2 . Последнее неравенство получается из следующих оценок:

1 3 1
1
1
 4n  4  4k ; из условия k  2k получаем 2k  k 
n  k
188
1
k

1
2
.
k
4
некоторого
n  sup
n 
Тогда с вероятностью 1
номера,
m
 (k  a k )  0 при
и
1
  2n
, начиная с
следовательно
n  .
m  2n k 1
Теорема 8. Если n  – последовательность независимых
одинаково
распределенных
сл.
величин,
для
которых
математические ожидания M n конечны, n=1,2,…, то с
вероятностью 1
1 n
 k  M1  m.
n k 1
Если же величины  n не имеют конечного математического
ожидания, то последовательность
1 n
 k с
n k 1
вероятностью 1 не
ограничена.
Доказательство.
Поскольку


n ,если n  n 

Пусть n  
 , n = 1, 2, …
0,если


n


n




n 1
n 1
  n  n    P n

   P m  1  m  1 
n 1mn

 n   P  1  n 
n 1

 m  Pm  1  m  1  M 1 , то
m1
по
теореме Бореля – Кантелли событие n  n  происходит лишь
конечное число раз, следовательно с вероятностью 1 можно
утверждать что начиная с некоторого номера n 0 (n  n 0 ) n  n .
Иначе говоря,
1 n
 (n  n )
n k 1
п.н.
 0, n  .
189

n
Далее
имеем
Mn 

xdFk (x) 
n
 xdF(x),
n  .

1 n
Следовательно, lim  Mk  lim Mn  m, где m  M1 .
n  n
n 
k 1
Для последовательности 1 , 2 ,... проверим условие теоремы 7:



1
n 1 n
Dn  
2
так как
1

2
n 1 n  n

n x

n
x 2 dF(x) 


1
x2
n
n x

dF(x)  2  x dF(x)  ,
2

1
2
 , ( при x  1 неравенство строгое ). Тем самым
2
x
n
показано, что выполнены условия теоремы 7, а потому имеет место
1 n
сходимость почти наверное
 k к m при n→∞. Теорема
n k 1
доказана.
Обе теоремы принадлежат А.Н.Колмогорову.
4.7. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
Постановка задачи, решаемой центральной предельной
теоремой, имеет длинную историю : от Муавра (1718 г.) и Лапласа
(1812 г.) до Ляпунова (1901 г.) и Линдеберга (1922 г.). В трудах
двух последних ученых найдены необходимые и достаточные
условия сходимости закона распределения суммы независимых сл.
величин к нормальному закону. Исследования по центральной
предельной теореме продолжаются до сих пор.
Термин “центральная предельная теорема” в ТВ означает любое
утверждение о том, что при выполнении определенных условий
функция распределения суммы индивидуально малых случайных
величин с ростом числа слагаемых сходится к нормальной функции
распределения.
Основную роль в этих теоремах играет теорема о связи
сходимости последовательности функций распределения со
190
сходимостью
последовательности
соответствующих
характеристических функций – теорема непрерывности.
Теорема 9 (теорема непрерывности). Последовательность
функций распределения Fn (x) слабо сходится к функции
распределения
тогда
и
только
тогда,
когда
F(x)
последовательность их характеристических функций g n (u)
сходится к непрерывной предельной функции g(u). При этом g(u)
есть характеристическая функция для F(x) и сходимость g n (u) к
g(u) равномерная в каждом конечном интервале.
Теорема 10 (центральная предельная теорема). Пусть n  –
последовательность независимых одинаково распределенных сл.
величин с Mn  m и Dn   2 . Тогда


 S  nm

(4.6)
P n
 x   (x), n   ,
2


 n

где Ф(x) – функция нормального стандартного распределения.
Доказательство. Функция  (x) – непрерывная, сходимость к
ней последовательности функций распределения сл. величин
S  nm 1    n  nm
n  n

является
сходимостью
по
 n
 n
распределению сл. величин  n к сл. величине ξ. Следовательно,
мы можем воспользоваться теоремой 9. Обозначим через
g1 (u) характеристическую функцию сл. величины  n , n=1, 2, … , а
через g n (u) –характеристическую функцию сл. величины
S  nm
n  n
.
Воспользуемся
свойствами
6
и
7
 n
n
  im  u  
характеристических функций: g n (u)   e  n g1 
 .

 n 



По свойству 5 характеристических функций
g1 (u)
 u 
дифференцируема дважды, тогда функцию ln g1 
 можно
 n 
191
разложить
в
ряд
Маклорена:
//
/
u
u  g1 (0) (g1 (0)) 2 
 u 
1
ln g1 

ln
g
(0)




  o   
1

2
2
 n g1 (0) 2 n  g1 (0) (g1 (0)) 
n
 n 
2 2
u im
u 2  i 2 m 2 (im) 2 
 1  imu  u
1


 2 


o


 o  

 
2

1
1
1
n
 n
2 n 
   n 2 n
n

g1' (0)
2
imu u 2
1

 o   , n  .
 n 2n
n
 um
 u 
Но тогда: ln g n (u)  n  
 ln g1 
 
  n
  n 


iu n iu n u 2
u2


 o 1  
 o 1 , n  .


2
2

u2
2 .

u2
2
Следовательно, при n 
Но e
–
g n (u)  e
характеристическая
функция
стандартного
нормального
распределения. Теорема доказана.
Пример 3. Рассмотрим в качестве  n   n – число наступлений
некоторого события в серии из n независимых испытаний, в
каждом из которых событие наступает с вероятностью р и не
наступает с вероятностью q=1–p. Тогда по теореме 10 для функций
распределения F n (x) нормированного отклонения от среднего
  np
числа наступления события – сл. величины n  n
имеет
npq
место соотношение Fn (x)  (x), n   .
Это сформулированная нами ранее теорема Муавра- Лапласа.
Теорема 11 (Линдеберга). Пусть n  – последовательность
независимых
сл.
величин,
для
которых
существуют
Mk , Dk , k  1, 2,
, n, Если для всякого   0 выполняется
условие:
192
n
1
 B2
k 1

(x  Mk )2 dFk (x)  
(4.7)
n x  Mk Bn
n
где B2n   Dk , Fk (x)  P k  x , то справедливо утверждение
k 1


 S  nm

P n
 x   (x), n  .
2
 n



Доказательство. Действительно, не ограничивая
рассуждений, будем полагать, что Mk  0, k  1, 2,
n
n  Bn1  k .
Характеристическая
функция
сл.
общности
Положим
величины
k 1
 u  n
 u 
где
gn 
   gk 
,
 Bn  k 1  Bn 
характеристическая функция сл. величины  k .
n имеет
вид
 u 
iu
gk 
  Me k 
 Bn 
 u2
 iuk
u2
u2 
u2
 M 1 
 2 2k  o( 2 )   1  2 D  o  2
B
Bn
2Bn
Bn 
2Bn

 n

 .

g k ()
Имеем
Значит,
n
 u2  
 n  u 2 Dk
u 2 Dk n  u 2

ln
1


o






  
 2   o  B2
 B2  
2B2n
 k 1 
k 1 2Bn
k 1  n
 n 
 u2 
 u2 
u2
u2
o  2   
 o  2   lim ln g n (u)  

B 
B 
n 
2
2
 n
 n
 u
ln g n 
 Bn

u2
2
–

 

g n (u)  e , n  .
Смысл условия Линдеберга (неравенства 4.7) состоит в
следующем. Обозначим за A k событие Ak     Mk  Bn ,
193


n

 n


P max k  Mk  Bn  P  A k    P(A k )    dFk (x) 
k
k

k 1 A k

 k 1

1
 (x  Mk )
2 B2n A
k
2
dFx (x)  0, n  , так как событие A k имеет
место при x  Mk | и
(x  Mk )2
 1.
2 Bn2
Таким образом, можно сказать, что смысл условия Линдеберга
заключается в равномерной по k малости слагаемых  k , то есть
среди  k нет таких, которые преимущественно определяли бы
величину
n
 k .
k 1
Следствием теоремы 11 является теорема Ляпунова (она
появилась раньше, чем теорема Линдеберга).
Теорема 12 (Ляпунова). Если k  – последовательность
независимых сл. величин, для которых существуют Mk  a k и
D k  b k
и при некотором   0 справедливо равенство
M k  a k
2
n
B2n   bk ,
 ck .
Если
то
существует
имеет
lim
1
n

ck
n  B2
k 1
n
место
 0,
где
утверждение
k 1


 S  nm

P n
 x   (x), n  .
2
 n



Доказательство. Покажем, что для последовательности
n , n  1, 2,..., в условиях теоремы выполняются условия
Линдеберга:
1
n

n  B2
lim

n k 1 x a k Bn
(x  a k ) 2 dFk (x) 
194
1
n

n   B 2
 lim
n

k 1 x a k Bn
x  ak
2
n
1
 ck  0.
n   B2
dFk (x)  lim
k 1
n
Следовательно, теорема Ляпунова справедлива, при этом
условие Ляпунова для проверки легче, чем условие Линдеберга.
Следствие.
Если k  – последовательность независимых
одинаково
распределенных
Dk  b, k  1, 2,
сл.
 
, то lim P  1
n  
величин
 n  na
nb
с
M k  a,

 x   (x). В этом

случае B2n  nb.
Исключительная важность центральной предельной теоремы
объясняется тем, что она дает теоретическое обоснование
следующему
многократно
подтвержденному
практикой
наблюдению: если исход сл. эксперимента определяется большим
числом случайных факторов, влияние каждого из которых в
отдельности пренебрежимо мало, то такой эксперимент хорошо
аппроксимируется
нормальным
распределением
с
соответствующим образом подобранными математическим
ожиданием и дисперсией.
195
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Напишите 1-е и 2-е неравенства Чебышева.
2. Сформулируйте законы больших чисел.
3. Дайте определения
сходимости.
всех известных
Вам видов
4. Сформулируйте усиленный закон больших чисел.
5. Сформулируйте все известные Вам центральные
предельные теоремы.
6. Как вывести интегральную теорему Муавра – Лапласа
из центральной предельной теоремы?
ЗАДАЧИ
181. Пусть X1 , X 2 ,... – независимые одинаково распределенные
MX1  0, DX1  .
сл.
величины,
Известно,
что
 X  X 2  ...  X n
 1
P 1
 1  при n  . Найти DX1 .
n

 3
182. Пусть сл. величина X n равна сумме очков, появившихся
при
n бросаниях игральной кости. Используя неравенство
 X

Чебышева, оценить сверху P  n  3.5    ,  >0, где k n –
 n  k n

число возможных значений X n .
183. Пусть X1 , X 2 ,... – независимые одинаково распределенные
по закону Пуассона с параметром λ сл. величины. Найти предел
сходимости по вероятности при n  последовательности
2
X2  X22  ...  X2n  X1  X2  ...  Xn 
Yn  1

 .
n
n


196
184. Игральная кость бросается 1000 раз. Найти пределы, в
которых с вероятностью, большей 0.95, будет лежать сумма
выпавших очков.
185. Урожайность куста картофеля задается следующим
распределением
Урожай в кг
Вероятность
0
0.1
1
0.2
1.5
0.2
2
0.3
2.5
0.2
На участке высажено 900 кустов. В каких пределах с вероятностью
0.95 будет находиться урожай? Какое наименьшее число кустов
нужно посадить, чтобы с вероятностью, не меньшей 0.975, урожай
был не менее тонны?
186. Студент получает на экзамене 5 с вероятностью 0.2, 4 с
вероятностью 0.4, 3 с вероятностью 0.3 и 2 с вероятностью 0.1. За
время обучения он сдает 100 экзаменов. Найти пределы, в которых
с вероятностью 0.95 лежит средний балл.
ОТВЕТЫ
Глава1.
1.
   i, j : 0  i  6, i  j  6; A   i,i  ,i  0,6 ; B   0,6  ,(1,5),(2, 4),(3,3);


C  1,1 , 1,3 , 1,5 , 3,3 , 3,5 , 5,5; B \ A  0,6  , 1,5 ,  2,4 ;
AB   3,3; AC  1,1 , 3,3 , 5,5; AB \ C  ;
A
B C  1,1 ,(1,5),  3,3 ,  5,5 .
2. 1) A1A 2 A3 ; 2)A1A 2 A3 ; 3) A1
5) A1A 2
A1A3
A2
A3 ; 4)A1
A2
A3 ;
A 2 A3 ; 6) A1A 2 A3  A 2 A 3  A1A 2  A1A 3 ;
7) A1A2 A3.
3. A  BC ; 4. Ω –квадрат со стороной 1, координата первой точки x,
1

второй – y; A   x, y   : x  y; B   x, y   : x  y  .
2

197
5. 1) A1A 2 A3 ; 2) A1
A2
A3 ; 3) A1A 2 A3 ; 4) A1A 2
A 2 A3
A1A3 ;
5)A1A2A3; 6)A1A2A3  A1A2A3  A1A2A3; 7)A1A2A3  A1A2A3 
A1A2 A3 ; 8) A1A2 A3 ; 9) A2  A2 A3  A1A2 A3 .
6. Нет
7. 1) ABC={все три студента потребуют внимания в
течение часа}; 2) A+B+C ={хотя бы один студент потребует
внимания в течение часа}; 3) ABC  ABC  ABC  {только один из
студентов
потребует
внимания
в
течение
часа};
4) ABC  ABC  ABC  {только двое из студентов потребуют
внимания в течение часа}; 5) ABC  {ни один из студентов не
потребует
внимания
в
течение
часа};
6)
A  B  C  ABC ={потребуют внимания преподавателя в течение
часа либо один из студентов, либо два}. 8. A; B; AC; BUC. 9.
A+B={слышал рекламу хотя бы по одному источнику};
AB={слышал рекламу по обоим источникам};
B \ A  { слышал рекламу только по телевидению}; A  {не слышал
рекламу по радио}. 10. A+B={является держателем хотя бы одной
ценной бумаги}; AB={является держателем обеих ценных бумаг};
B \ A  {имеет облигацию и не имеет акции}; A  {не имеет
акции}. 11. 210, если рабочие места одинаковы, и 5040, если они
490!
различны; 12. 1)380,2)190; 13. 0.81; 14. 0.25; 15. 490 ; 16.
A 500
Pn (n1 , n 2 ,..., n k )
k
n
; 17.
2  4! A34  C92
7
A36
2
; 18.
(n  1)n
n
(n 1)
; 19.
1
2
k
,
2
; 20.
3
1  0.646
2
2
a
; 21. 1–   ; 22. ; 23. 102; 24. ; 25. 0.936;
0.36
7
3
R
2
1
1
26. Одинакова; 27. 0.0014; 28. 400; 29. ; 30.
;
; 31.
3
1785 3927
1
630
20
1
1
; 32. 0.0016; 33. P(A)  7 ; P(B)  7 ; 34. 5 ; 35. P(A)  3 ,
6
4
4
3
6
0.645 
198
5
119
, P(C)  ; 36. P(AB)  0.025, P(AB)  0.01; 37.
;
9
120
6
1
38. 0.21, 0.01, 0.27; 39.
; 40. Все вероятности одинаковы,
1260
5
1 1 1
28
равны ; 41. ; ;
; 42. 1 2 ; 1  (1  1 )(1  2 ); 43.
;
12
5 5 30
323
n!
12!
2
10!
311
189
44. 1  n ; 45. 12 ; 46. 10 ;
;
; 47. ;
7
9
3
n
12
10
25 10
25  5



 0,
1
x0
 0,

x


2
48. P 1  x  
P 2  x  2x, 0  x  1 ;
1
2
2x  1,

 x 1 ;


2
1
x
1,
 1,
x 1
2


1
1
49. a)0, если x  0, x(3  2x), если 0  x  ; 1, если x  ;
2
2
P(B) 
1
2
б)0, если x  1, x  1, если 1  x  2, 1, если x  2;
2
 x  3 1
1 
 ; ; ;
 2R  4 4
50.
n
n
n
i 1
i 1
ji
51.
1   (1  pi )   pi  (1  p j );
53.
1
t    (t 2   2 );
2
52.
Вероятнее первое событие.
CnN1 CnN2 N3
Cm
7 2 1
N
1
2
;
54.
; ; ; 55. a) n  n 1 ; б)  N3 m 1 2
1
2
8 3 3
C N1  N 2  N3
CN  N  N
m0
1
c)
CkN11 N2 N3
.
C Nk
56.
5
;
9
2
3
57. 0.729; 58. а) 0.3487; б) 0.0467; в)
0.7996; 59. C km11p k q m  k ; 60.0.04; 0.1; 0.49. 61.
63.
1
; 62. Второй;
6
7
11
; 64.
; 65. 0.84; 66. p(1  1 )(1  2 )  (1  p)1 2 ;
18
20
199
p(1  1 )(1  2 )
11 47 47
x
;
; ; 68. ; 69.
; 67.
30 120 90
a
p(1  1 )(1  2 )  (1  p)12
1
2
r  0, r  , r  ; 70. Да. 72. Не следует; 74. Не являются; 75.
3
3
Являются; 76. 0.6; 77. 0.2; 78. 0.99; 79. 0.23; 80. 0.6; 81.а) 0; б)
0.5; ≈417; 82. 0.135; ≈121; 83. 0.5, 0.9772; 84. 0.1.
Глава
П.
85.
0.45;
86.
p k  C3k 0.6k 0.43k , k  0,3;
pk  C3k
88.
53k
63
, k  0,3;
87.
X  0, 1, 2, 3 с
1 3 3 1
вероятностями P   , , ,
 соответственно;
14 7 7 14 
0,
1
 ,
14
 1
F(x)   ,
2
13
14 ,

1,
x0
0  x 1
1 x  2
2x3
x 3
89.
Суммарный выигрыш после двух бросаний может
принимать значения -2, 0, 2 с вероятностями 0.25, 0.5 и 0.25
x  2
0,
1
 , 2x 0
4
соответственно. F(x)  
;
3 ,
0x2
4
1,
x2

90. F(b)  F(a ); F(b)  F(a); F(b)  F(a ); F(b)  F(a);
200
91.
 dF(x)   dF(x); B  B(R ).
1
92. Случайная величина Х
B
B
может принимать значения 0, 1, 2, 3 с вероятностями 0.729, 0.243,
x0
0,
0.729 0  x  1

0.027 и 0.001 соответственно, F(x)  0.972, 1  x  2 ;
0.999, 2  x  3

x 3
1,
x0
0,
0.10 0  x  10

0.30, 10  x  20

93. 2) F(x)  0.65, 20  x  30 , 3) 0.65;
0.85, 30  x  40

0.95, 40  x  50

x  50
1,
94. Случайная величина Х может принимать значения 1, 2, 3 и 4 с
1 2 4 8
вероятностями
соответственно; 95. 0.095;
96.
, ,
,
3 9 27 27
0.6513; 97. n  5; 98. 0.156; 99. Первое; 100. а) 0.023, б) 0.00005,
в) 0.99995; 101.   3; 102. 0.0228, 0.9772, 0.9032, 0.021;
x0
0,
x

103. 0.174; 104. F(x)   , 0  x  5 ;
0.3; 0.15; 0.4;
105.
5
x 5
1,
a) , , б)np, npq;
106. M  e
a
2
2
3 2
2
2
, D  e2a  (e  1),
 

M
Mo  e
,
 e2 ;
107. а) 20 5 ≈0.9044 при обоих
3
Mo
значениях m; б) 0.9050 при m=60 и 0.9233 при m=10; 108. 4; 109.
a 2
201
1.8; 0.9; 114. Все три математических ожидания равны нулю; 115.
k  k 1
3
116. C2 ;
117.
c  1, P   3  ; P k1    k 2   2 1 ;
4
k1 (k 2  1)
3
; 118. 155 –имеется в виду, что выбор любых 10 чисел из 30
4 2
данных происходит с одной и той же вероятностью; 119. 0.997;
0.982; 1.0: 0.91; 120. Первое; 121. Вторая вероятность больше;
k  
e 
122. a)C  3, б)3y2 , y   0,1, в)0.026; 123.
k!
1
m
k m
Cm
; 124. См. задачу 123; 125.0; 126. 1) P   i  ,
k p (1  p)
5
i  0,  1,  2; M()  0, D()  2; 2) Сл. величина | ξ | принимает
значения 0, 1, 2 с вероятностями 0.2, 0.4 и 0.4 соответственно,
2
  y
M   1,2, D   0.56; 127. a) 2ye y , y  0; b)
e
,
2 y
y  0; c) 2e
d)
e y
1 e


 ey  y
 , y  R; d)


1
y 2
2e 2e
mk 
y
1  e
, y  0,1; e) 1, y  0,1;
, y  0,1; e) 1, y  0,1;
б) e  y , y  0; 129. F(x) 
130.
ey
128.
a)
1
, y  1,3 ;
2
1 1
x
1
a
 arctg , f (x)   2
, x  R;
2 
a
 a  x2
а)
N ( 0 , 1 ) 131.
;
1
 2y

e
y
2 2
, y  0;
б)
(ln y a)2
e
 y2
2 2
, y  0;
, y  R;
134.
132..
2
1 b k 1  a k 1

, k  1, 2,...
k 1
ba
202

1
, y  
2 ( y 1 )
N(B,3A);
133.
0 . 5 , 3 136.
. 5 .
Глава Ш.
1
5
1
137. a) P X  1  P X  1  , P Y  1  , P Y  0  ,
2
12
4
1
PY  1  ; б) Сл. величина X+Y свои возможные значения
3
7 1 1 1 5
2,  1, 0, 1, 2 принимает с вероятностями
, , , ,
24 12 4 6 24
соответственно; в) Сл. величина X–Y свои возможные значения
1 1 1 1 1
принимает с вероятностями
2,  1, 0, 1, 2
, , , ,
8 12 2 6 8
соответственно; г) Сл. величина Z принимает два значения 0 и 1 с
3
1
вероятностями
соответственно;
д) Следующие пары
и
4
4
значений двумерной сл. величины (X+Y, X–Y): (-2,0), (-1,-1), (0,2), (0,2), (1,1), (2,0)
имеют ненулевые вероятности
7 1 1 1 1 5
соответственно, остальные пары значений
, , , , ,
24 12 8 8 6 24
имеют нулевые вероятности. 138. 0.29; 139. 0; 140. 1.0; 141. а)
6
x
0, б) 4 ; 142. f (x)  1  , x  0,2; f  (y)  2(1  y) y  0,1;
2

0
x  0, y  0


 xy  x, y   G
 x 
x
;
F (x, y)  1   x, 0  x  2, y  1 
4
2


(2  y)y 0  y  1, x  2(1  y)

1,
x  2, y  1

203
а)
143.
с=1;
в) f (y)  3y 2 , y  0,1;
1
fi (y)  y  , y  0,1, i  1,2;
2
144. f  ( x) 45x , x 1 ; 145.
б)
 2v2  u 2  u   2v 2  u 2  u 
f 
 , 0  u  v;
f
 

2
2
2v2  u 2 
 

x
2a
x
146. P 1  2  1  1  e  ; 147. a) 2 , если 0  x  a,
,
a
a2
xa
ax
, если 0  x  a;
если a  x  2a; б) 2 , если  a  x  0 и
a
a2
1
1
1 a2
, если x  1,
в) 2 ln , 0  x  a 2 ; г) , если 0  x  1,
2
x
2x 2
a
f 12  u, v  

0, если x  0;
v

148. a) xe x , x  0; б)
1 x
e , x  R; в) e x , x  0;
2
 x
 2 , 0  x 1

1
 1
г)
, x  0; 149. a) f  x    , 1  x  2 ;
2
1 x
 2
3  x
 2 , 2x3

x

 1 e , 0  x 1
;
б) f  x   
в) f  x   2 xex , x  0;
x
x 1

e (e  1),
m  
1
1
г) p m 
e ,   1   2 ; 150. f  x  
, если 0  x  ,
2
m!
2
2(1  x)
 t2 
1
1
, если  x  1; 151. 1) 2  t   , 2) t(1  ln t),
2
2x 2
2

3) t 2 , 4) 2t  t 2 ,5)
t2
t2
, t  0,1 ,  1  2t  , t  1, 2 ;
2
2
204
2
x
 1
2
0
0
152. f (x, y)  1, F(x, y)   dx
0r


2
 
dy, f  r,    r,   0,  ,
 2
2
, F(r, )   d
cos   2sin 
0
 t, x  0
P X  Y  t  
,
 t  1, x  1

2
cos  2sin 

rdr;
153.
0
1, x  0
P XY  t  
;
 t, x  1

Mi  0, i  1, 2, cov i ,  j  0; зависимы;
154.
1
155. a) , x  0,z ;
z
1
1
б) , если 0  x  z, 0  z  1,
, если z  1  x  1, 1  z  2;
z
2z
1
z
6x(z  x)
, 0  x  1  ; 157.
в)
, 0  x  z; 156. f  z x  
3
z
2
z
1
2
 N(0,1) – найти условное распределение η при условии 3 ; 158.
1 e

1
Р
x
2 2 ,
 1 
x  0; 159. нет; 160. 2 0 
 0.5204; 161.
 2
2
Р
-1
0
1
0.15
0.5
0.35
1
-1
0
1
2
-2
-1
1
2
P1 / 2  2
1
16
10
16
5
16
P2 / 1 1
5
35
10
35
15
35
5
35
-2
-1
1
2
0.11 0.33 0.40 0.16
1
P( 2 > 1 )=0.41; 162. a) f (x, y)  ,  x, y   R 2 ; б) f 1  x   f 2  x  
2
 1  x , x  1; 163. Двумерная сл. величина   (1 , 2 ) имеет
нормальное распределение с нулевым средним и матрицей
205
 a 2  b2 a 2  b2 
ковариаций 
 ; 164. Двумерная сл. величина
 a 2  b2 a 2  b2 


(c11 ,c2 2 ) имеет нормальное распределение с нулевым средним и
 c12 12
матрицей ковариаций 
c c 
 1 2
Решение.
P  1  a 2   1 
c1c 2  
;
c 22 22 
165.

2
arctg 1 .

a2
1

, 2  2  P 1 1  a2 2  
1
2
x 2  y2



x a
1
 4 f  x, y  dxdy  D   x, y  :  2 , x, y  0   4   e 2 dxdy 
t
1
2 D


D
a 
 
 P  1  2   |переходим к полярной системе координат|=
1 
 2
arctg
2
=

a2
1


d  re
0
0
f  x, y  

r2
2 dr.

1
2   
4
2
1
2  x
arctg
.
2
x 4   2
166.
e
1
4
2(   2 )
2x2 2y2 2xy
Решение.
,  x, y   R 2 ;
P0  1  x2    f  u, v  dudv  D   u, v  : 0  u  xv, u, v  R =
1
D
1
arctg
x


r2
4
2(   2 )
2 2 sin  cos 
dr – перешли к
 d  re
2  4   2 0
0
полярной системе координат u  r cos , v  r sin  .
При
дальнейших вычислениях воспользоваться подстановкой
167.
t  tg;

a) 402 1  0.4660; б) 20 1 0  2  0.3258; в) 202  2   0.2277;
206
г) г) 02 1  0.2388; д) 1  e

1
2
 0.3934;
168.
9
 2 3


2 2 
2
a) 4   0 
   0 
   0.1054; б) e  e 2  0.1242;

2
2



 
7 11
1
4
в) 4 02  3  02  2  0.3735; 169.
;
; 
; 170. ;
12 144
144
3
15
8  2
171. a) 1; б)  1; в)
 0.9682; г) 0; д)
 0.9183; 172.
4
8  2
9  32
1
a) 2  2
 0.3001; б)  ; 174. а),г),ж) могут, остальные –
2
9  64
1


 1
нет;
175. a) x    ,1 ; б) x   1,  ;
176. 0  D     
 2 
 2
p
q
 (1  2 )2 ; 177. a)
, б,в)
, г)q k 2 (1  q k 1 )(1  q),
1 q
1 q


1
1
z
; з) ; 178.
; 179.
m 1
m
2
z2
(2  z) 2
z2
б)
, если 0  z  1;
, если 1  z  2; в)
;
12
12
20
д) pq 2(k 1) (1  q), е) pq 2(k 1) (1  q), ж)
z2
;
12
180. Нет.
a)
16.8
1
; 182.
; 183. λ; 184. 497  X  503; 185.
3
2
X
1397<Х<1483, n≥ 576; 186. 3.55 
 3.85.
100
Глава IV. 181.
Список использованной литературы
1. А.А.Боровков.
Курс теории вероятностей.—М.:
Наука,1972
2. П.П. Бочаров, А.В. Печенкин. Теория вероятностей.
Математическая статистика.–М.:Герольдика,1998
207
3. И.И.Гихман, А.В.Скороход, М.И. Ядренко. Теория
вероятностей и математическая статистика.-Киев, «Вища
школа», 1979
4. Дж. Л. Дуб. Вероятностные процессы.–М.: Иностранная
литература, 1956
5. А.И. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков. Сборник
задач по теории вероятностей. – М.: Наука,1989
6. М. Лоэв. Теория вероятностей. – М.: Иностранная
литература, 1962
7. А.В. Скороход. Элементы теории вероятностей и
случайных процессов. – Киев, ” Вища школа”, 1980
8.П. Уиттл. Вероятность. – М.: Наука, 1982
208