Закон всемирного тяготения относится к числу немногих

Гравитационное «отталкивание»
(решение одной интересной задачи)
Закон всемирного тяготения относится к числу немногих физических законов, имеющих
«говорящие» названия. И школьное преподавание, и практика применения закона не дают
основания сомневаться в справедливости его основного тезиса о взаимном притяжении тел в
природе. Однако существуют ситуации, в которых всемирное тяготение приводит к совершенно
неожиданным эффектам, и вот об этих необычных случаях и хотелось бы поговорить.
Рассмотрим бесконечную вселенную, заполненную водой. Как будут взаимодействовать друг с
другом различные тела в этой вселенной? 1 Казалось бы, ответ очевиден: они будут притягиваться,
подчиняясь закону всемирного тяготения. Но не стоит торопиться с выводами. Давайте разберем
несколько частных случаев.
Для начала исследуем взаимодействие двух свинцовых дробинок. Сразу стоит оговориться, что
термин «взаимодействие» здесь не очень подходит, т.к. на дробинки действуют не только силы
взаимного гравитационного притяжения, но и гравитация вселенной и силы упругости водной
среды2. В первую очередь, постараемся учесть все силы, имеющие гравитационную природу.
Учет гравитационного взаимодействия.
Рассмотрим силы, действующие на первую дробинку. Для этого проведем через ее центр
плоскость, перпендикулярную линии, соединяющей дробинки (рис. 1).
Fводы
Fдр
1
2
Рис. 1
Она разделит вселенную на две полувселенных. Для удобства назовем их левой и правой. Эти
две полувселенные симметричны относительно разделяющей их плоскости, но в правой есть
дополнительная дробинка N 2. Симметричные части полувселенных действуют на дробинку N1 с
совершенно равными силами притяжения. Результирующая сила является итогом действия двух
различающихся сферических элементов. В правой части это дробинка, а в левой – вода в объеме
«Как будут взаимодействовать свинцовая дробинка и воздушный пузырек в водной вселенной?» – эту задачу мне
предложили ученики; а им, в свою очередь, их знакомые… В конце концов, удалось выяснить, что подобная задача
есть в сборнике Д. И. Сахарова.
2
Обратим внимание на то, что в оригинальном тексте Д. И. Сахарова термин «взаимодействие» отсутствует.
1
1
дробинки. Так как масса дробинки больше массы соответствующего элемента воды, то полная
сила, действующая на дробинку N1, будет направлена вправо, но окажется меньше силы
гравитационного притяжения к дробинке N2 (Fдр). Рассчитаем эту силу F1:
F1  Fдр  Fводы  G
G
G
G
m др
2
r
m др
r2
m

др
r
2
 m воды   G
m др
 др
m др  m др
m др
r2
r2

 Vдр  др   воды  
  др   воды   G

m 2 др 
 1  воды
2

r
 др

m др  m воды
G
m 2 др  др   воды 


r2
 др




(1)
Легко показать, что формула (1) в случае разных дробинок преобразуется к виду:
F1  G
m1  m 2
r2
 

 1  воды 

 др 

Имеет смысл еще раз переписать эту формулу, чтобы она описывала не только взаимодействие
дробинок в водной вселенной, но и взаимодействие частиц любого вещества в любой бесконечной
среде3. Тогда она принимает следующий вид:
FG
m1  m 2
r2

 среды 

 1 

 вещества 
(2)
Левая часть этой формулы полностью совпадает с законом всемирного тяготения, и если
плотность среды положить равной нулю, то мы получаем стандартную формулировку закона. Что
и должно произойти, поскольку в этом случае формула описывает гравитационное взаимодействие
вещества в вакууме.
Если плотность среды постепенно увеличивать, то сила взаимного притяжения будет
уменьшаться, пока не обратится в ноль при равенстве плотностей среды и вещества. Вывод
достаточно очевидный, т.к. элементы бесконечной, однородной среды и не должны
взаимодействовать друг с другом4.
Имеется в виду, конечно, не любые, а сферические элементы вещества со сферически симметричным
распределением массы.
4
Речь идет о равнодействующей сил, приложенных к любому элементу. На каждый элемент, конечно, действует сила
притяжения к другому элементу, но она не является единственной. Стоит обратить внимание на то, что при анализе
этой ситуации легко сделать ошибку, решив, что элементы однородной среды не притягиваются друг к другу,
поскольку действие сил гравитационного притяжения компенсируется влиянием Архимедовой силы. Такое
рассуждение, конечно, было бы неправильным, т. к. в полностью однородной среде давление во всех точках
совершенно одинаково. К тому же формула (2) не учитывает действие упругих сил (этим мы займемся в следующей
части), а предназначена для расчета лишь гравитационной составляющей.
3
2
Если же плотность среды больше плотности помещенных в нее элементов вещества, то сила
становится отрицательной, что соответствует отталкиванию этих элементов. Так два деревянных
шарика в водной вселенной будут отталкиваться с силой:
FG
воды
m1  m 2

1

r2
 дерева
(3)
Таким образом, тяготение способно породить отталкивание! Этот эффект взаимного
отталкивания можно пояснить, вводя в рассмотрение «поля», порождаемые внесением в
бесконечную, однородную среду элементов вещества с иной плотностью. Появление более
плотного вещества приводит к созданию «поля» тяготения. Причем тяготение создается только за
счет «избыточной» плотности в объеме вещества. Если же плотность вещества меньше плотности
среды, то возникает «поле» отталкивания. Особенность этих «полей» в том, что они проявляют
свои свойства вне зависимости от того, на какое вещество (с плотностью большей или меньшей,
чем плотность среды) они действуют. Напряженность такого «поля» можно рассчитать по
формуле (речь идет о центральном поле):
EG
среды
m вещества
 1
2
r
вещества
(4)
Теперь попробуем исследовать более сложный случай. До сих пор мы рассматривали
элементы вещества, имеющие одинаковую плотность. А как будут взаимодействовать тела с
различной плотностью? Для определенности выберем деревянный шарик и свинцовую дробинку.
Решая эту задачу, можно было бы использовать описанный выше метод, связанный с выделением
двух полувселенных. Но именно в этом случае использование «полей» отталкивания и тяготения
оказывается наиболее выгодно.
Дробинка, имея избыточную плотность, создает «поле» тяготения. И поэтому она будет
притягивать деревянный шарик. Который, в свою очередь, обладая недостаточной плотностью,
создает «поле» отталкивания. И потому будет отталкивать свинцовую дробинку (рис. 2).
Fпритяж
Дробинка
Дерев.
шарик
рис. 2
Таким образом, силы, действующие на дробинку и шарик, будут направлены в одну сторону!
Но нарушение III закона Ньютона (силы не только не направлены навстречу друг другу, но, в
общем случае, и не равны по модулю5), как и закона всемирного тяготения – только кажущееся.
5
Можно показать, что в этом случае модуль силы рассчитывается по формуле:
F12  G
среды
m1  m2
 1
2
r
2
3
(5)
Дело в том, что силы, описываемые формулой (5), не являются силами взаимодействия. Наряду с
гравитационным взаимодействием тел эта формула учитывает и гравитационное влияние
вселенной, порожденное ее асимметрией по отношению к каждому из тел 6. И различие в силах
«взаимодействия» порождается именно различным влиянием вселенной на находящиеся в ней
элементы.
Подводя промежуточный итог, можно заметить, что учет всех сил, имеющих гравитационную
природу, показывает, что закон всемирного тяготения вызывает не только притяжение тел 7. Но
необходимо помнить, что мы пока не принимали во внимание наличие сил упругости водной
среды. Этому и будет посвящена следующая часть.
Учет Архимедовой силы
Кажется вполне очевидным, что в однородной водной вселенной давление во всех точках
одинаково. Архимедова сила возникает только тогда, когда появляется неоднородное включение.
Рассчитаем эту силу для случая, когда она вызывается появлением свинцовой дробинки.
Рассмотрим произвольно выбранный элемент воды (рис. 3).
Fарх
Fпритяж
Элемент
воды
Дробинка
рис. 3
Он находится в состоянии покоя, а значит сила, действующая со стороны «поля» тяготения
дробинки, полностью компенсируется Архимедовой силой. Найдем эту силу:
Fарх  Fпритяж  m эл  та _ воды  E"поля"  воды * Vэл та _ воды * E"поля"
(6)
Очевидно, что эта формула, так напоминающая классический школьный вариант Fарх=gV,
может использоваться и для «поля» отталкивания8.
А теперь можно попробовать учесть все силы. Вернемся к случаю двух свинцовых дробинок.
Полная сила, действующая на первую дробинку, находится как векторная сумма силы, вызванной
«полем» второй дробинки, и архимедовой силы (рис. 4):
Fарх
F«поля»2
1
2
рис. 4
Эта асимметрия по отношению к каждому телу порождается наличием другого тела, с плотностью, отличной от
плотности среды.
7
Возможно, в какой-то мере нам повезло, что плотность среды во Вселенной меньше плотности вещества, и
всемирное тяготение приводит к эффектам притяжения. Ведь, если бы ситуация была иной, то тот же закон порождал
бы Всемирное отталкивание, и добраться до сути было бы очень не просто. ( А может быть, на самом деле все тела в
природе отталкиваются, и видимые эффекты тяготения порождаются лишь огромной плотностью вакуума? И тогда
одним из фундаментальных законов природы должен быть закон всемирного отталкивания, а тяготение «существует
лишь во мнениях…»)
8
В этом случае она также будет направлена против «поля».
6
4
F1  F"поля"2  Fарх  m1  E"поля"2  воды  V1  E"поля"2 

m 
 m1  воды  V1  E "поля"2   m1  воды  1   E "поля"2 

 др 

 

 


m  
 1  воды   m1  E"поля"2  1  воды   m1  G 22  1  воды  


 др 
 др 
r 
 др 


m m
G 1 2 2
r
 

 1  воды 

 др 

2
(7)
Полная симметрия формулы (7) относительно индексов показывает, что сила F2=F1. Наличие
квадрата в этой формуле тоже не случайно. Если плотность среды оказывается больше плотности
вещества, то знак силы не меняется. А значит два деревянных шарика в водной вселенной тоже
будут притягиваться9. И теперь формулу (7) можно переписать в более общем виде:
m m
FG 1 2 2
r

среды
 1 
 вещества




2
(8)
Однако и эту формулу нельзя использовать для расчета сил действующих на тела с различной
плотностью. Вернемся к ситуации с деревянным шариком и свинцовой дробинкой. Найдем силу,
действующую на свинцовую дробинку. Деревянный шарик создает «поле» отталкивания. Но в
противоположную сторону действует архимедова сила (рис. 5).
Fотталк
Fарх
дробинка
Дерев.
шарик
рис. 5
Полная сила Fдр будет находиться как их векторная сумма:
Fдр  Fарх  Fотталк  воды  Vдр  E отталк  m др  E отталк 


m др
 воды  Vдр  m др  E отталк   воды 
 m др   E отталк 


 др






m дерева

  воды  1  m др  E отталк   воды  1  m др  G
 1  воды 
2
 

 

r
 дерева
 др

 др

m дерева  m др  воды 

G

 1  1  воды
2


r
 дерева
  др

(9)
9
Несложно прийти к этому выводу и в результате строгих рассуждений.
5
Мы видим, что Fдр<0, а значит сила отталкивания больше архимедовой силы. Таким образом,
деревянный шарик и свинцовая дробинка будут отталкиваться друг от друга10. Можно показать,
что такая же по модулю, но противоположно направленная сила будет действовать на деревянный
шарик. Общая формула, описывающая «взаимодействие» двух тел в бесконечной жидкой среде,
имеет следующий вид11:
FG
m1  m 2
r2
 вещ1  среды   вещ 2  среды 


 
 



вещ 1
вещ 2

 

(10)
Очевидно, что в частных случаях формула (10) преобразуется в (9) и (8). Ведь если вещ1=вещ2,
то:
m  m  вещ  среды 

F  G 1 2 2  

r

вещ


2
В этом случае F>0. Это означает, что если плотности тел одинаковы, то вне зависимости от
соотношения с плотностью среды эти тела будут притягиваться друг к другу. Притяжение будет
наблюдаться и в том случае, когда плотности не равны, но обе либо больше, либо меньше
плотности среды. Тогда выражения в скобках в формуле (10) будут одного знака, и сила будет
положительной. Отталкивание тел возможно лишь тогда, когда плотность одного тела больше
плотности среды, а плотность другого - меньше. В этом случае сила меняет знак на
отрицательный, что говорит об отталкивании тел. Если же плотность одного из тел совпадает с
плотностью среды, то сила обращается в ноль12.
Последний абзац дает полное решение задачи в постановке Д. И. Сахарова13. Что и позволяет
нам завершить это небольшое исследование.
Важно понимать, что, несмотря на полное согласие с III законом Ньютона, эти силы, в отличие от сил
гравитационного притяжения шарика и дробинки, не являются силами взаимодействия. Каждая из них - это сумма
трех сил, и почему эти суммы подчиняются III закону Ньютона - это особый вопрос.
11
Ее можно получить, как применяя метод полувселенных, так и вводя в рассмотрение «поля», созданные
неоднородными включениями, и учитывая действие архимедовой силы.
12
Интересно заметить, что какими бы не были плотности тел, если плотность одного из них плавно менять,
приближая к плотности среды так, чтобы она «прошла» через ее значение, то сила сначала будет уменьшаться до нуля,
а потом, сменив направление, начнет расти. Вполне логичное развитие событий.
13
Правда в авторском варианте говорится не просто о телах, а о шарах, что, конечно корректнее.
10
6