На правах рукописи Елшин Михаил Анатольевич Одномерная математическая модель динамики кровотока в русле артериальной системы человека и вариант ее практического применения. Специальность 01.02.08 – «Биомеханика» Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Саратов – 2009 Работа выполнена на кафедре математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент Гуляев Юрий Петрович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Скрипаль Анатолий Владимирович кандидат физико-математических наук, Шабрыкина Наталья Сергеевна Ведущая организация: ГОУ ВПО «Московский государственный университет приборостроения и информатики» Защита состоится « 16 » апреля 2009 г. в 15:30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.243.10 при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, к. 9, ауд. 218. С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского Автореферат разослан « 11 » марта 2009 г. Ученый секретарь диссертационного совета Ю.В. Шевцова ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Статистика утверждает, что сердечно-сосудистые заболевания (ССЗ) – это одна из основных причин инвалидности и преждевременной смерти жителей экономически развитых стран. На сегодняшний день доля ССЗ в структуре смертности является основной и составляет от сорока до шестидесяти процентов от общей смертности. При этом продолжается рост заболеваемости и поражение людей всё более молодого возраста, что делает сердечно-сосудистые заболевания важнейшей медико-социальной проблемой здравоохранения. Сосудистые заболевания конечностей – лидирующая причина ампутаций у людей в возрасте 50 лет и старше, и занимает 90% всех ампутаций. Обычно лечение осложненных сосудистых заболеваний состоит в назначении антибиотиков, удалении инфицированных тканей, назначение сосудистых препаратов (например, антикоагулянтов), а оперативное лечение заключается в таких операциях, как ангиопластика, шунтирование, стентирование. Однако когда перечисленные мероприятия не могут помочь достичь требуемого результата, хирургу приходится прибегать к ампутации в качестве спасительной меры. Заболевания артерий нижних конечностей, помимо болей при ходьбе нередко приводят к развитию критической ишемии и ампутации. Для лечения этих поражений применяется весь спектр сосудистых препаратов, но нередко приходится выполнять реконструктивные сосудистые операции, чтобы восстановить кровообращение в пораженной нижней конечности. Реконструктивные операции выполняются достаточно часто в наше время, однако на данный момент не существует объективных показаний к применению того или иного типа материала шунта и выбора его геометрических параметров. Часто невозможно также объективно предсказать результат операции, а именно, на сколько близок будет кровоток после 1 реконструируемого участка к нормальному или какой тип реконструкции будет оптимальным для каждого конкретного случая. Таким образом, математическое компьютерное моделирование течения крови является актуальной научно-практической задачей. Моделирование течения крови позволяет вычислить параметры кровотока в любой точке сосудистого русла в любой момент времени и спрогнозировать его изменение в результате реконструктивной операции. Цель работы. Основной целью диссертационной работы является разработка математической модели и программного комплекса, удовлетворяющего выше обозначенным критериям. Для достижения цели исследования рассмотрены следующие задачи: выполнить сравнительный анализ существующих на данный момент математических моделей и расчетных схем течения крови в артериальной системе человека. построить быстродействующую, многопараметрическую математическую модель течения крови в артериальном русле, применимую к сосудистому дереву произвольной конфигурации. разработать на базе построенной математической модели пакет прикладных программ, позволяющий моделировать различные сосудистые деревья и рассчитывать параметры течения крови в любой их части и в любой момент времени периода пульсации. сравнить in vivo данные с результатами моделирования исследованного участка артериальной системы. Научная новизна. 1. Разработана одномерная линейная, многопараметрическая математическая модель, позволяющая получить аналитическое решение, в силу этого адаптируемая к большому множеству кровеносных систем, быстродействующая при ее реализации на компьютере. Модель применима к сосудистому руслу произвольной конфигурации. 2 2. Разработано ПО, позволяющее быстро графически строить модели артериальных систем и вычислять параметры течения крови в них. ПО имеет высокую производительность и простой удобный интерфейс. 3. Приведены in vivo данные и их сравнение с результатами компьютерного моделирования. Компьютерное моделирование на основе разработанного ПО показало результаты, близкие к эксперименту. Теоретическая и практическая ценность работы. Пакет прикладных программ и математическая модель, описанные в данной диссертации, могут служить инструментом для выбора наиболее удачного варианта реконструктивной операции, наиболее подходящего по геометрическим размерам шунта и его материала. Одномерная математическая модель показывает результаты, мало отличающиеся от результатов трехмерного моделирования кровотока всюду, за исключением локальных участков сосудистой системы, где имеется достаточно выраженная физическая и геометрическая неоднородность. Положения, выносимые на защиту: 1. Одномерная, линейная математическая модель периодического течения крови, учитывающая углы разветвления. 2. ПО, построенное на основе одномерной математической модели, является быстродействующим, требующим мало системных ресурсов, простое в обращении, способное моделировать широкий спектр конфигураций сосудистых систем и легко настраивается под конкретный случай. Разработанная система может служить прототипом для промышленного производства такого рода программ, их внедрения в медицинские учреждения РФ или даже интеграции их в УЗ аппараты. 3. Моделирование течения крови с помощью разработанного пакета прикладных программ показывает результаты, близкие как к результатам полученным на базе трехмерной модели, так и к экспериментальным данным. Однако, в силу того, что уравнения трехмерной модели требуют 3 численного решения, а уравнения одномерной модели решаются аналитически, время вычисления для последней на несколько порядков меньше. 4. Моделирование тока крови в сосудистых системах может быть осуществлено на основе in vivo данных ультразвуковой допплерографии и анализа крови пациента (анализ крови на вязкость и плотность). Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на международной научно-технической конференции “Вычислительная механика деформируемого твердого тела” (Москва, 2006); Всероссийской научной школе-семинаре “Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине – 2007” (Саратов, 2007); Всероссийской школе семинаре “Математическое моделирование и биомеханика в современном университете” (Дивноморск, 2007, 2008); Международной конференции “XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды” (Саратов, 2007); XIII Всероссийском съезде сердечно-сосудистых хирургов в НЦССХ им. А. Н. Бакулева РАМН (Москва, 2007); IX всероссийской конференции по биомеханике “Биомеханика – 2008” (Нижний Новгород, 2008). В целом работа докладывалась на научных семинарах кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского. Публикации по теме диссертации. Основное содержание диссертационной работы отражено в 7-и печатных работах, в том числе одна статья [2] в журнале, входящем в перечень ВАК ведущих рецензируемых научных журналов и изданий. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Работа содержит 145 страницы машинописного текста, 69 иллюстраций, 2 таблицы и библиографический список из 133 наименований. 4 КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели и задачи, показаны новизна и практическая значимость работы, приведены основные положения, выносимые на защиту. В первой главе представлена информация о строении кровеносной системы человека и в частности конфигурация русла бедренной артерии нижней конечности человека, кратко описано наиболее распространенное заболевание сосудов – атеросклероз. Кроме того, здесь представлено описание современных математических моделей и расчетных схем, применяемых разными авторами для вычисления или анализа параметров кровотока и напряженно деформированного состояния стенки сосуда. Вторая глава посвящена построению математической модели движения крови в упругом изотропном сосуде. Кровь рассматривается как нютоновская жидкость. Модель строится на базе системы уравнений состоящей из следующих соотношений: - упрощенное одномерное дифференциальное уравнение течения вязкой несжимаемой жидкости: Q P 1 R 2 8 2 Q , t z R (1) где Q – скорость объемного расхода крови, P – давление крови, – вязкость крови, – плотность крови, R – радиус рассматриваемого сосуда, z – продольная координата, t – время; - уравнение неразрывности, которое связывает объёмный расход Q с радиальным перемещением стенок сосуда w: w 1 Q ; t 2R z (2) 5 - динамические уравнения осесимметричного деформирования круговой цилиндрической оболочки по безмоментной теории: h h 2u t 2 2w t 2 S S 0 T0 w K 2u , z R z (3) T 2w P 2 w S 0 2 K1 w , R R z T0 (4) где h – толщина стенки сосуда, u – продольное перемещение стенки сосуда, K1 и K 2 – коэффициенты податливости тканей в радиальном и осевом направлениях, S и T – пульсационные составляющие осевой и поперечной силы натяжения сосуда, S 0 и T0 – их начальные величины; - соотношения идеальной упругости стенок сосуда для обобщенного плоского напряженного состояния S Eh u w , R 1 2 z (5) T Eh u w , 1 2 z r (6) где E – модуль упругости, – коэффициент Пуассона; или известные соотношения, учитывающие анизотропию стенок сосуда. Таким образом, получается замкнутая система уравнений (1) – (6) в частных производных относительно шести неизвестных u, w, Q, T , S , P , которая преобразуется в систему трех уравнений в частных производных для трех неизвестных функций u ( z, t ) , w( z, t ) и Q( z, t ) . 6 h 2u t 2 1 w Eh Eh 2 u S 0 T0 K 2u R z 1 2 1 2 z 2 Q 3w w T0 Eh 2 R h 2 R RK 1 t z R R(1 2 ) t z R Eh u w 1 2 R S 8 Q 0 2 2 3 2 1 z z R 2 3 . (7) w 1 Q t 2R z Затем функции u , w, Q представляются в виде комплексного ряда Фурье: i t u( z, t ) U k ( z)e ik t , w( z, t ) Wk ( z)e ik t , Q( z, t ) Qk ( z)e k , k ~ 2k T (8) где T – период кровообращения. После подстановки выражений (8) в систему уравнений (7) получается система уравнений (для простоты записи нижний индекс k у искомых функций опускается): d 2U dz 2 d 3W dz 3 1 2 1 2 dW Eh 2 ( K 2 hk )U S 0 T0 2 Eh EhR dz 1 T0 S 0 1 dW Eh T0 2 RK R h 1 k RS0 dz R R R i k 8 ~ ( K 2 h k2 )U 2 Q 2 4 RS0 R S 0 R S 0 (9) ~ dQ 2Ri k W dz Это система трех обыкновенных дифференциальных уравнений. Отмечается, что искомые функции и множители являются величинами комплексными. Для того, чтобы полностью решить эту систему уравнений шестого порядка, необходимо задать шесть произвольных постоянных для каждого участка артериальной системы. Эти постоянные определяются из краевых и контактных 7 условий артериальной системы. Необходимо задать шесть условий для каждого участка. В качестве таких условий принимаются следующие сооьношения: - на входе в артериальное русло: Q(0, t ) Q0 (t ) , u(0) 0 , u z (10) 0; z 0 - на выходе из артериального русла: R *Q(l ) P(l ) , u(l ) 0 , u z (11) 0; z l где l – длина сосуда. - в точке соединения/разветвления нескольких участков артериального русла: n Qi 0 , i 1 (сумма объемных расходов входящих и исходящих равна нулю) P1 Pi i 2, n , u1 ui i 2, n , w1 wi i 2, n , n n S1 S i li i 2 n li i 2 (12) , T1 Ti li i 2 n , li i 2 8 где n – количество артерий соединенных в данной точке, l i – длина окружности поперечного сечения i -го сосуда в узле ветвления. Таким образом, получается по три условия в начале и в конце артериальной системы. Чтобы система уравнений для определения произвольных констант была замкнутая, необходимо, чтобы в точке контакта на каждую из артерий приходилось по три контактных условия. Действительно, имеем одно уравнение баланса кровотоков, два осредненных уравнения равенства продольных и поперечных усилий и по n 1 уравнению для давления и перемещений: 3 3(n 1) 3n , т.е. для n артерий в узле задается 3n уравнений, по 3 на каждую артерию. Таким образом, получается замкнутая система уравнений для нахождения произвольных констант для каждой из артерий составляющих артериальную систему. Для вычисления установившегося течения крови сначала определяется сопротивление течению в узлах разветвления с учетом углов между входящей артерией и исходящими. За основу берутся динамические контактные условия, полученные из уравнения сохранения количества движения сплошной среды: Q3 Q1 Q 2 2 1 cos 2 2 cos 3 3 Q12 Q2 cos 2 t t t F1 F2 2 2 Q Q Q Q cos 3 F2 1 2 sin 2 3 F3 1 3 sin 3 F3 8 8 F1 F2 F1 F3 P1 F1 P2 F2 cos 2 P3 F3 cos 3 , Q32 2 Q3 Q 2 2 2 sin 2 2 sin 3 3 Q2 sin 2 Q3 sin 3 t t F2 F3 2 2 Q Q Q Q F2 1 2 cos 2 3 F3 1 3 cos 3 P2 F2 sin 2 8 8 F1 F2 F1 F3 P3 F3 sin 3 . 2 Члены, отвечающие не установившемуся течению, отбрасываются: 9 F1 Q12 F2 Q22 cos 2 F3 Q32 2 2 Q Q cos 3 F2 1 2 sin 2 8 F1 F2 2 3 Q Q F3 1 3 sin 3 P1 F1 P2 F2 cos 2 P3 F3 cos 3 , 8 F1 F3 2 2 Q Q Q22 sin 2 Q32 sin 3 F2 1 2 cos 2 F2 F3 8 F1 F2 2 3 Q Q F3 1 3 cos 3 P2 F2 sin 2 P3 F3 sin 3 . 8 F1 F3 Далее анализируется случай, когда в узле соединены только две артерии. Слагаемые, относящиеся к третьей артерии, отбрасываются. С учетом того, что в узле осталось только две артерии и, значит, кровотоки в них одинаковы – Q1 Q2 , записывается соотношение: F1 F2 Q22 Q22 F2 Q22 2 2 Q Q cos 2 F2 2 2 sin 2 P1 F1 P2 F2 cos 2 , 8 F1 F2 2 2 Q Q sin 2 F2 2 2 cos 2 P2 F2 sin 2 . 8 F1 F2 В результате домножения первого из этих уравнений на cos 2 , второго на sin 2 и их сложения получается выражение: F2 Q22 F1 Q22 cos 2 P1 F1 cos 2 P2 F2 . После выражения Q2 , получается формула: Q2 P1F1 cos 2 P2 F2 F2 F1 cos 2 (13) Затем рассматривается следующая аналогия для артерии выходящей из узла: 10 Рис. 1. Электродинамическая аналогия. Здесь P11 – давление в конце первого участка (входящего в узел), P20 – давление в начале второго участка (исходящего из узла), P21 – давление в конце второго участка (исходящего из узла), RУ – сопротивление узла разветвления, RП – Пуазейлево сопротивление второго участка, Q2 – ток на участке. В силу того, что данная схема представляет собой последовательное соединение, ток в каждой точке будет одинаковый. Тогда из закона Ома следует выражение: Q P11 P20 P20 P21 P11 P21 RУ RП RУ RП (14) Формула (13) будет выполняться на участке с сопротивлением RУ и примет для этого участка вид: Q2 P11 F1 cos 2 P20 F2 F2 F1 cos 2 (15) После подстановки выражения (14) в (15) и преобразования получается соотношение: 11 P11 F1 cos 2 P20 F2 P11 P20 RУ F2 F1 (16) cos 2 Так как все давления здесь мало отличаются от нормального атмосферного давления, то принимается P20 101325 Н м2 10 5 Н м2 и вводится коэффициент k P11 P20 (17) Подстановка соотношения (17) в (16) дает уравнение, после выражения из которого RУ получается формула: (k 1)2 cos 2 F2 F1 RУ 105 kF1 cos 2 F2 (18) где k 1 ~ 10 2 10 3 в силу малого перепада давления в сосудах относительно нормального атмосферного давления. Для вычисления установившегося кровотока составляется система уравнений для всей рассматриваемой артериальной системы. В нее включаются следующие уравнения: - Для каждого участка уравнение связи тока и давления согласно формуле (14) Qi Pk ,1 Pi ,1 RУ R П , (19) где k – номер сосуда входящего в узел ветвления; i – номер исходящего сосуда; Pk ,1 – давление в конце k-го сосуда, то есть, давление 12 непосредственно перед узлом ветвления; Pi ,1 – давление в конце i-го сосуда. Для входного участка системы, в силу того, что он не исходит из узла ветвления, записывается соотношение Qi P1,0 P1,1 RП . - Для каждого узла Qi k k 0, (20) где ik - номера артерий соединенных в узле. - На входе в артериальную систему задается Q1 Q00 , где Q00 – свободный член разложения (8). - На выходах из артериальной системы задается Pj k ,1 0 , где j k – номера артерий, которыми оканчивается рассматриваемая артериальная система (здесь Pi ,0 и Pi ,1 – соответственно значения в начале и в конце i –го участка). Таким образом, получается замкнутая система уравнений для вычисления установившегося течения крови в артериальном русле с учетом углов между сосудами в узлах разветвления. Для определения этого параметра рассматривается уравнение неразрывности для i -го участка. wi 1 Qi . t 2Ri z Здесь Ri Ri 0 wi , где Ri 0 – начальный радиус сосуда. Тогда уравнение можно переписывается в виде Ri 1 Qi . t 2Ri z 13 Данное уравнение после преобразований приводится к следующему соотношению: Ri2 Q i . t z Интегрирование по dz последнего соотношения, дает формулу l i 2 Ri dz Qi (0, t ) Qi (li , t ) . t 0 li Учитывая что Ri2 dz Vi , где Vi – текущий объем сосуда, получают уравнение 0 Vi Qi (0, t ) Qi (li , t ) . t После интегрирования данного соотношения по времени, получается формула для избыточного объема крови в сосуде в конкретный момент времени t Vi (t ) Vi (t ) Vi (0) [Qi (0, t ) Qi (li , t )]dt . 0 В третьей главе описана, разработанная для предлагаемой математической модели, программная система, позволяющая графически строить участок артериальной системы, в который можно включить и искусственные элементы, такие как, например, шунты, имплантаты или другие, а также задавать геометрические и механические параметры каждого сосуда модели. По заданным входным параметрам система вычисляет характеристики тока крови во всех участках модели и в любой момент времени периода пульсации. Ниже, структурировано, записаны входные и выходные данные вычислительной системы. 14 Входными параметрами являются геометрия артериальной системы, механические параметры крови и сосудов, входной объемный расход крови и некоторые дополнительные параметры. Геометрические характеристики могут быть получены с помощью рентгена или УЗИ аппарата. Вязкость можно получить с помощью ротационного вискозиметра при скорости сдвига 100 с -1. Необходимыми механическими параметрами сосудов являются модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Кроме того, на входе задается изменение объемного кровотока по времени Q(t). Здесь Q скорость объемного расхода крови (м3/с), t – время (с). Данный параметр может быть получен с помощью допплерографа. Дополнительные параметры, представляют собой следующие характеристики: параметры, связывающие объемный кровоток с давлением на выходах, среднее за период давление на выходах, начальное натяжение. Эти величины подбираются эмпирически, таким образом, чтобы расход крови в неизмененном русле (до оперативного вмешательства) был максимально близок реальному, который можно измерить соответствующими приборами. Выходными данными являются: давление крови в артериальном русле объемный кровоток в артериальном русле скорость крови. Результаты представляются в виде графиков зависимостей V(z, t), P(z, t) и Q(z, t), где V – средняя по сечению скорость крови, P – давление крови в сосуде, z – продольная координата. Возможно отображение как двухмерных графиков, так и трехмерных. Двухмерные графики показывают изменение по одной переменной при второй фиксированной, или анимацию при переборе допустимых значений второй координаты с заданной дискретностью. Возможен просмотр графиков для каждого участка в отдельном окне или семейство анимированных графиков для всех участков системы одновременно. В строке состояний отображаются координаты положения курсора относительно текущей координатной сетки. 15 В четвертой главе диссертации производится сравнение данных, полученных при помощи разработанной программы, с данными, полученными с помощью конечно-элементного моделирования, а так же с данными, полученными in vivo в клинике с ультра звукового дуплексного аппарата Toshiba Xario. Ниже приведены характерные графики сравнения для конечноэлементного моделирования и для экспериментальных данных. ADINA Blood Flow Modeler 0.25 0.20 V 0.15 0.10 0.05 0.00 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 t Рис. 2. График зависимости скорости от времени на выходном сечений подколенной артерии (сравнивается результат вычислений разработанной системы и конечноэлементного пакета ADINA). 16 IN VIVO Blood Flow Modeler 0.000014 0.000012 0.00001 Q 0.000008 0.000006 0.000004 0.000002 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 t Рис. 3. График зависимости скорости объемного расхода от времени на выходном сечений подколенной артерии (сравнивается результат вычислений разработанной системы с экспериментальными данными). Раздел «Основные результаты и выводы» содержит информацию о результатах проделанной работы и выводы, сделанные на основе полученных результатов. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ 1. Построена одномерная, линейная математическая модель периодического течения крови. Модель применима к сосудистому дереву произвольной конфигурации. Система уравнений модели допускает аналитическое решение, в силу чего построенная на ее базе вычислительная система является быстродействующей. 2. Показано, что вычислений одномерная дает значения, математическая мало модель отклоняющиеся в от результате результатов вычислений, произведенных для трехмерной модели. Однако в силу того, что математическая модель является одномерной, она не позволяет анализировать распределение того или иного параметра в достаточно узкой области с ярко выраженной геометрической и физической 17 неоднородностью, например в близи области ветвления или возле атеросклеротических бляшек. Также модель не позволяет анализировать распределение скорости по сечению и не учитывает изгибы русла. 3. На основе одномерной математической модели разработано простое в обращении программное обеспечение, способное моделировать широкий спектр конфигураций сосудистых систем и легко настраиваемое под конкретный случай. ПО позволяет графически строить артериальное русло, имеет высокую скорость вычислений, настраиваемый пользовательский интерфейс. 4. Показано, что моделирование тока крови в сосудистых системах может быть осуществлено на основе in vivo данных ультразвуковой допплерографии и анализа крови пациента (анализ крови на вязкость и плотность). 5. На сравнительных графиках продемонстрировано, что моделирование течения крови с помощью разработанного пакета прикладных программ показывает результаты, близкие к экспериментальным данным. 6. Приведенные в диссертации математическая модель и ПО могут служить основанием для дальнейшего клинического исследования с целью обоснования выбора метода и варианта реконструкции, типа и формы пластического материала с учетом индивидуальных особенностей артерий каждого пациента. 18 ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Елшин М. А. Основные уравнения одномерной теории динамики кровотока в системах крупных артерий. // Международная научно-техническая конференция «Вычислительная механика деформируемого твердого тела». Труды. – T. 1. – М.: МИИТ, 2006. С. – 152-155. 2. Елшин М.А., Гуляев Ю.П. Постановка и решение задачи определения динамики кровотока в крупных артериях по одномерной теории. // Известия Саратовского университета. Серия Математика. Механика. Информатика. – 2007. – Т. 7. – Вып. 1. – С. 45-48. 3. Елшин М.А. Пакет программ для вычисления кровотока в части артериальной системы // Материалы ежегодной Всероссийской научной школы-семинара «Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине - 2007». – Саратов: Изд. Саратовского университета, 2007, – С. 4145. 4. Елшин М.А. Гуляев Ю. П. Решение задачи определения динамики кровотока в крупных артериях по одномерной теории с использованием ПК. // Труды III всероссийской школы-семинара «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете». Дивноморск, 2007 г. – Ростовна-Дону, 2007. – С. 33-34. 5. Елшин М.А., Гуляев Ю.П. Решение задачи определения динамики кровотока в крупных артериях по одномерной теории с использованием динамических условий в узле разветвления // Труды конференции «XVIII сессия 19 Международной школы по моделям механики сплошной среды». Саратов, 2007 г. – Саратов, 2007. – С. 112-118. 6. Елшин М.А. Программное обеспечение для вычисления параметров кровотока в части артериальной системы. // Тезисы докладов. IX Всероссийская конференция по биомеханике «Биомеханика – 2008». Нижний Новгород, 2008. – Нижний Новгород, 2008. – C. 180-182. 7. Елшин М.А. Программное обеспечение для вычисления параметров кровотока в части артериальной системы. // Труды IV всероссийской школысеминара «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете». Дивноморск, 2008 г. – Ростов-на-Дону, 2008. – С. 42-43. 20