Государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей 350000 г. Краснодар,

Государственное бюджетное
образовательное учреждение
дополнительного образования детей
«Центр
дополнительного
образования для детей»
350000 г. Краснодар,
ул. Красная,76
тел. 259-84-01
E-mail:[email protected]
КРАЕВЫЕ ЗАОЧНЫЕ КУРСЫ
«ЮНИОР»
Математика 8 класс
ответы и решения к работе № 1,
2012-2013 уч. год
Задание 1.
Найдите все несократимые дроби, увеличивающиеся вдвое после увеличения и
числителя и знаменателя на 10. Подсказка:Попробуйте составить уравнение.
Решение
Составим уравнение 2a/b = (a + 10)/(b + 10), при этом a и b взаимно просты.
Преобразуемего:2a(b + 10) = b(a + 10),2ab + 20a = ab + 10b,ab + 20a = 10b,
b(10 − a) = 20a. Отсюда видно, что b является делителем 20 (по условию у b и a нет
общих делителей. Дальше действуем подбором — составим таблицу
соответствующих друг другу значений переменных.
b
1
2
4
5
10
20
a
–
–
–
2
–
5
Случай a = 5, b = 20 не годится — есть общие делители. Подходит случай
a = 2, b = 5. Действительно, 2(2/5) = 4/5 = 12/15. Ответ:a = 2, b = 5.
Задание 2.
Докажите, что произведение 99 дробей (k3-1)/(k3+1), где k = 2, 3, ..., 100, больше
2/3.
Решение
3
3
Преобразуем выражение (n – 1) / (n + 1):
Следовательно,
где A и B, соответственно, произведения частей a и b равенств (*) для n = 2, ..., 100:
Задание 3.
Разложите многочлен x8+x4+1 на четыре множителя: Подсказка:При прибавлении
к данному многочлену x4 получится полный квадрат; используйте формулу
разности квадратов.
Решение
Нужное разложние получается из следующей цепочки тождественных
преобразований, в которых используется формула разности квадратов: x8+x4+1 =
(x8+2x4+1)-x4 = (x4+1)2-(x2)2 = (x4-x2+1)(x4+x2+1) = ((x4+2x2+1)-3x2)((x4+2x2+1)-x2) =
((x2+1)2-3x2)(x2+1)2-x2) = (x2+1- 31/2x)(x2+1+31/2x)(x2+1- x)
(x2+1+x).
Задание 4.
На окружности записаны а) 6; б) 30 чисел. Каждое из этих чисел равно модулю
разности двух чисел, стоящих после него по часовой стрелке. Сумма всех чисел
равна 1. Найти эти числа.
Решение
Поскольку каждое из выписанных чисел равно модулю разности двух других, а
модуль любой величины всегда неотрицателен, то все числа должны быть
неотрицательны. Пусть наибольшее из них равно x. Два следующих за ним числа
должны быть не больше x и различаться на x. Это возможно лишь в случае, когда
одно из них равно x, а другое — нулю. Итак, в каком-то месте должны стоять либо
числа x, x, 0, либо числа x, 0, x. Двигаясь по окружности против часовой стрелки,
мы однозначно восстановим остальные числа. В обоих случаях получается один и
тот же набор — x, x, 0, ..., x, x, 0. Из условия, что сумма всех чисел равна 1,
находим: а) x = 1/4, б) x = 1/20. Ответ: а), б) один набор.
Задание 5.
Каждая из боковых сторон равнобедренного треугольника равна 7. Из точки,
взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные
боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма.
Подсказка: Каждая из проведённых прямых отсекает от данного треугольника
равнобедренный треугольник.
Решение
Пусть M — точка на основании AC равнобедренного треугольника ABC, P и Q —
точки на боковых сторонах AB и BC, MP || BC и MQ || AB. Тогда треугольник APM
— равнобедренный. Поэтому MP + PB = AP + PB = 7. Следовательно, искомый
периметр равен 14.
Задание 6.
Даны две параллельные прямые l и l1. С помощью одной линейки разделите
пополам данный отрезок AB прямой l. Подсказка: Примените замечательное
свойство трапеции.
Решение
Возьмём точку M так, чтобы точки M и A лежали по разные стороны от прямой l1.
Пусть отрезки MA и MB пересекают прямую l1 в точках A1 и B1. Обозначим через
P точку пересечения диагоналей AB1 и BA1 трапеции AA1B1B. Тогда прямая MP
делит отрезок AB пополам (замечательное свойство трапеции). Возьмём точку M
так, чтобы точки M и A лежали по разные стороны от прямой l1. Пусть отрезки MA
и MB пересекают прямую l1 в точках A1 и B1. Обозначим через P точку
пересечения диагоналей AB1 и BA1 трапеции AA1B1B. Тогда прямая MP делит
отрезок AB пополам (замечательное свойство трапеции). Возьмём точку M так,
чтобы точки M и A лежали по разные стороны от прямой l1. Пусть отрезки MA и
MB пересекают прямую l1 в точках A1 и B1. Обозначим через P точку пересечения
диагоналей AB1 и BA1 трапеции AA1B1B. Тогда прямая MP делит отрезок AB
пополам (замечательное свойство трапеции).
Задание 7.
Гриша едет по маршруту длиной 100 км. В его автомобиле имеется компьютер,
дающий прогноз времени, оставшегося до прибытия в конечный пункт. Это время
рассчитывается исходя из предположения, что средняя скорость автомобиля на
оставшемся участке пути будет такой же, как и на уже пройденном. Сразу же после
старта компьютер показал "2 часа" и всё дальнейшее время показывал именно это
число (компьютер исправен). Найдите x(t) — зависимость пути, который проехал
Гриша, от времени с момента старта. Постройте график этой зависимости.
Решение
Через t часов с момента старта Гриша проедет x(t) километров. Его средняя
скорость составит x(t)/t км/ч. Оставшиеся 100 - x(t) км Гриша, по мнению
компьютера, будет двигаться с той же средней скоростью, то есть проедет этот
участок за (100 - x(t)) / (x(t)/t) ч, что по условию всегда составляет 2 ч. Тогда (100 x(t))(x(t) / t) = 2, то есть x(t) = 100t / (t + 2), t > 0. Это и есть искомая зависимость.
Для построения графика преобразуем: 100t / (t + 2) = (100(t + 2) - 200) / (t + 2) = 100
- 200 / (t + 2), t > 0. Графиком функции x(t) = 100 - 200 / (t + 2), где t > 0, является
часть гиперболы x(t) = -200 / t, смещённой на 2 влево и на 100 вверх. Схематичный
график зависимости пройденного расстояния от времени приведён на рисунке.