Лекция №1
реклама
Лекция №1 Предмет начертательной геометрии. Методы проецирования. Эпюр Монжа. Точка, прямая на эпюре. Конкурирующие точки. Начертательная геометрия является одним из разделов геометрии, в котором пространственные фигуры (совокупность точек, линий, поверхностей) с их геометрическими закономерностями изучаются в виде изображений на плоскости. Правила построения изображений, изучаемых в начертательной геометрии, основаны на методе проекций. В начертательной геометрии фигуры отображаются на плоскость способами центрального, параллельного и ортогонального проецирования. Аппарат любого проецирования состоит из геометрической фигуры, проецирующего луча, центра проецирования, плоскости проекций. Параллельное проецирование можно рассматривать как частный случай центрального, у которого центр проецирования удален в бесконечность (S). При параллельном проецировании применяют параллельные проецирующие лучи, проведенные в заданном направлении. Частный случай параллельного проецирования, при котором направление проецирования перпендикулярно плоскости проекций, называют ортогональным проецированием. Изображение точки на комплексном чертеже Рассмотрим систему трех взаимно перпендикулярных плоскостей П1,П2,П3, Выделим в пространстве точку А и спроецируем её на все три плоскости проекций: Z23 Ï2 A2 n A3 m A a Ï3 X12 A1 Ï1 Y13 Плоскость П1, расположенную горизонтально, называют горизонтальной плоскостью проекций. Вертикальная плоскость П2, перпендикулярная к П1, называется фронтальной плоскостью проекций. Плоскость П1 и П2 пересекаются по прямой х12, называемой осью проекции П1 П2=х12 Вертикальная плоскость, перпендикулярная к плоскостям П1 и П2 называется профильной плоскостью проекций и обозначается П3, П2 П3=z23 ãëóáèí à âûñî ò à П1П3=у13 При ортогональном проецировании точка проецируется с помощью прямых, перпендикулярных плоскостям проекций. Поэтому все прямые, перпендикулярные к плоскостям проекций называются проецирующими. Для этого проведем через точку А проецирующую прямую n ┴ П1, проецирующая прямая n пересекает горизонтальную плоскость проекций П1 в точке А1, которая называется горизонтальной проекцией точки А . nП1=А1 Аналогично: а∩П2 =А2; a┴П2; А2 – фронтальная проекция точки А. m∩П3 =A3 ; m┴П3; А3 – профильная проекция точки А . Z23 Расстояние от точки А до øèðèí à À3 À2 плоскости П1 является высотой точки (АА1). Расстояние от точки А до плоскости П2 - глубиной точки (АА2). Расстояние от точки А до X12 Y13 плоскости П3 –шириной (АА3). Проекционный чертеж, на котором все плоскости проекций À1 со всем тем, что на них изображено, совмещены Y13 называется эпюром. Конкурирующие точки. Точки, расположенные на одной проецирующей прямой, называются конкурирующими. С помощью конкурирующих точек определяется видимость геометрических фигур на эпюре. Две конкурирующие точки: А и В, принадлежащие горизонтально проецирующей прямой. Горизонтальные проекции точек совпадают, т. к. точка А расположена выше точки В ( Ζ А>ΖВ), то её горизонтальная проекция будет видимой, а невидимая точка В 1 указывается в скобках. À2 Ï2 Â2 À À2  Â2 X12 X12 À1 (Â1) Ï 1 À1 (Â1) Лекция №2. Прямая. Изображение прямой на чертеже. Положение прямой относительно плоскости проекции. Положение прямой линии определяется двумя ее точками. Поэтому пространственная прямая будет задана, если на чертеже имеются проекции двух ее точек, т.к. линии, проходящие через одноименные проекции этих точек, будут проекциями прямой. Прямая относительно плоскостей проекции может занимать различные положения. Прямая общего положения. Z Прямая ( l ) является Ï прямой общего l положения, если она l l l l не параллельна ни одной из плоскостей Ï проекции. X l 2 2 2 3 2 3 3 12 1 l1 Ï1 Y12 Прямые частного положения. Прямые частного положения подразделяются на прямые уровня и проецирующие. К прямым уровня относятся горизонтальные, фронтальные и профильные. Горизонтальная прямая параллельна плоскости П1; фронтальная прямая параллельна плоскости П2; профильная прямая параллельна плоскости П3. Прямые, перпендикулярные к одной плоскости проекций, проецирующие Проецирующие прямые подразделяются на: Горизонтально проецирующие прямые, перпендикулярные горизонтальной плоскости проекций (П1), фронтально-проецирующие прямые, перпендикулярные фронтальной плоскости проекций (П2), профильно-проецирующие прямые, перпендикулярные профильной плоскости проекций (П3). Принадлежность точки прямой. â2 Точка А принадлежит прямой b, если её проекции А1 и А2 лежат на A2 одноименных проекциях b1 и b2 этой прямой. Справедливо будет и X12 обратное положение. A1 â1 Взаимное положение прямых. Две прямые в пространстве могут быть: пересекающимися, параллельными и скрещивающимися. Взаимное положение двух прямых можно установить по эпюру, исходя из соответствующих признаков. Пересекающиеся прямые. Если две прямые а и b пересекаются в точке К, то точки пересечения одноименных проекций прямых лежат на одной линии связи. Параллельные прямые. Если две прямые взаимно параллельны, то их одноименные проекции параллельны: а׀׀b, т.к а1׀׀b1 и а2׀׀b2. Скрещивающиеся прямые. Если прямые не пересекаются и не параллельны между собой, то точки пересечения их одноименных проекций не лежат на одной линии связи. Построение на чертеже натуральной величины отрезка прямой общего положения. Прямая общего положения составляет с плоскостями проекций произвольные прямые. Угол между прямой и плоскостью проекций определяется углом между прямой и ее ортогональной проекцией на эту плоскость. Â2 На рис. показано определение натуральной величины отрезка АВ на эпюре A2 X12 A1 í àò óðàëüí àÿ âåëè÷èí à Â1 = B - A Лекция №3. Плоскость. Способы задания плоскости. Плоскости общего и частного положения. Главные линии плоскости. Плоскость считается заданной, если относительно любой точки пространства однозначно решается вопрос о принадлежности её данной плоскости. На эпюре плоскость может быть задана, рис.3.1. : а) тремя точками, не лежащими на одной прямой [α( A, B, C )]; б) прямой и точкой не лежащей на этой прямой [α (А,а)]; в) двумя пересекающимися прямыми [α (а∩b)]; г) двумя параллельными прямыми [α (а׀׀b)]; д) проекциями плоской фигуры [α (∆АВС)] е) следами [α(α1α2)]. След - линия пересечения плоскости с плоскостью проекций. Пересечение следов называется точкой схода следов (αх, αу, αz). Положение плоскости относительно плоскостей проекций. Плоскости могут занимать общее и частное положения. а) плоскости общего положения – неперпендикулярные и непараллельные плоскостям проекций; б) плоскости проецирующие – перпендикулярные к плоскостям проекций; в) плоскости уровня – плоскости, параллельные одной плоскости проекции. Принадлежность прямой и точки плоскости. К числу основных задач, решаемых на плоскости, относятся: построение прямой в плоскости, построение в плоскости некоторой точки, проверка принадлежности точки плоскости. Решение этих задач основывается на известных положениях геометрии: прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, лежащие в этой плоскости; точка принадлежит плоскости, если она лежит на прямой, принадлежащей плоскости. Главные линии плоскости Главные линии – это линии уровня, принадлежащие плоскости и линии, перпендикулярные к линиям уровня. Линии уровня: горизонталь, фронталь. B Горизонталь (h) – прямая, лежащая в плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекции 1 h A П1 C 2 2 2 2 2 x12 A1 C1 h1 11 B1 Фронталь (f) – прямая, лежащая в плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций П2 a2 â2 M2 N2 f2 x12 à1 f1 N1 M1 â1 Линии наибольшего наклона к плоскостям проекций f Линия наибольшего наклона – À прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная к горизонтали или фронтали. Представление о линии Ñ наибольшего наклона плоскости α Ì дает прямая, с α1, которую еще x называют линией ската. 2 2 2 h2 2 12 C1 f1 A1 M1 m1 h1 Относительное положение прямой и плоскости общего положения. Возможны три случая относительного положения прямой и плоскости: а) прямая принадлежит плоскости; б) прямая параллельна плоскости; в) прямая пересекает плоскость Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, лежащие в плоскости. Прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой, лежащей в этой плоскости. Если прямая перпендикулярна плоскости, то горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция ее перпендикулярна фронтальной проекции фронтали. При построении точки пересечения прямой с проецирующей плоскостью, исходим из того, что плоскость перпендикулярная плоскости проекций проецируется на нее в виде прямой линии. Следовательно, на этой прямой находится и соответствующая проекция точки пересечения заданной прямой с проецирующей плоскостью. Лекция №4. Методы преобразования чертежа. Метод замены плоскостей проекций. Переход от общего положения геометрической фигуры к частному можно осуществить двумя путями: а) перемещением в пространстве проецируемой фигуры относительно плоскостей проекций, которые при этом не меняют своего положения. б) выбором новой плоскости проекций, по отношению к которой проецируемая фигура, не меняющая своего положения, окажется в частном положении. Первый путь лежит в основе способа вращения, второй составляет теоретическую базу способа замены плоскостей проекций. Способ замены плоскостей проекций Сущность способа заключается в том, что положение геометрической фигуры не изменяется, а вводится новая дополнительная плоскость, относительно которой геометрическая фигура занимает частное положение, при этом должно выполняться условие: новая дополнительная плоскость должна быть перпендикулярной к незаменяемой плоскости. На рис. точка А задана в системе плоскостей П1/П2, заменим одну плоскость, например вертикальную П2 на П4, причем П4┴ П1, и построим новую вертикальную проекцию А4 точки А. Т.к. горизонтальная плоскость П1 остается общей как для плоскости П2 так и для плоскости П4, координата Z точки А остается неизменной. Это условие позволяет легко строить проекцию точки на чертеже на новой плоскости проекции. Из чертежа рис. 5.5. видно, что расстояние от новой проекции А4 точки А до новой оси Х14 равно расстоянию от старой фронтальной проекции А2 до старой оси Х12. z13 Ï2 À2 Ï4 A4 A2 Ï4 A A4 y13 õ12 À1 x14 A1 Ï1 õ14 À4 x12 Рассмотрим шесть типовых задач, решаемых методом замены: Задача 1: отрезок АВ прямой общего положения перевести в положение уровня. Введем новую дополнительную плоскость П4, параллельную отрезку 1 проекция А1 В1 на 4 АВ, при условии П4 П1; В новой системе плоскостей плоскости П1останется прежней, а проекция на П4 будет А4В4. При замене плоскостей П2 на П4 не изменяются расстояния точек А и В до плоскости П1 (высоты точек ZA и ZB), изменяются расстояния точек до плоскости П4. B При выбранном нами положении плоскости П4 новая ось Х14 располагается параллельно А1В1, A а новая проекция А4В4 может быть построена на эпюре, если на X соответствующих линиях связи точек A А и В отложить от оси, высоты точек B ZА и ZВ 2 2 12 1 1 A4 B4 X14 Задача 2: прямую уровня перевести в проецирующее положение 1 1 ; ; АВ 4 4 1 4 2 Проведем ось Х14А1В1 на любом расстоянии от проекции А1В1 по линии связи отложим расстояние (ZА= ZВ) A2 B2 X12 X14 B1 A1 A4 B4 Задача 3: прямую общего положения перевести в проецирующее положение. Для решения этой задачи надо последовательно провести две замены (т.е. решить сначала задачу 1, затем задачу 2) B2 Так чтобы отрезок АВ прямой общего положения сделать A2 горизонтально проецирующим, сначала переходим к системе X12 1 1 ( 1 ), преобразуя прямую в 4 2 4 B1 прямую параллельную плоскости П4, A1 X14 5 B5 а Aзатем от системы B4 системе A4 X45 Задача4: плоскость общего положение. 5 , 4 1 переходим к 4 сделав отрезок прямой перпендикулярным плоскости П5. положения перевести в B2 12 h2 C2 A2 X12 B4 B1 C4 11 C1 h1 A4 A1 X14 АВ к проецирующее Для решения задачи построим в ∆ АВС горизонталь h, преобразуем систему 1 в систему 1 ; П4 перпендикулярна к плоскости ∆ АВС; на 2 4 чертеже проводим ось Х14 h1. 0 - угол наклона плоскости к к плоскости П1. Задача 5: проецирующую плоскость перевести в положение уровня. B Заменим плоскости П1 на П4; П4 расположена параллельно C плоскости ∆ АВС. Проводим ось A Х14 параллельно А1В1С1. 2 2 2 X12 C1 B1 A1 C4 X14 A4 B4 Задача 6: плоскость общего положения перевести в положение уровня. A5 Чтобы решить эту задачу надо два B2 преобразования, т.е. решить задачу B5 4, а затем задачу 5. h2 C2 A2 C5 A4 X12 C4 B4 X15 C1 A1 h1 B1 X14 Лекция №5. Многогранники. Пересечение многогранников проецирующими плоскостями. Аксонометрические проекции. Теорема Польке. Многогранник – это конечная часть пространства, ограниченная отсеками пересекающихся плоскостей. Отсеки плоскостей называются гранями, а линии их пересечения – ребрами. Ребра пересекаются в точках, называемых вершинами. Из всего многообразия многогранников наибольший практический интерес предоставляют призмы и пирамиды. Призма – тело, боковой поверхностью которого является совокупность параллелограммов, а основаниями служат плоские многоугольники Пирамида – тело, боковая поверхность которого предоставляет совокупность треугольников, имеющих общую вершину, а основанием служит плоский многоугольник Недостающие проекции точек, принадлежащих граням многогранников можно построить с помощью вспомогательных прямых, т.е. решить задачу на принадлежность точки плоскости. S2 h2 х1,2 22 12 A2 B2 D2 C2 D1 h1 S1 21 A1 11 C1 B1 Линия пересечения многогранника проецирующей плоскостью может быть построена: S а) по точкам пересечения ребер многогранника с плоскостью; n б) по линиям пересечения граней 3 многогранника с данной плоскостью. (2 ) Т.е. задача сводится, к построению 1 точки пересечения прямой с C A B плоскостью или к определению линии õ (B ) пересечения плоскости общего 2 положения проецирующей плоскостью. 2 2 2 2 2 2 1,2 2 2 2 1 1 A1 11 n1 31 C1 Аксонометрические изображения широко применяются благодаря хорошей наглядности и простоте построений. Сущность метода параллельного аксонометрического проецирования заключается в том, что предмет относят к прямоугольной системе координат и затем проецируют параллельными лучами на плоскость (картинную) вместе с координатной системой. В зависимости от коэффициентов искажения аксонометрические проекции могут быть 1) изометрическими, коэффициенты искажения по всем осям равны между собой т.е., KZ=KX=KY; 2) диметрическими, коэффициенты искажения по двум осям равны, а по третьей отличаются от первых двух KX'= KZ ' ; Kу'≠ KZ ' ≠ Kх'; 3) триметрическими все три коэффициенты искажения различны т.е. KX'≠KZ'≠KY'. При построении параллельной аксонометрической проекции можно произвольно выбрать картинную плоскость и направление проецирование. Немецкий геометр К. Польке доказал в 1853 г. следующую теорему: «Три произвольно выбранных отрезка на плоскости П´, выходящие из одной точки, представляют параллельную проекцию трёх равных и взаимно перпендикулярных отрезков, выходящих из некоторой точки пространства». На основании теоремы Польке системы аксонометрических осей, а так же коэффициенты искажения по ним могут быть заданы совершенно произвольно. Согласно ГОСТ 2.317-69 из прямоугольных аксонометрических проекций рекомендуется применять прямоугольные изометрию и диметрию. В прямоугольной изометрии искажение по всем осям равны 0,82 и аксонометрические оси расположены под углом 120º. На практике при построении изометрических изображений коэффициент берут равным единице. В этом случае получаются изображения, увеличенные в 1,22 раза. 5 H S2 4 8 6 O 7 z N2 3 2 X12 1 61 81 8' 51 6' X 11 S M2 4' 5' 7' 2' A1 Y' 71 31 C2 M Ñ1 N1 S1 C x M1 X' 21 L2 P2 3' O' N C2'' A2 41 1' M2'' Ñ1' A L P B P1 y L1 Y B1 Лекция №6. Поверхности вращения. Цилиндр. Конус. Сфера. Точки на поверхностях вращения, сечение проецирующими плоскостиями. Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением линии вокруг некоторой неподвижной прямой. Неподвижная прямая называется осью вращения поверхности, а вращающаяся линия – образующей. Самая большая параллель называется экватором, самая малая - горлом. Плоскость, проходящая через ось поверхности вращения, называется меридианальной, а линия, по которой она пересекает поверхность меридианом. Меридианальную плоскость параллельную плоскости проекции принято называть главной меридианальной плоскостью, а линию её пересечения с поверхностью вращения – главным меридианом. По форме образующей, поверхности вращения бывают с прямолинейной и с криволинейной образующей. 1) Поверхности, образованные вращением прямой линии. а). Если образующая прямая параллельна оси вращения, то она описывает поверхность прямого кругового цилиндра. б). Если образующая пересекает ось вращения, то получается поверхность прямого кругового конуса. в). Если ось и образующая – скрещивающиеся прямые, то образуются поверхность однополостного гиперболоида вращения. 2) Поверхности вращения, образованные вращением окружности или её дуги: а) сфера – образующая окружность вращается вокруг оси, проходящей через её центр; б) тор – окружность вращается вокруг оси, не проходящей через её центр. Принадлежность точки поверхности вращения определяется при помощи параллели, проходящей через эту точку. J2 Î2 12 (B2) (C2) m1 11 B1 11 21 (C1) Î1 J1 P1 При построении линии пересечения поверхности вращения проецирующей плоскостью исходим из того, что одна проекция линии пересечения известна, она совпадает со следом плоскости. Задача по определению второй проекции линии пересечения сводится к многократному нахождению второй проекции точек линии пересечения. 2 ïñ ýëëè õ12 2 2 ï àð àáî ëà 2 ãèï åðáî ëà î êðóæí î ñò ü В результате сечения конуса проецирующей плоскостью могут быть получены такие плоские кривые, как окружность, эллипс, парабола и гипербола, которые получаются при определенном положении секущих плоскостей. 2 12 2 42 52 õ12 32 (42) Î2 P2 22 (32) 52 (62) N2 M2 12 22 x12 31 61 51 O1 11 41 41 11 P1 (21) 51 21 31 Лекция №7. Взаимное пересечение поверхностей. Способы построения линии пересечения. Линия пересечения двух поверхностей является множеством точек, общих для данных поверхностей. Для определения этих точек часто пользуются вспомогательными секущими поверхностями. Поверхности – посредники пересекают данные поверхности по линиям, которые, в свою очередь, пересекаются в точках линии пересечения данных поверхностей. Секущие поверхности – посредники выбирают так, чтобы они, пересекаясь с данными поверхностями, давали простые для построения линии, например прямые или окружности. При построении линии пересечения применяют два основных способа – способ секущих плоскостей и способ секущих сфер. Секущими плоскостями часто выбирают плоскости уровня – плоскости параллельные плоскостям проекций. Линия пересечения двух поверхностей имеет опорные точки, с которых следует начинать построение этой линии. Они позволяют увидеть, в каких границах можно изменять положения вспомогательных секущих плоскостей для определения остальных точек. К таким точкам относятся экстремальные точки – верхняя и нижняя точки относительно той или иной плоскости проекций; точки, расположенные на очерковых образующих некоторых поверхностей, точки видимости, имеющие проекции на линии очертания и т.д. Задача на построение линии пересечения двух поверхностей упрощается, когда одна из них является проецирующей, т.е. прямолинейные образующие этой поверхности (цилиндра, призмы) перпендикулярны какой – либо плоскости проекций. Проекция линии пересечения на эту плоскость, определяется на 12 эпюре без дополнительных построений. Пусть конус вращения с вертикальной осью пересекается фронтально проецирующим 32 цилиндром рис. 8.5. Фронтальная проекция линии пересечения 22 известна, она совпадет с фронтальной проекцией цилиндра. x12 Отметим опорные, характерные и вспомогательные точки. 3'1 Фронтальные проекции 11 и 21 опорных точек 1 и 2 находим по линиям связи, проведя через них 11 21 параллели. Точки 3 и 3` являются 31 точками границы видимости линии пересечения. Найденные горизонтальные проекции точек соединяем плавной кривой. Лекция №8. Развертки поверхностей вращения. Развертка любой поверхности, кроме гранной, является приближенной, т.к. ее аппроксимируют поверхностями вписанных многогранников. При построении развертки цилиндрической поверхности, цилиндрическую поверхность заменяют призматической. Построение развертки цилиндрической поверхности методом раскатки. 1).Разделить окружность основания цилиндра на «n» равных частей (например, n=12). 2). Через точки деления провести прямолинейные образующие цилиндрической поверхности – ребро призмы, которой заменяется цилиндрическая поверхность рис.10.6. 3). Принять за плоскость развертки горизонтальную плоскость β, проходящую через ребро призмы. Дальнейшее построение аналогично построению развертки, рассмотренной ранее призматической поверхности. Развертка конической поверхности. При построении конической развертки используем метод триангуляции. Сущность его в том, что поверхность аппроксимируется многогранной поверхностью, состоящей из жестких неизменяемых треугольных граней. При построении развертки конической поверхности, надо вписать в нее пирамиду. B A 1 2 3 4 5 6 1 S Лекция №9. Развертки многогранников. Разверткой поверхности называется фигура, полученная в результате совмещения развертываемой поверхности с плоскостью. Необходимым условием совмещения является отсутствие разрывов и складок на развертке. Развертка многогранной поверхности получается путем последовательного совмещения всех ее граней с плоскостью . Способ триангуляции. Построение развертки этим способом рассматривается на примере развертки боковой поверхности пирамиды SABC, рис 10.1. Определим натуральную величину каждого ребра пирамиды, например, вращением вокруг оси J, проходящей через вершину пирамиды S и перпендикулярной плоскости П1. Для этого повернем ребра пирамиды до положения, параллельного плоскости П2, т.е. A1 S1 ׀׀X12; S1B1׀׀X12;S1C1׀׀X12. 1). Построим фронтальные проекции этих ребер S2A2 ', S2C2', S2B2', которые проецируются в натуральную величину на П2 2).Приступаем к построению развертки. Для этого через произвольную точку S0 проведем прямую а, откладываем от нее отрезок S0A0=S2A2'', из точки A0 проводим дугу R=А0В0=А1В1, а из точки A0 проводим дугу R=S0B0=S2B2', получим точку B0, соединив точки S0,A0,B0 – получим грань пирамиды, аналогично построим остальные грани.