Document 3932943

МОДЕЛИ КОАЛИЦИИ ЗАЕМЩИКОВ С МЕХАНИЗМОМ ВЫДАЧИ КРЕДИТОВ НА
ОСНОВЕ ЖРЕБИЯ
Сытов А.Н.
Вычислительный центр им А.А. Дородницына РАН, г. Москва
fereshko@yandex.ru
Ключевые слова: коалиция заемщиков, жребий, цены, вычислительный эксперимент.
Введение
В настоящей работе предлагается модель коалиции однородных заемщиков, с выбором
участников для получения кредита и последующего приобретения им актива путем жребия. При этом
предполагается, что цены на активы могут изменяться со временем.
1. Основные соотношения модели и постановка оптимизационной задачи
Введем соотношения, которые будут связаны с описанием одного участника коалиции. Примем
следующие обозначения: U – размер депозитных вкладов участников, V – размер кредитных
выплат; u – процентная ставка по депозитам; v – процентная ставка по кредитам. Цена актива в
момент времени t обозначается как С t .
Накопления участника на депозите GtD описываются следующим конечно-разностным
соотношением:
GtD1  1  u   GtD  U , t  0,1,.... , G0D  U .
Считается, что участники коалиции приобретают активы на интервале времени 0,..., l , при этом
l  t 1 , t 1  min t , L .
(1)
Здесь t  обозначает момент времени, когда участник коалиции накапливает на интервале времени
0,..., L сумму, необходимую для приобретения актива по текущей цене, не прибегая к кредиту.
Формально запишем t   min t : t  0,..., L, GtD  C . В этот момент времени платеж считается равным




U U 
 Ct  .
Рассмотрим участника коалиции, который берет кредит и приобретает актив в момент времени
 . Обозначим его задолженность по кредиту в момент времени t через GC,t . При этом возможные
GtD
значения, которые может принимать  есть 0,..., t   1 , если t 1  t  и   0,..., L , если t 1  L .
Динамика этой переменной описывается следующим образом:
GС,t 1  1  v   GC,t  V , t   ,  1,... , GD,  C  GD .


Момент времени, когда участник полностью погасит кредит t2  min t : GC,t  0 .
Поток кредитных платежей участника определим как
V ,t  0 , t  0,...,  1 ; V ,t  V , t   ,..., t2  1 ; V ,t  V  GC,t , t  t2 ; V ,t  0 , t  t2 , t2  1,... .
Момент времени, когда последний участник коалиции полностью погасит кредит и коалиция
прекратит свое функционирование:
T  max t2 , l  0,..., t   1 , t 1  t  или l  0,..., L , t 1  L ; T  max max t2 , t   , l  t  , t 1  t  .
 0,..., l
  0,..., t 1

Пусть n t – число участников коалиции, которые совершают накопительные платежи в момент
времени t , s t – число участников, которые приобретают актив.
При этом справедливы соотношения
nt 1  nt  s t , t  0,..., l  1, n0  N ,
(2)
где N – полное число участников коалиции.
1
На переменные n t и s t накладываются следующие ограничения:
nt  0 , n t – целое, t  1,..., l ; s t  0 , s t – целое, t  0,..., l ; s l  nl .
(3)
Определим поток Q t денежных средств по всем операция участников коалиции. Этот поток
представляется как разность потоков по всем приходным Pt и расходным Rt операциям, т.е.
Qt  Pt  Rt , t  0,..., T . Будем записывать: Pt  Pt D  PtC , Rt  RtD  RtC , t  0,...,T , где Pt D – поток
Pt С – поток
денежных средств по приходным операциям коалиции с депозитами участников,
денежных средств по приходным операциям коалиции с кредитами участников, RtD – поток
денежных средств по расходным операциям коалиции с депозитами участников, RtС – поток
денежных средств по расходным операциям коалиции с кредитами участников.
Состояние коалиции характеризуется переменной M t – суммой денежных средств в кассе
коалиции. Состояние изменяется во времени согласно разностному уравнению
M t 1  M t  Qt 1 , t  0,...,T , M 0  Q0 .
(4)
Требуется, чтобы эта переменная удовлетворяла ограничениям
M t  0 , t  0,...,T .
(5)
В моменты времени 0,..., l участники, которые приобретают актив, выбираются путем жребия.
Время приобретения актива участником коалиции моделируется случайной величиной  ,
принимающей значения 0,..., l с вероятностями   t   st N , t  0,..., l .
Среднее время приобретения актива участником коалиции
l
1 l
t     t    t    t  st .
(6)
N t 0
t 0
Ставится следующая задача: при заданных основных параметрах задачи U , V , u , v , L ,
динамике цен C t , t  0,...,T найти управления l , s t , t  0,..., l , удовлетворяющие основным
ограничениям задачи (1) – (5) и доставляющие минимум критерию (6).
2. Вычислительные эксперименты
Была проведена серия имитационных экспериментов. Считалось, что кредиты участникам
коалиции на приобретение актива выдаются, начиная с начального момента времени, во все те
моменты времени, когда в кассе коалиции достаточно денежных средств. Процесс выдачи кредитов
заканчивается, как только последний участник коалиции получает кредит и приобретает актив.
Таким образом, управление s t задавалось в виде синтеза:
s0  P0 C 0 , если P0  C 0 ; s 0  0 , если P0  C 0
st  M t 1  Pt  C t  , если M t 1  Pt  C t ; s t  0 , если M t 1  Pt  C t ,
где  a  обозначает целую часть a .
Переменные n t , M t при этом рассчитывались исходя из уравнений (2) и (4), соответственно.
Момент времени, когда последний участник коалиции приобретает актив, определялся как
l  min min t : nt  0, t 1 .
Ниже приведены результаты типового расчета. Были заданы следующие значения параметров:
U  0.02 , V  0.02 , u %  5. , v %  10. , L  100 , N  100 . Цены задавались в виде следующей



зависимости Сt 1  1     Ct , t  0,1,... , C 0  1. ,  %  5. . При этом x  1  0.01  x %
качестве x может выступать u , v или  .
2

1 / 12
 1 , где в
Mt
6
5
4
3
2
1
t
10
20
30
40
50
60
70
Рис. 1. График зависимости M t от времени t
st
nt
4
100
80
3
60
2
40
1
20
t
10
20
30
40
50
60
t
0
10
20
30
40
50
60
Рис. 2. Графики зависимостей n t , s t от времени t
В данном примере были рассчитаны: t 1  78 , l  63 , T  73 , t  28.94 .
Литература
1.
2.
Гасанов И.И., Ерешко Ф.И. Моделирование ипотечных механизмов с самофинансированием // В серии
"Сообщения по прикладной математике". М.: ВЦ РАН, 2007. 62 с.
Beasley T., Coate S., Loury G. The Economics of Rotating Savings and Credit Associations // The American
Economic Review. 1993. Vol. 83. No. 4, 792-810.
3