МОДЕЛИ КОАЛИЦИИ ЗАЕМЩИКОВ С МЕХАНИЗМОМ ВЫДАЧИ КРЕДИТОВ НА ОСНОВЕ ЖРЕБИЯ Сытов А.Н. Вычислительный центр им А.А. Дородницына РАН, г. Москва [email protected] Ключевые слова: коалиция заемщиков, жребий, цены, вычислительный эксперимент. Введение В настоящей работе предлагается модель коалиции однородных заемщиков, с выбором участников для получения кредита и последующего приобретения им актива путем жребия. При этом предполагается, что цены на активы могут изменяться со временем. 1. Основные соотношения модели и постановка оптимизационной задачи Введем соотношения, которые будут связаны с описанием одного участника коалиции. Примем следующие обозначения: U – размер депозитных вкладов участников, V – размер кредитных выплат; u – процентная ставка по депозитам; v – процентная ставка по кредитам. Цена актива в момент времени t обозначается как С t . Накопления участника на депозите GtD описываются следующим конечно-разностным соотношением: GtD1 1 u GtD U , t 0,1,.... , G0D U . Считается, что участники коалиции приобретают активы на интервале времени 0,..., l , при этом l t 1 , t 1 min t , L . (1) Здесь t обозначает момент времени, когда участник коалиции накапливает на интервале времени 0,..., L сумму, необходимую для приобретения актива по текущей цене, не прибегая к кредиту. Формально запишем t min t : t 0,..., L, GtD C . В этот момент времени платеж считается равным U U Ct . Рассмотрим участника коалиции, который берет кредит и приобретает актив в момент времени . Обозначим его задолженность по кредиту в момент времени t через GC,t . При этом возможные GtD значения, которые может принимать есть 0,..., t 1 , если t 1 t и 0,..., L , если t 1 L . Динамика этой переменной описывается следующим образом: GС,t 1 1 v GC,t V , t , 1,... , GD, C GD . Момент времени, когда участник полностью погасит кредит t2 min t : GC,t 0 . Поток кредитных платежей участника определим как V ,t 0 , t 0,..., 1 ; V ,t V , t ,..., t2 1 ; V ,t V GC,t , t t2 ; V ,t 0 , t t2 , t2 1,... . Момент времени, когда последний участник коалиции полностью погасит кредит и коалиция прекратит свое функционирование: T max t2 , l 0,..., t 1 , t 1 t или l 0,..., L , t 1 L ; T max max t2 , t , l t , t 1 t . 0,..., l 0,..., t 1 Пусть n t – число участников коалиции, которые совершают накопительные платежи в момент времени t , s t – число участников, которые приобретают актив. При этом справедливы соотношения nt 1 nt s t , t 0,..., l 1, n0 N , (2) где N – полное число участников коалиции. 1 На переменные n t и s t накладываются следующие ограничения: nt 0 , n t – целое, t 1,..., l ; s t 0 , s t – целое, t 0,..., l ; s l nl . (3) Определим поток Q t денежных средств по всем операция участников коалиции. Этот поток представляется как разность потоков по всем приходным Pt и расходным Rt операциям, т.е. Qt Pt Rt , t 0,..., T . Будем записывать: Pt Pt D PtC , Rt RtD RtC , t 0,...,T , где Pt D – поток Pt С – поток денежных средств по приходным операциям коалиции с депозитами участников, денежных средств по приходным операциям коалиции с кредитами участников, RtD – поток денежных средств по расходным операциям коалиции с депозитами участников, RtС – поток денежных средств по расходным операциям коалиции с кредитами участников. Состояние коалиции характеризуется переменной M t – суммой денежных средств в кассе коалиции. Состояние изменяется во времени согласно разностному уравнению M t 1 M t Qt 1 , t 0,...,T , M 0 Q0 . (4) Требуется, чтобы эта переменная удовлетворяла ограничениям M t 0 , t 0,...,T . (5) В моменты времени 0,..., l участники, которые приобретают актив, выбираются путем жребия. Время приобретения актива участником коалиции моделируется случайной величиной , принимающей значения 0,..., l с вероятностями t st N , t 0,..., l . Среднее время приобретения актива участником коалиции l 1 l t t t t st . (6) N t 0 t 0 Ставится следующая задача: при заданных основных параметрах задачи U , V , u , v , L , динамике цен C t , t 0,...,T найти управления l , s t , t 0,..., l , удовлетворяющие основным ограничениям задачи (1) – (5) и доставляющие минимум критерию (6). 2. Вычислительные эксперименты Была проведена серия имитационных экспериментов. Считалось, что кредиты участникам коалиции на приобретение актива выдаются, начиная с начального момента времени, во все те моменты времени, когда в кассе коалиции достаточно денежных средств. Процесс выдачи кредитов заканчивается, как только последний участник коалиции получает кредит и приобретает актив. Таким образом, управление s t задавалось в виде синтеза: s0 P0 C 0 , если P0 C 0 ; s 0 0 , если P0 C 0 st M t 1 Pt C t , если M t 1 Pt C t ; s t 0 , если M t 1 Pt C t , где a обозначает целую часть a . Переменные n t , M t при этом рассчитывались исходя из уравнений (2) и (4), соответственно. Момент времени, когда последний участник коалиции приобретает актив, определялся как l min min t : nt 0, t 1 . Ниже приведены результаты типового расчета. Были заданы следующие значения параметров: U 0.02 , V 0.02 , u % 5. , v % 10. , L 100 , N 100 . Цены задавались в виде следующей зависимости Сt 1 1 Ct , t 0,1,... , C 0 1. , % 5. . При этом x 1 0.01 x % качестве x может выступать u , v или . 2 1 / 12 1 , где в Mt 6 5 4 3 2 1 t 10 20 30 40 50 60 70 Рис. 1. График зависимости M t от времени t st nt 4 100 80 3 60 2 40 1 20 t 10 20 30 40 50 60 t 0 10 20 30 40 50 60 Рис. 2. Графики зависимостей n t , s t от времени t В данном примере были рассчитаны: t 1 78 , l 63 , T 73 , t 28.94 . Литература 1. 2. Гасанов И.И., Ерешко Ф.И. Моделирование ипотечных механизмов с самофинансированием // В серии "Сообщения по прикладной математике". М.: ВЦ РАН, 2007. 62 с. Beasley T., Coate S., Loury G. The Economics of Rotating Savings and Credit Associations // The American Economic Review. 1993. Vol. 83. No. 4, 792-810. 3