Решения заданий 1-го тура по математике отраслевой предметной Олимпиады вузов Росрыболовства 11 класс. Задача 1. Вычислить: arccossin 4 . Решение: Воспользуемся тождеством arccoscos x x , где 0 x . arccossin 4 arccos cos 4 arccos cos 4 4 . 2 2 2 Задача 2. Найти сумму всех натуральных чисел, входящих в область определения функции y 4 x 2 5x 4 x 4 x 2 . Решение: Область определения функции находим из условия x 5 x 4 x 4 x 2 . Это условие равносильно совокупности систем 2 x 2 5x 4 0 1 17 2 ,0 не неравенств: 1) x 4 x 0 , решение которой x 2 2 2 x 5 x 4 x 4 x содержит натуральных чисел. x 2 5x 4 0 2 1 17 2) x 4 x 0 , решение которой x , 2 2 2 x 5 x 4 x 4 x не содержит натуральных чисел. x 2 5x 4 0 1 17 2 3) x 4 x 0 , решение которой x 2, 2 содержит 2 2 x 5 x 4 x 4 x натуральное число 2. x 2 5x 4 0 1 17 2 x 4 x 0 x , 3 содержит 4) , решение которой 2 2 2 x 5 x 4 x 4 x натуральное число 3. Ответ: 2+ 3=5. Задача 3. При каких значениях параметра a уравнение 9 не имеет решений? x 23 x a 0 Решение: Выполним замену переменной t 3 1 , так как x 0 . В этом случае нам нужно решить задачу: при каких значениях параметра а уравнение t 2 2t a 0 не имеет решений t 1 . Такая ситуация возможна, если 1) D 0 или 4 4a 0 , откуда a 1; . 2 2) Корни уравнения t 2t a 0 принадлежат промежутку t 1 .В этом x 2 случае функция f t t 2t a имеет общие точки с осью t только на 2 промежутку t 1 . Так как ветви параболы f t t 2t a направлены вверх, то данная ситуация равносильна системе условий или 4 4 a 0 1 2 a 0 . 1 1 D 0 f 1 0 t вершины 1 Откуда находим, a 3; 1 . Объединяя полученные результаты, получаем ответ a 3; . Задача 4. Из четырёхугольной призмы вырезали треугольную пирамиду, высота и площадь основания которой на 60% и на 10% соответственно меньше высоты и площади основания призмы. Сколько процентов составляет объём полученной пирамиды от объёма призмы? Решение: Объём призмы V=S·h, где S и h - площадь основания призмы и её высота. Объём пирамиды 1 Vпирамиды 0,4S 0,9h 0,12V , что составляет 12% от объёма призмы. 3 Задача 5. Вычислить тангенс угла между касательными, проведёнными к графикам функций y 3 5 x и y 7 1 в точках с абсциссой x0 1 . x2 Решение: Так как угловой коэффициент касательной – это тангенс угла наклона касательной к оси 0Х, то тангенс острого угла между касательными найдём k 2 k1 по формуле tg 1 k k . 2 1 1 y 3 5 x ; y 5 4 ; 5 x y 7 k1 1 y 2 ; ; k2 2 . x3 x2 1 5 11 tg 2 3 . 1 5 2 1 5 . Решения заданий 1-го тура по математике отраслевой предметной Олимпиады вузов Росрыболовства 10 класс. Задача 1. Средний возраст 6 игроков хоккейной команды 23 года. Во время игры один из игроков был удалён с поля. Средний возраст оставшихся на поле игроков стал равен 24 года. Сколько лет игроку, удалённому с поля? Решение: Сумма возрастов всех игроков до удаления игрока равна 23·6=138, после удаления 24·5=120. Следовательно, игроку, удалённому с поля, 18 лет. Задача 2. Найти значение выражения a2 2 2 a2 1 a2 2 2 a2 1 . Решение: 2 2 a 2 2 2 a 2 1 a 2 2 2 a 2 1 a 2 1 1 a 2 1 1 a 2 1 1 a 2 1 1 2 2 cos x cos y 3 Задача 3. Пусть x; y − решение системы . Найти значение sin x sin y 4 3 выражения cosx y . Решение: x y x y 2 2 cos 2 cos 2 3 Преобразуем уравнения системы , откуда получим 2 sin x y cos x y 4 2 2 3 x y tg 2, x y 2arctg 2 2n, n Z . 2 Подставим это значение суммы переменных в первое уравнение системы: x y 2 x y 1 1 2 cos arctg 2 n cos cos cosx y . 2 3 2 9 5 Задача 4. Найти сумму всех натуральных чисел, входящих в область определения функции y 4 x 2 5x 4 x 4 x 2 . Решение: Область определения функции находим из условия x 2 5 x 4 x 4 x 2 . Это условие равносильно совокупности систем x 2 5x 4 0 1 17 2 ,0 не неравенств: 1) x 4 x 0 , решение которой x 2 2 2 x 5 x 4 x 4 x содержит натуральных чисел. x 2 5x 4 0 2 1 17 2) x 4 x 0 , решение которой x , 2 2 2 x 5 x 4 x 4 x не содержит натуральных чисел. x 2 5x 4 0 1 17 2 x 4 x 0 x 2, содержит 3) , решение которой 2 2 2 x 5 x 4 x 4 x натуральное число 2. x 2 5x 4 0 1 17 2 4) x 4 x 0 , решение которой x 2 , 3 содержит 2 2 x 5 x 4 x 4 x натуральное число 3. Ответ: 2+ 3=5. Задача 5. В треугольник вписана окружность. Прямые, соединяющие центр окружности с вершинами, делят треугольник на части с площадями 120, 104, 112. Найти радиус вписанной окружности. Решение: Обозначим через r, a, b, c, соответственно, радиус вписанной окружности и 336 длины сторон треугольника. Тогда полупериметр p r , длины сторон a 240 208 224 , b , c . Записываем формулу Герона и находим, что r=8. r r r Решения заданий 1-го тура по математике отраслевой предметной Олимпиады вузов Росрыболовства 9 класс. Задача 1. Семья состоит из мамы, папы и троих детей. Средний рост детей 120 см. Средний рост родителей 170 см. Определите средний рост всех членов этой семьи. Решение: Средний рост всех членов этой семьи равен 120 3 170 2 140 5 см. Задача 2. При каких значениях параметра а окружность x 2 y 2 8 и прямая x y a пересекаются в двух точках? Решение: Выразим из уравнения прямой у, и подставим в уравнение окружности. 2 x 2 a x 8 0 . Это уравнение имеет два корня, если его дискриминант больше нуля. То есть 16 a 2 0 a 4; 4 . Задача 3. Решить уравнение: x 1 x 5 x 9 x 157 3200 . Решение: Левая часть уравнения – есть сумма арифметической прогрессии с первым членом a1 x 1 и разностью d 4 . a n x 157 n 40 . Используя формулу для нахождения суммы первых п x 1 x 157 40 3200 . членов арифметической прогрессии, находим, что 2 Откуда х=1. Задача 4. Одна мельница может смолоть 38 ц. пшеницы за 6 часов, вторая – 96 ц. за 15 часов, третья – 35 ц. за 7 часов. Как распределить 133 тонны пшеницы между мельницами, чтобы они мололи зерно в течение одного и того же времени? Решение: Пусть x, y, z – количество пшеницы, которое должны смолоть в данной ситуации первая, вторая, третья мельницы. Производительности мельниц равны v1 искомое время, тогда x 38 96 35 t 1330 6 15 7 38 96 35 , v2 , v3 6 15 7 t 75 ч. . Пусть t ч. – Следовательно, 38 95 35 75 475 ц; y 75 480 ц; z 75 375 ц. 6 15 7 Задача 5. В треугольнике АВС угол А равен 44 , биссектрисы углов В и С пересекаются в точке F. Найти величину угла СFВ. Решение: Искомый угол равен 180 180 44 112 2 градусов.