8 класс, серия 1, вступительнаяx

Серия 1, вступительная, 8 класс
1.
При
всяком ли натуральном n, большем 2013, из дробей
можно выбрать две пары дробей с одинаковыми суммами?
Серия 1, вступительная, 8 класс
1.
При
всяком ли натуральном n, большем 2013, из дробей
можно выбрать две пары дробей с одинаковыми суммами?
1 2
3
𝑛−1 1
,
,
,…,
,
𝑛 𝑛−1 𝑛−2
2 𝑛
1 2
3
𝑛−1 1
,
,
,…,
,
𝑛 𝑛−1 𝑛−2
2 𝑛
2. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны. Точка D внутри треугольника
такова, что угол ADC вдвое больше угла ABC. Докажите, что удвоенное расстояние от точки B до прямой, делящей пополам углы, смежные с углом ADC, равно
AD+DC.
2. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны. Точка D внутри треугольника
такова, что угол ADC вдвое больше угла ABC. Докажите, что удвоенное расстояние от точки B до прямой, делящей пополам углы, смежные с углом ADC, равно
AD+DC.
3. Для натурального n>3 будем обозначать через n? (n-вопросиал) произведение всех простых чисел, меньших n. Решите уравнение n? = 2n+16.
3. Для натурального n>3 будем обозначать через n? (n-вопросиал) произведение всех простых чисел, меньших n. Решите уравнение n? = 2n+16.
4. По кругу стоят 32 хамелеона красного и синего цвета. Каждую минуту все
хамелеоны, у которых соседи разного цвета, одновременно от испуга перекрашиваются в другой цвет: синие — в красный, красные — в синий. Остальные хамелеоны цвета не меняют. Докажите, что через какое-то время все хамелеоны
одновременно вернут себе первоначальный цвет.
4. По кругу стоят 32 хамелеона красного и синего цвета. Каждую минуту все
хамелеоны, у которых соседи разного цвета, одновременно от испуга перекрашиваются в другой цвет: синие — в красный, красные — в синий. Остальные хамелеоны цвета не меняют. Докажите, что через какое-то время все хамелеоны
одновременно вернут себе первоначальный цвет.
5. Перенумеруем делители данного натурального числа n в порядке убывания: d0, d1, ..., начав с d0 = n. Назовем число n восхитительным, если d1 = d2+d5.
Сколько существует восхитительных чисел, меньших 2013?
5. Перенумеруем делители данного натурального числа n в порядке убывания: d0, d1, ..., начав с d0 = n. Назовем число n восхитительным, если d1 = d2+d5.
Сколько существует восхитительных чисел, меньших 2013?
6. В школе, где учится больше 225, но меньше 245 учеников, часть учеников
являются отличниками, а остальные − хорошистами. После сложной контрольной
работы 2/7 отличников стали хорошистами, а хорошисты так и остались хорошистами за исключением одного человека, который стал троечником. При этом хорошистов и отличников стало поровну. Сколько учеников могло быть в школе?
Приведите все возможные варианты ответа.
6. В школе, где учится больше 225, но меньше 245 учеников, часть учеников
являются отличниками, а остальные − хорошистами. После сложной контрольной
работы 2/7 отличников стали хорошистами, а хорошисты так и остались хорошистами за исключением одного человека, который стал троечником. При этом хорошистов и отличников стало поровну. Сколько учеников могло быть в школе?
Приведите все возможные варианты ответа.
7. 30 учеников одного класса решили побывать друг у друга в гостях. Известно,
что ученик за вечер может сделать несколько посещений, и что в тот вечер, когда
к нему кто-нибудь должен прийти, он сам никуда не уходит. Покажите, что для
того, чтобы все побывали в гостях у всех, а) четырёх вечеров недостаточно, б)
пяти вечеров также недостаточно, в) а десяти вечеров достаточно, г) и даже семи вечеров тоже достаточно.
7. 30 учеников одного класса решили побывать друг у друга в гостях. Известно,
что ученик за вечер может сделать несколько посещений, и что в тот вечер, когда
к нему кто-нибудь должен прийти, он сам никуда не уходит. Покажите, что для
того, чтобы все побывали в гостях у всех, а) четырёх вечеров недостаточно, б)
пяти вечеров также недостаточно, в) а десяти вечеров достаточно, г) и даже семи вечеров тоже достаточно.
8. Найдите такие цифры a и b, что √𝟎, 𝒂𝒂𝒂 … = 𝟎, 𝒃𝒃𝒃 …
9. На новом сайте зарегистрировалось 2000 человек. Каждый пригласил к себе
в друзья по 1000 человек. Два человека объявляются друзьями тогда и только
тогда, когда каждый из них пригласил другого в друзья. Какое наименьшее количество пар друзей могло образоваться?
10. Решите уравнение в целых числах x2-7y=10
8. Найдите такие цифры a и b, что √𝟎, 𝒂𝒂𝒂 … = 𝟎, 𝒃𝒃𝒃 …
9. На новом сайте зарегистрировалось 2000 человек. Каждый пригласил к себе
в друзья по 1000 человек. Два человека объявляются друзьями тогда и только
тогда, когда каждый из них пригласил другого в друзья. Какое наименьшее количество пар друзей могло образоваться?
10. Решите уравнение в целых числах x2-7y=10