собственные значения, собственные вектора, комплексная

УДК 512
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ
Студ. Авосопянц Н. В.,
к.т.н., доц. Гуриева Л. М.
Собственные значения и собственные вектора являются одним из
важнейших понятий в высшей математике. Рассматриваемый метод
Якоби является одним из актуальных методов для нахождения этих
значений, так как применяется в алгоритмах решения задач на ЭВМ.
Ключевые слова: собственные значения, собственные вектора,
комплексная матрица, ортогональная матрица.
Метод вращения Якоби
Для симметрической матрицы А при отыскании собственных значений и
собственных векторов в настоящее время наиболее употребительным
является метод вращений (метод Якоби). При его обосновании исходят из
того, что определение собственных значений и собственных векторов
симметрической матрицы А равносильно построению диагональной матрицы
Л и матрицы Т, связанных соотношением:
Л = Т−1 АТ = ТТ АТ
(1)
Диагональные элементы матрицы Л будут искомыми собственными
значениями, а столбцы матрицы Т – столбцами координат собственных
векторов, соответствующих
этим
собственным значениям.
При
приближенном вычислении матриц Л и Т строят последовательности матриц:
А0 = А, А1 , А2 , … , Ак , … → Л
Т0 = Е, Т1 , Т2 , … , Тк , … → Т
по формулам:
А𝑘+1 = 𝑇𝑖𝑗𝑇 𝐴𝑘 𝑇𝑖𝑗
𝑇𝑘+1 = 𝑇𝑘 𝑇𝑖𝑗 ,
(2)
где Тij – матрица простых вращений.
Матрица Тk равна произведению всех матриц Тij, примененных при
построении матриц A0, A1, A2 …., Ak, причем матрицы Тij в этом
произведении перемножаются слева направо в том порядке, в каком они
применялись. На каждом шаге принимают Л  Ak, Т Тk [1].
Матрицу Тij в формуле (2) строят следующим образом. В матрице Ak
выбирают наибольший по модулю недиагональный элемент aij(k ) и строят
матрицу простого вращения:
1

0
.

T ()   .

.
0

0
0
.
. .
1
.
. .
. cos . .
.
.
.
.
1
1
. sin  . .
.
.
. .
0

0
- sin  . 

.
.

.
.
cos . 

0 1 
,
.
.
(3)
выбирая угол так, чтобы в матрице Ак+1 обратился в нуль элемент aij( k 1) .
Заметим, что если в правой части первого соотношения из (2) провести
умножение матриц, то элемент aij( k 1) матрицы Ак+1 будет иметь вид:

aij( k 1)  (cos2   sin 2 )aij( k )  cos  sin a(jjk )  aii( k )

Из равенства нулю этого выражения получаем:
tg 2 
2aij( k )
aii( k )

a (jjk )
,  

4
(4)
Чтобы записать матрицу 𝑇𝑖𝑗 , нужно знать cos φ и sin φ. Их легко найти по
формулам:
cos 2 
cos  
1
1  tg 2 2
1  cos 2
2
sin   
(5)
1  cos 2
2
Для того чтобы выполнялось условие

sin  выбирают тот же, что и у выражения:
(𝑘)
(𝑘)

,
4
знак у корня в формуле для
(𝑘)
𝑎𝑖𝑗 (𝑎𝑖𝑖 − 𝑎𝑗𝑗 )
При вычислении
формулами:
элементов
матрицы
(6)
Ак+1
удобно
пользоваться
(k)
αml ,
(𝑘+1)
𝛼𝑚𝑙
=
m, l ≠ i, j ;
(k)
(k)
αmi cos φ + αmj sin φ,
m = i, l ≠ i, j или l = i, m ≠ i, j ;
(k)
(k)
−αmi sin φ + αmj cos φ ,
m = j, l ≠ i, j или l = i, m ≠ i, j ;
(k)
(k)
(k)
αii cos 2 φ + 2αij cos φ sinφ + αjj sin2 φ ,
m = l = i;
(k)
(k)
(k)
αii sin2 φ − 2αij cos φ sinφ + αjj cos2 φ ,
m = l = j;
(k)
(k)
(k)
2
2
m = i, l = j или m = j, l =
{(cos φ − sin φ)αij + cos φ sinφ (αjj − αii ) ,
i}
Метод вращений обладает высокой скоростью сходимости.
Зная матрицы Т и Л, можно легко записать для матрицы А каноническое
А = Т−1 ЛТ = ТТ ЛТ ,
которое
определяется
ортогональной
трансформирующей матрицей.
Метод Якоби применяется в случае как произвольной действительной, а
также в случае комплексной матрицы. Если А – комплексная матрица, то
вместо матрицы простого вращения применяют унитарную матрицу [3].
В рассмотренном примере процесс закончился на втором шаге. В общем
же случае такой процесс бесконечен, так как на каждом шаге вместо нулевых
недиагональных элементов могут возникать ненулевые. Однако при
выполнении каждого шага с большой скоростью уменьшается сумма
квадратов недиагональных элементов. Процесс прекращают, когда все
недиагональные элементы становятся пренебрежимо малыми по абсолютной
величине [4].
Метод вращений хорошо реализуется на ЭВМ, причем существует
большое количество вычислительных схем для его реализации. При любой из
таких схем метод вращений представляет собой исключительно компактную
процедуру, которая обеспечивает высокую точность вычислений [2].
Точность нахождения собственных значений и собственных векторов этим
методом оказывается сравнима с длиной машинного слова. Стандартные
программы к методу вращений содержатся во многих пакетах
математического обеспечения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гловацкая А. П. Методы и алгоритмы вычислительной математики.
Учеб. пособие для вузов М.: Радио и связь, 1999.
2. Вержбицкий В. М. Численные методы (математический анализ и
обыкновенные дифференциальные уравнения). М.: Высшая школа, 2001.
3. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. М.: Наука, 1974. 292 c.
4. Фадеев Д. К., Фадеева В. Н. Вычислительные методы линейной
алгебры. М.: Физматгиз, 1963.