Система творческих заданий по подготовке к ЕГЭ по теме «Множество значений функции» Множество значений функции. Множеством (областью) значений Е(y) функции y=f(x) называется множество всех таких чисел 𝑦0 , для каждого из которых найдется число 𝑥0 , такое что: 𝑓(𝑥) = 𝑦0 . Напомним области значений основных элементарных функций. Областью значений всякого многочлена четной степени является промежуток [m,+∞), где m – наименьшее значение этого многочлена, либо промежуток [–∞, 𝑛], где n – наибольшее значение этого многочлена. Областью значений всякого многочлена нечетной степени является R. 1 𝐸 ( ) = (−∞, 0) ∪ (0, +∞). 𝑥 2𝑘+1 𝐸( √𝑥 ) = 𝑅. 𝐸(log 𝑎 𝑥) = 𝑅. 𝜋 𝜋 ∗ 𝐸(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥) = [− , ] . 2 2 𝐸(𝑡𝑔𝑥) = 𝐸(𝑐𝑡𝑔𝑥) = 𝑅 ∗ 𝐸(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔𝑥) = (0, 𝜋). 2𝑘 𝐸( √𝑥 ) = [0, +∞). 𝐸(𝑎 𝑥 ) = (0, +∞). 𝐸(𝑠𝑖𝑛𝑥) = 𝐸(𝑐𝑜𝑠𝑥) = [−1,1]. ∗ 𝐸(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥) = [0, 𝜋]. 𝜋 𝜋 ∗ 𝐸(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔𝑥) = (− , ). 2 2 1.У любой функции y=f(x) есть множество значений, которое обозначается E(y) или E(f). Как найти множество значений? Проще всего это сделать если построить эскиз графика заданной функции. А это проще всего сделать, если уметь строить графики элементарных функций и их композиций (сложных функций). 𝜋 2𝜋 Пример 1.: Найдите множество значений функции y=sin x, x∊ [ ; ] 4 3 Решение. Функция не является монотонной на заданном промежутке. Можно, например, посмотреть множество значений на тригонометрическом круге. Видно (рис.1), что при изменении x от при изменении х от 𝜋 2 до 2𝜋 3 𝜋 2𝜋 Ответ: [ 4 3 √2 ;1] 2 √2 ;1] 2 4 до 𝜋 2 синус изменяется от синус изменяется от 1 до что синус принимает все значения от ℇ (sinx; x∊ [ ; ])=[ 𝜋 √2 2 до 1, т.е. √3 2 √2 2 √2 2 до 1, а > . Отсюда следует, у 2𝜋 1 3 𝜋 2 𝜋 3 -1 1 х -1 𝑥 2 +8 Пример 2.:Найдите множество значений функции 𝑦 = . 𝑥+1 Решение. Основной способ решения таких задач известен: надо построить график функции и с его помощью найти E(f). Но чтобы построить график заданной функции, следует провести ее исследование на экстремум с помощью производной, если учащиеся пока не знают. То поступим по-другому: 𝑥 2 +8 выясним, при каких значениях параметра а уравнение = 𝑎 имеет корни. 𝑥+1 Множество таких значений а совпадает с множеством значений функции. 𝑥 2 +8 Имеем: = 𝑎; 𝑥 2 − 𝑎𝑥 + (8 − 𝑎) = 0; 𝐷 = 𝑎2 + 4𝑎 − 32. Уравнение имеет 𝑥+1 корни, если 𝑎2 + 4𝑎 − 32 ≥ 0, т. е. 𝑎 ≤ −8 и 𝑎 ≥ 4. Значит, E(f)=(−∞; −8] ∪ [4; +∞). Пусть f(x) является сложной функцией, в которой можно выделить «подфункцию» t=t(x). Тогда y=f(t)=f(t(x)).Сначала мы находим E(t), потом E(f). Пример 1.: Найдите множество значений функции 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1 (6-x-𝑥 2 ) 2. 2 Решение. В задачах, если это возможно, лучше перейти к основанию, большему 1. (с ним работать проще) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1 (6-x-𝑥 2 )= −𝑙𝑜𝑔2 (6-x-𝑥 2 )= −𝑙𝑜𝑔2 (6,25-(х+0,5)2 ) 2 Квадратный трехчлен 25 1 25 f(x)=6-x-𝑥 2 = - (x+ )2 принимает все значения из промежутка (∞; ]. 4 2 4 Логарифмы существуют только у положительных чисел, поэтому 25 25 1 ℇ(𝑓) = (∞; ] тогда 𝑙𝑜𝑔2 ( - (x+ )2 ) принимает все значения из промежутка (-∞;𝑙𝑜𝑔2 25 4 4 4 2 ]. Отсюда следует, что 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1 (6-x-𝑥 2 ) принимает все значения из промежутка [-𝑙𝑜𝑔2 2 25 4 1 ;+∞), т.е. ℇ(𝑦)=[−𝑙𝑜𝑔2 6 ; +∞) 4 Пример 2.:Найдите множество значений функции |𝑥+2|+|𝑥−4| y=𝑙𝑜𝑔6+4𝑥−2𝑥 2 ( ) 3 Решение. Найдем сначала область определения Д(y) 6 + 4х − 2х2 > 0, −1 < х < 3 ↔{ 2±√14 { х≠ 6 + 4ч − 2х2 ≠ 1 2 Из найденной области определения следует, что х+2>0 и х-4<0, поэтому |х+2|+|х-4|=х+2-х+4=6, тогда |𝑥+2|+|𝑥−4| |𝑥+2|+|𝑥−4| 3 =2 и 𝑙𝑜𝑔2 =1 3 Поэтому в области определения y(x)= 𝑙𝑜𝑔6+4𝑥−2𝑥 2 ( |𝑥+2|+|𝑥−4| 3 )= 𝑙𝑜𝑔2 𝑙𝑜𝑔2 |𝑥+2|+|𝑥−4| 3 (6+𝑥+4𝑥−2𝑥 2 = 1 𝑙𝑜𝑔2 (6−(𝑥−1)2 ) квадратный трехчлен f(x)=8-(x-1)2 принимает все значения из промежутка (-∞;8], логарифм 𝑙𝑜𝑔2 f(x) существует для всех значений f(x)∊(0;8]. Но логарифм стоит в знаменателе – поэтому необходимо разбить промежуток на два, исключив значение f(x)=1. Итак, −∞<𝑦(𝑥)<0 0<8−(х−1)2 <1 −∞;<𝑙𝑜𝑔2 (8−(х−1)2 )<0 [ ⇒ [ 1 2 2 1<8−(х−1) ≤8 0<𝑙𝑜𝑔2 (8−(х−1) )≤log2 8=3 ≤𝑦(𝑥)<+∞ 3 1 Поэтому ℇ(y)=(-∞;0)∪[ ;+∞) 1 3 Ответ: (-∞;0)∪[ ;+∞) 3 Пример 3. Найдите наименьшее целое значение функции: y=√16 − 13 ∙ 3−|𝑥| Решение. y=√16 − 13 ∙ 3−|𝑥| . Пусть y=√𝑡,где t≥0 монотонно возрастает. 𝑦наим , если t наименьшее, то выражение т.е. при 13 ∙ 3−|𝑥| - наибольшее значение принимает; 13 ∙ 3−|𝑥| - - наибольшее, если x=0, то 13 ∙ 30 =13. 𝑡наим =1613=3. 𝑦наим = √3 ≈1,7. Наименьшее целое число y=2. Ответ: 2. Примеры для решения: 5 1). y= √(𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 + 3. 2 3 4 2).y=7∙3𝑐𝑜𝑠 𝑥+𝑠𝑖𝑛 𝑥 6 6 3).y=9∙4𝑐𝑜𝑠 𝑥+𝑠𝑖𝑛 𝑥 4).y=√25 − 16 ∙ 2−|𝑥| Пример 4. Найдите наибольшее целое значение функции: 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (−2 + 3 ) 2|𝑥| Решение. Рассмотрим функцию: 3 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (−2 + |𝑥| ) 2 Найдем E(y) и выберем наибольшее целое: выражение |𝑥| ≥ 0 при 𝑥 ∊ 𝑅, 2|𝑥| ≥ 20 ; 0 < −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2 < 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (−2 + 3 ) ≤ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔1, 2|𝑥| −4𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2 < 4𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (−2 + 3 𝜋 ≤ 4 ∙ ) 4 2|𝑥| 𝑦наиб.целое = 3. Ответ:3. Примеры для решения: 1).𝑦 = 12 5 √26𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 5𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 18 2). 𝑦 = − 5 1 + 2𝑥 2 3 ≤ 3, −2 < −2 + |𝑥| 2 3 2|𝑥| ≤1 Пример 6.Найдите наибольшее целое значение функции: 𝑦 = 4 ∙ 32𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥+3)−2 𝑠𝑖𝑛(𝑥+3)𝑐𝑜𝑠2𝑥−3 Решение: 𝑦 = 4 ∙ 32𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥+3)−2 sin(𝑥+3)𝑐𝑜𝑠2𝑥−3 ,преобразуем показатель степени по формуле сложения тригонометрических функций. y=4∙32 𝑠𝑖𝑛(𝑥−3)−3 Найдем множество значений выражения 2 sin(𝑥 − 3), –2≤ 2 sin(𝑥 − 3) ≤ 2, −5 ≤ 2 sin(𝑥 − 3) − 3 ≤ 1, Наибольшее значение 2sin(x-3) –3=–1, то наибольшее 1 4 3 3 значение 32 𝑠𝑖𝑛(𝑥−3)−3 = 3−1 , 𝑦наим. = 4 ∙ = . Наибольшее целое равно 1. Ответ: 1. Пример для решения: 𝑦 = 7 ∙ 52𝑠𝑖𝑛3𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥+𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥−2 Пример 7. Найдите наибольшее целое значение функции: 𝑦 = 7 ∙ 3,1sin(𝑙𝑔7 𝑥+5) Решение: Областью определения данной в условии функции является интервал (0;+∞). На этой области определения, то есть при x >0 выражение 𝑙𝑔7 𝑥 + 5 пробегает все множество действительных чисел. Следовательно, –1≤ sin(𝑙𝑔7 𝑥 + 5) ≤ 1 при x >0. Тогда в силу монотонности функции (3,1)𝑥 на всем множестве действительных чисел, при x >0 выполняется неравенство (3,1)(−1) ≤ (3,1)sin(𝑙𝑔7𝑥+5) ≤ (3,1)1 . Поэтому 7 70 ≤ 7 ∙ (3,1)sin(𝑙𝑔7 𝑥+5) ≤ 7 ∙ 3,1 ⇒ ≤ 7 ∙ (3,1)sin(𝑙𝑔7 𝑥+5) ≤ 21,7. 3,1 31 Значит, наибольшим целым значением функции 𝑦 = 7 ∙ 3,1sin(𝑙𝑔7𝑥+5) является 21. Ответ: 21. Пример для решения: 𝑦 = 2 ∙ 4,3cos(𝑒 𝑥 +𝑥 3 −3) Пример 8. Найдите наибольшее целое значение функции: 32 + 2𝑥 2 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1 ( 2 ) 𝑥 +1 2 Решение: D(y)=R при x∊R. 32+2𝑥 2 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1 ( 2 𝑥 2 +1 дробной части 𝐸( ) Преобразуем дробь,т.е. представим в виде суммы целой и 2𝑥 2 +32 𝑥 2 +1 =2+ 30 𝑥 2 +1 30 30 (0; = 30], 𝐸 + ) (2 ) = (2; 32], 𝑥2 + 1 𝑥2 + 1 𝐸 (𝑙𝑜𝑔1 (2 + 2 30 )) = [−5; −1] 𝑥2 + 1 Наибольшее целое y= –1. Ответ: –1. Пример 9. Найдите наибольшее целое значение функции: 𝑦 = √8 + √15 − 2𝑥 − 𝑥 2 Решение: Чтобы ответить на поставленный вопрос задания, найдем множество значений данной функции. Для этого найдем множество неотрицательных значений функции 𝑦 = 15 − 2𝑥 − 𝑥 2 . Так как функция 𝑦 = 15 − 2𝑥 − 𝑥 2 является квадратным трехчленом с отрицательным старшим коэффициентом, то наибольшее значение этой функции достигается в абсциссе вершины параболы, соответствующей этому трехчлену. Указанная абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле: 𝑥=− 𝑏 −2 =− = −1 2𝑎 2 ∙ (−1) (a и b – старший и второй коэффициенты трехчлена 15 − 2𝑥 − 𝑥 2 ). Значит, наибольшее значение 𝑦 = 15 − 2𝑥 − 𝑥 2 равно y(−1)=15−2∙(−1) −1=16. Таким образом, отрезок [0;16] является множеством неотрицательном значений этой функции. Так как функция 𝑦 = √𝑥 является возрастающей, то множеством значений исходной функции 𝑦 = √8 + √15 − 2𝑥 − 𝑥 2 является отрезок [√8; √12]. Этот отрезок содержит единственное целое число, равное 3, которое и будет наибольшим целым значением данной в условии функции. Ответ: 3. Пример 10. Найдите длину отрезка, которой является областью значений для функции 𝑦 = (2𝑥 − 6)2 𝑙𝑜𝑔2 (0,5𝑥 − 0,5), заданной на промежутке [2;5]. Найдем область определения E(y) данной функции. Рассмотрим данную функцию как произведение двух функций: 𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 6)3 и 𝑔(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2 (0,5𝑥 − 0,5). Обе эти функции возрастают на отрезке [2;5]. Однако, каждая из функций 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥) меньше нуля на [2;3], равна нулю при 𝑥 = 3 и больше нули на (3;5]. Поэтому функция 𝑦(𝑥) убывает на [2;3] и возрастает на [3;5]. Значит, минимальное значение функции 𝑦(𝑥) на отрезке [2;5] – это 𝑦(3)=0, а максимальное значение равняется max {𝑦(2), 𝑦(5)}=max{8,64} = 64. следовательно, E(y)=[0;64]. Ответ: 64. Пример 11. Найдите наибольшее целое число, входящее в область значений функции 𝑦 = 6arcctg(|sin𝑥|) Решение: Для ответа на вопрос задания найдем множество значений функции 𝑦 = 6arcctg(|sin𝑥|). На множестве действительных чисел функция 𝑦 = sin𝑥 принимает любое значение из отрезка [–1;1]. Поэтому функция 𝑦 = |sin𝑥| принимает любое значение из отрезка [0;1]. Найдем множество значений функции 𝑦 = 6arcctg𝑥 на отрезке [0;1]. Функция 𝑦 = 6arcctg𝑥 является непрерывной и убывающей на всей числовой оси и, в частности, на отрезке [0;1]. Поэтому множеством ее значений на отрезке [0;1] является 𝜋 𝜋 отрезок [arcctg1;arcctg0]= [ ; ]. Учитывая коэффициент 6, получаем, что 4 2 отрезок [ 3𝜋 42 ; 3𝜋] – область значений функции 𝑦 = 6arcctg(|sin𝑥|), заданной на всей числовой оси. Наибольшее целое число из отрезка [ 3𝜋 42 ; 3𝜋] – 9. Ответ: 9. Примеры для решения: 1).Найдите длину отрезка, которой является областью значений для функции 𝑦 = 4𝑥+1 − 2𝑥+2 + 8, заданной на промежутке [–2;3]. 2).Найдите наибольшее целое число, входящее в область значений функции 𝑦 = 27𝑙𝑜𝑔27 (√3𝑐𝑜𝑥 2 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥). 3).Найдите наименьшее целое число, входящее в область значений функции 3 𝑦 = 44𝑙𝑜𝑔8 (√2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + √2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥). 4).Найдите наименьшее целое число, входящее в область значений функции 𝑦 = 40𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔(𝑐𝑜𝑠𝑥). 5).Найдите количество целых чисел, входящих в область значений функции 𝑦 = 100 ∙ 3−12𝑠𝑖𝑛8𝑥−5𝑐𝑜𝑠8𝑥−15 . 6).Найдите количество целых чисел, входящих в область значений функции 300 + 10𝑥 2 𝑦 = 5 + 𝑙𝑔 ( ). 𝑥2 + 3 Пример 12. Найдите разность между наибольшим целым и наименьшим целым значениями функции 𝑦 = √11 + 2√7 − 3𝑥 − 4𝑥 2 Решение . 𝐷(𝑦): 7 − 3𝑥 − 4𝑥 2 ≥ 0, 𝑦 = √11 + 2√7 − 3𝑥 − 4𝑥 2 , 𝑓(𝑥) = 7 − 3𝑥 − 4𝑥 2 . 𝑓(𝑥)наиб = 𝑓(𝑥0 ), 𝑥0 = 3 9 9 9 ; 𝑓(𝑥)0 = − + + 7 = 7 , −8 16 8 16 𝑔(𝑥) = √7 − 3𝑥 − 4𝑥 2 ; 𝐸(𝑔) = [0; 11 11 ] , 𝐸 (2√7 − 3𝑥 − 4𝑥 2 ) = [0; ] 4 2 𝐸 (√11 + 2√7 − 3𝑥 − 4𝑥 2 ) = [√11; √16,5]. Наибольшее целое y=4, наименьшее целое y=4. Разность равна 0. Ответ: 0 . Пример 13. Найдите количество целых значений функции 𝑦 = 17 ∙ 21−𝑡𝑔 4 𝑥−𝑐𝑡𝑔4 𝑥 . Решение. Согласно равенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом, 𝑎+𝑏 2 ≥ √𝑎 ∙ 𝑏, 𝑡𝑔4 𝑥+𝑐𝑡𝑔4 𝑥 2 ≥ √𝑡𝑔4 𝑥 ∙ 𝑐𝑡𝑔4 𝑥, 𝑡𝑔4 𝑥+𝑐𝑡𝑔4 𝑥 2 ≥ 1, 𝑡𝑔4 𝑥 + 𝑐𝑡𝑔4 𝑥 ≥ 2. Следовательно, 𝑦 ≤ 17 ∙ 2−1 . С другой стороны, при 𝜋 x∊(0; ) обе функции 𝑡𝑔4 𝑥 и 𝑐𝑡𝑔4 𝑥 определены, неотрицательны и 2 множество значений функции 𝑡𝑔4 𝑥 на этом интервале совпадает с интервалом (0;+∞), следовательно их сумма может принимать любое значение из промежутка [2; +∞). Поэтому 0 < 𝑦 ≤ 17 ∙ 2−1 ,0< 𝑦 ≤ 8,5; значит количество целых значений функции 𝑦 равно 8. Ответ: 8. Пример 14.Найдите количество целых значений функции 𝑦 = 160 ∙ 1 1 1− 2 𝑥 −𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 3 𝜋 Решение.𝐷(𝑦) = 𝑅, кроме 𝑥 = ∙ 𝑘, 𝑘 ∊ 𝑍 2 𝑦 = 160 ∙ 1− 1 1 1− 2 𝑥 −𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 3 1 1 1 1 1 4 − = 1 − + = 1 − = 1 − . ( ) 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑠𝑖𝑛2 2𝑥 0 < 𝑠𝑖𝑛2 2𝑥 ≤ 1, 4 ≤ −∞ < 1 − 4 4 < ∞, −∞ < − ≤ −4, 𝑠𝑖𝑛2 2𝑥 𝑠𝑖𝑛2 2𝑥 1 1 4 1− − −∞ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 ≤ 3−3 , ≤ −3, 3 < 3 𝑠𝑖𝑛2 2𝑥 1 1 1− − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 0 < 160 ∙ 3 ≤ 160 25 ,0 < 𝑦 ≤ 5 . 27 27 Количество целых значений 5. Ответ:5 Пример 15. Сколько нечетных целых чисел входит в область определения функции 𝑦 = (−7𝑥 2 + 92𝑥 − 13)−4,5 ? Решение. Область определения функции 𝑦 = (−7𝑥 2 + 92𝑥 − 13)−4,5 является множество решений неравенства −7𝑥 2 + 92𝑥 − 13 > 0. Решим его, для чего определим корни трехчлена −7𝑥 2 + 92𝑥 − 13: 𝑥1,2 = −46 ± √2116 − 7 ∙ 13 46 ± √2025 46 ± 45 = = ⇒ −7 7 7 1 1 𝑥1 = , 𝑥2 = 13. Значит, промежуток ( ; 13) является множеством 7 7 Решений неравенства −7𝑥 2 + 92𝑥 − 13 > 0, а соответственно и областью определения исходной функции. Найденный промежуток содержит целые числа с 1 по 12, среди которых 6 нечетных чисел. Ответ: 6. Примеры для решения: 1).Сколько нечетных целых чисел входит в область определения функции 𝑦 = (𝑥 2 + 2𝑥 − 48)−0,3 ? 2).Сколько целых чисел входит в область определения функции 𝑦 = (15 + 4,5𝑥 − 𝑥 2 )1,5 ? 3).Сколько целых чисел входит в область определения функции 𝑦 = (−𝑥 2 + 3,5𝑥 + 36)1,25 ? Пример 16. Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями функции 𝑦= 12 arccos(𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥). 𝜋 Решение.𝐷(𝑦) : − 1 ≤ 𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 1 𝑦= 12 12 12 arccos(𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥) , 𝑦 = arccos ( 𝑠𝑖𝑛2𝑥). 𝜋 𝜋 𝜋 1 1 1 −1 ≤ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 ≤ 1, − ≤ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 ≤ , 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑡 монотонно убывает, 2 2 2 1 𝜋 2𝜋 1 𝜋 12 1 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (− ) = 𝜋 − = ; 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 = , 4 ≤ 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 ( 𝑠𝑖𝑛2𝑥) ≤ 8. 2 3 3 2 3 𝜋 2 Разность между наибольшим и наименьшим значением равна 8-4=4. Ответ: 4. Пример для решения: Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями функции 𝑦= 24 arcs𝑖𝑛(𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥). 𝜋 Пример 17.Найдите наименьшее и наибольшее значения функции 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 на отрезке [-1;a]. Решение. У этой задачи только одна трудность – наличие параметра a. Найдем абсциссу вершины параболы 𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥, получим –x=2. Значит, при x≤ 2 функция 𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 убывает, а при x≥2 – возрастает. Дальнейшие рассуждения зависят от того, попала ли точка 2 в заданный отрезок или нет. Если -1≤ a≤ 2, то на [-1;a] функция убывает, следовательно 𝑦наим = 𝑦(𝑎) = 𝑎2 − 4𝑎; 𝑦наиб = 𝑦(−1) = 5. Если a> 2, то 𝑦наим = 𝑦(2) = −4. Что касается наибольшего значения, то его функция достигает либо в точке 𝑥 = −1, и тогда это значение равно 5, либо в точке 𝑥 = 𝑎, и тогда это значение равно 𝑎2 − 4𝑎. Сравним эти значения, выясним, когда наибольшим значением функции является первое из них. Решив неравенство 5> 𝑎2 − 4𝑎, получим: -1< 𝑎 <5. Поскольку мы рассматриваем случай 𝑎 > 2, то получаем 2< 𝑎 < 5, в этом случае 𝑦наиб = 5. Если 𝑎 > 5, то 5< 𝑎2 − 4𝑎. В этом случае 𝑦наиб = 𝑎2 − 4𝑎. Если, наконец, 𝑎 = 5, то 5=𝑎2 − 4𝑎. В этом случае 𝑦наиб = 5 Итак, если -1≤ 𝑎 ≤ 2, то 𝑦наим = 𝑎2 − 4𝑎, 𝑦наиб = 5; если 2< 𝑎 ≤ 5, то 𝑦наим = −4, 𝑦наиб = 5; если 𝑎 >5, то 𝑦наим = −4, 𝑦наим = 𝑎2 − 4𝑎. Пример 18. При каком значении параметра 𝒂 наибольшее значение функции 𝒚 = 𝒇(𝒙) равно наименьшему значению функции 𝒚 = 𝒈(𝒙): a) 𝒇(𝒙) = 𝟕𝒔𝒊𝒏𝟓𝒙 − 𝟐𝟒𝒄𝒐𝒔𝟓𝒙 + 𝒂 − 𝟏, 𝒈(𝒙) = 𝟑 − 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙. Решение. Поскольку √72 + 242 = 25, выражение 7𝑠𝑖𝑛5𝑥 − 24𝑐𝑜𝑠5𝑥 можно преобразовать к виду 25sin(5𝑥 + 𝛼), где 𝛼 − вспомогательный аргумент. Значит, 𝑓(𝑥) = 25sin(5𝑥 + 𝛼) + 𝑎 − 1, а потому для функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) получаем: 𝑦наиб = 𝑎+24. Так как далее 𝑔(𝑥) = 3 − 2𝑐𝑜𝑠4𝑥, то для функции 𝑦 = 𝑔(𝑥) получаем: 𝑦наим = 1. Осталось решить уравнение 𝑎 + 24 = 1, откуда 𝑎 = −23. Ответ: -23.