Н.А. Зенкевич: Эволюционно устойчивые стратегии и эволюционная динамика Аннотация В качестве базовой модели в эволюционной статике рассматривается большое сообщество индивидуумов, которое функционирует в ограниченном пространстве. В ходе функционирования сообщества индивидуумы постоянно участвуют в парных симметричных столкновениях. Множество чистых стратегий индивидуума конечно. В сообществе индивидуумы могут использовать смешанные стратегии, при этом такой способ поведения может передаваться по наследству. Формально игра парных столкновений может быть представлена симметричной биматричной игрой S , S , A, A , S s1 , , sn , A aij i , j 1,2, ,n , A aij i , j 1,2, ,n , aij a ji В теории эволюционных игр акцент делается на стратегии, которые будут устойчивы в эволюционном развитии сообщества, а не на игроках. Игрок здесь рассматривается как случайно выбранный представитель сообщества. Основной принцип оптимальности – эволюционно устойчивая стратегия (ESS). Концепция эволюционно устойчивой стратегии впервые была введена Maynard Smith and Price (1973) применительно к проблемам эволюционной биологии. Тем же М. Смитом доказано, что эволюционно устойчивая стратегия порождает симметричное равновесие по Нэшу в игре парных столкновений (M. Smith, 1982). В эволюционной динамике мы рассмотрим традиционный динамический подход для изучения эволюционных процессов, который не ограничивается статическим анализом эволюционной устойчивости. В качестве примера эволюционной динамики рассмотрим так называемую динамику тиражирования (replicator dynamics, RD), основанную на идее дарвиновского отбора. В случае дискретного времени предполагается, что в каждый момент t 1,2, , игроки участвуют в симметричной игре парных столкновений, определяемой матрицей A : S , S , A, A . Это означает, что в каждый момент t индивидуумы некоторого большого сообщества случайно отобраны в пары и играют в игру . Обозначим через x(t ) ( x1 (t ), , xn (t )), xi (t ) 0, xi (t ) 1 - вектор состояния процесса (здесь xi (t ) - i доля сообщества, которая в момент t предпочитает стратегию si ). Тогда, если v(t ) представляет собой общее число индивидуумов в популяции в момент t , то vi (t ) v(t ) xi (t ) - это количество индивидуумов, предпочитающих в t стратегию si . В биологическом контексте, выигрыши aij интерпретируются здесь как «мера продуктивности» потомков действовать так же, как его предшественники. В случае непрерывного времени мы имеем процесс тиражирования, который определяется нелинейной эволюционной системой дифференциальных уравнений. Оказывается, что имеется прямая связь между концепцией эволюционно устойчивой стратегии (в статике) и асимптотической устойчивостью равновесия в эволюционной динамике: если является ESS, тогда состояние сообщества x является асимптотически устойчивым равновесием при динамике RD (Hofbauer, Schuster and Sigmund, 1979). Ранее рассмотренные (статические и динамические) эволюционные модели касались одного сообщества и только при больших допущениях могут быть применены к анализу социально-экономической эволюции. Поэтому для анализа эволюционных процессов при социальном окружении требуется рассмотреть более общую модель эволюционной динамики. Рассмотрим несколько больших сообществ индивидуумов, участвующих в игре парных столкновений. Для простоты будем рассматривать случай двух больших сообществ равного размера. Модель будем рассматривать с непрерывным временем, и постулируем, что в каждый момент t 0 все индивидуумы сообщества 1 участвуют в игре парных столкновений (не обязательно симметричной) со случайно выбранным индивидуумом сообщества 2. Игра определяется следующим образом: S1 , S2 , A, B , S1 s11 , , s2 n , A aij i 1, j 1 , B bij i 1, j 1 , , s1m , S2 s21 , m n m aij 1 s1i , s2 j , bij 2 ( s2i , s2 j ), где r s1i , s2 j - функция выигрыша индивидуума сообщества n , r. Эволюционную систему, удовлетворяющую условиям регулярности и монотонности по выигрышу, будем называть RPMES (regular and payoff-monotonic evolutionary system). Для таких эволюционных систем известны следующие теоретические результаты: ( 1 , 2 ) является равновесием по Нэшу в игре парных S1 , S2 , A, B . Тогда состояние x ( x1 , x2 ) является Утверждение. Пусть столкновений равновесием любой RPMES, т.е. F ( x ) 0 , где F - векторное поле динамической системы. Утверждение. Пусть x ( x1 , x2 ) является асимптотически устойчивым равновесием в RPMES. Тогда, если x , то ситуация ( 1 , 2 ) определяет равновесие по Нэшу в игре S1 , S2 , A, B . Данные утверждения говорят о том, что для RPMES эволюционных систем справедлив тот же результат, что и для RD динамики. А именно, асимптотически устойчивое равновесие (в динамике) порождает эволюционно устойчивое равновесие (в статике).