Фигурные числа

1. Введение.
Число - важнейшее математическое понятие.
Поговорим о фигурных числах. Числа
древними греками, а вместе с ними Пифагором и пифагорейцами мыслились зримо, в
виде камешков, разложенных на песке или на счетной доске − абаке. По этой причине
греки не знали нуля, т.к. его не возможно было "увидеть". Но и единица еще не была
полноправным числом, а представлялась как некий "числовой атом", т. е. самое
маленькое число, из которого образовывались все числа. Пифагорейцы называли единицу
"границей между числом и частями", т. е. между целыми числами и дробями. Число же
определялось как множество, составленное из единиц. Особое положение единицы как
"числового атома", роднило ее с точкой, считавшейся "геометрическим атомом". Вот
почему Аристотель писал: "Точка есть единица, имеющая положение, единица есть
точка без положения". Т.о. пифагорейские числа в современной терминологии − это
натуральные числа. Числа − камешки раскладывались в виде правильных геометрических
фигур.
Примечание:
Дадим понятие правильной фигуры. Фигура будет называться правильной, если на
каждой его стороне лежит одинаковое число шаров и расстояние между ними должно
быть одинаковым.
2. Виды фигурных чисел.
Надо отметить, что фигурные числа пифагорейцами классифицировались на:
1) линейные числа
2) плоские числа
3) телесные числа.
В свою очередь эти числа еще раз подразделялись. Рассмотрим их поподробней.
1) К линейным числам относятся простые числа, которые нельзя было
разложить на множители. Эти числа изображались в виде точек, расположенных на
одной прямой. Например, число 7 является простым, следовательно, и линейным (рис.
1).
Рис. 1
Примечание:
Простые числа – это такие числа, которые делятся только на единицу и
самих себя, причем 1 не является простым числом.
Как можно узнать простое ли число или нет? [6] Древнегреческий ученый
Эротосфен предложил способ для составления таблицы простых чисел. Этот способ
носит название “Решето Эротосфена”. В чем он заключается? Найдем, например, все
простые числа от 1 до 20. Для этого выпишем все числа от 1 до 20 в ряд.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
Далее будем вычеркивать числа, которые не являются простыми. В первую очередь
вычеркнем 1, так как оно не простое число. Первое простое число 2. Подчеркнем его и
вычеркнем все числа, кратные 2, то есть числа 4, 6, …, 20. Следующее простое число 3.
Подчеркнем его и вычеркнем все числа, кратные 3(которые остались не вычеркнутыми)
и т. д. Так мы “высеем” все интересующие нас простые числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
2) Рассмотрим плоские числа, к ним относятся:
а) треугольные числа
б) квадратные числа
в) пятиугольные числа
г) многоугольные числа.
Одинаковые шары можно укладывать на плоскости так, чтобы они
образовывали различные фигуры – треугольники, квадраты, шестиугольники и т. д.
Все плоские числа изображаются в виде правильных геометрических фигур.
а) Рассмотрим “упаковки” шаров в равносторонние треугольники. На рисунке
2 изображены первые четыре таких треугольников. Чтобы получить пятый
треугольник, надо к четвертому пририсовать один ряд в пять шаров; чтобы
получить шестой, надо к пятому пририсовать ряд в шесть шаров и т. д.
Рис. 2
Числа, которые показывают, сколько шаров содержится в треугольниках,
называют треугольными.
б) Весьма примечательны квадратные числа, т.е. такие, которые получаются при
выкладывании из камушков квадраты. Вот они какие: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 и
т. д.
Посмотрим на выложенные квадратики (рис.3). Первый из них − это один ряд из
одного камушка: 1. Второй − это два ряда, каждый из двух камушков: 2  2  4 . Третий
− три ряда по три камушка: 3  3  9 . Четвертый − 4 ряда по 4 камня: 4  4  16 .
Неспроста про числа 2  2 , 3 3 , 4  4 говорят "два в квадрате", "три в квадрате", "четыре
в квадрате"!
1
4
9
16
Рис.3
в) А теперь рассмотрим последовательность правильных пятиугольников.
Подсчитывая
количество
точек
в
каждом
последовательность пятиугольных чисел 1, 5, 12, 22…
из
пятиугольников,
получим
1
5
12
22
г) Можно также рассматривать шестиугольные, семиугольные и т.п. числа. Все
многоугольные числа изображаются в виде правильных геометрических фигур.
Особенность плоских чисел, это то, что их можно разложить на два множителя, в
отличие от линейных чисел.
3) Далее поговорим о телесных числах. Они состоят из трех сомножителей.
Составляя последовательные суммы из плоских фигурных чисел, получим телесные
фигурные числа, их иногда называют пространственными. Телесные числа так же
подразделяются на:
а) пирамидальные числа
б) кубические числа
а) Правильные треугольные пирамиды, все грани и основание которых, имеют
вид равносторонних треугольников (такие пирамиды называются тетраэдрами),
порождают так называемые тетраэдрические числа. Последовательность этих чисел
выглядит так: 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84,…(рис.4).
1
4
10
Рис.4
Четырехугольные пирамиды с квадратом в основании и боковыми гранями в
форме
равносторонних
треугольников
(т.е.
половинки
правильного
октаэдра)
порождают четырехугольные пирамидальные числа: 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, … (рис. 5).
1
5
14
Рис.5
Подобно
тому,
как
квадрат
можно
разрезать
вдоль
прямой
на
два
последовательных треугольника, четырехугольную пирамиду можно рассечь плоскость
на два последовательных тетраэдра.
б) Далее введем в рассмотрение кубические числа (рис. 6).
1
8
27
Рис. 6
Например, к этим числам относятся: 1, 8, 27, 64, 125, . . . Их можно записать в таком
виде: 13 , 23 , 33 , 43 , 53 , . . . Именно про эти числа говорят «два в кубе», «три в кубе»,
«четыре в кубе», «пять в кубе» и т.д.
Кстати, вы не догадались еще, почему числа 2  2  2  2  16 , 3  3  3  3  81 ,
4  4  4  4  256 и т.д. не имеют своего названия, хотя у квадратов и кубов чисел такие
названия есть? А дело в том, что мы живем в мире трех измерений (длина, широта и
высота). Квадрат получился, когда мы выложили фигуру с одинаковой длиной и
шириной. Куб − фигура с одинаковой длиной, шириной и высотой. Но нет четвертого
измерения, чтобы выложить такую же красивую фигуру из 2  2  2  2 камушков.
Для наглядности объемных чисел, можно не только нарисовать, но и
сконструировать их. Например:
тетраэдрические числа
четырехугольные пирамидальные числа
кубические числа
3.
Формулы для вычисления плоских чисел
( Математический энциклопедический словарь, стр.607.)
Давайте начнем с самого простого, с треугольных чисел. Нарисуем первые четыре
треугольных числа (рис. 7)
1
3
6
10
Рис. 7
Подсчитаем с помощью рисунка эти треугольные числа и составим таблицу
№
Треугольное
число
1
2
3
4
1
3
6
10
5
6
7
8
Продолжим заполнение таблицы дальше. Для этого можно использовать нарисованные
нами треугольники. А можно ли продолжить дальше, не обращаясь к рисунку? Сделать
это совсем просто, если понять правило, по которому каждое следующее треугольное
число получается из предыдущего. Посмотрите на таблицу: третье треугольное число
получается, если ко второму прибавить число 3, т. е. его номер; четвертое треугольное
число получается добавлением к третьему числу 4 и т.д. На схеме показано, как
последовательно вычислить треугольные числа.
№
Треугольное
число
1
1
2
4
3
…
…
…
5
…
6
7
8
…
…
…
Проверьте, получились ли при этом те же самые числа, что и при подсчете шаров.
Найдите этим же способом девятое и десятое треугольные числа.
А можно ли найти какое-нибудь треугольное число, не вычисляя всех
предыдущих? Попробуем, например, найти иначе треугольное число под номером 10.
Обратимся опять к изображению треугольных чисел в виде равносторонних
треугольников. Понятно, что десятое треугольное число изображается в виде
треугольника с 10 рядами, в которых содержится 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 шаров.
Поэтому десятое треугольное число равно сумме:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 .
Для подсчета этой суммы запишем ее слагаемые в обратном порядке и расположим
суммы одна под другой:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 ,
10  9  8  7  6  5  4  3  2  1 .
Сумма каждой пары чисел, расположенных друг под другом, равна 11. Всего таких
сумм 10. Поэтому удвоенная сумма равна 1011 . Так как десятое треугольное число
есть половина этой суммы, то оно равно
10  11
 55 . Точно также выводится общая
2
формула для нахождения количества шаров в треугольных числах: П 3 (п) =
n(n  1)
2
Рассмотрим квадратные числа. Посмотрим на выложенные квадратики (рис.8).
1
4
9
16
Рис.8
Первый из них – это один ряд из одного камушка: 1. Второй – это два ряда,
каждый из двух камушков: 2  2  4 . Третий – три ряда по три камушка: 3  3  9 .
Неспроста про числа 2  2, 3  3, говорят «два в квадрате», «три в квадрате». Следуя по
аналогии можно сделать вывод, что квадратное число п-го порядка вычисляется по
формуле:
П (п)  п  п  п2 .
4
Попробуем пойти дальше и найти формулу для нахождения пятиугольных чисел.
Первым считаем, как и раньше, пятиугольник из 1-го камушка, во втором 5 камней, в
третьем − 12 , в четвертом − 22 и т.д. Посмотрите на рисунок 10.
1
523
12  3  3  3
22  4  3  6
Рис.10
Во втором пятиугольнике 2 камня снизу и еще три раза по одному; в третьем − 3 камня
снизу и еще 3 треугольника − 3 вторых по счету треугольных чисел. А в четвертом? 4
камня снизу и 3 третьих по счету треугольных чисел:
4  3  6  22 . По этому правилу,
не рисуя картинку, можно найти и пятое пятиугольное число: 5 камней будут снизу, и
еще 3 четвертых по счету треугольных числа, т. е.
5  3 10  35 .
Следовательно, общая формула имеет вид:
3n 2  n
П 5 (п) = п  3  Т 3 (п  1) 
.
2
Можно рассматривать и шестиугольные, и семиугольные числа, и вообще, числа,
возникающие при складывании разнообразных многоугольников, с разными или с
одинаковыми сторонами. Каковы они? Поэкспериментируйте, раскладывая по столу
монетки или пуговицы. Обратите внимание: все эти числа выражаются через
треугольные числа!
4. Формулы для вычисления телесных чисел.
Посмотрим на первые четыре таких числа и попробуем найти закономерность (рис 11).
Рис.11
Пирамидальные числа возникают при складывании камушков или, скажем, пушечных ядер горкой
так, чтобы они не раскатывались. И что же? Каждый слой ядер в такой пирамиде − треугольное число!
Наверху − одно ядро, под ним − три, под теми − шесть и т.д. ( 1,
1  3  4, 1  3  6  10,
1  3  6  10  20 ...) Можем сделать вывод, что пирамидальное число п-го порядка получается при
наложении на каждый слой треугольное число на один порядок меньше чем предыдущий. Посмотрим на
рисунок 12, и увидим, как это получается.
Т 33 (1) Т 33 (2)
Т 33 (3)
Т 33 (4)
Рис.12
Мы с вами можем увидеть закономерность:
Т 33 (п)  П3 (1) + П3 (2) + П3 (3) + П3 (4) +…+ П3 (п) =
n(n  1)( n  2)
,
6
где n – число шаров уложенных вдоль ребра пирамиды.
Очень интересны кубические числа, возникающие при складывании кубиков: 1 ,
2  2  2  8 (два этажа из квадратов 2  2 ), 3  3  3  27 (три этажа из квадратов 3  3 ),
4  4  4  64 (четыре этажа из квадратов 4  4 ), 5  5  5  125 и так далее (рис.13).
1
8
27
64
Теперь понятно, почему про такие числа говорят: "два в кубе", "три в кубе",
"десять в кубе"? Следовательно, общий вид кубических чисел равен:
Т 4 (п)  п3 .
5. Свойства фигурных чисел.
Великие творцы затратили немало усилий на изучение свойств фигурных чисел.
Мы с вами рассмотрим некоторые, наиболее интересные из них.
Счет на камушках оставил глубокий след в истории математики. Древние греки, когда им
приходилось умножать числа, рисовали прямоугольники; результатом умножения трех на пять был
прямоугольник со сторонами три и пять. Если "камешки", образующие фигурные числа, мыслить в виде
равных по площади квадратиков, то, укладывая их в прямоугольное число
a  b (рис. 14) автоматически
получаем формулу для вычисления площади прямоугольника: S=ab.
Рис.14
Множество закономерностей, возникающих при действиях с числами, были
обнаружены древнегреческими учеными, при изучений чертежей. И долгие века
лучшим подтверждением справедливости таких соотношений считался способ
геометрический, с прямоугольниками, квадратами, пирамидами и кубами. Даже в XVII
веке, когда была уже хорошо развита алгебра с обозначениями величин буквами, со
знаками действий, многие считали ее варварской наукой, пригодной для низменных
целей − бытовых расчетов, вспомогательных вычислений, но никак не для благородных
научных трудов.
6. Задача №1.
Найдите произведение линейных чисел и изобразите их:
а) 3 и 2, 2 и 3
Решение:
а) Результатом этих линейных чисел будет прямоугольное число, в котором 3 строки и
2 столбца.
6
Ответом будет прямоугольное число 6. Решим по аналогии другой пример
6
Мы опять получили прямоугольное число 6. Можно сделать вывод, что
3 2  2  3
6
6
Легко “ увидеть” переместительный закон умножения:
аb  ba .
№ 2.
Найдите сумму двух треугольных чисел
П3(7)
П3(6)
Решение:
Так как П 3 (6) и
П 3 (7) последовательные треугольные числа, то решением
2
должно быть квадратное число 7-го порядка, т.е. П 4 (7)  7  49
П4 (7)  49
№ 3.
Покажите, чему равен квадрат суммы двух чисел?
(3  2)  (3  2)
Решение:
Приложим углом друг к другу квадраты
прямоугольника
2 3
и
3 2
3  3 , 2  2 и добавим два
(изображены черными цветами).
Мы получили квадратное число пятого порядка.
7. Заключение.
Фигурные числа - числа, связанные с геометрическими построениями определенного
типа. Из фигурных чисел чаще всего рассматриваются многоугольные числа.
Установил, что фигурные числа бывают трех видов:
1. Линейные.
2. Плоские, которые разделяются на: а) треугольные;
б) квадратные;
в) многоугольные.
3. Телесные (пространственные), которые тоже разделяются на:
а) кубические;
б) пирамидальные.
Треугольные числа выражаются формулой П 3 (п) =
Квадратные числа
-
Кубические числа
-
n(n  1)
.
2
П (п)  п  п  п2 .
4
Т 4 (п)  п3 .
Пирамидальные числа (правильная треугольная пирамида) -
Т 33 (п)  П3 (1) + П3 (2) + П3 (3) + П3 (4) +…+ П3 (п) =
n(n  1)( n  2)
.
6
Название « многоугольные числа» связано с их построением. Изучая тему « Фигурные
числа», я постарался показать построение всех фигурных чисел: линейных, плоских
( многоугольные числа) и телесных.
8. Список использованной литературы
1. В. Боро, Ю. Цагир и др. Живые числа пять экскурсий. Пер. с.
нем. – М.: Мир, 1985 128 с.
2. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. Пер.
с англ. Данилова. М., “Оникс”, 1994. 509 с. с илл.
3. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. Математические
фокусы и головоломки. – 5-е изд. – М.: Наука 1986.
4. Депман И. Я., Виленкин И. Я. За страницами учебника
математики: Пособие для учащихся 5 -6 кл. сред. шк. – М
:Просвещение, 1989. – 287 с.: ил.
5. Н.Я.Виленкин, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд, В.И.Жохов
Математика, учебник 6 класса, задача № 249, 255 стр.
6. Л.Ф. Пичурин. За страницами учебника алгебры.. – М
:Просвещение, 1990. – 211 с. ил.
7. Кордемский Б. А., Великие жизни математики. Москва,
Просвещение 1995
8. Кордемский Б. А., Ахадов А. А. Удивительный мир чисел. –
М.: Просвещение, 1986.
9. Математический
большой энциклопедический словарь/ Гл.
ред. Ю.В.Прохоров.
М.: Большая Советская энциклопедия,
1988. – 845 стр.
10.Фридман Л.М. Изучаем математику. Москва, Просвещение
1995 254 стр.
11.
12.
www.miloqija2077.ru/ierarch2.htm
http://dss.qiqabyter.ru
РАЙОННАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ – ФЕСТИВАЛЬ ТВОРЧЕСТВА
ОБУЧАЮЩИХСЯ «EXCELSIOR»
Секция МАТЕМАТИКА
Огурцов Алексей
МОУ « Аликовская СОШ им. И.Я.Яковлева», 8В класс
Научный руководитель:
Дмитриева Валентина Иосифовна,
учитель математики МОУ « Аликовская
СОШ им. И.Я.Яковлева»
Аликово-2008
Фигурные числа
Автор: Огурцов Алексей
Руководитель: Дмитриева В.И.
Цель работы. Изучить и обобщить понятие о фигурных числах.
Задачи. 1. Установить всех видов фигурных чисел.
3. Показать на наглядно-индуктивной основе использования фигурных
чисел.
При написании исследовательской работы мною были использованы следующие
методы исследования:
1. Обобщение фигурных чисел, рассмотрев всех видов фигурных чисел;
2. Просмотр литературы по данной теме с использованием информационных
технологий.
В ходе работы над темой « Фигурные числа» я выяснил, что фигурные числа –
эти числа, связанные с геометрическими построениями определенного типа.
Установил, что фигурные числа бывают трех видов:
1. Линейные.
2. Плоские, которые разделяются на: а) треугольные;
б) квадратные;
в) многоугольные.
3. Телесные (пространственные), которые тоже разделяются на:
а) кубические;
б) пирамидальные.
Из фигурных чисел чаще всего рассматриваются многоугольные числа, т.е.
треугольные и квадратные, и показал построение телесных фигурных чисел всеми
возможными способами, и выводил формулы для определенных фигурных чисел. В
конце рассмотрел задачи по данной теме.
Основной литературой для работы является книга «За страничками учебника
математики». И.Я.Депман, Н.Я. Виленкин. Москва, «Просвещение», 1989, -287 стр., а
толчком к исследовательской работе является задача № 249 из учебника математики 6
класса, автором которого является Н.Я. Виленкин.
Что я получил, изучая тему: « Фигурные числа»?
Научился видеть любое число, которое считалось абстрактным.
Оглавление
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Введение.
Виды фигурных чисел.
Формулы для вычисления плоских чисел.
Формулы для вычисления телесных чисел.
Свойства фигурных чисел.
Задачи.
Заключение.
Список литературы.