Логарифмы, логарифмическая функция и ее приложения. 10 класс

Логарифмы, логарифмическая функция и
ее приложения.
10 класс
Составила: учитель математики МОУ «Школа №55»
Алешкина О. Ю.
Цели:









Расширить представление учащихся о логарифмической функции, применении ее
свойств в нестандартных ситуациях.
обобщение и систематизация понятия и свойств логарифма;
закрепление основных понятий базового уровня, закрепление навыков чтения графика,
вычисления значений логарифмических выражений;
определить степень усвоения темы учащимися;
создать условия для развития умений получать знания посредством проведения
исследовательской деятельности и анализа ситуации.
развитие познавательного интереса;
развитие логического мышления и внимания;
формирование потребности в приобретении знаний.
воспитание ответственности, умения принимать самостоятельные реше
Форма проведения урока: семинарско - практическая
Оборудование: компьютер, проектор, доска.
Ход работы
I.
Подготовка учащихся к работе на уроке.
Начало XX века. Франция. Париж. Проходя по площади Экзюпери, господин Команьон указал
на дом Денизо: «Что-то больше не слышно о провидице, общавшейся со святыми. Меня водил
туда Лакарель, правитель канцелярии префекта. Она сидела в кресле, закрыв глаза, а человек
десять почитателей задавали вопросы… На все вопросы она отвечала в поэтическом стиле и
без особого затруднения. Когда черед дошел до меня, я задал самый простой вопрос: «Каков
логарифм 9?». Она мне ничего не ответила. Как же так? Провидица не знает логарифма 9? Да
виданное ли это дело! Все были смущены. Я ушел, провожаемый общим неодобрением».
«Ох, опять логарифмы», - подумаете вы. А мне хочется сказать: «Ах, эти логарифмы».
И сегодня на уроке мы продолжим изучать логарифмы, а также рассмотрим
приложения логарифмической функции в самых различных областях науки и техники.
Актуализация опорных знаний, устный счет.
II. Сообщения учащихся по темам:
1.
2.
3.
4.
5.
Ода экспоненте
Звезды, шум и логарифмы
Логарифмическая “комедия: 2>3”
Любое число – тремя двойками
Логарифмическая спираль
В конце каждого сообщения – решение задач, связанных с логарифмической функцией.
III. Работа в группах.
Самостоятельная работа
IV .Итог урока.
Домашняя работа.
Рефлексия
В своем стихотворении “Физики и лирики” поэт Борис Слуцкий написал те строки, которые
вынесены в эпиграф к уроку (записаны на доске).
Потому-то, словно пена,
Опадают наши рифмы.
И величие степенно
Отступает в логарифмы.
Б.Слуцкий
Задание классу (устно): Учитель. Перед вами слайд с понятиями и свойствами логарифмической
функции, вам необходимо найти ошибки и исправить.
Проверь себя!
Понятия
1.Определение логарифма числа по
заданному основанию
Формулы
log a b  x  b  a x , a  0, a  1, b  0
a loga c  c
2. Основное логарифмическое тождество.
3. Формула логарифм произведения.
4. Формула логарифм частного.
5. Формула логарифм степени.
6. Формула логарифмического перехода от
одного основания к другому основанию.
log x1 x2  log x1  log x2
log
x1
 log x1  log x2
x2
log a b n  n log a b
log a b 
log c b
;
log c a
log a b 
7. Логарифм, значение которого равно
единице
log a a  1
8. Логарифм, значение которого равно
нулю
log a 1  0
9. Запись числа через логарифм
log a a c  c
Устная работа
=2
1
log b a
=2
< 0 Сравните
>0
<0
>0
Вывод
На одном из рисунков изображен график функции у=log2х. Укажите номер этого рисунка.
Ода экспоненте.
Поистине безграничны приложения показательной и логарифмической функций в самых
различных областях науки и техники, а ведь придумывали логарифмы для облегчения
вычислений. Более трех столетий прошло с того дня, как в 1614 году были опубликованы первые
логарифмические таблицы, составленные Джоном Непером. Они помогали астрономам и
инженерам. Сокращая время на вычисления, и тем самым. Как сказал знаменитый французский
ученый Лаплас: “Удлиняя жизнь вычислителям”.
Ещё недавно трудно было представить инженера без логарифмической линейки в кармане;
изобретенная через десяток лет после появления логарифмов Непера английским математиком
Гунтером. Она позволяла быстро получать ответ, с инженерного обихода вытеснила
микрокалькулятор, но без логарифмической линейки не были бы построены ни первые
компьютеры, ни калькуляторы.
Многообразные применения показательной (или как еще ее называют экспоненциальной) функции
вдохновили английского поэта Эльмера Брилла, он написал “оду экспоненте”. Отрывок из которой
мы приводим:
“…Ею порождено многое из того,
Что достойно упоминания,
Как говорили наши
Англосаксонские предки.
Могущество ее порождений
Заранее обусловлено ее
Собственной красотой и силой,
Ибо они суть физическое воплощение
Абстрактной идеи ее.
Английские моряки любят и знают ее
Под именем “Гунтер”.
Две шкалы ГунтераВот чудо изобретательности.
Экспонентой порождена
Логарифмическая линейка:
У инженера и астронома не было
Инструмента полезнее, чем она.
Даже изящные искусства питаются ею.
Разве музыкальная гамма не есть
Набор передовых логарифмов?
И таким образом абстрактно красивое
Стало предком одного из величайших
Человеческих достижений”
Изобретение логарифмов, сократило работу астронома, но продлило ему жизнь.
П.С. Лаплас.
Звезды, шум и логарифмы.
Этот заголовок связывает столь, казалось бы, несоединимые вещи. Шум и звезды объединяются
здесь потому, что громкость шума и яркость звезд оценивается одинаковым образом – по
логарифмической шкале.
Астрономы делят звезды по степени яркости на видимые и абсолютные звездные величины –
звезды первой величины, второй, третьей и т.д. Последовательность видимых звездных величин,
воспринимаемых глазом, представляет собой арифметическую прогрессию. Но физическая по
иному закону: яркости звезд составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Легко
понять, что “величина” звезды представляет собой логарифм ее физической яркости. Короче
говоря, оценивая яркость звезд, астроном оперирует таблицей логарифмов, составленной при
основании 2,5.
Аналогично оценивается и громкость шума. Вредное влияние промышленных шумов на здоровье
рабочих и на производительность труда побудило выработать приемы точной числовой оценки
громкости шума. Единицей громкости звука служит “бел”, но практически используется единица
громкости, равные его десятой доле, - так называемый “децибелы”. Последовательные степени
громкости 1 бел, 2 бела, 3 бела, и т.д. Составляют арифметическую прогрессию… Физические же
величины, характеризующие шумы (энергия, интенсивность звука и др.), составляют
геометрическую прогрессию со знаменателем 10. Громкость, выраженная в белах, равна
десятичному логарифму соответствующей физической величины.
Дополнение учителя: “Логарифмы и ощущения”.
Ощущения, воспринимаемые органами чувств человека, могут вызываться раздражениями,
отличающимися друг от друга во много миллионов и даже миллиардов раз. Удары молота о
скользкую плиту в сто раз громче, чем тихий шелест листьев, а яркость вольтовой дуги в
триллионы раз превосходит яркость какой-нибудь слабо звезды, едва видимой на ночном небе. Но
никакие физиологические процессы не позволяют дать такого диапазона ощущений. Опыты
показали, что организм как бы “логарифмирует” полученные им раздражения, т.е. величина
ощущения приблизительно пропорциональна десятичному логарифму величины раздражения.
Как видим, логарифмы вторгаются и в область психологии.
Примеры.
Логарифмическая “комедия: 2>3”.
“Комедия” начинается с неравенства
преобразование
логарифм, значит:
1/4 >1/8 , бесспорно правильного. Затем следует
, тоже не внушает сомнения. Большему числу соответствует больший
lg
>lg
, 2lg1/2 >3lg1/2 .
После сокращения на lg1/2 имеем 2>3.
В чем ошибка этого доказательства?
Решение: Ошибка была допущена при сокращении на lg1/2; так как lg1/2 < 0, то при сокращении на
lg 1/2
необходимо было изменить знак неравенства, т.е. 2<3.
Логарифмическая спираль.
Так как это уравнение связано с логарифмической функцией, то вычисленную по этой формуле
спираль называют логарифмической.
Живые существа обычно растут, сохраняя общее очертание своей формы. При этом они растут
всего во всех направлениях – взрослое существо и выше и толще детеныша. Но раковины морских
животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им
приходится скручиваться, причем каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост
может совершать лишь по логарифмической спирали или ее некоторым пространственным
аналогам. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, а также рога таких млекопитающих, как
архары (горный козел), закручены по логарифмической спирали. Можно сказать, что эта спираль
является математическим символом соотношения форм роста. Великий немецкий поэт Иоганн
Вольфгант Гете считал ее даже математическим символом жизни и духовного развития.
Очертания, выраженные логарифмической спиралью, имеют не только раковины, в нити вокруг
центра по логарифмической спирали. По логарифмическим спиралям закручены и многие
галактики, в частности, Галактика, которой принадлежит Солнечная система.
8. Задание с ключом.
Вариант 1
1
2
Вычислите:
-7
3
4
5
Вычислите:
Вычислите:
При каком значении х выражение имеет
смысл:
Ю
Е
5
x≥4
И
x
Р
Г
2
49
Н
x
П
Б
3
0,5
Вариант 2
1
Вычислите:
2
Вычислите: lg25 +0,5lg16
+21
3
Вычислите:
4
Вычислите:
5
При каком значении х выражение имеет смысл:
Ю
Е
3
2
И
x
Р
Г
Н
П
Б
x
24
23
121
x>2
Проверка ответов самостоятельной работы.
У 1 варианта получилось Бюрги, у 2 варианта – Непер. Это фамилии двух известных математиков:
шотландца Джона Непера (1550 – 1617) и швейцарца Иобстома Бюрги (1552 – 1632), которыми
одновременно и независимо друг от друга были изобретены логарифмы.
Итак, сегодня на уроке мы убедились, что как сказал знаменитый французский философ и
математик Жан Кондорсе, «гениальное изобретение логарифмов, упрощая арифметические
операции, облегчает все применения вычисления к реальным предметам и, таким образом,
расширяет сферу всех наук». Поэтому тема нашего урока выбрана не случайно.
Логарифмические диковинки.
Любое число – тремя двойками.
Продолжим урок остроумной алгебраической головоломкой, которой развлекались участники
одного съезда физиков в Одессе. Предлагается задача: любое данное число, целое и
положительное, изобразить с помощью трех двоек и математических символов.
Общее
решение
N   log 2 log 2
задачи
записывается
в
виде:
Необязательное задание. Доказать
 2


N раз
Доказательство на дом (3 уровень).
N   log 2 log 2
1
 1 1
1
 2 , так как
 2  2 n , log 2  2 n   ,  log 2  log 2 n  N .




n
  n
N раз
N раз
9. Домашнее: №126, 127 из повторения, записать число 7 тремя 2, доказать общую
формулу.
10. Рефлексия