Линейные цепи с постоянными параметрами

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Московский физико-технический институт
(государственный университет)
Кафедра радиотехники
Лабораторная работа
по курсу: Радиотехнические цепи и сигналы
Линейные цепи с постоянными параметрами
Москва 2001
Составитель Ю.П.Озерский.
УДК 621.37
Лабораторная работа по курсу: Радиотехнические
цепи и сигналы.
Линейные цепи с постоянными параметрами/МФТИ.
М., 2001, 48 с.
Московский физико-технический институт
(государственный университет), 2001
2
Содержание
1. Введение
2. Сигналы. Методы анализа и синтеза линейных
цепей
2.1. Сигналы, как функции времени
2.2. Связь между током и напряжением для элементов цепи в интегро-дифференциальной
временной форме
2.3. Метод дифференциальных уравнений
2.4. Метод интеграла Дюамеля, переходные
характеристики цепей
2.5. Спектральное представление сигналов
2.6. Комплексное, векторное и спектральное
представление синусоидального сигнала
2.7. Комплексный (символический) метод
2.7.1. Дифференцирование и интегрирование
комплексных сигналов
2.7.2. Сложение комплексных сигналов, векторные диаграммы
2.7.3. Связь между синусоидальными током и
напряжением для элементов цепи в комплексной форме
2.7.4. Комплекный коэффициент передачи,
амплитудно-частотные и фазо-частотные
характеристики
2.8. Спектральный метод
3. Исследуемые цепи. Задания
3.1. Пассивные цепи
3.1.1. Интегрирующая и дифференцирующая
цепи, неминимально-фазовый четырехполюсник (мост)
3.1.2. RC-четырехполюсники 2-го порядка
3.1.3. LCr- и LCR-четырехполюсники 2-го
порядка
3
4
7
7
8
8
10
13
14
17
18
19
19
20
26
29
29
29
32
34
3.1.4. Двойной Т-образный мост
3.2. Активные цепи
3.2.1. Построение активных цепей
3.2.2. Фильтр нижних частот
3.2.3. Полосовые фильтры
3.2.4. Режекторный фильтр
3.2.5. Регулятор тембра звуковых частот
Список литературы
38
40
40
41
43
45
46
47
1. Введение
Важнейшими сторонами человеческой деятельности являются получение и обмен информацией, а также управление
на ее основе экономической, социальной, научно- технической
и другими сферами жизни любого государства.
Наиболее эффективными по быстродействию, точности,
емкости памяти, надежности и удобству пользованию средствами решения названных задач являются радиотехнические
средства. Этим объясняется широкое развитие радиовещания,
телевидения, радиотелефонии, радиосвязи, радиотелеметрии,
радиолокации, радионавигации, сетей ЭВМ (в частности, Интернета), электронных систем моделирования разнообразных
физических процессов и явлений, систем автоматического
управления объектами и т.п.
Целью настоящей лабораторной работы является изучение линейных радиотехнических цепей с постоянными параметрами. Работа выполняется на ЭВМ с помощью программы
схемотехнического моделирования Micro Cap , версия 6.
Цепью называют совокупность радиотехнических элементов, соединенных проводами и электромагнитными полями. В
данной работе рассматриваются цепи, состоящие из дискретных элементов: резисторов, конденсаторов, катушек индуктивности, операционных усилителей. Такие цепи являются
реальными частями большинства радиоустройств. Кроме того,
подобные цепи используют как приближенные модели при
исследовании ряда сложных элементов и устройств.
4
Подаваемые на цепь, существующие в них и выводимые
из цепей токи, напряжения и электромагнитные колебания
(радиоволны) обобщенно называют сигналами.
С помощью цепей создают, усиливают и преобразуют
разнообразные сигналы, которые и используют в качестве носителей информации и управляющих воздействий.
Простейшими элементами радио-цепей являются двухполюсники. Они бывают активными и пассивными.
Активные двухполюсники содержат источники энергии,
которую они вносят в цепь. На схемах активные двухполюсники изображают в виде генератора напряжения или генератора тока. Простейший генератор напряжения содержит последовательно соединенные источник электродвижущей силы
(ЭДС) и выходное сопротивление (обычно малой величины).
Простейший генератор тока содержит параллельно соединенные источник тока и выходное сопротивление (обычно большой величины).
Пассивные двухполюсники либо потребляют энергию,
подводимую к цепи, либо на некоторое время запасают ее малые количества, а затем отдают эти запасы в цепь. Первые из
их называют резистивными, это – резистор с сопротивлением
R (Ом), диод и др. Вторые называют реактивными – это
конденсатор с емкостью C (Фарада) и катушки с индуктивностью L (Генри).
Пассивные двухполюсники делятся также на линейные и
нелинейные. У линейных двухполюсников связь между напряжением на них и протекающим током задается линейной
функцией, у которой приращение функции пропорционально
приращению ее аргумента. У таких двухполюсников величины их параметров не зависят от протекающих токов и напряжений на двухполюснике. Если же параметры независимо изменяют во времени по заданному закону, то такие линейные
двухполюсники называют параметрическими.
У нелинейных двухполюсников величины их параметров
зависят от протекающего тока или падения напряжения и по-
5
этому связь между током и напряжением у таких двухполюсников задается нелинейными функциями.
Цепи, составленные из двухполюсников, также могут
быть линейными, нелинейными, параметрическими, пассивными, активными. Важным свойством линейных цепей является подчинение их принципу суперпозиции, который заключается в том, что отклик цепи на сумму нескольких входных
воздействий равен сумме откликов на каждое из них. Примеры
четырехполюсников, составленных из этих элементов, показны на рис. 1. Они соответственно называются: интегрирующая
цепь, дифференцирующая цепь, форсирующая цепь, LCr-четырехполюсник.
Четырехполюсник – это цепь с одним входом и одним
выходом. Многополюсники имеют большее число входов или
выходов. К активным четырехполюсникам и многополюсникам, в частности, относят такие управляемые (усилительные)
элементы, как электронные лампы, биполярные и полевые
транзисторы, операционные усилители и др.
Существуют две основные задачи, которые приходится
решать при использовании и проектировании цепей – это задача анализа цепи и задача синтеза цепи.
Анализом заданной цепи называют нахождение ее выходного сигнала y(t) при известном входном сигнале x(t)
Синтезом цепи называют нахождение ее структуры и параметров, при которых заданный входной сигнал x(t) преобразуется в требуемый выходной сигнал y(t).
Некоторые методы решения этих задач для линейных це
пей рассмотрены ниже.
6
2. Сигналы. Методы анализа и синтеза линейных цепей
2.1. Сигналы, как функции времени.
Сигналы в радио-цепях, как правило, изменяются во времени. Их классификация весьма обширна. Здесь отметим лишь
следующее.
Различают детерминированные сигналы, которые можно
описать известными математическими функциями времени, и
случайные сигналы, значения которых в любые моменты времени заранее неизвестны и могут быть предсказаны лишь с
некоторой вероятностью, меньшей единицы. В данной работе
рассматриваются только детерминированные сигналы. Они
могут быть периодическими и непериодическими, заданными
на конечном интервале времени, то есть финитными, либо на
всем интервале от минус до плюс бесконечности и т.д. Особо
отметим синусоидальный (гармонический) сигнал x(t) =
= Amcos(0t + 0), существующий на временном интерввале от
минус до плюс бесконечности, у которого амплитуда Am
(Am  0), угловая частота 0 и начальная фаза 0 неизменны
во времени. Такой сигнал при прохожднии через любые линейные цепи остается гармоническим (возможно лишь с изменением величины амплитуды и начальной фазы).
Из-за произвольного вида входных сигналов и большого
разнообразия типов цепей невозможно разработать универсальный метод анализа и синтеза любых цепей.
Вместе с тем, достаточно общим и широко применяемым
способом представления произвольных детерминированных
сигналов является их запись в виде эквивалентной суммы известных типовых сигналов. Такую операцию называют разложением сигнала. Результат разложения сигнала на синусоидальные функции (в ряд и интеграл Фурье) называют частотным спектром сигнала, а метод анализа и синтеза цепей с использованием операций над такими частотными спектрами
называют спектральным. (Методы исследования цепей, оперирующие непосредственно входными сигналами, как функциями времени, иногда называют временными методами).
7
Применяют также многие другие разложения, например, в ряд
Котельникова, по функциям включения 1(t), по дельта-функциям (t), по функциям Уолша, вейфлет-анализ и.т.д
2.2.
Связь между током и напряжением для элементов
цепи в интегро-дифференциальной временной форме
Напомним связь между током, протекающим через двухполюсник, и напряжением на нем для элементов R, C и L, выраженную в интегро-дифференциальной форме.
Для резистора:
u(t) =R i(t), i(t) = u(t) /R = G u(t),
(1)
где G = 1/R – проводимость (Сименс).
Для конденсатора:
t
1
u(t) =
C

i (t )dt  u (0), i(t) =
dq(t )
du(t )
,
C
dt
dt
(2)
0
где q(t) – заряд (Кулон).
Для катушки индуктивности:
t
1
di(t )
d
u(t) =
u (t )dt  i (0),
L
, i(t) =
L
dt
dt

(3)
0
где  – магнитный поток (Вебер).
В выражениях (2) и (3) учтены начальные условия, то есть
напряжение на емкости и ток через индуктивность на момент
времени t = 0, начиная с которого ведется наблюдение процессов в данных элементах.
2.3. Метод дифференциальных уравнений
Выражения (2) и (3) показывают, что ток и напряжение
для элементов C и L связаны между собой операторами дифференцирования и интегрирования. Следовательно, цепи, содержащие такие элементы, можно описать интегро-дифференциальными уравнениями. Метод использования
этих уравнений является классическим методом исследования
8
любых цепей. Для линейных цепей систему таких уравнений
получают в результате записи соотношений между токами и
напряжениями в элементах цепи с учетом правил Кирхгофа.
Правила Кирхгофа гласят: а) сумма всех втекающих и
вытекающих токов в любом узле цепи равна нулю, б) сумма
всех напряжений в любом замкнутом контуре цепи равна сумме действующих в нем ЭДС.
Полученную систему уравнений обычно сводят к одному
дифференциальному уравнению, связывающему входной и
выходной сигналы.
Например, для форсирующей цепи (рис. 1в), применяя
правила Кирхгофа, получаем соотношения i = i1 + i2, x =
u + y, где u – падение напряжения на параллельном соединении элементов C и R1, i – входной ток цепи, i1 и i2 –
токи через элементы C и R1. Исключая из этих выражений все
переменные, кроме x и y, получаем следующее дифференциальное уравнение данной цепи
dy R1  R2
dx R2
(4)
CR2

y  CR2

x.
dt
R1
dt R1
Или, обозначая CR2 = a1 = b1, (R1 + R2)/R1 = a0, R2/R1 = b0,
выражение (4) можно представить в следующем виде:
dy
dx
a1
 a0 y  b1
 b0 x.
dt
dt
Для LCr-четырехполюсника (рис. 1г) аналогично получаем
d2y
dy
 yx
(5)
dt
dt
Таким образом, общее выражение дифференциального
уравнения для цепей имеет вид:
LC
an
dny
dt n
 a n 1
d n 1 y
dt n 1
2
 rC
 ...  a 0 y  bm
d mx
dt m
 bm1
dx m1
dt m1
 ...b0 x.
(6 ).
9
Для линейных цепей коэффициенты уравнения (6) постоянны и оно является линейным. Число n называют порядком
цепи.
Поскольку символ дифференцирования d/dt связан с реактивными элементами C и L, то порядок уравнения любой
цепи определяется числом таких ее элементов.
Для заданной цепи коэффициенты ai и bj в (6) известны
и анализ цепи сводится к решению уравнения (6) относительно y(t) при заданном сигнале x(t). и определенных начальных
условиях.
Синтез цепи состоит в нахождении коэффициентов ai и
bj , при которых данный входной сигнал x(t) вызывает требуемый выходной сигнал y(t). По этим коэффициентам находят структуру и значения параметров синтезируемой цепи.
2.4 Метод интеграла Дюамеля, переходные характеристики цепей
Метод интеграла Дюамеля (или суперпозиционного интеграла) является временным методом анализа и синтеза линейных цепей. Его применение наиболее эффективно для случая
финитных сигналов или сигналов, начинающихся в определенный момент времени. Идея метода проиллюстрирована на
рис. 2. Примем начало действия входного сигнала x(t) за мо-
мент времени t = 0 и сначала аппроксимируют этот сигнал
суммой ступенчатых функций, начало которых соответствует
моментам времени kt, где k = 0, 1, 2 , . ., как показано на
рис. 2а:
10

x(t) = x(0) 1(t) +
[ x(kt)  x((k1)t)] 1(t  kt),
k 1
где 1(t) – так называемая единичная функция или функция
включения или функция Хевисайда, равная нулю для t  0 и
единице для t  0 .
Если через h(t) обозначить реакцию цепи на сигнал 1(t),
то, устремляя величину t к нулю (увеличивая точность аппроксимации) и переходя от суммы к интегралу, получаем
следующую связь между x(t), y(t) и h(t), называемую интегралом Дюамеля:
t
y(t) = x(0) h(t) +
 x' () h(t  )d,
(7а)
 x' (t  ) h()d,
(7б)

(7в)

(7г)
0
t
y(t) = x(0) h(t) +
0
t
y(t) = x(t) h(0) + x ( ) h’(t  )d,
0
t
y(t) = x(t) h(0) + x(t  ) h’() d.
0
Здесь штрих означает операцию d/dt.
Функция h(t) называется переходной характеристикой
цепи и может быть найдена либо решением уравнения (6), либо иными методами, в том числе экспериментально. При знании функции h(t) задача анализа цепи сводится к вычислению
любого из интегралов (7).
Например, для интегрирующей цепочки рис. 1а имеем
h(t) = 1 exp(t/), где  = RC. Пусть для t  0 имеем
x(t) = v t. Тогда из формулы (7а), получаем:
11
t
y(t) = 0 h(t) +
 [1  exp((t  ) / )]d 
0
= v t – v  [1 – exp(t/)].
Задача синтеза цепи сводится к определению из (7) вида
h(t) и составлению или подбору цепи с такой h(t).
Разложим теперь тот же входной сигнал на сумму коротких прямоугольных импульсов длительностью t, сдвинутых
во времени на величину kt, как показано на рисю 2б. Если
аналогично найти реакцию цепи на такой импульс единичной
площади, устремить величину t к нулю и просуммировать
реакции на все сдвинутые импульсы, то получим другую запись интеграла Дюамеля:
t
y(t) =
t
 x() h (t   )d =  x(t  ) h ()d,
и
и
0
(8)
0
где функцию hи(t) называют импульсной переходной характеристикой, импульсной функцией или функцией Грина цепи.
Она является реакцией цепи на дельта-функцию или
функцию Дирака (t). Функцию Дирака можно рассматривать
как предел формы прямоугольного импульса единичной площади при стремлении его длительности к нулю. Другим определением дельта-функции является равенство: (t) = d1(t)/dt.
При этом разложение сигнала на прямоугольные импульсы, показанное на рис. 2б, при условии t  0 переходит в его
разложение по дельта-функциям:
t
x(t) =
 x() (t )d.
0
Такое разложение, понятие дельта-функции и интеграл
Дюамеля вида (8) находят широкое применение в теории
цепей.
12
2.5. Спектральное представление сигналов
Уже говорилось, что частотным спектром сигнала называют результат его разложения на сумму синусоидальных
функций.
Периодические сигналы, описываемые функциями f(t),
удовлетворяющими условиям Дирихле, разлагают в ряды
Фурье. Условия Дирихле гласят: а) период функции может
быть разбит на конечное число интервалов, в каждом из которых функция непрерывна и монотонна, б) если во всякой точке разрыва функции существуют f(x + 0) и f(x  0), то ряд
сходится и его сумма равна f(t) в точках непрерывности и
равна 0.5[f(x + 0) + f(x  0)] в точках разрыва.
Ряд Фурье записывают в вещественной и в комплексной
форме.
Вещественный ряд представляют либо в тригонометрическом виде:

f(t) = C0 +

(9а)
[ak cos(k0t) + bk sin(k0t)],
k 1
либо в амплитудно-фазовом виде, который задает так называемый дискретный частотный спектр функции f(t):

f(t) = C0 +

Ck cos(k0t  k),
(9б)
k 1
где 0 = 2/T, T – период функции f(t),
0.5T
2
ak =
T

0.5T
2
f (t ) cos(k0t)dt, bk =
T
 0.5T
 f (t ) sin(k t)dt,
0
 0.5T
 , k = arctg(bk/ak).
Ck =
Комплексный ряд Фурье, задающий дискретный комплексный спектр функции f(t),. имеет вид:
a k2
bk2
13

f(t) =

Сk exp(jk0t),
(10а)
k  
где коэффициенты Ck являются комплексными числами:
0.5T
1
Ck =
T
 f (t ) exp(jk t)dt.
0
(10б)
 0.5T
(Здесь и далее комплексные числа и функции обозначаются
жирными заглавными буквами.)
Функции f(t), описывающие одиночные сигналы, разлагают в интеграл Фурье:

1
f(t) =
2

G(j) exp(jt) dt
(11а)

где комплексная функция G(j) является непрерывным комплексным спектром функции f(t):

G(j) =

f(t) exp(j t)dt
(11б)

Для лучшего понимания смысла комплексного спектра,
рассмотрим комплексное и векторное представление синусоидальной функции.
2.6. Комплексное, векторное и спектральное представление
синусоидального сигнала
Из курса математики известно определение комплексного
числа Z = a + jb (где j =  1 ), являющегося, например, одним из корней квадратного уравнения z2 – 2az + (a2 + b2) =0.
Это число состоит из вещественной части а и мнимой части
jb (где b – вещественное число).
Известны также понятие комплексной функции Z() =
= a() +j b() вещественного аргумента , где a() =
= Re[Z()] и b() = Im[Z()] – вещественные функции.
14
Разработан аппарат операций над комплекными числами
и функциями (сложение, умножение и т. д.). Найдена связь
комплексного числа с показательной и тригонометрическими
функциями (формула Эйлера) a + jb = M exp(j) = M (cos  +
+ j sin ), M = a 2  b 2 – модуль, а  = arctg(b/a) – аргумент комплексного числа. Из последней записи видно, что
a = Re[Z] = M cos , b = Im[Z] = M sin . Поэтому комплексную функцию X(t) =Amcos(0t + 0) + jAmsin(0t + 0) =
= Am exp(j(0t + 0)) = Am exp(j0) exp(j0t) == Am exp(j0t), где
Am = Amexp(j0) – комплексное число, стали называть
комплексным представлением вещественной синусоидальной
функции x(t) = Am cos(0t + 0) = Re[X(t)] или комплексным
сигналом X(t). При этом комплекное число Am называют
комплекной амплитудой вещественной сигнальной функции
x(t ). Далее, для упрощения записи аргумент t у комплексных
сигналов будем пускать, полагая X(t) = X.
Известно также векторное представление комплексного
числа на комплексной плоскости, показанное на рис. 3. Оно
задается вектором длины M, начало которого совпадает с началом координат (точкой 0), а конец – с точкой, Z, имеющей
координаты a и jb. При этом угол между названным вектором
и вещественной осью равен .
Аналогично, комплексную функцию
X = Am exp(j0) exp(j0 t) = Am exp(j0 t)
на той же плоскости представляют вектором, который в момент времени t = 0 совпадает с вектором комплексной ампли15
туды (комплексным числом) Am еxp(j0) и который вращается вокруг точки 0 против часовой стрелки с угловой скоростью 0. Проекция такого вращающегося вектора на вещественную ось и является вещественной синусоидальной функцией x(t). Поэтому данный вектор называют векторным представлением вещественной синусоидальной функции x(t).
Рассмотрим еще одно тождество: x(t) = Am cos(0t + 0) =
= 0.5 Am еxp[j(0t + 0)] + 0.5 Am exp[j(0t + 0)] =
= X1 + X2
( 12 )
Оно дает основание сопоставить вещественной синусоидальной функции x(t) две комплексные функции и два вектора длины Am/2 с начальными фазами 0 и 0, вращающиеся с угловой скоростью 0 в противоположных направлениях.
Сумма их проекций на вещественную ось также равна вещественной функции x(t). Следовательно, эта модель является
вторым векторным представлением синусоидальной функции
x(t).
Перечисленные векторные представления лежат в основе
и двух спектральных представлений синусоидальной функции
x(t), которые показаны на рис. 4. Каждое из них содержит два
графика. На первом графике на рис. 4а на частоте 0 откладывают величину амплитуды Am, а на втором графике указывают знак и величину агрумента (начальной фазы) 0. Эти параметры первого векторного представления совпадают с параметрами вещественной синусоидальной функции x(t). Поэтому графики на рис. 4а называют вещественным спек-тром
вещественной функции x(t). Первый из них называют амплитудным спектром Gx(f), а второй – фазовым спектром x(f).
На аналогичных графиках рис. 4б изображают соответственно амплитуды 0.5Am, и аргументы (начальные фазы) 0 и
0 второго векторного представления комплексных функций
(12). При этом противоположное направление вращения второго вектора длины 0.5Am отражают размещением параметров 0.5Am и 0 на отрицательной частоте 0. Поэтому
16
графики на рис. 4б, отражающие параметры выражения (12),
называют комплексным спектром вещественной функции x(t).
Все спектры, показанные на рис. 4 называют линейчатыми или дискретными, потому что они состоят из отдельных
линий.
Комплексную функцию (11б) G(j) = A() + jB(), которую называют спектральной плотностью сигнала, также
изображают в виде двух графиков для отрицательных и положительных частот.
Зависимость ее модуля
G() =
=
A 2 ()  B 2 () от частоты называют амплитудной спек-
тральной плотностью, а зависимость аргумента () =
= arctg[B()/A()] от частоты – фазовой плотностью спектра.
Эти кривые являются непрерывными и такой спектр сигнала
называют сплошным. При этом, выполняется равенство Парсеваля:




1
f (t) dt =
2
2



1
G ()d =
2
2

G(j) G*(j)d,

где G*(j) – функция, комплексно-сопряженная функции
G(j). Величина первого интеграла задает энергию сигнала, а
функция G2() определяется как энергетический спектр сигнала f(t).
Аналогично, для рядов Фурье выполняется равенство
мощности периодического сигнала и суммы мощностей всех
его дискретных составляющих спектра.
2.7 Комплексный (символический) метод
Сущность комплексного метода исследования цепей заключается в том, что, используя комплексное представление
синусоидальных сигналов и правила действия с комплексными сигналами, с помощью простых алгебраических операций
находят реакцию цепи на реальные синусоидальные воздействия любой частоты. При этом для интересующей пары входного и выходного синусоидальных сигналов можно легко
17
найти комплексный коэффициент передачи этой пары. Использование такого коэффициента позволяет далее провести
анализ или синтез цепи при произвольных входных воздействиях либо спектральным методом, либо временным методом, например, методом интеграла Дюамеля.
Комплексный метод относится к символическим методам
исследования цепей, которые характерны тем, что реальные
сигналы заменяют их символами (в данном случае вещественный синусоидальный сигнал – его комплексным представлением). К числу символических методов относят также операторные методы, основанные на преобразованиях Лапласа или
Карлсона, при которых реальные сигналы заменяют их ''изображениями''.
2.7.1.
Дифференцирование и интегрирование комплексного
сигнала
Известно, что производная вещественного синусоидального сигнала x(t) = Am cos(0t + 0) равна dx(t)/dt =
= 0 Am sin(0t + 0) = 0 A m cos(0t + 0 + /2), а интеграл
равен

x(t)dt = (Am/0) sin(0t+ 0) = (Am/0) cos(0t + 0 
 /2). У комплексного сигнала X = Am еxp(j0t) комплексная
амплитуда Am от времени не зависит. Поэтому для него имеем: dX/dt = j0 X и
= dx(t)/dt, и Re[


Xdt = [1/j(0t)]X. Видно, что Re[dX/dt] =
Xdt] =

x(t)dt, то есть, рассмотренные
операции над обоими сигналами дают эквивалентные результаты. Таким образом, операция дифференцирования комплексного сигнала сводится к умножению его на величину j,
а интегрирования – к делению на j.
2.7.2.
Сложение комплекных сигналов, векторные
18
диаграммы
Рассматривая векторное представление синусоидального
сигнала, нетрудно заметить, что суммирование нескольких
синусоидальных сигналов одинаковой частоты можно осуществить векторным сложением их комплексных амплитуд на
комплексной плоскости. Такое построение называют векторной диаграммой этих сигналов. Поскольку проекция суммарного вектора на вещественную ось равна сумме проекций на
ту же ось всех его слагаемых, то результаты векторного сложения комплексных сигналов эквивалентны результатам сложения вещественных сигналов. Операцию векторного сложения распространяют и на случай неравных частот. Тогда полагают, что суммируемые векторы вращаются один относительно другого с разностной частотой.
2.7.3.
Связь между синусоидальными токами и напряжениями для элементов цепи в комплексной форме
Запишем выражения, связывающие синусоидальные токи
и напряжения для элементов R, C и L в комплексной форме
с учетом формул (1)-(3) и правил дифференцирования и интегрирования комплексных сигналов и считая начальные условия нулевыми.
Пусть нам задан ток i(t) = Im cos(t + ) = Re[I] =
= Re[Im exp(j) exp(jt)], втекающий в рассматриваемый элемент.
Тогда для резистора из ( 1 ) получаем:
U = R I(t).
(13)
Для конденсатора из ( 2 ) записываем:
1
U=
I.
(14)
jC
При этом u(t) = Re[U] = Um cos(t +  /2), где Um =
= Im/(jС).
Для катушки индуктивности из ( 3 ) получаем:
U = jL I
19
(15)
При этом u(t) = Re[U] = Um cos(t +  + /2), Um = L Im.
Видно, что конечная связь между реальными сигналами
i(t) и u(t) для всех элементов одинакова, как при оперировании с вещественными сигналами, так и при оперировании с
комплексными сигналами. Однако для комплексных сигналов
запись имеет более простую, алгебраическую форму, задаваемую выражениями (13)-(15), которые в литературе иногда
называют законами Ома в комплексной форме. При этом появляется понятие комплексного сопротивления. Для резистора оно остается вещественным и равным R, а для емкостей
и индуктивностей – оказывается чисто мнимым, равным числам 1/(jC) = j/(C) и jL соответственно. Для последовательного соединения резистора и индуктивности, например,
имеем комплекное сопротивление Z = R + jL.
Отсюда следует, что для линейных цепей все связи между
входными и выходными сигналами в комплексной форме
можно записать не в виде интегро-дифференциальных уравнений, а в виде комплексной функции, которая рассматривается в следующем пункте.
2.7.4. Комплексный коэффициент передачи, амплитудночастотные и фазо-частотные характеристики цепи
Подставим комплексные сигналы X и Y в дифференциальное уравнение (6) с учетом описанных правил операций
над комплексными сигналами. Тогда связь между выходным и
входным сигналами приобретает вид: Y = X K(j), где
b ( j) m  bm1 ( j) m 1  ...  b1 j  b0
K(j) = m
(16)
a n ( j) n  a n 1 ( j) n 1  ...  a1 j  a 0
Комплексную функцию K(j) = C() + jD() называют
комплексным коэффициентом передачи цепи. Ее знание позволяет записать реакцию цепи на синусоидальный входной
сигнал любой частоты, а именно: y(t) = Re[Y] = Re[X K(j)].
Функцию K(j) можно найти, не зная дифференциального уравнения цепи, непосредственно комплекным методом.
20
Например, для форсирующей цепи рис. 1в обозначим чеR1
jC
рез Z1 =
комплексное сопротивление параллельно
1
R1 
jC
включенных элементов R1 и C. Тогда имеем X = I (Z1 + R2),
Y = I R2, где I – комплекный входной ток цепи, и K(j} =
Y/X = R2/(Z1 + R2), или
R2
1  jR1C
K(j) =
(17)
R1 R2
R1  R2
1  j
C
R1  R2
Тот же результат получается и из дифференциального
уравнения цепи (4) при подстановке в него комплексных сигналов Y и X.
Зависимость модуля коэффициента передачи от частоты
K() = C 2 ()  D 2 () называют амплитудно-частотной
характеристикой (АЧХ) цепи, а зависимость аргумента от частоты k() = arctg[D()/C()] – фазо-частотной характеристикой (ФЧХ).
Поскольку можно записать, что K(j) = K() exp[jk()],
то вещественный выходной сигнал цепи равен y(t) = Re[Y] =
= Re[X K(j)] = Re[Am K(0) exp(j(0 + к)) еxp(j0t)]. Из этого
выражения видно, что модуль коэффициента передачи показывает во сколько раз амплитуда выходного сигнала отличается от амплитуды входного сигнала, а его аргумент задает величину вносимого цепью фазового сдвига между выходным и
входным сигналами данной частоты.
Отметим и следующие свойства комплексного коэффициента передачи цепи.
1). Из выражения (16) видно, что при    получаем
K(j)  (bm/an) ()m-n. Если n  m, то c ростом частоты модуль коэффициента передачи бесконечно возрастает. Такое
предположение для пассивных цепей не отвечает физичекой
21
реальности, а для активных цепей требует наличия источников
питания бесконечной мощности. Поэтому считается, что для
стационарных цепей в (16) выполняется условие n  m.
2). Если в числителе выражения ( 16 ) вынести за скобки
величину bm , а в знаменателе – величину an и для упрощения записи ввести символ p = j, то в числителе и знаменателе выражения (16) оказываются алгебраические многочлены m-й и n-й степени относительно p:
b F ( p)
K(p) = m 1
,
a n F2 ( p)
где bm/an – масштабный множитель,
b
F1(p) = pm+B1 pm-1 +...+ Bm-1 p + Bm,, Bi = m i , i = 0, 1, ..m,
bm
a
F2(p) = pn+A1 pn-1 +…+ An-1 p + An , Ai = ni , i = 0, 1, n.
an
(Заметим, что выражение F2(p) = 0 называют характеристическим уравнением цепи или левой части ее дифференциального
уравнения (6), а его корни являются показателями экспонент,
задающих свободную составляющую решения уравнения (6)).
Если найти корни pi0 и pjп многочленов F1(p) и F2(p),
то выражение ( 16 ) можно представить в виде:
bm ( p  p10 )( p  p 20 )...( p  p m0 )
.
(18)
a n ( p  p1п )( p  p 2п )...( p  p nп )
Корни pio числителя называют нулями коэффициента передачи K(p), а корни знаменателя pjп – полюсами коэффициента
K(p), поэтому выражение (18) называют нульполюсным представлением этого коэффициента.
Поскольку корни многочленов, начиная с квадратного,
бывают вещественными и комплексными ( в том числе и чисто
мнимыми), то все нули и полюсы могут быть изображены
точками на комплексной плоскости. Такое изображение называют диаграммой нулей и полюсов.
K(p) =
22
Так, для цепи
рис. 1в из выражения (17) имеем:
1
p  ( )
1
b p  p0 b1
K(p) = 1
,

1
a1 p  p п a1
p  ( )
2
где 1 = R1 C, 2 = R1 R2 C/(R1+R2). Данные нуль и полюс расположены на вещественной оси в левой половине комплексной плоскости, или, как говорят – в левой полуплоскости.
По расположению нулей и полюсов на комплексной
плоскости можно узнать следующие свойства цепи.
Если все полюсы расположены в левой полуплоскости,
то есть их вещественные части отрицательны, то цепь не может служить независимым генератором сигнала или, как говорят, она устойчива и сама по себе не возбуждается. Отсутствие
полюсов на мнимой оси и в правой полуплоскости является
наиболее общим критерием устойчивости радиосистем.
Если все нули и полюсы расположены в левой полуплоскости, то цепь относится к так называемому классу минимально-фазовых цепей. Если часть нулей или все нули расположены в правой полуплоскости, то цепь относится к классу неминимально-фазовых цепей.У минимально-фазовых цепей функции K() и k() связаны между собой однозначно преобразованиями Гильберта:

1
k() =



ln K ()
d ,


1
ln K() = 



 k ()
d .

У неминимально-фазовых цепей такой связи нет и некоторой
АЧХ могут соответствовать разные ФЧХ. Максимальный
набег фазы при изменении частоты от нуля до бесконечности
у минимально-фазовых цепей меньше, чем у неминимально23
фазовых цепей с той же АЧХ. Этим и объясняется название
минимально-фазовых цепей.
3). Расположение полюсов на комплексной плоскости
определяет характер переходного процесса в цепи.
Покажем это на примере LCr-четырехполюсника, изображенного на рис. 1г. Из (5) для него получаем:
( 0 ) 2
1

K(p) =
,
(19)
1  prC  p 2 LC p 2  2 p  ( 0 ) 2
где 02 = 1/(LC) = 1/2 (0 – резонансная частота,  – постоянная времени),  = 0.5r/ LC = 1/2Q – постоянная затухания, Q – добротность цепи. Полюсы данного K(p) равны
p1п = ( 
 2  1) )/, p2п = ( +
 2  1) )/.
Если   1 (Q  0.5), то указанные полюсы вещественны и равны p1п = 1/1, p2п = 1/2, где 1 = /( 
 2  1) ,
2 = /( +  2  1) – вещественные постоянные времени.
Тогда имеем:
1
1

K(j) =
,
2
(1  p1 )(1  p 2 )
1  2 j  ( j )
1
2
t
t
exp( ) 
exp( ) ,
1   2
1
1   2
2
t
t
exp(  )  exp(  )
1
2
hи (t) =
.
1   2
Данные функции времени являются плавными и переходный процесс называют апериодическим.
При  = 1 (Q = 0.5) полюсы также вещественны и равны
друг другу p1п = p2п = 1/. Тогда
1
1

K(j) =
,
2
(1  j )(1  j )
(1  j )
h(t) = 1 –
24
t
t
h(t) = 1 – (1  ) exp( ) ,


t
t
hи (t) = exp(  ) .


Данный режим переходного процесса называют критическим.
При  1 (Q 0.5) полюсы являются комплексносопряженными числами с отрицательной вещественной частью p1п = (  j 1   2 )/, p2п = ( + j 1   2 )/. Тогда
знаменатель выражения (19) на множители не разлагается и
мы имеем:
1
K(j) =
,
1  2 j  ( j ) 2
t
h(t) = 1  A exp( ) cos(t  ) ,

A
t
hи (t) = exp( )[ cos(t  )  1   2 sin( t  )] ,


где A = 1/ 1   2 ,  =
1   2 /,
 = arctg(/ 1   2 ),
sin  = , cos  = 1   2 . В этом случае переходный процесс
является колебательным
С учетом сказанного заметим, что в общем случае каждый
из многочленов, стоящих в числителеи знаменателе коэффициента K(p) можно представить в виде произведения сомножителей четырех видов: K0, (p)k, где k – целое число, отличное от нуля, (1 + p) (1 + 2p +p22). Такая запись удобна
при построении так называемых диаграмм Боде, позволяющих
наглядно представить АЧХ и ФЧХ цепей высокого порядка.
4). У минимально-фазовых цепей функции K(j), h(t) и
hи(t) связаны между собой следующими соотношениями:

K(j) = j
 h(t) exp( jt)dt ,

25

1
h(t) =
2


K ( j)
exp( jt )d, ,
j

K(j) =
 h (t) exp( jt)dt ,
и


1
hи(t) =
2
 K ( j) exp( jt)d .

2.8. Спектральный метод
Спектральный метод исследования цепей весьма распространен, потому что он позволяет эффективно анализировать и
синтезировать сколь угодно сложные пассивные и активные
цепи при любой форме входных сигналов, в том числе и случайных. Он базируется на использовании частотных спектров
сигналов и комплексных коэффициентов передачи цепей. При
этом наибольшие удобства дает применение именно комплексных спектров. Проиллюстрируем суть этого метода для
случая разложения сигналов в интеграл Фурье.
При анализе цепи находят ее комплексный коэффициент
передачи K(j). С помощью выражения (11б) определяют
комплексный спектр Gx(j) входного сигнала x(t) . Вычисляют спектр выходного сигнала Gy(j) = Gx(j) K(j). Далее
с использованием выражения (11а) получают вещественный
выходной сигнал y(t).
Например, найдем, какую операцию над входным сигналом осуществляет цепь, у которой K(j) = K0 еxp(jT). Решение: записываем спектр выходного сигнала Gy(j) =
= Gx(j) K(j) =

K0 x() еxp(j( + T))d. Делаем замену
26
переменных:
=


+
T
=
t.
Получаем
Gy(j)
=
K0 x(t –T) еxp(j t)dt. Функция, стоящая под интегра-
лом перед множителем экспоненты, по определению есть выходной сигнал y(t) =K0 x(tT). Следовательно, данная цепь в
K0 раз изменяет величину входного сигнала и задерживает
его на время Т. При K0 = 1 такую цепь называют неискажающей линией задержки. Подобным свойством при K0  1
обладают кабели, в том числе волоконно-оптические, специализированные линии задержки (например, телевизионные),
эфир и другие системы.
При синтезе цепи для заданного входного сигнала x(t) и
требуемого выходного сигнала y(t) с помощью выражения
(11б) находим их спектры Gx(j) и Gy(j). По ним определяем коэффициент передачи цепи K(j) = Gy(j)/Gx(j). Далее
выбираем или составляем цепь, обладающую найденным
K(j).
В качестве примера синтеза спектральным методом рассмотрим случай проектирования частотного фильтра.
По типу АЧХ в радиотехнике различают фильтры:
а) фильтры нижних частот (ФНЧ), б) фильтры верхних частот
(ФВЧ), в) полосовые фильтры (ПФ) и г) режекторные или заграждающие фильтры (РФ). Идеальные АЧХ названных
фильтров показаны соответственно на рис. 5.
У ФНЧ частоту fв называют верхней граничной частотой
(или частотой среза). У ФВЧ частоту fн называют нижней
граничной частотой. У ПФ частоты fн и fв носят те же названия, а величину f = fв  fн называют полосой пропускания. У
РФ величину f = f2 – f1 называют полосой режекции (или
подавления).
27
Простейшим ФНЧ 1-го порядка является интегрирующая
цепь (рис. 1а), но ее АЧХ далека от идеальной. Форму АЧХ
приближают к идеальной, повышая порядок фильтра n. При
этом используют некоторые критерии оптимальности фильтра.
Одним из них для ФНЧ является обеспечение максимальной
равномерности (плоскости) АЧХ в диапазоне частот от 0  f 
 fв при заданных величинах n и fв. Данному критерию удовлетворяют
АЧХ,
задаваемые
выражением:
1
K() =
.
(21)
1  ( /  в ) 2 n
Квадрат правой части равенства (21) называется кривой
Баттерворта, а фильтр, АЧХ которого удовлетворяет равенству
(21), называют фильтом Баттерворта.
Полюсы коэффициента передачи K(p), соответствующего
выражению (21), обладают следующими свойствами:
при нечетном n имеем: p1п =   в =  1/,
при четном n имеем p1,2 п =  в еxp(  j(11/2n)).
Остальные полюсы расположены в комплексной плоскости на
полуокружности радиуса в и отстоят от p1п или p1,2 п по
углу на  /n радиан.
Выражения для коэффициента передачи фильтра Баттерворта при n = 2 и n = 3 имеют вид:
1
,
K(p) =
1  2 p  ( p) 2
1
K(p) =
(22)
(1  p)[1  p  ( p) 2 ].
28
3. Исследуемые цепи. Задания
3.1. Пассивные цепи
3.1.1. Интегрирующая и дифференцирующая цепи,
неминимально-фазовый четырехполюсник (мост)
Схемы интегрирующей и дифференцирующей RC-цепей
изображены на рис. 1а и 1б. Они являются минимальнофазовыми цепями. Вместе с тем, их комбинация, показанная
на рис. 6, образует мост, являющийся неминимально-фазовым
четырехполюсником. Изучим эти цепи на схеме, приведенной
на рис. 7. Ее входным сигналом x(t) служит напряжение,
приложенное к клеммам a и b.
Напряжение между точками c и b является выходным
сигналом y(t) интегрирующей цепи, постоянная времени которой равна  = RC. Для данной цепи во временной форме
имеем следующие соотношения:
x = i R + y, i = C dy/dt ( i – ток в цепи), откуда получаем
дифференциальное уравнение цепи  dy/dt + y = x.
Комплексный коэффициент передачи цепи равен
K(j) = 1/(1 + j), а выражения для ее АЧХ и ФЧХ имеют
1
вид: K() =
, () =  arctg(), а переходная и
1  ( ) 2
импульсная характеристики задаются выражениями:
h(t) = 1  exp(t/), hи(t) = (1/) exp(t/).
29
Интегрирующая цепь является ФНЧ 1-го порядка. Ее
верхняя граничная частота равна fв = 1/(2), на этой частоте
K(fв) = 1 2 , (fв) = /4.
Для сигналов, спектр которых занимает частоты ниже fв ,
имеем K(f)  K0 = 1, а (f)  , поэтому для таких сигналов
интегрирующая цепь может использоваться как линия задержки на время . Для сигналов, спектр которых лежит выше частоты fв, получаем K(j)  1/(j). Для таких сигналов цепь
является интегратором.
Единственный полюс цепи pп = 1/ расположен на вещественной оси в левой полуплоскости, поэтому цепь устойчива и имеет апериодический характер переходного процесса.
Ее переходная характеристика плавно нарастает от нуля до
K0 = 1. Время нарастания от величины 0.1 K0 до 0.9 K0 для
ФНЧ назывaют временем установления (или длительностью
фронта). Оно равно tуст  2.2 . Время, за которое h(t)
нарастает до уровня 0.5 K0 называют временем задержки или
запаздывания. Для данной цепи tзад  0.7 .
Напряжение между точками d и b схемы рис. 7 является
выходным сигналом y(t) дифференцирующей цепи, постоянная времени которой равна  = RC. Для этой цепи во временной форме имеем следующие соотношения: x = (1/C)  i dt +
+y, y = = i R, i = y/R (i – ток в цепи ), x = (1/)  y dt + y.
Продифференцировав последнее выражение по времени, получаем
дифференциальное уравнение данной цепи:
 dy/dt + y =  dx/dt.
В комплексной форме имеем: Z = R + 1/(jC), I = X/Z и
K(j) = I R/I Z = j/(1 + j). Отсюда для АЧХ и ФЧХ цепи
получаем K() = / 1  ( ) 2 , () = arctg(1/()).
Переходная и импульсная характеристики этой цепи
имеют вид: h(t) = exp(t/), hи(t) = (t) – (1/) exp(t/).
АЧХ дифференцирующей цепи с ростом частоты возрастает от нуля до единицы, а ФЧХ падает от /2 до нуля. При
30
f = fн = 1/ (2) имеем K(fн) = 1 2  0.7, а (fн) = /4. Следовательно, данная цепь является ФВЧ 1-го порядка с нижней
граничной частотой fн.
Для сигналов, спектр которых лежит ниже fн , имеем
K(j)  j. Такие сигналы подвергаются операции дифференцирования. Для сигналов, спектр которых расположен выше fн , получаем K(f)  1, (f)  0 и для них эта цепь является неискажающей. При очень больших величинах  ее используют в качестве так называемой разделительной цепи,
которая с малыми искажениями передает весь входной сигнал,
кроме его постоянной составляющей.
Если в качестве выходного сигнала y(t) неминимальнофазового четырехполюсника использовать напряжение между
точками c и d схемы рис. 7, то есть разность выходных сигналов интегрирующей и дифференцирующей цепей, то коэффициент передачи такого четырехпо-люсника равен:
p
1  p
1
K(p) =

=
.
1  p 1  p 1  p
Он имеет нуль в правой полуплоскости p0 =1/, и полюс
в левой полуплоскости pп = 1/, поэтому данная цепь является устойчивой и неминимально-фазовой цепью. Для нее имеем:
K() = 1, () =  2 arctg(), h(t) = = 1  2 еxp(-t/),
hи(t) =  (t) + (2/) еxp(-t/).
Если выходным сигналом данного четырехполюсника
считать напряжение между точками d и c, то получаем:
K(j) = (p  1)/(1 + p), K() = 1, () =   2 arctg(),
h(t) = 2 exp(t/)  1, hи(t) = (t)  (2/) exp(t/).
Изучаемый четырехполюсник применяют как фазовращатель, сдвигающий фазу входного синусоидального сигнала
данной частоты без изменения его амплитуды на требуемый
угол в пределах от  до . Величина сдвига задается выбором
величины  цепи.
31
Задание к п. 3.1.1. (файл Lab86_11.cir)
А) При подаче сигнала от генератора синусоидальных
колебаний изучить и зарисовать АЧХ и ФЧХ всех описанных
цепей. Для интегрирующей цепи измерить fв, а для дифференцирующей цепи – fн .
Б) Подключив ко входу схемы генератор единичного
скачка напряжения, изучить и зарисовать переходные характеристики h(t) исследуемых цепей.
В) Подключив ко входу схемы генератор напряжения типа ''меандр'', изучить и зарисовать реакции интегрирующей и
дифференцирующей цепей на этот сигнал.
Г) Подать на вход интегрирующей цепи синусоидальное
напряжение частоты fв. Вывести на экран дисплея в одной системе координат входное и выходное напряжения, а в другой
системе координат – произведения входного тока на входное
и выходное напряжения соответственно. В первой системе
координат на отрезке времени 0  t  3 изучить переходный процесс в цепи, а на отрезке t  3 – стационарное состояние.
Д) При оформлении отчета о работе построить векторные
диаграммы напряжений и тока для всех изучаемых цепей при
частоте входного сигнала f = 1/(2).
3.1.2.
RC-четырехполюсники 2-го порядка
Изучаемые цепи показаны на рис. 8. Сначала выберем
параметры цепей следующим образом:
R1 = R2 =R, C1 = C2 = C, RC = .
32
Тогда комплексные коэффициенты передачи цепей окажутся равными:
Kа(j) = 1/ [1 + 3j + (j)2],
Kб(j) = (j)2/[1 + 3j + (j)2],
Kв(j) = Kг(j) = j/[1 + 3j + (j)2].
Из этих выражений следует, что цепь на рис. 8а является
ФНЧ, так как у нее Kа(0) = 1, Kа() = 0, цепь на рис. 8б является ФВЧ, так как у нее Kб(0) = 0, Kб() = 1, а цепи на рис. 8в
и 8г являются ПФ. Все эти цепи имеют 2-й порядок. Их добротность равна Q = 1/3 ( = 1.5), поэтому они обладают апериодическими переходными процессами (см. п. 2.7.4).
Если же положить: R1 = R, R2 = k R, C1 = C, C2 = C/k и
k  1, то выражение для K(j) примут вид:
Kа(j)  1/ [1 + 2j + (j)2] = 1/(1 + j)2,
Kб(j)  (j)2/(1 + j)2,
Kв(j)  Kг(j) = j//(1 + j)2.
В данном случае добротность цепей равна Q  0.5
(  = 1) и переходные процессы носят критический характер.
Увеличение Q объясняется здесь практическим устранением
шунтирования второй половиной каждой цепи предыдущей ее
половины. В результате общий коэффициент передачи всей
цепи оказывается равным произведению коэффициентов передачи каждой из половин цепи. Цепи, показанные на рис. 8в и
8г, а также трех- и четырех-звенные интегрирующие и дифференцирующие цепи применяют в RC-генераторах звукового
диапазона.
Задание к п. 3.1.2.
А)
Вызвая поочередно файлы: Lab86_121.cir,
Lab86_122.cir, Lab86123.cir b Lab86_124.cir, изучить и зарисовать АЧХ и ФЧХ всех исследуемых цепей при первом варианте выбора их параметров. Для каждой из них измерить fн и fв.
Для цепей на рис. 8в и 8г измерить значения
K(f0),
где f0 = 1/(2) .
33
Б) Аналогично изучить и зарисовать функции h(t) всех
цепей. Для ФНЧ измерить величины tуст и tзад.
В) Аналогично изучить и зарисовать реакцию всех цепей
на сигнал типа ''меандр''.
Г) Аналогично провести исследования по п. А) при втором варианте выбора параметров цепей. (Для этого увеличить
R2 и уменьшить C2 в 10 раз.
Д) То же по п. Б) и по п. В).
Е) При оформлении отчета по работе вычислить модули
входного сопротивления цепей Рис. 8в и 8г на частоте
0 = 1/ для обоих вариантов выбора параметров цепей, а для
второго варианта выбора построить векторные диаграммы
всех напряжений, поясняющих факт нулевого фазового сдвига
на этой частоте.
3.1.3. LCr- и LCR-четырехполюсники 2-го порядка
Схема изучаемого LCr-четырехполюсника дана на рис. 9а.
Она соответствует реальному варианту последовательного
включения катушки с индуктивностью L и сопротивлением
потерь r и конденсатора с емкостью C, обладающего пренебрежимо малыми потерями. Дифференциальное уравнение
данного четырехполюсника задано выражением (5), а его коэффициент передачи и переходные характеристики анализировались в п. 2.7.4.
У данной цепи, в отличие от RC-цепей 2-го порядка (см.
п. 3.1.2), выбором ее параметров можно реализовать значения
добротности Q от долей единицы до сотен единиц. При Q  2
эта цепь обладает свойствами ФНЧ, в частности, при Q = 0.7
она реализует ФНЧ Баттерворта 2-го порядка. Однако ее применение в качестве ФНЧ звуковых частот (до 10-20 кГц) огра34
ничено из-за необходимости использования катушек с большими индуктивностями. Цепи с элементами L и C более широко применяют в диапазонах радиочастот (свыше 50-100
кГц).
Поскольку элементы L и C имеют противоположные
по знаку реактивные сопротивления, которые компенсируют
друг друга, то в таких цепях возникают резонансные явления.
Так, у данной цепи, которую называют последовательным
LC-контуром, комплексное сопротивление току равно:
 L  0
1
Z = r + jL +
= r[1 + 0 (

)] ,
0

r
jC
где 0 = 1/ LC – резонансная частота, при которой j0 L –
 1/(j0C) = 0. Ввиду этого, при  = 0 величина Z минимальна и равна r, а амплитуда тока в цепи максимальна и равна Im = Am/r, где Am – амплитуда входного синусоидального
напряжения. Амплитуды напряжений на элементах L и C
тогда равны:
UmL = Im 0L = Am (0L/r) и UmC = Im/(0C) = Am/(r 0C).
Поскольку 0L = 1/0C = , где  – характеристическое
сопротивление контура, а Q = /r, то имеем:
UmL = UmC = Am (/r) = Am Q.
При Q  1 получаем UmL = UmC  Am и тогда данная цепь
на резонансной частоте играетет роль повышающего трансформатора с коэффициентом передачи по напряжению (но не
по мощности), равным Q. Данный вид резонанса называют
последовательным резонансом или резонансом напряжений.
0 L  0
 0
Величину a =
(

) = Q(

) (при
r 0

0

  0
Q  1 a  2 Q
) называют обобщенной расcтройкой
0
и выражение для Z записывают в виде Z = r (1 + ja). Зависимость модуля
Z
от частоты или кривую
35
f (a) 
r
называют антирезонансной кривой. При этом,
1 a2
комплексный коэффициент передачи данной LC-цепи равен
K(j) = (I/jC)/(I Z) = 1/(jCr(1 + ja)). Учитывая, что в диапазоне частот, близких к 0, можно положить 1/C  1/0C =
= , и тогда получаем:
Q

K(j) =
.
(23)

jr(1  ja) j (1  ja)
При
этом
АЧХ
цепи
задается
выражением
Q
K(a) =
. При Q  1 эта кривая называется резонанс1 a2
ной кривой. Она имеет максимум на частоте f0 =0/(2). Частоты справа и слева от нее, на которых ФЧХ уменьшается в
2 раз, являются верхней и нижней частотами fв и fн, а
разность f = fв  fн = f0 /Q называют полосой пропускания
цепи. Отсюда видно, что при Q  1 данный LCrчетырехполюсник является полосовым фильтром 2-го порядка. Его ФЧХ вблизи f0 задается при этом выражением
(a) =  [arctg(a) + /2].
Векторная диаграмма упомянутых выше напряжений и
тока для резонансной частоты приведена на рис. 9б.
Заметим, что для резонансных LC-цепей с Q  1 помимо переходных функций (которые приведены в п. 2.7.4)
важна реакция системы на функцию включения радиосигнала
1(t) sin(1t + 1) при различных соотношениях 1 и 0 и
разных значениях 1.
Заметим также, что в литературе рассматривают и LCRчетырехполюсник, показанный на рис. 9в. Можно показать,
что по своим свойствам он эквивалентен описанному
LCr-четырехполюснику.
36
Задание к п. 3.1.3 (файл Lab86_13.cir)
А)
Изучить и зарисовать АЧХ и ФЧХ
LCrчетырехполюсника, как ФНЧ при вариации ее добротности Q
в пределах 0.4-1.2 (режим Stepping для параметра r), особо обратив внимание на случай Q = 0.7 (фильтр Баттерворта
2-го порядка). Измерить величину fв всех вариантов ФНЧ.
Б) Изучить и зарисовать переходные характеристики цепи для тех же значений добротности. Измерить величины tуст
и tзад.
В) Изучить и зарисовать АЧХ и ФЧХ данного четырехполюсника, как полосового фильтра при вариации его добротности в пределах 20-40. Измерить полосы пропускания при
разных добротностях.
Г) При Q = 2 вывести в одной системе координат зависимости от частоты напряжений на элементах C и L и тока в
цепи. Объяснить ход полученных кривых
Д) Изучить и зарисовать переходные характеристики при
тех же добротностях ПФ.
Е) При Q = 20 вывести в одной системе координат зависимости от частоты напряжений на элементах C и L и тока в
цепи. Объяснить ход полученных кривых
Ж) Подсоединить ко входу ПФ источник сигнала вида
функции включения радиосигнала. Изучить и зарисовать реакцию ПФ ни такой сигнал при разных его частотах и
начальных фазах, равных нулю и девяносто градусов.
З) При оформлении отчета построить векторные диаграммы всех напряжний и тока изучаемой цепи на частотах f0,
fн и fв.
Примечание. При желании любые пункты задания можно
проделать для цепи рис. 9б, либо смоделировав ее самостоятельно, либо использоввав имеющиеся в библиотеке системы
Micro cap файлы: Perf1.cir, Prlc.cir.
3.1.4.
Двойной Т-образный мост
37
Схема двойного Т-образного моста показана на рис. 10.
Эта цепь является режекторным фильтром. В сочетании в активными элементами ее используют также для создания весьма узкополосных РФ и ПФ. В принципе, данный мост является
системой 3-го порядка и в общем случае выражение для его
K(p) достаточно громоздко.
При выборе элементов моста по правилу: R1 = R2 = R,=
= R3 = R/2, C1 = C2 = C, C3 = 2C, один нуль и один полюс его
коэффициента K(p) компенсируют друг друга и выражение
для K(p) приобретает вид
K( p ) =
1  ( p) 2
1  4 p  ( p) 2
где  = RC, 1 = /(2 

1  ( p) 2
,
(1  p1 )(1  p 2 )
(24)
3 ) = 3.732 , 2 = /(2 + 3 ) = 0.268 .
Такой мост называют сбалансированным. Его АЧХ, задаваемая выражением:
1  2  2
K() =
,
(1   2  2 )  (4 ) 2
обращается в нуль на частоте 0 =1/, а K(0) = K() =1.
Из (24) следует, что добротность сбалансированного моста Q =1/4 ( = 2 ) и K(p) имеет нули p10 = j/, p20 = j/
и полюсы p1п = 1/1, p2p = 1/.
В литературе коэффициент передачи сбалансированного
моста записывают также в виде
38
K(jb) = 1/(1 – 4 j/b),
(25)
где b = ( /0 - 0 /).
Переходная характеристика сбалансированного моста задается выражением:
(1   2 )[exp(t / 1 )  exp(t /  2 )]
.
1   2
Вместе с тем, из-за разброса реальных величин R и C
условия баланса точно никогда не выполняются. Разбаланс
моста приводит к следующему. Вблизи частоты 0 его АЧХ
принимает минимальное значение, но не равное нулю. В этой
точке минимума его ФЧХ, в зависимости от знаков разброса
параметров элементов моста, принимает значение либо ноль,
либо . (При балансе моста на частоте 0 ФЧХ имеет скачок от  /2 до /2, стремясь к нулю при  = 0 и  = ).
Такая неопределенность ФЧХ реального моста может привести к нежелательным последствиям. На практике для обеспечения минимальной степени разбаланса моста его питают от
генератора напряжения, близкого к идеальному, нагрузку моста стремят к бесконечности, резистор R3 делают переменным и применяют специальную методику экспериментальной
балансировки моста.
h(t) = 1 –
Задание к п. 3.1.4 (файл Lab86_14.cir)
А) С использованием режима Stepping для резистора R3
изучить и зарисовать АЧХ и ФЧХ моста.
Б) Изучить и зарисовать переходные характеристики моста, полученные при условиях п. А).
В) Нагрузить мост резистором с сопротивлением порядка
3 R3 и повторить исследования по п. А) и Б). Объяснить полу
ченные результаты.
3.2. Активные цепи
39
3.2.1. Построение активных цепей
Выше были выявлены недостатки пассивных цепей:
ослабление сигнала по мощности и малая добротность RCцепей. Эти недостатки можно устранить введением в цепь активных элементов (АЭ). Активные цепи изучаются в курсе
''Радиотехника''. Здесь же упомянем лишь два способа включения АЭ и ограничимся примерами использования в качестве АЭ идеальных операционных усилителей .
Один способ заключается в установке между звеньями
многозвенной пассивной цепи АЭ и большими входными и
малыми выходными сопротивлениями, чем, наряду с усилением мощности сигналов, уменьшают шунтирование предыдущих звеньев последующими звеньями. Другой способ состоит
во введении в пассивную цепь дополнительных сигналов с
выходы АЭ для компенсации части потерь энергии в цепи и
повышения ее добротности (этот способ реализует так называемый принцип обратной связи, изучаемый в курсе ''Радиотехника''.).
Операционные усилители (ОУ) преобразуют энергию источника постоянного напряжения и тока (выпрямителя, батареи, аккумулятора) в энергию используемых сигналов. На
схемах их обозначают, как показано на рис. 11. ОУ имеют
один выход сигнала y(t) и два входа: инвертирующий, обозначаемый кружочком, либо значком минус, и неинверти40
рующий (иногда обозначаемый значком плюс). Знак выходного сигнала совпадает со знаком сигнала на неинвертирующем
входе и противоположен знаку сигнала на инвертирующем
входе. Входные сигналы x1(t) и x2(t) можно подавать на неинвертирующий вход непосредственно, а на инвертирующий
– через импеданс Z1. При этом инвертирующий вход соединяют с выходом ОУ через импеданс Z2. Сигналы x1(t) и
x2(t) можно подавать как совместно, так и по одному. (В последнем случае вход отсутствующего сигнала заземляют).
Идеальный ОУ обладает следующими свойствами. Его
входные сопротивления по обоим входам бесконечны, то есть,
токи в них не втекают. Коэффициент усиления по напряжению
для сигнала, измеряемого непосредственно между неинвертирующим и инвертирующим входами ОУ, вещественен, постоянен в рассматриваемом диапазоне частот и намного превышает единицу. Выходное сопротивление ОУ равно нулю.
При этих условиях справедливы соотношения: в комплексной форме:
Y =  (Z2/Z1) X1 + (Z2/Z1 + 1) X2 ,
(26)
а при условии Z1 = R1, Z2 = R2 во временной форме:
y(t) =  (R2/R1) x1(t) + (R2/R1 + 1) x2(t).
(27).
3.2.2
Фильтр нижних частот
Схема исследуемого активного ФНЧ дана на рис. 12. В
ней первый ОУ разделяет интегрирующую цепь 1-го порядка
и последующую RC-цепь 2-го порядка.
Коэффициент передачи части схемы от точки In до точки Out1 равен K1(p) = K1/(1 + p), где K1 =(R2/R1 + 1) (см.
(27),  = RC. Второй ОУ обеспечивает требуемую мощность
выходного сигнала y(t) и вносит со своего выхода дополнительную энергию в цепь 2-го порядка. Коэффициент передачи
части схемы от точки Out1 до точки Out2 равен K2(p) =
= K2/[1 + (3 – K2) p  + p22], где K2 = (R4/R3 + 1) (см. ( 27 )).
41
При условии R4 = R3 имеем K2 = 2, Q =1 и общий коэффициент передачи всей схемы совпадает с выражением (22) отличаясь от него только множителем K0 = K1 K2. Следовательно, при данном выборе параметров эта схема реализует ФНЧ
Баттерворта 3-го порядка.
Задание к п. 3.2.2. ( файл Lab86_22.cir)
А) Используя выход Out2, изучить и зарисовать АЧХ и
ФЧХ данного фильтра. Измерить его K0(0), fв.
Б) Используя выходы Out1 и Out3, получить и зарисовать в одной системе координат АЧХ ФНЧ 1-го и 3-го порядков. Измерить и сравнить скорости спада этих АЧХ в точке f =
fв.
В) Используя выходы Out1 и Out3, получить и зарисовать ФЧХ ФНЧ 1-го и 3-го порядков.
Г) Используя выходы Out1 и Out3, получить и зарисовать
h(t) ФНЧ 1-го и 3-го порядков. Измерить и сравнить их
tуст и tзад.
3.2.3. Полосовые фильтры
На рис. 13а и рис. 13б приведены схемы изучаемых активных полосовых фильтров звукового и радио диапазонов. У
первого фильтра имеем комплексный коэффициент передачи
K(j) =  K0 j /[1 + 2 j + (j)2]. Связь между параметрами элементов фильтра и величинами K0,  ( Q ),  (0) в
общем виде достаточно громоздка. Для частного случая C1 =
42
= C2 = C имеем 0 = 1/ = 1/RC, K0 = R/R1, Q = R3/(2R) =
=1/2, R2 = R/(2Q – K0). Здесь величины R и C выбирают из
разумных соображений.
У второго фильтра выходной сигнал равен y(t) = (R0/R+1)
x2(t) (см. (27)), где x2(t) – падение напряжения между точками w и z системы из элементов C1, C2, L, r, создаваемое
втекающим в нее током i(t), который вызывается входным
напряжением фильтра x(t). В данном включении ОУ между
точками w и z является источником тока i(t) = x(t)/R. Поэтому полный коэффициент передачи фильтра равен
K(j) = [(Ro+R)/R2) Z(j), где Z(j) – комплексное сопротивление упомянутой LC-системы между точками w и z. Данная система является параллельным LC-контуром с частичным включением.
Для нее имеем:
Z(j) = [(j/(C2))(r+jLj/C1)]/(r+jLj/C1j/C2).
В случае Q  1, характерном для ПФ, знаменатель этого выражения равен r(1+ja) (см. п. 3.1.3., где a – обобщенная частотная расстройка). Кроме того, на частотах, близких к
0 = 1/ LC (где C0 = C1C2/(C1+C2) – полная емкость параллельного контура), числитель Z(j) можно положить
равным (j/0C2)(r+j0Lj/0C1). Если ввести понятие коэффициента включения контура p = C0/C2, равного отношению
падения напряжения на элементе C2 к падению напряжения
на всей емкостной ветви контура (на емкости C0) и учесть, что
на частоте 0 справедливы равенства j0Lj/0C1 = j/0C2,
1/0C0 =  ( – характеристическое сопротивление контура,
Q  1), то можно получить, что Z(j) = p2Q /(1+ja) =
43
= p2Rэ /1+ja). Здесь Rэ – так называемое эквивалентное сопротивление параллельного LC-контура на резонансной частоте при его полном включении (p = 1).
При этом комплексный коэффициент передачи второго
фильтра равен
p 2 Rэ( R0  R)
K0
K(j) = K(ja) =
.
( 28 )

1  ja
R 2 (1  ja)
Для его АЧХ и ФЧХ имеем
K() = K0/ 1  a 2 , () =  arctg(a).
Сравнивая (28) с (23), видим, что АЧХ данного полосового
фильтра совпадает с АЧХ полосового фильтра на LCrчетырехполюснике (п.3.1.3.) и является резонансной кривой.
Сказанное справедливо и в случае частичного включения LCконтура со стороны элемента L, когда p = L1/(L1+L2) = L1/L.
Отметим также следующее. Пусть LC-контур подключен
к ОУ полностью. Если амплитуда тока, втекающего в контур
равна Im, то на резонансной частоте амплитуда напряжения на
контуре равна Um = Im R = ImQ. Тогда амплитуда тока в емкостной ветви контура равна Im = Um/((1/(0C0)) =Um/ = ImQ.
Для индуктивной ветви, пренебрегая сопротивлением r по
сравнению с 0L, получаем аналогичный результат. Следовательно, при Q  1 на резонансной частоте токи в ветвях параллельного контура в Q раз превышают ток, втекающий в
контур. Такой резонанс называют параллельным резонансом
или резонансом токов.
Задание к п. 3.2.3.
А) Используя файл Lab86_23A.cir изучить и зарисовать
АЧХ и ФЧХ полосового RC-фильтра. Измерить его Ko, f0, f.
Б) Изменить параметры RC-фильтра, так чтобы уменьшить величину f в 2 раза без изменения величин K0 и f0.
В) Используя файл Lab86_23B.cir изучить и зарисовать
АЧХ и ФЧХ полосового LC-фильтра для случая полного
44
включения контура при вариации величины Q в пределах 2030 (режим Stepping для параметра r). Измерить величины Ko
и f.
Г) Получить и зарисовать h(t) LC-фильтра при Q = 25.
Д) Исследовать прохождение через LC-фильтр сигнала
вида x(t) =1(t)sin(1t+1) при разных соотношениях между 1
и 0 и величинах 1 = 0 и 1 = /2.
Е) Выполнить задание пункта В) для случая частичного
включения LC-контура.
Ж) При оформлении отчета по работе построить векторную диаграмму всех токов и напряжений для полосового LCфильтра на резонансной частоте (с учетом элемента r).
3.2.4.
Режекторный фильтр
Схема активного режекторного фильтра приведена на
рис. 14. Здесь двойной Т-мост охвачен обратной связью через
ОУ, включенные как усилители мощности с коэффициентом
передачи по напряжению, равному единице. Обратная связь
повышает эквивалентную добротность Q системы. Степень
увеличения Q задается величиной коэффициента передачи
Kp потенциометра Pot. Изучающему предлагается самостоятельно найти выражение для эквивалентной добротности Q
всей системы с учетом формулы (25) для коэффициента передачи моста (стр. п.3.1.4.).
Задание к п. 3.2.4. (файл Lab86_24.cir).
45
А) Используя режим Stepping (варьирование коэффициента передачи потенциометра), исследовать и зарисовать семейство АЧХ фильтра. Для каждой кривой оценить величину
эквивалентной добротности системы.
Б) Используя режим Stepping только для вариации величины резистора R3 моста, изучить влияние расстройки моста
на вид АЧХ и ФЧХ данного фильтра (обратив внимание на
величины коэффициента передачи потенциометра, близких к
единице).
3.2.5.
Регулятор тембра звуковых частот
В данном пункте рассматривается пример регулируемого
активного фильтра, применяемого в звуковой аппаратуре для
подбора желаемого тембра прослушиваемых передач. Схема
данного фильтра приведена на рис. 15. С помощью двух независимых потенциометров устанавливают более или менее
громкое звучание нижних и верхних частот в спектре выходного сигнала по отношению к уровню громкости его средних
частот.
Задание к п. 3.2.5. (файл Lab86_TC.cir).
А) Поочередно включая режим Stepping для вариации
параметров каждого из данного потенциометров, изучить и
зарисовать семейства АЧХ и ФЧХ данного регулятора тембра.
Б) Отключив названную вариацию параметров и устанавливая разные положения движков каждого из потенцио-
46
метров, получить и зарисовать несколько конкретных вариантов выбранной регулировки тембра.
Список литературы
1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. –
М.: Высшая школа, 2000
2. Гоноровский И.С., Демин Радиотехнические цепи и
сигналы. – М.: Радио и связь, 1994.
3. Радиотехнические цепи и сигналы
/
Под ред.
К.А.Самойло. – М.: Радио исвязь, 1982.
4. Джонс М.К. Электроника – практический курс. – .
М.: Постмаркет, 1999.
5. Толстов Ю.Г. Теория линейных электрических цепей.
– М.: Высшая школа, 1978
6. Попов В.П. Основы теории цепей. – М.: Высшая школа, 2000.
7. Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы. ч.1, ч.2. Пер. с
англ. – М.: Мир, 1988.
8. Васильев Д.В., Витоль М.Р., Горшенков Ю.Н. Радиотехничекие цепи и сигналы. М.: Радио и связь, 1982
9. Толстов Ю.Г. Электрические цепи. Метод. Пособие. –
М.: МФТИ, 1971.
47
Лабораторная работа
48