Задания по планиметрии тематически разбиты на десять пунктов

Задания по планиметрии тематически разбиты на десять пунктов. В каждом пункте кратко
изложен необходимый теоретический материал и приведен список заданий.
Заметим, что в теоретических сведениях к решению заданий по первым пяти темам
отсутствуют полностью рисунки. Эти рисунки для наилучшего понимания и запоминания
материала необходимо сделать самостоятельно.
1. Прямоугольный треугольник
Пусть a, b и c – стороны ВС, АС и АВ (для краткости не говорим «длины сторон»)
прямоугольного треугольника АВС , где С = 900. Вспоминаем, что а, b – катеты, а с –
гипотенуза, причем по теореме Пифагора a2 + b2 = c2. Если А = , то имеем равенства:
Sin  = a/c, Cos  = b/c, tg  = a/b и ctg  = b/a. Необходимо научиться , используя эти
равенства, находить неизвестные стороны и углы прямоугольного треугольника, когда
известны одна его сторона и острый угол.
В заданиях 1.1 – 1.3 найдите неизвестные стороны и углы прямоугольного
треугольника АВС (С = 900), если даны d,  и v.
1.1. AB = d, A =  .
1.2. AC = d, CosA = v.
1.3. BC = d, CtgA = v.
При решении задач по этой теме полезно помнить стороны
некоторых
прямоугольных треугольников с целыми сторонами (египетских треугольников): 3k, 4k,
5k (например, при k = 4 имеем прямоугольный треугольник, у которого катеты равны 12
и 16, а гипотенуза – 20), а также 5k, 12k, 13k и 8k, 15k, 17k. И вообще, стороны любого
египетского треугольника, при некоторых натуральных числах m,n,k, где m>n, имеют вид
(m2-n2)k, 2mnk, (m2+n2)k.
При решении следующих заданий желательно вспомнить технику, связанную с
использованием так называемого «ключевого треугольника», то есть треугольника,
данные о котором позволяют находить без труда все его неизвестные стороны и углы. В
частности, прямоугольный треугольник будет ключевым, если нам даны, например, две
его стороны либо сторона и острый угол.
В заданиях 1.4 – 1.5 найдите неизвестные стороны «ключевого» прямоугольного
треугольника АВС (С = 900).
1.4. AC = 16, CosA = 8/17.
1.5. BC = 21, SinB = 24/25.
В заданиях 1.6 – 1.8 требуется найти сторону прямоугольного треугольника, в
котором не хватает сведений о его компонентах (сторонах или углах). Чтобы решить
задание, найдите ключевой треугольник и определите с помощью него недостающую для
исходного прямоугольного треугольника компоненту.
1.6. Высота ВD прямоугольного треугольника АВС, опущенная на гипотенузу , равна
12 и SinA = 3/5. Найдите гипотенузу.
1.7. Катет ВС прямоугольного треугольника АВС (С = 900) равен 15 и tgA = 3/4 .
Найдите высоту, опущенную на гипотенузу.
1.8. В прямоугольном треугольнике АВС точка D лежит на катете АВ, причем
расстояние от нее до гипотенузы равно расстоянию до вершины А и равно 3 . Найдите
катет АС, если В = 300.
Пусть в прямоугольном треугольнике а, b – катеты, с – гипотенуза, h – высота,
опущенная на гипотенузу, ca и cb – соответствующие проекции катетов а и b на
гипотенузу.
Оказывается, учитывая теорему Пифагора и равенства h2 = ca cb, a2 = ca c, b2 = cb c, мы
можем по двум из шести отрезков а, b, c, h, ca, cb всегда определить остальные четыре.
Если, зная два отрезка, не получается сразу применить теорему Пифагора или одно из
этих равенств, то удобно взять за неизвестную х отрезок ca (или cb), а затем с помощью
одного из трех равенств составить квадратное уравнение относительно х . Используя эту
идею, решите задания 1.9 – 1.10.
1.9. Точка D – основание высоты, опущенной на гипотенузу АВ прямоугольного
треугольника АВС. Найдите АС, если AD = 3 и BD = 9.
1.10. Найдите меньший катет прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза
равна 169, а высота, опущенная на нее, равна 60.
2. Теоремы синусов и косинусов
Пусть АВС – произвольный (не обязательно прямоугольный) треугольник, ВС = a,
AC = b, AB = c, A = , B =  и C =  . Тогда выполняются следующие равенства:
a
b
c
(теорема синусов);
c 2  a 2  b 2  2ab Cos (теорема косинусов).


Sin Sin Sin
Теорему синусов удобно применять в том случае, когда в треугольнике известны:
1) одна сторона и два угла (третий угол легко находится) либо 2) две стороны и угол, не
лежащий между ними. Теорема косинусов хорошо работает, когда в треугольнике
известны две стороны, а также третья сторона либо какой-то угол (в последнем случае
третью сторону берем за х и, используя равенство, составляем квадратное уравнение
относительно х). Следует отметить, что информация о косинусе угла треугольника
предпочтительней, чем информация о его синусе, так как синус не различает острые и
тупые углы
(Sin 300 = Sin 1500 ). Поэтому, если использована теорема синусов для
нахождения угла, не забывайте рассмотреть случай остроугольного и случай
a2  b2  c2
тупоугольного треугольников. Полезно знать формулу Сos 
, легко
2ab
выводимую из равенства в теореме косинусов. Например, если мы найдем косинус
наибольшего угла треугольника (угла против большей стороны), то по его знаку можно
определить вид треугольника ( остроугольный – при положительном косинусе,
тупоугольный – при отрицательном и прямоугольный – в случае равенства косинуса
нулю). Замечаем, что синус любого угла треугольника всегда положителен, а косинус нет.
Поэтому для внутреннего угла  треугольника имеем равенства:
Sin   1  Cos 2
и
Cos  1  Sin 2 при   900, Cos   1  Sin 2 при  >900. Теперь можно переходить к
решению заданий 2.1 – 2.5.
2.1. Найдите в градусах наибольший угол треугольника со сторонами 3, 5 и 7.
2.2. В треугольнике АВС угол А тупой, SinA = 15 / 4 , АВ = 2 и АС = 3. Найти ВС.
2.3. В треугольнике АВС известно, что АС = 3, SinB = 6/11 и CosC = 21 / 11 .
Найдите сторону АВ.
2.4. Найдите в градусах угол С треугольника АВС, если АВ = 5, АС =1 и CosА = 0,8.
2.5. Найдите сторону ВС треугольника АВС, если АВ = 7, АС = 9 и SinA = 8 5 / 21 .
3. Площадь треугольника
aha
,
2
где ha – высота треугольника, опущенная на сторону а. Важность этой формулы
заключается в том, что в отличии от многих других по этой формуле можно найти
площадь треугольника, имея информацию только о двух его компонентах (стороне и
высоте). Из этой формулы, в частности, следует, что площадь прямоугольного
треугольника равна половине произведения его катетов. Зная две стороны а и b
ab Sin 
треугольника, а также угол  между ними, площадь находится по формуле S 
.
2
Если же известны все три стороны а , b и с, то по формуле Герона имеем
S  p( p  a) p  b) p  c) , где р – полупериметр треугольника. Полезными могут
оказаться также формулы и не встречающиеся в школьном учебнике:
Для нахождения площади треугольника самой важной является формула S 
a 2 Sin Sin
, где  и  - углы треугольника, прилежащие к его стороне а и также
2Sin (   )
1
S
4a 2 b 2  (a 2  b 2  c 2 ) 2 – аналог формулы Герона (известны все три стороны).
4
Можно переходить к решению заданий 3.1 – 3.5.
3.1. Найдите площадь треугольника со сторонами 5 , 13 и 4.
3.2. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 4 и 5, а косинус
угла между ними равен 0,6.
3.3. Найдите площадь тупоугольного равнобедренного треугольника, у которого две
высоты равны 15 и 24.
3.4. Найдите площадь треугольника АВС, у которого АС = 4 и для некоторой точки
D, лежащей на стороне АС, выполняются условия: BD = 5 и CosBDC = 0,8.
3.5. Найдите площадь треугольника АВС, у которого АВ = 13, ВС = 15 и tgC =4/3.
S
4. Высоты, медианы и биссектрисы треугольника
Известно, что прямые, проходящие через высоты треугольника, пересекаются в
одной и той же точке, называемой ортоцентром. Оказывается, что ортоцентр является
центром окружности, описанной около другого треугольника, стороны которого проходят
через вершины данного треугольника, параллельно противолежащим его сторонам
(докажите это высказывание самостоятельно с обязательным построением
соответствующего чертежа. Напоминаем, что центр описанной окружности около
треугольника совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров к его
сторонам). Высоты ha, hb и hc, опущенные соответственно на стороны a, b и c
треугольника, могут быть найдены из равенств: ha = 2S / a, hb = 2S / b и hc = 2S / c, где S
– площадь треугольника. Откуда замечаем, что высоты по длине обратно
пропорциональны сторонам, на которые опущены, то есть чем больше сторона
треугольника, тем меньше опущенная на нее высота.
Медианы треугольника (отрезки, соединяющие вершины с серединами
противолежащих сторон) пересекаются в одной и той же точке, которая делит каждую из
них в отношении 2:1, считая от вершины. Эту точку обычно называют центром масс
треугольника (если в вершинах треугольника расположить гири одинаковой массы, то
центр масс этой системы трех гирь будет располагаться в точке пересечения медиан).
Для решения задач бывает полезным соображение о том, что в любом треугольнике АВС
для любой точки D стороны АС площади треугольников АВD и CBD относятся как
AD:CD (докажите самостоятельно). Из этого факта непосредственно следует, что
медиана разрезает треугольник на два равновеликих (равных по площади) треугольника.
Оказывается, что, зная стороны треугольника a, b и с, его медиана тс , проведенная к
1
2a 2  2b 2  c 2 .
стороне с, может быть найдена по формуле mc 
2
Биссектрисы (внутренних углов) треугольника пересекаются в одной и той же точке,
которая является центром вписанной в него окружности. Пусть CL – биссектриса
треугольника АВС, то есть точка L лежит на стороне АB и  ACL =  BCL .
Положим BC = a, AC = b, AL = cb , BL = ca и CL = lc . Имеют место следующие
равенства:
ab(a  b  c)( a  b  c)
a / b = ca / cb , lc = ab  ca cb и lc 
.
ab
Замечаем, что приведенные ранее формулы в пунктах 2 – 4 позволяют по известным
трем сторонам треугольника легко находить его углы, площадь, высоты, медианы и
биссектрисы. Поэтому в затруднительной ситуации при решении задачи по этой теме,
имея «ключевой» треугольник (то есть треугольник, в котором, например, известны две
его стороны и угол между ними или сторона и два прилежащих к ней угла), удобно,
используя теорему синусов или теорему косинусов, определить третью сторону и затем
воспользоваться указанными формулами пунктов 2 – 4 . Теперь можно переходить к
решению заданий 4.1 – 4.5.
4.1. В треугольнике со сторонами 1, 3 и 2 найдите в градусах угол между высотой
и медианой, проведенными из вершины наибольшего угла.
4.2. Найдите в градусах угол между высотой и биссектрисой, проведенными из
вершины наименьшего угла в треугольнике со сторонами 16, 21 и 35.
4.3. Найдите медиану равнобедренного треугольника АВС с основанием АС,
проведенную на боковую сторону, если АВ = 4 и АС = 10 .
4.4. Найдите биссектрису угла А треугольника АВС, у которого АВ = 15, АС = 12 и
CosA = 1 / 8 .
4.5. Биссектриса угла А треугольника АВС пересекает в середине его медиану,
проведенную из вершины В. Найдите в градусах угол В, если SinC = 3 / 4 .
5. Вписанная и описанная окружности треугольника
Во всякий треугольник можно вписать и притом только одну окружность (то есть
окружность, касающуюся всех трех его сторон), причем ее центр, как было замечено
ранее, совпадает с точкой пересечения биссектрис внутренних углов треугольника.
Радиус r вписанной окружности в треугольник с площадью S и полупериметром р можно
найти по формуле r = S / p (кстати, зная полупериметр и радиус вписанной окружности,
можно также найти площадь треугольника). Это основная формула для нахождения
радиуса вписанной окружности не только в треугольник, но и в любой многоугольник, в
который окружность можно вписать.
Известно, что около любого треугольника можно описать и притом единственную
окружность (то есть окружность, проходящую через все три его вершины), причем ее
центр совпадает с точкой пересечений серединных перпендикуляров к сторонам
треугольника. Для нахождения радиуса R описанной окружности желательно знать
a
abc
следующие две формулы: R =
и R
, где S – площадь треугольника, a, b и c –
4S
2 Sin
его стороны,  - угол против стороны а . Отметим, что вторая формула в отличие от
первой позволяет найти радиус описанной окружности по двум компонентам (по стороне
и по синусу противолежащего угла) и поэтому является более важной.
Реже
2
применяемой, но, тем не менее, полезной является формула S = 2 R Sin Sin Sin ,
связывающая этот радиус с площадью и тремя углами треугольника.
В заключении отметим, что некоторые формулы, на первый взгляд легко выводимые
из рассмотренных выше, в случае правильного (равностороннего) или прямоугольного
треугольника все же желательно выучить наизусть. К таким формулам относятся:
a2 3
a 3
a
a
S
,hml 
,R
,r
для правильного треугольника со стороной а;
4
2
3
2 3
ab
c
ab
abc
S
, mc  R  , r 

для прямоугольного треугольника с катетами
2
2
abc
2
а,b и гипотенузой с.
Можно переходить к решению заданий 5.1 – 5.5.
5.1. Около равностороннего треугольника описана окружность радиуса 4 39 / 3 .
Точка D лежит на стороне АС и делит ее в отношении 1 : 3, считая от вершины А. Найдите
длину отрезка BD .
5.2. Медиана, проведенная из вершины прямого угла треугольника, равна 3, а радиус
вписанной в него окружности равен 1. Найдите периметр этого треугольника.
5.3. В равнобедренный треугольник АВС с основанием АС вписана окружность
радиуса 2 21 , пересекающая высоту BD в точке Е . Точка Е делит отрезок BD в
отношении 3 : 4, считая от конца В. Найдите полупериметр треугольника АВС.
5.4. Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом при основании в 150,
если радиус описанной около него окружности равен 6  2 .
5.5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, у которого высота,
проведенная из вершины В, равна 15, а также известно, что SinA = 3/5 и SinC = 15/17 .