Великая тайна пифагорейцев. Научно
advertisement
Научно-практическая конференция на тему: Цель: попытаться разгадать тайну, которую бдительно скрывали и хранили пифагорейцы. Идея: благодаря открытию несоизмеримости (иррациональности) человечество приблизилось к тайне гармонии, истины и добра, мир стал парадоксальней, загадочней и прекрасней. Главные вопросы 1.Какую роль в жизни пифагорейцев сыграли иррациональные числа? 2.Как повлияла проблема несоизмеримости на духовную жизнь пифагорейцев? 3. Актуальна ли проблема несоизмеримости в наши дни? Основные понятия, космос - хаос (порядок - беспорядок); гармония дисгармония; предел - беспредельное - синтез; рациональное - иррациональное; периодическое - непериодическое; соизмеримое - несоизмеримое. Число докладчиков-исследователей - 7 человек. Источники 1.Аристотель. Сочинения в 4-х т. - М.: Мысль, 1984. 2.Волошинов А.В. Пифагор: союз истины, добра и красоты. - М.: Просвещение, 1993. 3. Волошинов А.В. Математика и искусство. - М.: Просвещение, 1992. 4.Доддс Э.Р. Греки и иррациональное. - СПб.: Але-тейя, 2000. 5. Лаэртский Д. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов. - М.: Мысль, 1986. 6.Лосев А.Ф. Ранняя классика. - М.: Ладомир, 1994. 7. Платон. Собр. соч. в 4-х т. - М.: Мысль, 1990-1994. 8.Фрагменты ранних древнегреческих философов. - М.: Наука, 1989. Доклады - исследования учеников 1. Космос и хаос Чтобы подойти к тайне несоизмеримости и понять, как ее решали пифагорейцы, необходимо выяснить, во-первых, какой смысл они вкладывали в понятие «число», а во-вторых, как понимать, что «все есть число». В основе античного способа осмысления мира лежат два понятия — «форма» и «хаос». Пифагорейцы одними из первых в борьбе с «хаосом» сделали грандиозную попытку упорядочить мир, сделать его осмысленным, удобным для понимания человеком. В этом им помогло число. После долгих, напряженных лет учебы и размышлений Пифагор заявил, что «все есть число». Пифагор говорил не о потенциальной возможности измерить с помощью чисел предметы окружающего мира каким-либо измерительным прибором. Он говорил буквально — «все есть число». Даже душа для пифагорейцев есть число. Как можно истолковать слова Пифагора? Возможно, подсказкой нам послужит другая мысль пифагорейцев — «Предел и беспредельное вместе создают число». А вот как говорит о том же самом знаменитый древнегреческий мыслитель Платон: «Древние, бывшие лучше нас и обитавшие ближе к богам, передали нам сказание, гласившее, что все, о чем говорится как о вечно сущем, состоит из единства и множества и заключает в себе сросшиеся воедино предел и беспредельное». Оказывается, каждый раз, рисуя числовую прямую, мы воспроизводим то, о чем говорили Пифагор и Платон. Сначала мы чертим прямую — беспредельное, потом отмечаем начало координат — первый предел и только после этого откладываем первое число. Теперь можно догадаться, почему пифагорейцы обожествляли единицу. Вот что сообщает источник: «Начало (архэ) всех вещей — единица (монада), а из единицы возникла неопределенная двоица (диада), которая относится к единице как материя к творящей причине» (Аристотель). Таким образом, все начинается с единицы. Только с этого момента мы можем работать с числовой прямой: обозначать числа, сравнивать их и т.д. Вспомним еще, что именно единица является образом целого. Все «вещи» мира имеют целостную природу, поэтому они гармоничны и прекрасны. Итак, мир начинается не с беспредельного хаоса, не с какого-то изолированного, замкнутого предела, а с их синтеза. Но то, как возникает этот синтез, осталось для пифагорейцев загадкой. Вот что говорят источники по этому поводу: «Допускают ли пифагорейцы возникновение или не допускают — на этот счет не может быть никаких сомнений: они ясно говорят, что когда составилось Одно - то ли из плоскостей, то ли из поверхности, то ли из семени, то ли сами не знают из чего, — тотчас же стали втягиваться ближайшие части Безграничного и ограничиваться границей» (Аристотель). И только после открытия единицы, или целого, мы начинаем измерять и понимать окружающий мир. Другими словами, число — это форма, которая придает беспредельному «хаосу» определенный вид. Кстати сказать, все мыслители Древней Греции упорядочивали «хаос» с помощью изобретаемых ими тех или иных конструкций и форм. Знаменитая греческая мифология также, но уже посредством мифов, объясняла мир и то, что в нем происходит. Философ А.Ф.Лосев считал, что древнегреческая культура достигла огромных высот благодаря тому, что античное мышление было пластичным: «Красота, в представлении греков, — порождение пластического сознания, пластического и по форме, т.е. по стилю, и по содержанию». Числа греки также не воспринимали абстрактно, как мы сейчас. Для них они были скульптурными изваяниями, пластичными, таинственными, даже живыми. Теперь становится ясно, почему пифагорейцы называли число «первым образом творения мира». Именно число приводит Космос, или Вселенную, в гармонию и порядок. Вопросы к аудитории 1.Как вы думаете, изначально мир упорядочен или хаотичен? 2.Кто (что) упорядочивает окружающий мир? 3.Где пифагорейцы могли обнаружить «хаос»? Для чего они ввели понятие «космос»? 4.Что дало Пифагору основание заявить, что Вселенная есть «порядок», т.е. есть «число»? 5.Как вы считаете, почему греки обожествляли Единицу (Монаду, Единое)? 6.Можно ли единицу сравнить с «началом начал», с чем-то божественным? 2. Телесное число Пифагорейцы утверждали, что числа телесны. Аристотель писал: «Они полагают числа реальными вещами; так, они прилагают математические абстракции к телам, как если бы числа были телесными (протяженными)». Однако может ли число быть телесным? Начнем с более простого вопроса: можно ли пощупать прямую, точку, прямоугольник? Как показывает практика, многие ребята в вырезанной из бумаги фигуре, имеющей форму прямоугольника, видят прямоугольник. Но можно ли подержать прямоугольник в руке? По-видимому, они, как и греки, не «ощущают» двумерную фигуру, наделяя ее третьим измерением, им на миг кажется, что прямоугольник «телесен». Согласитесь: трудно признать существующим то, что невозможно подержать в руках, пощупать, осязать! Так и числа пифагорейцы считали телесными и фигурными. Кстати, они не знали нуля именно потому, что его невозможно было «увидеть» и «осязать». От пифагорейцев пришли к нам названия «квадрат числа», «куб числа». Но степеней с показателем больше трех греки не знали, поскольку не могли придать им какой-либо геометрический смысл. Не случайно древние греки создали непревзойденные образцы искусства — скульптуры и архитектуры, их гениальные произведения отличают изумительная телесность и пластичность. Но Пифагор пошел дальше и свел все многообразие телесных фигур к пяти фигурам. Приведем два свидетельства. «Пифагор открыл теорию иррациональных и конструкцию космических фигур (правильных многогранников)» (Прокл). «Пифагор говорит, что есть пять телесных фигур, которые называются также математическими: из куба возникла земля, из пирамиды — огонь, из октаэдра — воздух, из икосаэдра — вода, из додекаэдра — сфера вселенной» (пифагореец). Казалось бы, это причуда одного лишь Пифагора, но вспомним художников - «кубистов», которые спустя 2500 лет конструировали свои образы из куба, пирамиды и других фигур. Значит, это была не только причуда, но и великое прозрение. А с чего начинают осваивать азы мастерства юные художники? Сначала они учатся рисовать куб, шар, пирамиду, конус и т.д. и только потом изображают реальные вещи из окружающего мира. Итак, для пифагорейцев весь мир представлялся живым, гармоничным и телесным. Такими же они представляли себе и числа. Именно благодаря пифагорейцам главными признаками античной культуры стали считать телесность и пластичность. Число может быть «живым» и «телесным», если с его помощью мир оживает и делается понятным. Вопросы к аудитории 1. Почему для греков число «телесно», «протяженно»? 2. Почему мы говорим «квадрат числа» и «куб числа»? 3. Поняли бы нас греки, если бы мы предложили им следующие числа: четвертая степень числа, пятая степень числа и т.д.? 4. Почему древние греки стремились создать геометрическую алгебру? 5. Как вы думаете, повлияли ли геометрические представления древних греков на создание архитектурных и скульптурных произведений того времени? Какие «античные мотивы» можно обнаружить в произведениях культуры более поздних веков? 3. Рациональное число Ранее было показано, какую роль для пифагорейцев играла единица, как они понимали числа и «ощущали» их. Теперь есть смысл исследовать те числа, которые пифагорейцы разрабатывали до открытия иррациональных чисел, т.е. рациональные числа. И здесь пифагорейцы решали следующую проблему: легко ли в «хаосе» найти рациональное число? Какие свойства и признаки рационального числа можно выделить? Любое рациональное число можно представить как отношение целого числа и натурального, для греков — отношение натуральных чисел, так как отрицательных чисел они не знали. Любую обыкновенную дробь можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби, т.е. всегда можно выявить период. И наоборот: любую бесконечную десятичную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби. Иными словами, любое рациональное число предсказуемо: мы всегда сможем заранее сказать, какую цифру получим после запятой через некоторое число шагов (цифр). Однако если рациональное число предсказуемо, то это не означает, что оно не несет в себе тайны... Мы привыкли относиться к числам, как к чему-то обычному, естественному, утилитарному. Но в древности отношение к ним было иным. Числа считались священными, магическими, божественными. Отголоски такого отношения дошли до нашего времени. Для древних греков само возникновение числа было чудом. И вот почему. Если попытаться воссоздать ситуацию обнаружения («зарождения») числа, то мы столкнемся с большими трудностями. Как, например, можно задать, выявить рациональное число? Многие ответят, что очень просто: произнести его название, записать число с помощью цифр или отложить на числовой прямой. Воспроизведем ситуацию возникновения числа на прямой, но только в замедленном режиме, продумывая каждый свой шаг, как это сделали бы пифагорейцы. (Ведь часто спеша и пропуская проблемные вопросы, мы упускаем чудеса, которыми наполнена наша жизнь.) Прежде уточним: как на числовой прямой отложить рациональное число? Какая проблема при этом возникает? Ну, хотя бы такая... Мы знаем, что прямая состоит из множества точек (хотя и здесь возникает вопрос: как из нульмерных точек складывается одномерная фигура?). Как же на прямой «поймать», зафиксировать, выбрать из бесконечного множества однуединственную точку? Жизненный опыт подсказывает: чтобы что-то найти, нужно на что-то ориентироваться, правильно? Но на что мы будем ориентироваться в данном случае? Здесь мы, основываясь на школьных знаниях, воспроизвели трудность, которую разрешали пифагорейцы в процессе «открытия» рациональных чисел. Допустим, начальная точка уже отмечена. Возникает новая проблема: имеет ли точка на прямой соседнюю точку? Оказывается, что нет, так как всегда можно указать более близкую по месторасположению точку. Так на что все-таки ориентироваться? Или просто ставить засечки, как мы это обычно делаем, и все? Так вот, для пифагорейцев возникновение числа было сопряжено с чудом. Вдруг из небытия, из хаоса возникала форма — число и «упорядочивала» мир. Таким образом, рациональное число хотя и «предсказуемо», но (как и любое число) несет в себе вечную загадку своего возникновения. Надо отдать должное древним грекам: все указанные проблемы они тщательно продумывали и ставили кучу вопросов там, где мы их уже не видим. И вслед за этой беспроблемностъю из мира ушли тайна, загадка, чудо. Вопросы к аудитории 1.Какие свойства и признаки рационального числа вы знаете? 2.Как можно задать рациональное число? 3.Что такое «ноль»? 4.Как на числовой прямой отложить рациональное число? 5.Как на прямой «поймать» фиксированную точку, учитывая, что прямая состоит из бесконечного множества точек? 4. Иррациональное число И вот здесь наше исследование подходит к самому главному. Что же произошло, когда пифагорейцы открыли иррациональные числа и в чем состоит суть проблемы несоизмеримости? Через некоторое время пифагорейцы столкнулись с числами, о которых ничего не знали. Очевидцы-современники, жившие в ту эпоху, говорят, что при встрече с этими загадочными числами пифагорейцев охватил ужас. Почему? На первой стадии познания мира пифагорейцы считали, что все знания можно выразить через рациональные числа. Однако некоторое время спустя они столкнулись с тем фактом, что есть числа, которые невозможно представить как отношение натуральных чисел. И это привело их в ужас! Неужели в основании мира лежит что-то непредсказуемое, неустойчивое, иррациональное (от лат. irrationalis — неразумный)? Можно попытаться смоделировать ситуацию, в которой пифагорейцы впервые столкнулись с иррациональным числом. Это могло произойти, например, когда они находили отношение длины окружности к диаметру, искали длину диагонали прямоугольника или длину гипотенузы прямоугольного треугольника. Теперь, воспользовавшись циркулем и линейкой, попробуем «поймать» на числовом луче иррациональное число, например 5 . Для этого подберем натуральные числа, сумма квадратов которых равна 5 (22 + 12 = 5). Далее начертим прямоугольный треугольник с катетами, равными 1 и 2, и затем с помощью циркуля отложим точку, которая и будет соответствовать длине гипотенузы — 5 . с 2 2 12 5 Для того чтобы отложить на числовом луче 6 , нужно начертить прямоугольный треугольник с катетами 2 и 2 . При этом отрезок длиной 2 получается как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами, равными 1 и 1. Так, используя описанный алгоритм, мы сможем отметить числа 7, 8, 10 и т.д. Однако точно отложить на координатной прямой можно не все иррациональные числа. Например, пользуясь инструментами, нельзя отметить самое знаменитое иррациональное число π (π ≈ 3,1415926...). Отсюда и невозможность решения каверзной древнегреческой задачи о квадратуре круга. Открытие несоизмеримости разрушило стройную научную систему пифагорейцев, ибо уже такой простой геометрический объект, как диагональ квадрата со стороной, равной 1, не могла быть измерена известными им числами — натуральными числами и их отношениями. Ужас перед иррациональными числами был столь велик, что пифагорейцы решили скрыть от человечества свое открытие, дабы ктонибудь не воспользовался им во зло. Можно предположить, что малосведущие люди могли решить: все, что происходит в мире, хаотично и непредсказуемо, а значит, точные науки отменяются, мораль отменяется — да здравствует анархия! Вот почему знать тайну несоизмеримости могли только посвященные. Знания, возникавшие и разрабатывавшиеся в среде посвященных, были закрытыми для остальных людей. Орден пифагорейцев был строго засекреченной организацией: знания не записывались и не разглашались. За «утечку» информации нерадивые пифагорейцы строго наказывались и даже изгонялись из ордена. Но через некоторое время нашелся человек, который разгласил священную тайну пифагорейцев. Можно представить себе, какое смятение царило в священном ордене... Что же с этим человеком произошло? Обратимся к источнику: «Как сообщают, к тому, кто первым открыл недостойным посвящение в учение природы соизмеримости и несоизмеримости, пифагорейцы прониклись такой ненавистью и отвращением, что не только изгнали его из своего общества и общежития, но и соорудили ему гробницу в знак того, что они считают своего бывшего товарища ушедшим из жизни» (Ямвлих). Таким образом, открытая пифагорейцами проблема несоизмеримости заключалась в том, что гипотенуза прямоугольного треугольника при соответствующих длинах его сторон является конечной фигурой — отрезком и при этом величина отрезка выражается бесконечной десятичной непериодической дробью, которую нельзя было представить в виде отношения натуральных чисел. Мы узнали, какую священную тайну хранили пифагорейцы. Но действительно ли узнали? Оказывается, мало узнать о тайне некоторую информацию, нужно почувствовать тайну сердцем. Поэтому, наверное, зря беспокоились пифагорейцы... Многие люди до сих пор не понимают, что же произошло в те далекие времена. Вопросы к аудитории 1.В чем главное отличие рациональных чисел от иррациональных? 2.Почему открытие иррациональных чисел привело древних греков в ужас? 3.Как на числовой прямой отложить иррациональное число, например 4.Всегда ли гипотенуза прямоугольного треугольника 7? выражается иррациональным числом? 5.Как вы думаете, почему некоторые пифагорейцы говорили, что иррациональные числа «любят прятаться»? 6.Как вы думаете, почему пифагорейцы скрывали теорию иррациональных чисел и (по легенде) прокляли того, кто первым поведал о них миру? 5. Теорема Пифагора и ее смысл Как же пифагорейцы попытались частично или полностью разрешить проблему несоизмеримости? Получилось ли у них? Какова была в этом роль теоремы Пифагора? Древние источники сообщают: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Читая исследователей старины, можно узнать, что они приписывают эту теорему Пифагору и утверждают, что в благодарность за ее открытие он принес богам быка» (Прокл). Действительно, а в чем смысл теоремы Пифагора помимо того, что она устанавливает связь между длинами сторон в прямоугольном треугольнике? Как мы помним, вполне возможно, именно благодаря прямоугольному треугольнику пифагорейцы столкнулись с иррациональными числами. Но разрешает ли теорема проблему несоизмеримости хотя бы частично? На наш взгляд, разрешает, но только геометрически. Чертеж прямоугольного треугольника, длины катетов которого выражаются соответствующими числами, наглядно демонстрирует сосуществование рационального и иррационального: длина отрезка, выраженная иррациональным числом, сосуществует с площадью квадрата, которая всегда выражается рациональным числом. Здесь мы можем говорить о загадочном синтезе, упоминавшемся ранее. Более того, «иррациональная длина» гипотенузы как бы нейтрализуется «рациональной площадью» квадрата, построенного на ней как на стороне, например S 5 2 5. Кстати, именно из-за проблемы несоизмеримости древние греки избегали длинных алгебраических вычислений. А алгебру, которая в силу своего статуса оперирует любыми числами, старались свести к геометрии со свойственной ей наглядностью. Именно пифагорейцы, научным кредо которых был тезис «Все есть число», отчасти отвернулись от чисел и перешли к изучению фигур. Предположим ход их мысли: если встреча с иррациональным неизбежна, то пусть эта иррациональность выражается отрезком, фигурой, т.е. тем, что можно охватить взглядом, но только не «зыбким», как мы сказали бы сегодня числом, дробная часть которого уходит в непредсказуемую бесконечность. Как же древние греки доказывали теорему Пифагора? Все древние доказательства теоремы были геометрическими. Геометрические фигуры помогали обойти трудные проблемы. Например, чтобы избежать встречи с иррациональным числом, достаточно было решить задачу с помощью квадратов. Итак, смысл теоремы Пифагора (помимо того, что она устанавливает связь между длинами сторон в прямоугольном треугольнике) заключается в том, что она разрешает проблему несоизмеримости, но только геометрически. Теорему легко доказать без привлечения иррациональных чисел. В этой идее состояла гениальная прозорливость пифагорейцев. Чертеж прямоугольного треугольника с таинственной гипотенузой наглядно демонстрирует возможность совместимости рационального и иррационального. Как показывает история искусства, самые прекрасные творения рук человеческих всегда исходят из гармоничного союза рационального и иррационального. Но можно ли этот союз зафиксировать формулой? Оказывается, можно, но это — тема нашего следующего исследования. Вопросы к аудитории 1.Как удалось совместить рациональное и иррациональное Пифагору? 2.Можно ли совместить конечное и бесконечное с помощью гипотенузы прямоугольного треугольника? 3.Как бы доказали теорему Пифагора древние греки и сам Пифагор, если числа для них были «телесными», «осязаемыми»? 4.Почему почти все древние доказательства теоремы Пифагора были геометрическими? 6. Влияние открытия пифагорейцев на их мировоззрение Повлияла ли пифагорейцев? На проблема наш несоизмеримости взгляд, повлияла, на более мировоззрение того, повлияла принципиально. Источник сообщает: «По пифагорейскому преданию первый, кто обнародовал теорию иррациональных, потерпел кораблекрушение. Вероятно, они аллегорически намекали на то, что все иррациональное во всей вселенной, поскольку оно иррационально и безобразно, любит прятаться, и всякая душа, которая приблизится к такому виду жизни и сделает его доступным и явным, низвергается в море рождения, и омывается его зыбкими потоками. С таким благоговением относились пифагорейцы к теории иррациональных» (Прокл). Таким образом, можно сказать, что, встретившись с иррациональными числами, пифагорейцы словно испытали второе рождение — не физическое, а духовное. Их души рождались из хаоса небытия, они стали другими людьми — посвященными. О самом Пифагоре источники говорят, что благодаря своим познаниям он стал отличать себя от людей, которые не обладали подобными знаниями. «Аристотель сообщает, что пифагорейцы хранили в строжайшей тайне следующее разделение; разумные живые существа подразделяются на три вида: бог, человек и существо, подобное Пифагору» (Ямвлих). «А между тем, как мы сказали, причины и начала, которые полагают пифагорейцы, достаточны для восхождения и на более высокий уровень бытия и даже больше подходят для этого, чем для рассуждений о природе. Каким же все-таки образом возможно движение, когда в основу положены предел и беспредельное, нечетное и четное — на сей счет они ничего не говорят...» (Аристотель). Итак, благодаря своей мудрости пифагорейцы, вероятнее всего, испытывали духовное рождение, т.е. восходили «на более высокий уровень бытия» и чувствовали себя ближе к богам, чем все остальные люди. Но это, можно предположить, была не гордыня, а достигнутое собственными усилиями чувство собственного достоинства. Пифагорейцы в Древней Греции пользовались особым уважением, а их творчество повлияло на многих выдающихся деятелей той эпохи: на Евклида, Платона, Аристотеля, Плотина и др. О том, что пифагорейцы были достойными людьми, свидетельствуют следующие высказывания их самих и их современников: «Мудрецы говорят, что и небо, и земля, и боги, и люди связаны в одно целое общностью, дружбой, благочинием, целомудрием и справедливостью. И именно поэтому, друг мой, они называют весь этот видимый мир «космосом» (порядком), а не акосмией (беспорядком) и распущенностью» (Платон). «Лжи же вовсе не принимает в себя природа числа и гармонии. Ибо ложь им чужда, ложь и зависть присущи природе беспредельного, бессмысленного, неразумного. Ложь же никоим образом не входит в число. Ибо ложь враждебна и противна природе его, истина же родственна числу и неразрывно связана с ним с самого начала» (Филолай). «Говорят, что душа есть некая гармония, ибо гармония есть смесь и соединение противоположностей, и тело состоит из противоположностей» (Аристотель). Можно предположить, что интеллектуальные и духовные прозрения пифагорейцев влияют и на мировоззрение современного человека, если он упорно и последовательно проделывает тот же путь, что проделали пифагорейцы 2500 лет назад. В этом смысле их наследие бессмертно. Вопросы к аудитории 1.Как вы думаете, что имел в виду Прокл, говоря: приблизившись к иррациональному, душа «низвергается в море рождения»? 2.Как вы понимаете фразу «Все рождается из числа»? 3.Как вы думаете, почему Пифагор отличал себя от богов и обычных людей? 4.Великий древнегреческий мыслитель Сократ говорил о «втором рождении человека». Можно ли сказать, что, создав свой мир, Пифагор «родился заново»? 5.Должны ли и мы создавать «свои» миры? Какие понятия помогут нам в таком важном деле? 7. Заключение Так в чем же состояла великая тайна пифагорейцев? Возможно, в том, что число, красота, жизнь есть синтез предела и беспредельного, рационального и иррационального, соизмеримого и несоизмеримого! Трудно выразить тайну словами, да, может быть, и не нужно. Ведь тайна живет только тогда, когда мы относимся к ней искренно и благоговейно. Однако если подводить итог более «строго», то следует сказать, что пифагорейцы одними из первых столкнулись с чудом зарождения числа, с «ужасом» иррациональной бесконечности, проблемой несоизмеримости и, на наш взгляд, достаточно удачно для своего времени разрешили их средствами теоремы Пифагора. Благодаря открытию несоизмеримости (иррациональности) человечество приблизилось к тайне гармонии, истины и добра, а мир стал парадоксальнее, загадочнее и прекраснее. Завершим нашу конференцию следующей притчевой миниатюрой, которая является своеобразным «итоговым сгустком» наших исследований. Гармония рационального и иррационального Каждый пытливый и любознательный человек рано или поздно приходит к выводу, что тайну вечной юности истины, добра и красоты охраняет гармония рационального и иррационального, соизмеримого и несоизмеримого, предсказуемого и непредсказуемого, упорядоченного и хаотического. Одними из первых с этой тайной столкнулись пифагорейцы. На первых порах лик этой тайны привел их в ужас, так как в нем явно просматривалось нечто иррациональное и непредсказуемое. Пифагор выстроил на сторонах прямоугольного треугольника квадраты и доказал, что площадь квадрата, выстроенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, выстроенных на катетах. Тем самым он не просто доказал истину, но и убедительно, наглядно продемонстрировал, что проблема несоизмеримости разрешается даже в обычном прямоугольном треугольнике: рациональное и иррациональное сосуществуют, образуя закономерную и в то же время парадоксальную гармонию.
